第05讲乘法公式(知识梳理+3课本习题典例+7题型+过关检测)(解析版)_26秋小学初中各机构教辅大合集（一本、教材帮、阳光同学、王朝霞、实验班、小典中点、上分卷、白欧、课堂笔记等等）

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第05 讲乘法公式
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：七大核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 平方差公式
1.
2
2
(
)(
)
a
b a
b
a
b




两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，
b
a, 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于
理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的
平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如(
)(
)
a
b
b
a


利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如(3
5 )(3
5 )
x
y
x
y


（3）指数变化：如
3
2
3
2
(
)(
)
m
n
m
n


（4）符号变化：如(
)(
)
a
b a
b


（5）增项变化：如(
)(
)
m
n
p m
n
p




（6）增因式变化：如
2
2
4
4
(
)(
)(
)(
)
a
b a
b a
b
a
b




2.平方差公式特征是：
（1）公式左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项相同，而另一项互为相反数
（2）公式右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去互为相反数的项的平方
3.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
.
2 / 37
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简
便．
知识点2 完全平方公式
1.两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2 倍，这两个公式叫做
完全平方公式
补充公式：
2.完全平方公式的变形
3.特殊的完全平方公式
4.应用时，应注意以下几个问题：
（1）．完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；
右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项
乘积的2 倍，二者也仅有一个“符号”不同．
（2）．凑完全平方式时，求中间项，先看前后项是谁的平方（
2
a 和
2
b ），中间项为乘积的±2 倍（2ab

）．
（3）．完全平方公式的一些主要变形：
①（a+b）2+（a－b）2=2（a2+b2），
②（a+b）2－（a－b）2=4ab，
③a2+b2=（a+b）2－2ab=（a－b）2+2ab．
（4）．在四个量a+b，a－b，ab 和a2+b2 中，知道其中任意的两个量，就能求出其余的两个量（整体代
换）．
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知识点3 添括号法则
1.添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的
各项都变号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
课本典例1（习题11.3 第6 题）
两个连续奇数的平方差一定是8 的倍数，为什么？
【答案】设两个连续奇数分别为2n?1 和2n + 1（n 为整数），则2n + 1 2? 2n?1 2 = 2n + 1 + 2n?1
2n + 1?2n +
1 = 8n ，因为n 是整数，所以两个连续奇数的平方差一定是8 的倍数。
【解析】设较小的奇数为2n?1，较大的奇数为2n + 1（n 为整数）。根据平方差公式a2 −b2 = a + b
a −b ，
这里a = 2n + 1，b = 2n?1，则：
2n + 1 2 −2n −1 2
=
[ 2n + 1 + 2n −1 ][ 2n + 1 −2n −1 ]
=
2n + 1 + 2n −1
2n + 1 −2n + 1
=
4n × 2
=
8n
由于n 是整数，所以8n 是8
的倍数，即两个连续奇数的平方差一定是8 的倍数。
【点睛】明确任务是证明两个连续奇数的平方差是8 的倍数。关键在于合理设出两个连续奇数，再运用平
方差公式进行化简推导。
课本典例2（习题11.3 第7 题）
已知a + b = 4，ab = 3，求下列各式的值：(1) a2 + b2；(2) a −b 2。
【答案】(1) 10；(2) 4。
【解析】(1) 题：根据完全平方公式a + b 2 = a2 + 2ab + b2，变形可得a2 + b2 = a + b 2?2ab 。已知a + b = 4，
ab = 3，将其代入上式得：a2 + b2 = 42 −2 × 3 = 16 −6 = 10 。(2) 题：根据完全平方公式a?b 2 = a2?2ab + b2 =
a2 + 2ab + b2?4ab = a + b 2?4ab 。把a + b = 4，ab = 3 代入可得：a −b 2 = 42 −4 × 3 = 16 −12 = 4 。
【点睛】明确已知条件是a + b 与ab 的值，任务是求关于a、b 式子的值。关键是联想到完全平方公式，并
对所求式子进行变形，使其能代入已知值计算。
课本典例3（习题11.3 第8 题）
若多项式
1
4 x2 + ax + 4 是一个完全平方式，求a 的值.
【答案】a =± 2
【解析】对于完全平方式mx ± n 2 = m2x2 ± 2mnx + n2 ，在多项式
1
4 x2 + ax + 4 中，m2x2 =
1
4 x2，则m =±
1
2；n2 = 4，
则n =± 2 。因为ax =± 2mnx，当m =
1
2，n = 2 时，ax = 2 ×
1
2 × 2x = 2x，a = 2；当m =
1
2，n =−2 时，ax = 2 ×
1
2 ×
−2 x =−2x，a =−2；当m =−
1
2，n = 2 时，ax =−2 ×
1
2 × 2x =−2x，a =−2；当m =−
1
2，n =−2 时，ax =−2 × −
1
2 ×
−2 x =−2x，a =−2；当m =−
1
2，n =−2 时，ax =−2 × −
1
2 × −2 x =−2x，a =−2；当m =−
1
2，n = 2 时，ax =−2 ×
−
1
2 × 2x = 2x，a = 2。综上，a =± 2。
【点睛】明确题目是根据完全平方式的条件求a 的值。关键是掌握完全平方式的结构特征，将给定多项式
与完全平方式的一般形式对比，通过对应项系数关系求解a 。
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题型一运用平方差公式进行运算
1．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列算式中，可以利用平方差公式计算的有（
）
①


2
2
m
m


；②


5
5
x
x


；③


a
b
a
b


A．0 个
B．1个
C．2 个
D．3个
【答案】B
【分析】本题考查平方差公式：


2
2
a
b
a
b
a
b




，解题的关键是掌握平方差公式的特点：①左边是两
个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是两项的平方差（相同项的平方
减去相反项的平方）；③公式中的a 和b 可以是单项式，也可以是多项式．据此分析即可作出判断．
【详解】解：①





2
2
2
2
m
m
m
m





，可以利用平方差公式计算，符合题意；
②





5
5
5
5
x
x
x
x






，不可以利用平方差公式计算，不符合题意；
③





a
b
a
b
a
b
a
b





，不可以利用平方差公式计算，不符合题意；
∴可以利用平方差公式计算的有1个．
故选：B．
2．（24-25 八年级上·陕西渭南·期中）利用乘法公式计算：
2
2023
2022 2024


．
【答案】1
【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行简便计算．根据算式中数字的特点把2022 2024

写成



2023 1 2023 1


的形式，然后运用平方差公式展开，去括号合并同类项可得结果．
【详解】解：
2
2023
2022 2024





2
2023
2023
1
2023
1






2
2
2023
2023
1



2
2
2023
2023
1



1
．
3．（22-23 八年级上·福建泉州·期末）已知
2
2
12
a
b


，
2
a
b


，则a
b


．
【答案】6
【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：∵



2
2
a
b
a
b
a
b




，
2
2
12
a
b


，
2
a
b


，
∴
6
a
b


，
故答案为：6 ．
4．（24-25 八年级上·广东汕头·阶段练习）阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：求
5 / 37
（




2
4
8
2 1 2
1 2
1 2
1




的值．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问
题，具体解法如下：





2
4
8
2 1 2
1 2
1 2
1










2
4
8
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1











2
2
4
8
2
1
2
1
2
1
2
1









4
4
8
2
1
2
1
2
1







8
8
2
1
2
1



16
2
1

．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
(1)





2
4
8
16
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1





；
(2)





2
4
8
16
3
1 3
1 3
1 3
1
3
1





．
【答案】(1)
32
2
1

(2)
32
3
2
1
2
-
【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
（1）在本式前乘

2 1

，再利用平方差公式进行逐步计算即可；
（2）在本式前乘

3 1

，在本式后乘
1
2 ，再利用平方差公式进行逐步计算即可．
【详解】（1）解：





2
4
8
16
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1












2
4
8
16
2
1 2
1 2
1 2
1
2
1
2
1













2
2
4
8
16
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1











4
1
4
8
6
2
1
2
1
2
1
2
1









8
6
8
1
2
1
2
1
2
1







16
16
2
1
2
1



32
2
1


（2）解：





2
4
8
16
3
1 3
1 3
1 3
1
3
1












2
4
8
16
1
3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1
2














2
2
4
8
16
1
3
1 3
1 3
1 3
1 3
1
2







6 / 37
(
)(
)(
)(
)
4
8
1
4
6
1
3
1
3
1
3
1
2
3
1
+
+
+
-
´
=
(
)(
)(
)
8
6
8
1
1
3
1
3
1
2
3
1
+
+
-
´
=
(
)(
)
16
16
1
3
1
2
3
1
+
-
´
=
32
1
3
2
2
=
-
题型二平方差公式与几何图形
5．
（24-25 七年级下·江苏宿迁·期中）如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观
察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（
）
A．

2
2
2
2
a
b
a
ab
b




B．

2
a a
b
a
ab



C．


2
2
a
b
a
b
a
b




D．

2
2
2
2
a
b
a
ab
b




【答案】C
【分析】本题考查平方差公式与几何图形，根据长方形的面积和正方形的面积公式求解即可．
【详解】解：由图知，第一个长方形的面积为


a
b
a
b


，
第二个图形的面积为
2
2
a
b

，
∴


2
2
a
b
a
b
a
b




，
故选：C．
6．（24-25 八年级上·陕西渭南·期中）如图，点A 、D 、E 在同一直线上，大正方形DEFG 与小正方形ABCD
的面积之差是24，点G 、C 、D 在同一直线上，阴影部分的面积为S ，则2S （
）
A．24
B．18
C．12
D．32
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用．设正方形DEFG 的边长为a，正方形ABCD 的边长为b，可得
7 / 37
CG
a
b


，
2
2
24
a
b


，再由阴影部分的面积等于1
1
2
2
AD
CG
DE
CG



，即可求解．
【详解】解：设正方形DEFG 的边长为a，正方形ABCD 的边长为b，则AD
CD
b


，DE
DG
a


，
∴CG
a
b

，
∵大正方形DEFG 与小正方形ABCD 的面积之差是24，
∴
2
2
24
a
b


，
∴阴影部分的面积是1
1
2
2
AD
CG
DE
CG








1
1
2
2
AD
DE
CG
a
b
a
b








2
2
1
12
2 a
b



．
故选：C．
7．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）实践探究题
某数学兴趣小组利用“等面积法”分别构造了以下两种图形验证“平方差公式”．
(1)探究：以下两种图形能够验证平方差公式的是_______（填序号）
(2)应用：利用“平方差公式”计算
2
1949
1948 1950


(3)拓展：运用平方差公式计算






2
4
8
1012
(2
1) 2
1
2
1
2
1
2
1
1






【答案】(1)①
(2)1
(3)
2024
2
【分析】此题考查了数形结合思想推导代数式恒等式和平方差公式的计算能力，关键是能准确理解并运用
以上知识．
（1）根据图形面积求法进行求解即可．
（2）运用平方差公式进行求解．
（3）将原式变形成






2
4
8
1012
(2 1)(2
1) 2
1
2
1
2
1
2
1
1







，再根据平方差公式进行求解即可．
【详解】（1）解：图①验证了等式
2
2
(
)(
)
a
b a
b
a
b




，
图②验证了等式
2
2
(
)
(
)
4
a
b
a
b
ab




，
∴图形①能够验证平方差公式，
故答案为：①；
8 / 37
（2）解：
2
1949
1948 1950


2
1949
(1949 1) (1949 1)







2
2
1949
1949
1



2
2
1949
1949
1



1
；
（3）解：






2
4
8
1012
(2
1) 2
1
2
1
2
1
2
1
1












2
4
8
1012
(2 1)(2
1) 2
1
2
1
2
1
2
1
1
















2
2
4
8
1012
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1














4
4
8
1012
2
1
2
1
2
1
2
1
1








2024
2
1 1


2024
2

．
8．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）如图1，边长为a 的大正方形有一个边长为b 的小正方形，把图1 中
的阴影部分拼成一个长方形（如图2 所示）
(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是_______（写成平方差的形式）．
(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是_______．（利用长方形面积公式，写成
多项式乘法形式）
(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式_______．
(4)请应用这个公式完成下列各题：
①已知
2
2
4
12
m
n


，2
4
m
n


，求2m
n

的值．
②计算：
2
2024
2022 2026


．
【答案】(1)
2
2
a
b

(2)


a
b
a
b


(3)



2
2
a
b
a
b
a
b




；
(4)①3；②4
【分析】本题考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，掌握平方差公式的运算是解题的关键．
（1）根据图形即可求解；
9 / 37
（2 ）根据图形即可求解；
（3）由（1）（2 ）的结果即可求解；
（4 ）①利用平方差公式计算即可求解；
②把2022 2026

转化为


2024
2
2024
2



，再利用平方差公式计算即可求解．
【详解】（1）解：由图1可得，阴影部分的面积是
2
2
a
b

，
故答案为：
2
2
a
b

；
（2）解：它的宽是a
b
，长是a
b

，面积是


a
b
a
b


，
故答案为：


a
b
a
b


；
（3）解：由图1、图2 阴影部分的面积可得，



2
2
a
b
a
b
a
b




，
故答案为：



2
2
a
b
a
b
a
b




；
（4）解：①∵
2
2
4
12
m
n


，
∴


2
2
12
m
n
m
n



，
∵2
4
m
n


，
∴

4 2
12
m
n


，
∴2
3
m
n


；
②
2
2024
2022
2026





2
2024
2024
2
2024
2





，


2
2
2
2024
2024
2



，
2
2
2
2024
2024
2



，
4

．
题型三利用完全平方公式进行运算
9．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）运用完全平方公式计算
2
39.6 的最佳选择是（
）
A．

2
38 1.6

B．

2
40
0.4

C．

2
30
9.6

D．

2
50 10.4

【答案】B
【分析】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b




．根据完全平方公式展开，再看
看每一部分是否好算即可．
【详解】解：A．
2
2
2
(38 1.6)
38
2 38 1.6




，
B．
2
2
2
(40
0.4)
40
2 40 0.4
0.4





，
C．
2
2
2
(30
9.6)
30
2 30 9.6




D．
2
2
2
(50 10.4)
50
2 50 10.4




，
选项A、C、D 都不如选项B 好算，
10 / 37
故选：B．
10．（24-25 八年级上·福建福州·期中）已知



2
2
2024
2025
7
a
a




，则代数式


2024
2025
a
a


的
值是（
）
A．2
B．1
C．3

D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，根据完全平方公式进行求解即可．
【详解】解：∵


2
2024
2025
a
a














2
2
2024
2025
2 2024
2025
=
a
a
a
a






又






2
2
2
2024
2025
1
1
2024
2025
a
a
a
a













，




2
2
2024
2025
7
a
a




，
∴



2024
2025
1
7
2
a
a




∴




2024
2025
1
7
2
3
a
a





，
故选：C．
11．（24-25 八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知实数a，b 满足




2
1
2
2
2 a
b a
b




，则
2
2
a
b

的值
是
．
【答案】20
【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，代数式求值，先将已知条件变形为
2
2
1
1
2
0
2
2
a
b
a
















，然后根据非负数的性质求出a、b 的值，最后代入要求的代数式计算即可．
【详解】解：




2
1
2
2
2 a
b a
b




，
2
2
1
2
2
2
2 a
a
ab
b





，
2
2
2
1
1
2
4
0
4
4
a
ab
b
a
a






，
2
2
1
1
2
0
2
2
a
b
a
















，
∴1
0
2


a
b
，1
2
0
2 a 

，
∴
4
a 
，
2
b 
，
∴
2
2
2
2
2
0
4
2
a
b




．
故答案为：20．
11 / 37
12．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）运用完全平方公式
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b




计算
2
1
2
x







，则公式
中的2ab 是（
）
A．1
2 x
B．x
C．2x
D．4x
【答案】B
【分析】本题考查完全平方公式的应用，将
2
1
2
x







展开即可得公式中的2ab 代表的是x．
【详解】解：
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
4
4
x
x
x
x
x














，
∴公式中的2ab 为x．
故选：B．
13．（24-25 八年级上·福建福州·期中）计算：
2
2
2024
4048
2025
2025
1




．
【答案】0
【分析】本题主要考查了完全平方公式，观察可知，所求式子的前三项刚好是一个完全平方式，据此求解
即可．
【详解】解：
2
2
2024
4048
2025
2025
1




2
2
2024
2
2024
2025
2025
1








2
2024
2025
1





2
1
1


1 1

0

，
故答案为：0 ．
题型四通过对完全平方公式变形求值
14．（21-22 七年级下·江苏宿迁·期末）已知
5
m
n

，
3
mn 
，则
2
2
m
mn
n


的值为
．
【答案】16
【分析】本题考查了完全平方公式．解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式把式子
2
2
m
mn
n


变
形为
2
(
)
3
m
n
mn


．根据
5
m
n

，
3
mn 
，利用完全平方公式把式子
2
2
m
mn
n


变形，可以求得所求式
子的值．
【详解】解：
5
m
n

，
3
mn 
，
2
2
m
mn
n



2
2
2
3
m
mn
n
mn




2
(
)
3
m
n
mn



2
( 5)
3
3


12 / 37
25
9


16

，
故答案为：16．
15．（24-25 八年级上·安徽阜阳·阶段练习）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若
3
a
b


，
1
ab ，求
2
2
a
b

的值．
解：因为
3
a
b


，
1
ab ，所以

2
9
a
b


，即
2
2
2
9
a
b
ab



，所以
2
2
7
a
b


．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
(1)若
5
a
b

，
3
ab 
，则
2
2
a
b

______；
(2)若

2
a
b
17


，

2
a
b
13


，求
2
2
a
b

的值；
(3)已知
1
3
x
x

，求
4
4
1
x
x

的值．
【答案】(1)31
(2)15
(3)119
【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，正确掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式变形即可求解；
（2）由题意得到



2
2
30
a
b
a
b




，根据完全平方公式得出
2
2
2
2
2
2
30
a
ab
b
a
ab
b






，化简即可
求解．
（3）两边平方得


2
2
1
3
x
x








，化简求出
2
2
1
11
x
x


，然后两边平方即可求解．
【详解】（1）解：
5
a
b

，
3
ab 
，


2
25
a
b


，2
6
ab 
，
2
2
2
25
a
ab
b




，即
2
2
6
25
a
b


，

2
2
31
a
b


，
故答案为：31．
（2）


2
17
a
b


，

2
13
a
b


，




2
2
30
a
b
a
b





，
2
2
2
2
2
2
30
a
ab
b
a
ab
b






，
2
2
2a
2b
30


，
2
2
15
a
b 


；
（3）
1
3
x
x

，
∴


2
2
1
3
x
x








，
13 / 37
2
2
1
2
9
x
x



，
2
2
1
11
x
x



，
∴
2
2
2
2
1
11
x
x








，
4
4
1
2
121
x
x



，
∴
4
4
1
119
x
x


．
16．（24-25 八年级上·广东广州·期中）已知
3
a
b


，
1
ab ．求代数式下列代数式的值：
(1)
2
2
a
b

；
(2) a
b
．
【答案】(1)11
(2)
13
a
b


【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式并灵活运用整体代入的思
想是解题的关键．
（1）根据完全平方公式得到


2
2
2
2
a
b
a
b
ab




，然后整体代入计算即可；
（2）根据完全平方公式得到



2
2
4
a
b
a
b
ab




，代入计算即可得答案．
【详解】（1）解：
3
a
b


，
1
ab ，

2
2
a
b



2
2
a
b
ab





23
2
1


9
2


11

；
（2）
3
a
b


，
1
ab ，


2
a
b



2
4
a
b
ab





23
4
1


9
4


13

，

13
a
b


．
17．（22-23 八年级上·福建厦门·期中）计算：已知
3
x
y


，
1
xy ，
(1)求
2
2
x
y

的值；
14 / 37
(2)求

2
x
y

的值．
【答案】(1)11
(2)13
【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值；
（1）把
3
x
y


，
1
xy 代入


2
2
2
2
x
y
x
y
xy




，再计算即可；
（2）把
3
x
y


，
1
xy 代入



2
2
4
x
y
x
y
xy




，再计算即可；
【详解】（1）解：∵
3
x
y


，
1
xy ，
∴




2
2
2
2
9
2
1
9
2
11
x
y
x
y
xy









；
（2）解：∵
3
x
y


，
1
xy ，
∴





2
2
4
9
4
1
9
4
13
x
y
x
y
xy









；
题型五完全平方公式与几何图形
18．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图①是一个长为4b ，宽为a 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分
成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②的正方形．
(1)由图②可以直接写出

2
a
b

，

2
a
b

，ab 之间的一个等量关系式是________；
(2)根据（1）中的结论，解决下列问题：3
2
8
x
y


，
2
xy 
，求3
2
x
y

的值；
(3)两个正方形ABCD ，AEFG ，如图③摆放，边长分别为x，y．若
2
2
45
x
y


，
3
BE 
，求图中阴影部分
的面积和．
【答案】(1)



2
2
4
a
b
a
b
ab




(2) 4

(3) 27
2
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平
方公式是解题的关键．
（1）根据大正方形的面积等于4 个小长方形和小正方形面积之和，可得结论；
（2）利用（1）中关系式得到



2
2
3
2
3
2
24
x
y
x
y
xy




，然后代入数值计算即可；
（3）先求出
3
x
y


，
3
DG
BE
x
y




，进而根据已知条件得到2
36
xy 
，则

2
81
x
y


，进一步得到
9
x
y


，再利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可．
15 / 37
【详解】（1）解：图2 中4 个小长方形的面积之和等于大正方形面积减去中间小正方形的面积，即




2
2
4
a
b
a
b
ab




，
∴



2
2
4
a
b
a
b
ab




，
故答案为：



2
2
4
a
b
a
b
ab




；
（2）解：∵



2
2
3
2
3
2
4 3
2
24
x
y
x
y
x
y
xy







，
∴



2
2
3
2
3
2
24
x
y
x
y
xy




，
∵3
2
8
x
y


，
2
xy 
，
∴

2
2
3
2
8
24 2
64
48
16
x
y







，
∴3
2
4
x
y

；
（3）解：∵正方形ABCD ，AEFG 如图3 摆放，边长分别为x ，y ，
3
BE 
，
∴
3
x
y


，
3
DG
BE
x
y




，
∴

2
9
x
y

，
∴
2
2
2
9
x
xy
y



∵
2
2
45
x
y


，
∴2
45
9
36
xy 


，
∴
2
2
45
36
2
81
x
y
xy 




，
∴

2
81
x
y


，
∵
0
0
，
x
y


，
∴
9
x
y


，
∴


1
1
3
27
3
3
2
2
2
2
DCF
BEF
S
S
S
x
y
x
y









阴影
．
19．（24-25 八年级上·陕西渭南·期中）【知识生成】
我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1 可以得到


2
2
2
2
a
b
a
ab
b




，基于此，请解答下列问题．
【类比应用】
16 / 37
（1）根据题意可知


2
2
2
a
b
a
b



；
（2）若

4
2
x
x


，求


2
2
4
x
x


的值；
【知识迁移】
（3）将两块全等的特制直角三角板
AOB
V
和


90
COD
AOB
COD



按如图2 所示的方式放置，其中
点A ，O，D 在同一直线上，点B ，O，C 也在同一直线上，连接AC ，BD ．若
12
AD 
，
40
AOC
BOD
S
S


△
△
，
求其中一块直角三角板

AOB 的面积．
【答案】（1）2ab ；（2）12；（3）一块直角三角板的面积为16．
【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式变形即可求解．
（2）将

4
2
x
x


看成
2
ab 
，进而根据


2
2
2
2
a
b
a
b
ab




，即可求解；
（3）设AO
CO
x


，BO
DO
y


，根据
2
2
1
1
40
2
2
AOC
BOD
S
S
x
y




△
△
可得
2
2
80
x
y


，而


2
2
2
2
(
)
64
xy
x
y
x
y





，进而根据完全平方公式变形即可求解．
【详解】解：（1）


2
2
2
2
a
b
a
ab
b






2
2
2
2
a
b
a
b
ab





，
故答案为：2ab ；
（2）∵

4
2
x
x


，
∴


2
2
4
x
x






2
4
2
4
x
x
x
x





16
2
2


12

，
故答案为：12；
（3）∵两块直角三角板全等，
AO
CO


，BO
DO

，
90
AOB
COD




点A，O，D 在同一直线上，点B，O，C 也在同一直线上，
180
90
AOC
COD




，
90
BOD
AOC



．
设AO
CO
x


，BO
DO
y


．
12
AD
AO
OD
x
y





，
又
2
2
1
1
40
2
2
AOC
BOD
S
S
x
y




△
△
，
2
2
80
x
y



，


2
2
2
2
(
)
64
xy
x
y
x
y






，
17 / 37
32
xy


，
1
1
16
2
2
AOB
S
OA OB
xy





△
，
答：一块直角三角板的面积为16．
20．（24-25 八年级上·重庆石柱·期中）为创建文明校园环境，某校制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等
宣传标语，标语由如图1 所示的板材裁剪而成，其为一个长为2m ，宽为2n 的长方形板材，将长方形板材
沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图2
所示的一个大正方形．
(1)用两种不同方法表示图②中小正方形（阴影部分）面积可得到一个等式：________________________；
(2)利用(1)中的结论解决以下问题：
①已知
7,
6
m
n
mn



则，

2
m
n

；
②已知


4
5
6
x
x



，求

2
9
2x

的值．
(3)将两个正方形ABCD 和AEFG 按图3 摆放，边长分别为,x y ．且
2
2
x
y
34


，
2.
BE 
求图中阴影部分面
积的和．
【答案】(1)


2
2
,
4
m
n
m
n
mn



(2)①25②25
(3)8
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键：
（1）利用面积公式和分割法求面积两种方法表示出面积即可得出结果；
（2）①利用（1）中结论进行求解即可；②令
4
,
5
a
x b
x




，进而得到
1,
6
a
b
ab



，利用（1）中
结论求出

2
a
b

即可；
（3）根据
2
BE 
，得到
2
x
y


，表示出阴影部分的面积，利用完全平方公式进行求值即可．
【详解】（1）解：由图可知：



2
2
4
m
n
m
n
mn




；
故答案为：


2
2
,
4
m
n
m
n
mn



（2）①∵
7,
6
m
n
mn



，
∴



2
2
2
4
7
4 6
25
m
n
m
n
mn








；
18 / 37
②令
4
,
5
a
x b
x




，
则：
4
5
1,
6
a
b
x
x
ab







，
∵



2
2
4
a
b
a
b
ab




，
∴


2
1
4 6
a
b


，
∴

2
25
a
b


，
即：



2
2
4
5
9
2
25
x
x
x






；
（3）由题意，得：
,
AB
AD
CD
x AE
AG
y





，
∴
2
BE
DG
x
y




，
∴

2
2
2
4
2
x
y
x
y
xy





，
∵
2
2
x
y
34


，
∴
15
xy 
，
∴

2
2
2
2
64
x
y
x
y
xy





，
∵
0
x
y

，
∴
8
x
y


，
∴阴影部分的面积之和为：1
1
2
2
CD DG
EF BE



1
1
2
2
2
2
x
y




8
x
y



．
21．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）如图，某中学校园内有一个长为(4
)
a
b

米，宽为(3
)
a
b

米的长方
形小广场，学校计划在中间留一块边长为(
)
a
b
米的正方形场地修建一座雕像，并将空余场地（阴影部分）进
行绿化．
(1)请用含a，b 的代数式表示绿化面积；
(2)当
2,
3
a
b


时，求绿化面积．
【答案】(1)

2
11
5
a
ab

平方米；
(2)绿化的面积为74 平方米．
【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，正确列式、代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19 / 37
（1）绿化的面积=长方形的面积－边长为(
)
a
b
米的正方形的面积，据此列式计算即可；
（2）把a、b 的值代入（1）题中的代数式计算即可．
【详解】（1）解：



2
3
4
a
b
a
b
a
b




，
2
2
2
2
12
7
2
a
ab
b
a
ab
b






，


2
11
5
a
ab


平方米；
（2）解：当
2,
3
a
b


时，
2
2
11
5
11 2
5 2 3
74
a
ab





．
所以绿化的面积为74 平方米．
题型六求完全平方式中的字母系数
22．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期末）若


2
1
4
x
m
x



是一个完全平方式，则m 的值等于
．
【答案】5 或3

【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式特点是解题的关键，注意完全平方式有两种形式，
故不要漏掉答案．根据完全平方公式的特征判断即可得到m 的值．
【详解】解：∵
2
(
1)
4
x
m
x


是完全平方式，
1
4
m

，
5
m


或3
，
故答案为：5 或3
．
23．（24-25 八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果
“
2
2
4
25
x
y


●
”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是
．
【答案】20xy

或20xy

【分析】本题考查完全平方公式，由完全平方公式

2
2
2
2
a
b
a
ab
b




，结合






2
2
2
2
2
4
25
5
2
5
2
x
y
y
x
y
x





●
●
即可得到答案．熟记完全平方公式是解决问题的关键．
【详解】解：由完全平方公式

2
2
2
2
a
b
a
ab
b




可知，






2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
20
25
5
5
4
25
x
y
x
x
x
y
x
y
y
y








●
●
，
墨迹覆盖的这一项及其符号可能是20xy

，也可能是20xy

，
故答案为：20xy

或20xy

．
24．（24-25 八年级上·江西南昌·阶段练习）已知


2
2
1
16
x
m
x



通过变形可以可成

2
x
n

的形式，则
m 
．
【答案】3
或5
【分析】本题考查了完全平方公式

2
2
2
2
a
b
a
ab
b




，熟记完全平方公式是解题关键．根据题意可得




2
2
2
1
16
4
x
m
x
x





，再计算完全平方公式即可得．
【详解】解：∵


2
2
1
16
x
m
x



通过变形可以可成

2
x
n

的形式，
20 / 37
∴




2
2
2
1
16
4
x
m
x
x





，
∴


2
2
2
1
16
8
16
x
m
x
x
x






，
∴


2
1
8
m



或


2
1
8
m


，
解得
3
m 或
5
m 
，
故答案为：3
或5．
25．（24-25 八年级上·湖南长沙·阶段练习）若
2
9
a
ka


是一个完全平方式，则常数k 
．
【答案】6

【分析】本题主要考查完全平方式的定义，掌握完全平方式的形式：

2
2
2
2
a
b
a
ab
b




是解题的关键．
根据完全平方式的结构特征，直接求解即可．
【详解】解：∵
2
9
a
ka


是一个完全平方式，
∴


2
2
2
9
3
6
9
a
ka
a
a
a






，
∴
6
k ，
故答案为：6
．
26．（24-25 八年级上·山东滨州·期中）已知
2
4
9
y
my


是完全平方式，则m 
．
【答案】12

【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征
判断即可求出m 的值．
【详解】
2
4
9
y
my


是完全平方式，
2
2
2
4
9
(2
3)
4
12
9
y
my
y
y
y








，
12
m


，
故答案为：12

题型七完全平方式在几何图形中的应用
27．（23-24 七年级下·安徽合肥·期末）【提出问题】
利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证
明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容．
【自主探究】
用直角边分别为a 和b 的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．
21 / 37
（1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题．
（ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形ABCD 的面积为
___________．（用含a，b 的字母表示）
（ⅱ）当a
b

时，比较大小：
2
2
2
a
b

__________ab ．（填“>”或“<”）
（ⅲ）当a 和b 满足什么条件时，
2
2
2
a
b

与ab 相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我
可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明．
【知识应用】
（2）已知
0
m 
，
1
n ，且
(
1)
9
m n 

，利用（1）发现的结论求
2
2
2
1
m
n
n


的最小值．
【答案】（1）（ⅰ）
2
1
2 a ，
2
1
2 b ，ab ；（ⅱ）（ⅲ）见详解（2）18
【分析】本题考查了利用图形面积证明不等式；
（1）（ⅰ）根据图形即可求解；
（ⅱ）由图②中的矩形面积及两个三角形的面积和即可求解；
（ⅲ）甲同学：当a
b

时，分别计算即可求解；乙同学：画出图形即可求解；
（2）由（1）得




2
2
1
1
2
m
n
m n




，即可求解；
理解图形面积与不等式之间的关系是解题的关键．
【详解】解：（1）（ⅰ）由题意得
①中两个三角形的面积分别为
2
1
2 a 和
2
1
2 b ，图②中长方形ABCD 的面积为ab ，
故答案：
2
1
2 a ，
2
1
2 b ，ab ；
（ⅱ）由图②得
当a
b

时，
2
2
2
a
b
ab


，
故答案：；
（ⅲ）当a
b

时，
2
2
2
a
b
ab


，
甲同学：当a
b

时，
2
2
2
a
b

2
2
2
a
a


2
a

，
2
ab
a a
a



，
22 / 37
当a
b

时，
2
2
2
a
b
ab


；
乙同学：
当a
b

时，
2
2
2
a
b
ab


；
（2）
2
2
2
1
m
n
n





2
2
1
m
n



，
由（1）得：




2
2
1
1
2
m
n
m n




，



2
2
1
9
2
m
n



，



2
2
1
18
m
n



，

2
2
2
1
m
n
n


的最小值为18．
28．（23-24 七年级下·福建漳州·期中）图1 是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四
块相同的小长方形，然后按图2 的形状拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2 中阴影部分的面积．
方法1：__________________．
方法2：__________________．
请写出代数式：


2
2
,
m
n
m
n


，mn 之间的等量关系是______．
(2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3 的面积所表示的代数等式；
(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知
3
a
b


，ab 是负整数，求
2
(
)
a
b

的值．
【答案】(1)

2
m
n

；

2
4
m
n
mn


；



2
2
4
m
n
m
n
mn




，详见解析
(2)


2
2
2
2
3
m
n
m
n
m
mn
n





，详见解析
23 / 37
(3)

2
a
b

为1 或5，详见解析
【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的几何图解法及应用等知识点，
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做
出几何解释；
（2）图③的面积计算有两种方法，方法一是大长方形（长为的2m
n

，宽为m
n

）的面积是


2m
n
m
n


，
方法二是组成大长方形的各个小长方形或正方形的面积和等于大长方形的面积，故而得到了代数恒等式；
（3）由（1）知：



2
2
4
a
b
a
b
ab




，结合ab 为负整数分类讨论即可得解；
熟练掌握数形结合的思想是解决此题的关键．
【详解】（1）方法1：阴影部分是一个正方形，边长为m
n

，根据阴影部分正方形面积计算公式得

2
m
n

，
方法2：大正方形边长为m
n

，面积是：

2
m
n

，四个长为m，宽为n 的长方形的面积是4mn ，阴影部分
的面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积为

2
4
m
n
mn


，
方法1 与方法2 均为求图②中阴影部分的面积，所以结果相等，即



2
2
4
m
n
m
n
mn




，
故答案为：

2
m
n

；

2
4
m
n
mn


；



2
2
4
m
n
m
n
mn




；
（2）计算图③的面积计算有两种方法，
方法一是大长方形（长为的2m
n

，宽为m
n

）的面积是


2m
n
m
n


，
方法二是：组成图③的各部分图形：2 个边长为m 的正方形的面积
2
2m ，3 个长为m，宽为n 的长方形的面
积即3mn ，1 个边长为n 的正方形的面积
2
n ，他们的面积和是：
2
2
2
3
m
mn
n


，方法一和方法二的计算结
果相等，
∴


2
2
2
2
3
m
n
m
n
m
mn
n





；
（3）由（1）知：



2
2
4
a
b
a
b
ab




，
∵
3
a
b


，
∴


2
23
4
a
b
ab



，
∴


2
9
4
a
b
ab



，
∵ab 为负整数，
∴


2
0
9
a
b



且

2
9
a
b


能被4 整除，
∴当

2
1
a
b

时，


2
9
1 9
2
4
4
a
b
ab






，
当

2
5
a
b


时，


2
9
5
9
1
4
4
a
b
ab





，
综上：

2
a
b

为1 或5．
24 / 37
29．（23-24 八年级上·广东汕头·期末）如图①所示是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀
均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______．
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积.
方法①___________；方法②__________．
(3)观察图②，试写出

2
m
n

，

2
m
n

，mn 这三个代数式之间的等量关系______．
(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若
6
a
b


，
5
ab 
，则求

2
a
b

的值．
【答案】(1) m
n

(2)
2
(
)
m
n

，
2
(
)
4
m
n
mn


(3)
2
2
(
)
(
)
4
m
n
m
n
mn




(4)16
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示同一个图形的面积是得出等量关系式的关
键．
（1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为m
n

的正方形；
（2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；方法二，从边长为(
)
m
n

的大正方形减去
四个长为m ，宽为n 的矩形面积即可；
（3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式；
（4）将
2
(
)
a
b

的变形为：
2
(
)
4
a
b
ab


即可求解．
【详解】（1）解：由拼图可知，阴影部分是边长为(
)
m
n

的正方形，
故答案为：m
n

；
（2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为
2
(
)
m
n

；
方法二：从边长为(
)
m
n

的大正方形减去四个长为m ，宽为n 的矩形面积即为阴影部分的面积，
即
2
(
)
4
m
n
mn


；
故答案为：
2
(
)
m
n

，
2
(
)
4
m
n
mn


；
（3）由（2）的两种方法可得，
2
2
(
)
(
)
4
m
n
m
n
mn




；
故答案为：



2
2
4
m
n
m
n
mn




；
（4）
2
2
(
)
(
)
4
a
b
a
b
ab




．
6
a
b


，
5
ab 
，
25 / 37
2
2
(
)
36
4 5
16
a
b






．
30．（2023 八年级上·全国·专题练习）图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块
小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1：；方法2：；
(2)观察图②请你写出下列三个代数式；


2
2 ,
,
m
n
m
n
mn


之间的等量关系；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：
3,
2
a
b
ab


，求：

2
a
b

的值；
②已知：
2
1
a
a

，求：
2
2
a
a







的值．
【答案】(1)

2
4
m
n
mn


；

2
m
n

(2)



2
2
4
m
n
mn
m
n




(3)①1；②9
【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解：
（1）表示出阴影部分的边长，然后分别利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；利用正方形的
面积公式列式；
（2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答；
（3）①根据（2）的结论代入进行计算即可得解；②根据（2）的结论代入进行计算即可得解．
【详解】（1）解：根据题意得：图②中阴影部分的面积：
方法1：

2
4
m
n
mn


，
方法2：

2
m
n

；
故答案为：

2
4
m
n
mn


；

2
m
n

；
（2）解：



2
2
4
m
n
mn
m
n




；
（3）解：①∵
3,
2
a
b
ab


，
∴





2
2
2
4
3
4
2
1
a
b
a
b
ab







；
②
2
2
2
2
2
2
4
1
8
9
a
a
a
a
a
a




















．
26 / 37
31．（2023·吉林长春·二模）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密
拼接成一个大正方形，先取甲纸片4 块，再取乙纸片9 块，还需取丙纸片
块．
【答案】12
【分析】根据完全平方式进行配方可得此题结果．
【详解】解：∵


2
2
2
4
9
12
2
3
a
b
ab
a
b




，
∴还需取丙纸片12 块，
故答案为：12．
【点睛】此题考查了解决完全平方式几何背景问题的能力，关键是能结合图形构造完全平方式．
一、单选题
1．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）已知△ABC 的三边长分别为a
b
c
，，，且满足
2
1
2
18
12
a
b
b



，
27 / 37
则c 的取值范围是（
）
A．
2

c
B．
4
c 
C．2
4
c


D．3
6
c


【答案】C
【分析】本题主要考查了非负数的性质，完全平方公式，三角形三边关系的应用，根据已知条件得到


2
1
2
3
0
a
b



，再由非负数的性质求出a、b 的值，再根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任
意两边之差小于第三边，据此求解即可．
【详解】解：∵
2
1
2
18
12
a
b
b



，
∴
2
1
2
12
18
0
a
b
b




，
∴


2
1
2
6
9
0
a
b
b




，
∴


2
1
2
3
0
a
b



，
∵


2
1
0 2
3
0
a
b



，
，
∴


2
1
2
3
0
a
b




，
∴
1
0
3
0
a
b



，
，
∴
1
3
a
b


，
，
∵b
a
c
a
b



，
∴3 1
2
3 1
4
c




，
故选：C．
2．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）图是某正方形的会议区域结构平面图，其中A，B 会议室都是
正方形，边长分别为a 米，b 米，其中a
b

．关于甲、乙的结论，下列判断正确的是（
）
甲：阴影部分的面积为2ab 平方米；
乙：若A，B 两会议室的面积之和比剩余面积（阴影）多4 平方米，则B 会议室与A 会议室的周长之差为
16 米．
A．只有甲对
B．只有乙对
C．甲、乙都对
D．甲、乙都不对
【答案】A
【分析】本题主要是考查了完全平方公式的运用，根据面积之差，利用完全平方公式可得结果．
【详解】解：对于甲：阴影部分的面积为

2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
a
ab
b
a
b
ab









平方米；
故甲判断正确；
28 / 37
对于乙：由题可得：


2
2
2
2
2
4
a
b
a
b
a
b






，
∴
2
2
2
4
a
b
ab



，
整理得

2
4
a
b


，
∴
2
a
b


或
2
a
b

（舍去），
∴B 会议室与A 会议室的周长之差为：4
4
4(
)
4 2
8
a
b
a
b






（米），
故乙的判断错误，
故选：A．
3．（24-25 八年级上·河北邢台·阶段练习）下列多项式中，不能用平方差公式计算的是（
）
A．(
1)(
1)
a
a


B．(
)(
)
a
b b
a


C．(
)(
)
a
b a
b


D．(
)(
)
a
b a
b


【答案】C
【分析】根据平方差公式、完全平方公式分别计算判断即可．
本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟记这两个公式是解题的关键．
【详解】解：A、



2
(
1)(
1)
1
1
1
a
a
a
a
a






，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、



2
2
(
)(
)
b
a
a
b b
a
b
a
b
a







，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
C、





2
2
2
(
)(
)
2
a
b a
b
a
b
a
b
a
b
a
ab
b










，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
D、
2
2
(
)(
)
a
b a
b
a
b




，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．（24-25 八年级上·江西南昌·阶段练习）下列各式中，运算正确的是（
）
A．

3
3
9
2
6
a
a


B．



3
2
2
3
a
a


C．

2
2
2
2
4
a
b
a
b



D．


2
2
2
2
4
a
b
a
b
a
b





【答案】B
【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、乘法公式，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键．根
据积的乘方与幂的乘方、乘法公式逐项判断即可得．
【详解】解：A、

3
3
9
2
8
a
a


，则此项错误，不符合题意；
B、

3
2
6
a
a


，

2
3
6
a
a


，所以



3
2
2
3
a
a


，则此项正确，符合题意；
C、

2
2
2
2
4
4
a
b
a
ab
b




，则此项错误，不符合题意；
D、





2
2
2
2
2
2
4
a
b
a
b
b
a
b
a
b
a








，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
5．（24-25 八年级上·广东汕头·阶段练习）下列各运算中，正确的是（
）
29 / 37
A．
2
3
2
5
a
a
a


B．

2
3
6
3
9
a
a


C．
4
2
3
a
a
a


D．

2
2
2
4
a
a



【答案】B
【分析】本题主要考查了合并同类项法则，积的乘方，幂的乘方，同底数幂除法法则及完全平方公式，解
题的关键是熟练掌握几项定义．
利用以上运算法则逐项进行判断即可．
【详解】解：A.3
2
5
a
a
a


，故该项错误，不符合题意；
B. 





2
2
2
3
3
6
3
3
9
a
a
a




，故该项正确，符合题意；
C.
4
2
4 2
2
a
a
a
a




，故该项错误，不符合题意；
D. 

2
2
2
4
4
a
a
a




，故该项错误，不符合题意；
故选：B．
6．（24-25 八年级上·重庆石柱·期中）若
2
9
x
mx

是完全平方式，则m 的值为（
）
A．12

B．12

C．6

D．6

【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式，根据
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b




求解即可得到答案．
【详解】解：∵
2
9
x
mx

是完全平方式，
∴
2
2
2
9
6
3
x
mx
x
x





，
∴
6
m ，
故选：D．
7．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正
方形

a
b

，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（
）
A．



2
2
a
b
a
b
a
b




B．


2
2
2
2
a
b
ab
a
b




C．

2
2
2
2
a
b
a
ab
b




D．



2
2
4
a
b
a
b
ab




【答案】A
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，分别表示两个图形中的面积即可得出答案．
【详解】解：在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形

a
b

，将余下的部分拼成一个长方形，
第1 个图中面积为：
2
2
a
b

，
30 / 37
第2 个图中面积为


a
b
a
b


，
因此有



2
2
a
b
a
b
a
b




，
故选：A．
8．（24-25 八年级上·河南南阳·期末）整式
2
10
x
x
m


为某完全平方式展开后的结果，则m 的值为（
）
A．10
B．20
C．25

D．25
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的特点是解题的关键．
根据完全平方式的特点得到
2
10
25
2
m








，即可得到答案．
【详解】解：
整式
2
10
x
x
m


为某完全平方式展开后的结果，
2
10
25
2
m









，
故选：D．
9．（24-25 八年级上·河南南阳·阶段练习）南南在计算
2
2
2
2024
2023
2025
2


时，找不到计算器，去向阳阳借，
阳阳看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案，则阳阳说出的正确答案是（
）
A．2
B．
1
2
C．
2
2024
D．
2
1
2024
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式在有理数简便计算中的运用，掌握完全平方公式是关键．
根据题意，将分母变形为



2
2
2024 1
2024
1
2




，运用完全平方公式计算，化简即可．
【详解】解：
2
2
2
2024
2023
2025
2






2
2
2
2024
2024 1
2024 1
2





2
2
2
2024
2024
2 2024 1 2024
2 2024 1 2





2
2
2024
2 2024


1
2

，
故选：B ．
10．（24-25 七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）从边长为a 的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b 的小正方
形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么
通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（
）
31 / 37
A．


2
2
2
a
b
a
b



B．

2
2
2
2
a
b
a
ab
b




C．

2
2
2
2
a
b
a
ab
b




D．



2
2
a
b
a
b
a
b




【答案】D
【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，根据图形求相应的面积，进而得解．
【详解】解：由题意可知：图1 阴影部分的面积为
2
2
a
b

，
结合图1 可知，等腰梯形的底角为45，高为
2
a
b

，可得图2 平行四边形的高为b
a

，面积为(
)(
)
a
b a
b


，
所以



2
2
a
b
a
b
a
b




．
故选：D．
二、填空题
11．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）利用完全平方公式，将多项式
2x
bx
c

变形为
2
(
)
x
m
n


的形式，然后由
2
(
)
0
x
m


，就可以求出多项式
2x
bx
c


的最小值为n．例如：求多项式
2
2
2
x
x


的最小
值，解：
2
2
2
2
2
2
2
2
1 1
(
1)
1
(
1)
0
(
1)
1 1
x
x
x
x
x
x
x










当
2
(
1)
0
x 

时，
2
(
1)
1
x 
的最
小值为1多项式
2
2
2
x
x


的最小值为1．根据上述方法，多项式
2
6
15
x
x


的最小值为
．
【答案】6
【分析】解：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式进行
计算即可．
【详解】解：
2
2
2
6
15
6
9
9 15
(
3)
6
6
x
x
x
x
x









，
当
2
(
3)
0
x 

时，
2
(
3)
6
x 

的最小值为6 ，
故多项式
2
6
15
x
x


的最小值为6 ．
故答案为：6 ．
12．（24-25 八年级上·湖南长沙·阶段练习）4 个数a、b、c、d 排列
a
b
c
d 我们称之为二阶行列式，规定它
的运算法则为
a
b
ad
bc
c
d 

，若
2
3
17
1
2
x
x
x
x





，则x 
【答案】2

【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式，多项式乘法，解一元一次方程等知识，正确弄清新
定义的运算规则是解题的关键．
32 / 37
依据新定义运算可得关于x 的方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：∵
a
b
ad
bc
c
d 

，
又∵
2
3
17
1
2
x
x
x
x





，
∴




2
2
3
1
17
x
x
x





，
即：8
16
x


，
解得：
2
x ，
故答案为：2
．
13．（24-25 八年级上·甘肃武威·阶段练习）若
2
4
4
x
x
m


是一个完全平方式，则m 
．
【答案】1
【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式的结构特点解答即可求解，掌握完全平方公式的结
构特点是解题的关键．
【详解】解：∵
2
4
4
x
x
m


是一个完全平方式，
∴


2
2
2
4
4
2
2
2
1 1
x
x
m
x
x





，
∴
21
1
m 
，
故答案为：1．
14．（24-25 八年级上·重庆石柱·期中）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m ，n 的平方差，且
1
m
n

，那么称这个正整数为“智慧数”．例如
2
2
16
5
3


，16就是一个“智慧数”，可以利用



2
2
m
n
m
n
m
n




进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3 个“智慧数”是
，第20 个“智
慧数”是
【答案】
15
52
【分析】本题考查了新定义，平方差公式的应用．根据新定义，利用平方差公式



2
2
m
n
m
n
m
n




，
找到m ，n 之间的关系，列举出结果，进而即可求解．
【详解】解：∵
1
m
n

，
∴
1
m
n

，
∴
2
m
n


，
当
2
m
n

时，
由

2
2
2
4
4
n
n
n



产生的“智慧数”为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，
64，68，72，76，80，L ，
当
3
m
n


时，
由

2
2
3
6
9
n
n
n




产生的“智慧数”为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，L ，
当
4
m
n


时，
33 / 37
由

2
2
4
8
16
n
n
n




产生的“智慧数”为：24，32，40，48，56，64，72，80，L ，
当
5
m
n


时，
由

2
2
5
10
25
n
n
n




产生的“智慧数”为：35，45，55，65，75，85，L ，
当
6
m
n


时，
由

2
2
6
12
36
n
n
n




产生的“智慧数”为：48，60，72，84，L ，
当
7
m
n


时，
由

2
2
7
14
49
n
n
n




产生的“智慧数”为：63，77，91，L ，
当
8
m
n


时，
由

2
2
8
16
64
n
n
n




产生的“智慧数”为：80，96，L ，
综上，将上述产生的“智慧数”从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，
39，40，44，45，48，51，52，56，57，60，63，64，65，68，69，L ，∴第3 个“智慧数”是15，第20 个
“智慧数”是52，
故答案为：15，52．
15．（23-24 八年级上·全国·课后作业）





2
4
8
32
3 2
1 2
1 2
1
2
1
1




的个位数是
．
【答案】6
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
原式中的3 变形为
2
2
1
，反复利用平方差公式计算即可得到结果．
【详解】解：原式





2
2
4
32
2
1 2
1 2
1
2
1
1











4
4
32
2
1 2
1
2
1
1





…



32
32
2
1
2
1
1




64
2
1 1


64
2

∵
12
2

，
2
2
4

，
3
2
8

，
4
2
16

，
5
2
32

，末尾是2，4，8，6 四个一组循环，
64
4
16


，
∴
64
2 的个位数是6，
即





2
4
8
32
3 2
1 2
1 2
1
2
1
1




的个位数是6，
故答案为：6．
三、解答题
16．（24-25 八年级上·吉林延边·期末）化简：




2
2
1
3
y
y
y
y





．
【答案】4
7
y 
34 / 37
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算多项式乘以多项式，以及平方差公式计算，再去括号，
然后合并同类项即可．
【详解】解；原式


2
2
4
3
3
y
y
y
y






2
2
4
3
3
y
y
y
y






4
7
y


．
17．（24-25 八年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值：




2
2
b
a
b
a
a a
b




，其中
1
a ，
1
b ．
【答案】
2
4b
ab

，3
【分析】此题考查了平方差公式和单项式乘以多项式以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先利用平方差公式和单项式乘以多项式法则化简，然后代数求解即可．
【详解】




2
2
b
a
b
a
a a
b




2
2
2
4b
a
a
ab




2
4b
ab


∵
1
a ，
1
b 
∴原式




2
2
4
4
1
1
1
3
b
ab






．
18．（23-24 八年级上·甘肃平凉·期末）阅读理解：
已知
5,
3
a
b
ab



，求
2
2
a
b

的值．
解：因为
5
a
b


，
所以
2
2
(
)
5
a
b


，即
2
2
2
25
a
ab
b



．
因为
3
ab 
，
所以
2
2
2
(
)
2
19
a
b
a
b
ab





．
参考上述过程解答下列问题：
(1)若
3,
2
x
y
xy


．
①
2
2
x
y

________；
②求
2
(
)
x
y

的值；
(2)已知
7
x
y


，
2
2
25
x
y


，求
2
(
)
x
y

的值．
【答案】(1)①5；②1；
(2)1
【分析】本题主要考查完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是关键．
（1）①根据材料提示，结合完全平方公式的变形计算即可；②根据完全平方公式的计算即可求解；
（2）运用完全平方公式的变形计算即可．
【详解】（1）解：①∵
3
x
y

，
∴

2
9
x
y


，即
2
2
2
9
x
xy
y



，
35 / 37
∵
2
xy ，
∴


2
2
9
2
9
2
2
5
x
y
xy






；
②∵

2
2
2
2
x
y
x
xy
y




，
∴

2
2
2
x
y
xy



，
由①可知，
2
2
5
x
y


，
∴原式


5
2
2
1


；
（2）∵
7
x
y


，
∴

2
49
x
y


，即
2
2
2
49
x
xy
y



，
∵
2
2
25
x
y


，
∴


2
2
2
49
49
25
24
xy
x
y






，
∵

2
2
2
2
x
y
x
xy
y




，
∴原式

2
2
2
25
24
1
x
y
xy





．
19．（24-25 八年级上·河北邢台·阶段练习）我们知道几个非负数的和等于0，只有这几个数同时等于0 才
成立，如
2
(
2)
|
3| 0




x
y
，因为
2
(
2) ,|
3|
x
y


都是非负数，则
2
0,
3
0
x
y




，求得
2,
3
x
y

，应
用知识解决下列各题：
（1）若
2
2
(
1)
(
2)
0
x
y




，则x ________，y _______；
（2）若
2
2
6
4
13
0
x
y
x
y




，求xy 的值；
（3）若
2
2
2
3
8
6
11
0
x
y
x
y





，求
2
(
)
x
y

的值．
【答案】（1）1,2

；（2）6
；（3）1
【分析】本题考查了完全平方公式，平分的非负性，掌握非负数的性质是解题的关键．
（1）根据平方的非负性得到
1
0
x 
，
2
0
y 

，进而求解即可；
（2）利用完全平方公式得到



2
2
3
2
0
x
y




，然后根据平方的非负性得到
3
0
x 

，
2
0
y 

，进而求
解即可；
（3）利用完全平方公式得到



2
2
2
2
3
1
0
x
y




，根据平方的非负性得到
2
0
x 

，
1
0
y 
，进而求解
即可．
【详解】（1）∵
2
2
(
1)
(
2)
0
x
y




∴
1
0
x 
，
2
0
y 

∴
1
x ，
2
y 
；
（2）∵
2
2
6
4
13
0
x
y
x
y





2
2
6
9
4
4
0
x
x
y
y





36 / 37
∴



2
2
3
2
0
x
y




∴
3
0
x 

，
2
0
y 

∴
3
x ，
2
y 
∴
3 2
6
xy 
；
（3）∵
2
2
2
3
8
6
11
0
x
y
x
y





∴
2
2
2
8
8
3
6
3
0
x
x
y
y





∴



2
2
2
2
3
1
0
x
y




∴
2
0
x 

，
1
0
y 
∴
2
x 
，
1
y 
∴



2
2
2 1
1
x
y



．
20．（24-25 八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读材料：若
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n





，求m 、n 的值．
解：∵
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n





，
∴


2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
n






∴



2
2
4
0
m
n
n




，
∴

2
0
m
n


，

2
4
0
n 

，
∴
4
n 
，
4
m 
．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知
2
2
2
2
6
9 0
x
xy
y
y



，求xy 的值；
(2)已知a 、b 、c 分别为
ABC
V
的三边长，且满足
2
2
8
10
41
0
a
b
a
b





，若c 是
ABC
V
的最大边长，且c
为奇数，求
ABC
V
的周长．
【答案】(1)9
(2)14 或16
【分析】此题主要考查了因式分解方法的应用和三角形的三条边之间的关系，解答此题的关键是掌握材料
中因式分解的方法，明确三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
（1）根据材料，将
2
2
2
2
6
9 0
x
xy
y
y



因式分解得：
2
2
(
)
(
3)
0
x
y
y




，可求出,x y 的值，继而可
求出结果；
（2）将
2
2
8
10
41
0
a
b
a
b





因式分解得：


2
2
8
16
10
25
0
a
a
b
b






，可求出,a b 的值，然后根据
三角形的三边关系和c 是
ABC
V
的最大边长，且c 为奇数，求得c 的值，即可得到结果．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
6
9
0
x
xy
y
y





，



2
2
2
2
6
9
0
x
xy
y
y
y







，
2
2
(
)
(
3)
0
x
y
y




，
37 / 37
0,
3
0
x
y
y




，
3,
3
x
y


，
( 3)
( 3)
9
xy



，
即xy 的值是9 ．
（2）解：
2
2
8
10
41
0
a
b
a
b





Q
，



2
2
8
16
10
25
0
a
a
b
b







，
2
2
(
4)
(
5)
0
a
b





，
4
0,
5
0
a
b





，
4,
5
a
b


，
5
4
5
4,
5
c
c





Q
，
5
9
c


，
又∵c 为奇数，
5
c

或
7
c ，
∴三角形ABC 的周长为4
5
5
14


或4
5
7
16


．