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专题11 排列组合与二项式定理
（新课标全国Ⅰ卷）1．某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课，学生需从这8 门课中选修2
门或3 门课，并且每类选修课至少选修1 门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．
【答案】64
【详解】（1）当从8 门课中选修2 门，则不同的选课方案共有
种；
（2）当从8 门课中选修3 门，
①若体育类选修课1 门，则不同的选课方案共有
种；
②若体育类选修课2 门，则不同的选课方案共有
种；
综上所述：不同的选课方案共有
种.
故答案为：64.
（新课标全国Ⅱ卷）2．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样
调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有400 名和200 名学生，
则不同的抽样结果共有（ ）．
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【答案】D
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取
人，高中部共抽取
，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有
种.
故选：D.
（全国乙卷数学(理)）3．甲乙两位同学从6 种课外读物中各自选读2 种，则这两人选读的课外读物中恰有
1 种相同的选法共有（ ）
A．30 种
B．60 种
C．120 种
D．240 种
【答案】C
【详解】首先确定相同得读物，共有
种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5 种读物里，选出两种进行排列，共有
种，
根据分步乘法公式则共有
种，
故选：C.
（全国甲卷数学（理））4．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两
1
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人参加服务，则恰有1 人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A．120
B．60
C．40
D．30
【答案】B
【详解】不妨记五名志愿者为
，
假设
连续参加了两天社区服务，再从剩余的4 人抽取2 人各参加星期六与星期天的社区服务，共有
种方法，
同理：
连续参加了两天社区服务，也各有
种方法，
所以恰有1 人连续参加了两天社区服务的选择种数有
种.
故选：B.
（新高考天津卷）5．在
的展开式中，
项的系数为_________．
【答案】
【详解】展开式的通项公式
，
令
可得，
，
则
项的系数为
.
故答案为：60.
1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）
的展开式中
的系数为（ ）
A．
B．10
C．
D．30
【答案】C
【详解】
可以看做个盒子，每个盒子中有
，
，
三个元素，
现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，
所以展开式中含
的项为
，
故展开式中
的系数为
.
故选：C.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴
阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中
有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，
从该正八边形的8 个顶点中任意取出4 个构成四边形，其中梯形的个数为（ ）
2
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A．8
B．16
C．24
D．32
【答案】C
【详解】梯形的上、下底平行且不相等，如图，
若以
为底边，则可构成2 个梯形，根据对称性可知此类梯形有16 个，
若以
为底边，则可构成1 个梯形，此类梯形共有8 个，
所以梯形的个数是16+8=24，
故选：C.
3．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）在
的展开式中，常数项为（ ）
A．1
B．3
C．6
D．12
【答案】C
【详解】因为
展开式的第
项为
，
令
，则
，
所以常数项为
.
故选：C.
4．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）第19 届亚运会将于2023 年9 月在杭州举行，在杭州亚运
会三馆（杭州奥体中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4 人预
约参观，且每人预约了1 个或2 个馆，则这4 人中每个馆恰有2 人预约的不同方案有（ ）
A．76 种
B．82 种
C．86 种
D．90 种
【答案】D
【详解】由题意知这4 人中恰有2 人均预约了2 个馆，剩下2 人均预约了1 个馆，
3
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首先将4 人分成2 组，有
种不同的分法，
下面分2 种情况：若预约2 个馆的2 人预约完全相同，有
种不同的结果；
若预约2 个馆的2 人有预约1 馆相同，有
种不同的结果，
所以每个馆恰有2 人预约的不同方案有
种．
故选：D.
5．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁
比克教授于1974 年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每
年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.已知经典三阶魔方（如图）自由转动之后的色块组合约
有4.3×1019种，现将下图已还原的魔方按5 步打乱，且每一步互相独立，则共有（ ）种打乱方式.
A．
B．
C．185
D．195
【答案】C
【详解】若以红色的一面为正面，分成三行三列，每一行可以左右旋转，每一列可以上下旋转，此时有
种旋转方式；
接着侧面（以绿色一面为例），每一列都可以上下旋转，此时有
种旋转方式，
故每一次旋转魔方，共有
种旋转方式，
所以按5 步打乱，且每一步互相独立，则共有185种打乱方式.
故选：C
6．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）安排A，B，C，D，E，F 共6 名义工照顾甲、乙、丙三位老人，
每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，则安排方法共有
（ ）种
A．60
B．61
C．62
D．63
【答案】A
【详解】义工
不安排照顾老人甲，
所以当义工
安排照顾乙时，
共有
种不同方法，
当义工
安排照顾丙时，
共有
种不同方法.
所以共有
种.
故选：A
4
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7．（2017·辽宁沈阳·校联考一模）
的展开式共（ ）
A．10 项
B．15 项
C．20 项
D．21 项
【答案】B
【详解】∵
，
由二项式定理可知，
展示式中共有
项，
∴
的展开式共有
项.
故选：B．
8．（2023·河南·校联考模拟预测）
的展开式中，
的系数等于（ ）
A．45
B．10
C．
D．
【答案】A
【详解】
的通项为
，
令
，解得
，
故
的系数等于
.
故选：A
9．（2023·广东·校联考模拟预测）某人从上一层到二层需跨10 级台阶，他一步可能跨1 级台阶，称为一阶
步，也可能跨2 级台阶，称为二阶步，最多能跨3 级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨了6 步，
而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（ ）种.
A．10
B．9
C．8
D．12
【答案】A
【详解】按题意要求，不难验证这6 步中不可能没有三阶步，也不可能有多于1 个的三阶步.
因此，只能是1 个三阶步，2 个二阶步，3 个一阶步.
为形象起见，以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越10 级台阶的过程：
白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步，
每一过程可表为3 个白球、2 个黑球、1 个红球的一种同色球不相邻的排列.
下面分三种情形讨论.
（1）第1、第6 球均为白球，则两黑球必分别位于中间白球的两侧，
此时，共有4 个黑白球之间的空位放置红球，所以此种情况共有4 种可能的不同排列；
（2）第1 球不是白球.
（i）第1 球为红球，则余下5 球只有一种可能的排列；
（ii）若第1 球为黑球，则余下5 球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列，
此种情形共有3 种不同排列；
5
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（3）第6 球不是白球，同（2），共有3 种不同排列.
总之，按题意要求从一层到二层共有
种可能的不同过程.
故选：A
10．（2023·河南驻马店·统考三模）在
的展开式中，
项的系数为（ ）
A．1680
B．210
C．－210
D．－1680
【答案】A
【详解】相当于在7 个因式中有3 个因式选
，有
种选法，
余下的4 个因式中有2 个因式选
，有
种选法，
最后余下2 个因式中选，把所选式子相乘即可得
项，
而
，所以
项的系数为
.
故答案为：A.
11．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知
，则下列描述
正确的是 （ ）
A．
B．
除以5 所得的余数是1
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A：令
得：
；令
，得
．
，因此A 错误；
对于B：
，因此B 正确
对于C：因为
二项展开式的通项公式为
，
由通项公式知，
二项展开式中偶数项的系数为负数，
所以
，
由
，令
，得到
，
令
，得到
，
所以
，因此C 错误
对于D：对原表达式的两边同时对
求导，
得到
，
令
，得到
，令
，得
6
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所以，
所以选项D 错误．
故选：B
12．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）为庆祝广益中学建校130 周年，高二年级派出甲､乙､丙､
丁､戊5 名老师参加“130 周年办学成果展”活动，活动结束后5 名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两
人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）种.
A．40
B．24
C．20
D．12
【答案】B
【详解】由题意得，5 名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，
先令丙、丁两人相邻用捆绑法
，再把丙、丁与戊排列在一起
，最后插空令甲、乙两人不相邻
,则
不同的排法共有
种.
故选：
.
13．（2023·山东泰安·统考模拟预测）若
，则
____.
【答案】
【详解】已知
，对式子两边同时求导，
得
，
令
，得
.
故答案为：240
14．（2023·云南保山·统考二模）春节（Spring Festival），即中国农历新年（Chinese New Year），俗称
“新春”“新岁”“岁旦”等，又称“过年”“过大年”，是集除旧布新、拜神祭祖、祈福辟邪、亲朋团
圆、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节.某商家在春节前开展商品促销活动，凡购物顾客都可以从“福”字、
春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4 名顾客都领取一件礼品，其中恰有2 人领取的礼品种
类相同，则不同的情况共有______种.
【答案】36
【详解】先选取2 人作为一组，领取相同礼品，共有3 组安排三种不同的礼品，
由分步乘法计数原理知，共有
种.
故答案为：36
15．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）
的展开式中
的系数为______．（用数
字作答）
【答案】
7
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【详解】因为
，
其中
展开式的通项公式为
（
且
），
所以
的展开式中含
的项为
，
所以
的展开式中
的系数为
．
故答案为：
16．（2023·广东·校联考模拟预测）已知
的二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为
______.（用数字作答）
【答案】240
【详解】因为
展开式的二项式系数之和为64，所以
，解得
，
则展开式中的通项公式为
，
令
，得
，所以常数项为
.
故答案为：240
17．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）甲、乙、丙3 所学校每所学校各派出两名同学，现从这六名同学
中任取两名，安排到甲、乙、丙3 所学校交流.每所学校至多安排一名同学，每名同学只能去一所学校且不
能去自己原先的学校，则不同的安排方法有________种.
【答案】42
【详解】若这两名同学选自同一个学校，则有
种安排方法；
若这两名同学选自两所不同学校有
种选法，
比如1，2 分别选自甲乙两所学校，则1 去乙，2 可去甲或丙校，若1 去丙校，则2 只能去甲校，即此时有
3 种方法安排学生，
故有
种安排方法.
综上有36+6=42 种安排方法.
故答案为：42
18．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）有3 男3 女共6 位高三同学在高考考场外合影留念．
若从这6 人中随机选取2 人拍双人照，则选中的2 人恰为1 男1 女的概率是__________．
【答案】
/
8
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【详解】设选中的2 人恰为1 男1 女为事件
，
故
，
故答案为：
.
19．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）在
的展开式中，二次项系数是___________.
（用数字作答）
【答案】
【详解】
，
即二次项系数是
.
故答案为：
.
20．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）一个圆的圆周上均匀分布6 个点，在这些点与圆心共7 个
点中，任取3 个点，这3 个点能构成不同的等边三角形个数为__________.
【答案】8
【详解】如图1，由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形，共有6 个；
如图2，由圆上相间隔的三点可构成等边三角形，共有2 个；
所以，7 个点中，任取3 个点，这3 个点能构成不同的等边三角形个数为
个.
故答案为：8.
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