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专题14 导数与函数的单调性
目录
01
思维导图
02
知识清单
03
核心素养分析
04
方法归纳
一 、函数单调性和导数的关系
函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.
1. 若f'(x)>0, 则函数y=f(x)在区间(a,b) 内单调递增.
2.若 f'(x)<0, 则函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减。
二 、函数图象的变化和导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范 围内变化得快，这时，
函数的图象就比较“陡峭”;如果一个函数在自变量的某一变化范围内导数的绝对值较小，那么函数在这个
范围内变化得慢，这时，函数的图象就“平缓”一些 .导数绝对值的大小反映了函数在某个区间内或某点
附近变化的快慢程度。
三、利用导数求函数单调区间的方法
方法一：当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0 或f′(x)<0 求出单调区间；（无参函数）
确定函数单调区间的步骤
①确定函数f(x)的定义域．
②求f′(x)．
③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为
单调递减区间．
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方法二：当导函数方程f′(x)＝0 可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确
定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间；
方法三：若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，
从而确定单调区间．
四、根据函数单调性求参数
方法一：由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；
方法二：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；
方法三：对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0．若f′(x)恒等于0，则参数的这
个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．
方法四：当函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题；当已知函数在某区间上不单调时，
则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题．
恒成立有解问题小结：
(1)已知可导函数f(x)在区间D 上单调递增，则在区间D 上f′(x)≥0 恒成立；
(2)已知可导函数f(x)在区间D 上单调递减，则在区间D 上f′(x)≤0 恒成立；
(3)已知可导函数f(x)在区间D 上存在增区间，则f′(x)>0 在区间D 上有解；
(4)已知可导函数f(x)在区间D 上存在减区间，则f′(x)<0 在区间D 上有解．
五、单调性的应用
1．比较大小：若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同一个单调区间上，再
进行比较．
2．利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构造的函数的单调性比较大小
或解不等式．
3．与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系
时，常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而
求解不等式．
本专题是高考中常考内容，通过导数研究函数的单调性，从而解决函数的有关问题。
导数是解决很多函数问题的桥梁，使很多复杂的函数通过求导变得有法可寻；或是其他问题通过构
造函数解决。高考中多以选填题，解答题前几题出现。
一、不含参数的函数的单调性
例1 (1)函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
2
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C．
D．
答案 A
分析 求出函数导数，解不等式即可得出递增区间.
解析 因为函数
，
所以
，
令
，解得
或
，
所以函数的单调递增区间为
.
故选：A
(2)函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 B
分析 求导，令
，利用导数求
的单调递减区间.
解析 由题意可知：
的定义域为
，且
，
令
，解得
，
所以函数
的单调递减区间是
.
故选：B.
[拓展]
1．函数
的单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 B
分析 通过求导，令导函数大于，即可求解.
解析 函数的定义域为
，
3
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，
令
，即
，解得
，
所以函数的单调递增区间为
.
故选：
.
2．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是 ．
答案
和
；
分析 根据导函数的图象得到导数大于零的
的取值范围，得解.
解析 设函数为
，由图象可得，当
，
，
所以函数
的单调区间是
和
.
故答案为：
和
.
3．已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则当
时，
的单调递
增区间为 ．
答案
分析 利用导数求当
时
的单调递增区间，再根据奇函数的对称性求得结果.
解析 当
时，
,
由
，解得
，所以
在区间
上单调递增，
因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以函数
图象关于原点对称，
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所以
在区间
上单调递增.
故答案为：
.
方法归纳： 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函
数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
二、含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．
解 函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝
＝.
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1.
①当0<a<1 时，>1，
∴x (0,1)
∈
和时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0,1)和上单调递增，
在上单调递减；
②当a＝1 时，＝1，
∴f′(x)≥0 在(0，＋∞)上恒成立，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当a>1 时，0<<1，
∴x∈和(1，＋∞)时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，
在上单调递减．
综上，当0<a<1 时，函数f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减；
当a＝1 时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1 时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
延伸探究 若将本例中参数a 的范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性？
解 当a>0 时，讨论同上；
当a≤0 时，ax－1<0，
∴x (0,1)
∈
时，f′(x)>0；x (1
∈
，＋∞)时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
综上，当a≤0 时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当0<a<1 时，函数f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减；
当a＝1 时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1 时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
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方法归纳： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
三、函数单调性的应用
命题点1 比较大小或解不等式
例3 (1)己知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 B
分析 构造
，利用导数证明
，代入
可比较
的大小，根
据对数函数的性质可判断
的大小，从而可求解.
解析 设
，则
，
所以
在
上单调递减，所以
，
所以
，所以
，即
，
所以
，即
，
所以
，即
.
由
，可得
，即
，即
，
所以
，即
.
综上所述，
.
故选:B.
(2)已知定义在
上的函数
满足
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
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答案 C
分析 构造函数
，利用导数说明其单调递增，将原不等式等价转换为
，由此即可
得解.
解析 令
，则
，
所以
在
上单调递增，
不等式
等价于
，
所以不等式
的解集为
.
故选：C.
[拓展]1. 已知
，设
，
，
，则
，
，
的大小关系
为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 C
分析 根据函数的奇偶性，以及构造函数利用导数求解单调性即可.
解析 当
时，由
得
，所以
为偶函数．
又
，
当
时，令
，则
，
所以
在
上单调递减，所以
，
即
，所以
在
上单调递减．
，
，
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所以
，
令
，
，则
，
因为
，所以
在
上单调递增，所以
，
即
，所以
，得
．
故
，从而
，即
.
故选：C．
2. 已知定义在
上的函数
的导函数为
，且
.对于任意的实数
，均有
成立，若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 D
分析 构造函数
，然后由已知可得
的单调性，最后将不等式转化为
，
即可得到答案.
解析
，令
，
则
，则
在
上单调递增.
由
，
为奇函数，得
，则
，
从而原不等式
可化为
，即
，此即为
.
由于
在
上单调递增，故这等价于
，所以不等式的解集为
.
故选：D.
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【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件.
命题点2 根据函数的单调性求参数的范围
例4 若函数
在
上单调递增，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
答案 D
分析 求导，转化为
，参变分离即可得解.
解析
，求导得
，
由
在
上单调递增，得
，
又当
，
，则
，
又
时，
在
上单调递增，
所以实数
的最大值为2.
故选：D．
[拓展]
1．函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 B
分析 先求得函数的导函数，进而求出其单调递减区间，再借助集合的包含关系即可求解.
解析 函数
的定义域为
，
求导得
，
令
，解得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
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又函数
在
上单调递减，所以
.
所以实数
的取值范围为
.
故选：B.
2．若对任意的正实数
，
，当
时，
恒成立，则
的取值范围
（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 A
分析 由
可得
，令
，则
在
上为减函数，即
在
上恒成立，求解即可.
解析
，又
，所以
，
所以
，
由已知对任意的
，
，且
时，
，
设
，则
在
上为减函数，
因为
，所以
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，所以
，所以
的取值范围为
．
故选：A．
方法归纳： 根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x (
∈a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，
f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
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