文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题14 等差数列性质归类
目录
题型一：定义法判断等差数列.............................................................................................................................................1
题型二：定义法求通项.........................................................................................................................................................2
题型三：等差中项.................................................................................................................................................................3
题型四：等差数列的“中点”性质.....................................................................................................................................4
题型五：an 与sn 的关系‘...................................................................................................................................................4
题型六：双等差数列sn 比值型...........................................................................................................................................5
题型七：等差数列型函数和.................................................................................................................................................6
题型八：奇数项与偶数项和型.............................................................................................................................................6
题型九：等差数列的函数性质：单调性.............................................................................................................................7
题型十：等差数列的函数性质：sn 最值............................................................................................................................8
题型十一：等差数列的函数性质：正负不等式型.............................................................................................................9
题型十二：等差数列的函数性质：恒成立型求参...........................................................................................................10
题型十三：等差数列的函数性质：范围型.......................................................................................................................10
题型十四：等差数列的函数性质：sn 与n 比值型...........................................................................................................11
题型十五：等差数列与三角函数.......................................................................................................................................12
题型十六：等差数列思维第19 题型综合.........................................................................................................................13
题型一：定义法判断等差数列
1．（2024·北京西城·三模）中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，
三个漏壶的上底宽依次递减1 寸（约3.3 厘米），下底宽和深度也依次递减1 寸.设三个漏壶的侧面与底面
所成的锐二面角依次为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三下·上海浦东新·期中）设
，记
，令有穷数列
为
零点的个数
，则有以下两个结论：
①存在
，使得
为常数列；②存在
，使得
为公差不为零的等差数列.那么（ ）
A．①正确，②错误
B．①错误，②正确
C．①②都正确
D．①②都错误
等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差
数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母
表示，定义表达式为
（常数）
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3．（23-24 高三上·北京海淀·阶段练习）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都
有应用.斐波那契数列
满足
，
.给出下列四个结论：
① 存在
，使得
，
，
成等差数列；
② 存在
，使得
，
，
成等比数列；
③ 存在常数，使得对任意
，都有
，
，
成等差数列；
④ 存在正整数
，且
，使得
.
其中所有正确的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．（21-22 浙江金华·阶段练习）已知各项均不为零的数列{an}，定义向量
.
下列命题中正确的是
A．若任意n∈N*总有cn⊥bn 成立，则数列{an}是等比数列
B．若任意n∈N*总有cn∥bn 成立，则数列{an}是等比数列
C．若任意n∈N*总有cn⊥bn 成立，则数列{an}是等差数列
D．若任意n∈N*总有cn∥bn 成立，则数列{an}是等差数列
5．（浙江·高考真题）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且
，
.（
）
若
A．
是等差数列
B．
是等差数列
C．
是等差数列
D．
是等差数列
题型二：定义法求通项
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1．（23-24 高二下·贵州·阶段练习）已知数列
满足
，数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列
各项为正数，
满足
，
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·山西·三模）已知数列
对任意
均有
.若
，则
（ ）
A．530
B．531
C．578
D．579
4．（2024·全国·模拟预测）已知
，数列
中，
，
，
为数列
的前
项
和，
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列
的前
项和为
，且满足
，则
（ ）
A．110
B．200
C．65
D．155
题型三：等差中项
方法
解读
适合题型
定义法
为同一常数 ⇔
是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
成立⇔
是等差数列
通项公式法
为常数）对任意的正整数
都成立
⇔
是等差数列
选择、填空题中的判
定问题
前
项和公式法
验证
为常数）对任意的正整数
都成立⇔
是等差数列
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1．（19-20 高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）
是公比不为1 的等比数列
的前n 项和，
是
和
的等
差中项，
是
和
的等比中项，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）已知
，在这两个实数
之间插入三个实数，使这五个数构成等
差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·四川成都·期末）若等比数列
的各项均为正数，且
成等差数列，则
（ ）
A．3
B．6
C．9
D．18
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列
满足
，则
（ ）
A．
B．5
C．5 或－5
D．
或
5．（2022·全国·模拟预测）设
，
，若
是
与
的等差中项，则
的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．9
D．12
题型四：等差数列的“中点”性质
1．（2024·新疆·二模）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二下·河南信阳·期末）数列
满足
，已知
，则
的前19 项
.等差中项的概念
若三个数
，
，
成等差数列，则
叫做
与
的等差中项，且有
．
等差数列“中点”性质
若{an}为等差数列，且m+n=p+q,则
，…仍是等差数列，公差为
．
4.
，…也成等差数列，公差为
．
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
和
（ ）
A．0
B．8
C．10
D．1
3．（23-24 高二下·湖北武汉·阶段练习）设
为等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．5
B．10
C．
D．15
4．（2024·全国·模拟预测）已知
为等差数列
的前n 项和，
，则
（ ）
A．100
B．250
C．500
D．750
5．（2021 全国模拟）等差数列
的前
项和为
，若
的值为常数，则下列各数中也是常数
的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
题型五：an 与sn 的关系‘
1．（2021·云南昆明·三模）已知数列
的前n 项和为
，
，
，则
（ ）
A．414
B．406
C．403
D．393
2．（22-23 高三上海金山·模拟）对于实数
，
表示不超过
的最大整数. 已知正数数列
满足
，
，其中
为数列
的前
项和，则
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）已知数列
的前
项和
（
为常数，且
），则“
是等差数列”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2023 高三·全国·专题练习）设
是数列
的前n 项和，且
，则下列选项错误的
是（ ）
A．
B．
C．数列
为等差数列
D．
－5050
5．（22-23 高三 重庆沙坪坝模拟）已知数列
的前
项和
，设
为数列
的
前
项和.若对任意的
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
，…也成等差数列，公差为
．
等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即
2
3
2
,
,
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
成等差数列
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
题型六：双等差数列sn 比值型
1．（23-24 高三·甘肃定西·阶段练习）已知两个等差数列
和
的前
项和分别为
和
，且
，则
（ ）
A．5
B．6
C．9
D．11
3．（23-24 高三·江西抚州模拟）已知等差数列
与
的前
项和分别为
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022 高三·全国·专题练习）已知Sn，Tn 分别为等差数列{an}，{bn}的前n 项和，
，设点A
是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且
，则实数λ 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（22-23 高三·内蒙古包头·模拟）等差数列{an}与{bn}的前n 项和分别为Sn 和Tn，若
＝
，则
等
于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高按吉林长春·模拟）若两个等差数列{an}、{bn}的前n 项和分别为An、Bn，且满足
，
则
的值为
A．
B．
C．
D．
题型七：等差数列型函数和
1．（2022 高三·全国·专题练习）已知数列
为等差数列，且
.设函数
，记
，则数列
的前13 项和为（ ）
A．
B．
C．7
D．13
若{
}
na
与{ }
nb
为等差数列，且前n 项和分别为
n
S 与
'
n
S
，则
2
1
2
1
'
m
m
m
m
a
S
b
S
.
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．（22-23 高三黑龙江哈尔滨·模拟）已知等差数列
的公差为2020，若函数
，且
，记
为
的前
项和，则
的值为
A．
B．
C．
D．
3．（20-21 高三江苏泰州·模拟）已知等差数列
的前9 项和18，函数
，则
的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
4．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知
是一个等差数列的前
项和，对于函数
，
若数列
的前
项和为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022 山东潍坊·模拟预测）已知等差数列
，公差不为0，若函数
对任意自变量x 都有
恒成立，函数
在[2,+ ∞)上单调，若
，则
的前500 项的和为（ ）
A．1010
B．1000
C．2000
D．2020
题型八：奇数项与偶数项和型
1．（23-24 高三·广东茂名·模拟）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为
，所有偶数
项的和为
，则此数列的项数是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（21-22 高三·上海徐汇·模拟）设等差数列的项数
为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高三·四川雅安·阶段练习）一个等差数列共有2n 项，奇数项的和与偶数项的和分别为24 和
30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（ ）
A．4
B．8
C．12
D．20
4．（2023·重庆·二模）已知等差数列
的前30 项中奇数项的和为
，偶数项的和为
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
设数列{
}
na
是等差数列，且公差为d ，
（1）若项数为偶数，设共有2n 项，则①
-
S
S
nd
奇
偶
； ②
1
n
n
S
a
S
a
奇
偶
；
（2）若项数为奇数，设共有2
1
n 项，则①S
S
偶
奇
na
a
中(中间项)；②
1
S
n
S
n
奇
偶
.
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
5．（23-24 高三·江苏南京·模拟）已知等差数列
的前
项和为
，公差为
，且
单调递增，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型九：等差数列的函数性质：单调性
1．（23-24 高三湖北·模拟）已知数列
的前
项和
（
为常数），则“
为递
增的等差数列”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（23-24 高三·江西·阶段练习）设
为等差数列
的前n 项和，则对
，
，是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2023·北京顺义·一模）已知
是无穷等差数列，其前项和为
，则“
为递增数列”是“存在
使得
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2022·北京·高考真题）设
是公差不为0 的无穷等差数列，则“
为递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（20-21 高三江苏无锡模拟）数列
是等差数列，
，数列
满足
，
，设
为
的前
项和，则当
取得最大值时，
的值等于（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
题型十：等差数列的函数性质：sn 最值
等差数列的增减性：
0
d
时为递增数列，且当
1
0
a
时前n 项和
n
S 有最小值．
0
d
时为递减数列，且当
1
0
a
时前n 项和
n
S 有最大值．
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1．（22-23 高三上·海南省直辖县级单位模拟）已知
是等差数列
前
项和，
，
，当
取得最小值时
（ ）．
A．2
B．14
C．7
D．6 或7
2．（22-23 高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设
为公差为
的无穷等差数列
的前
项和，则“
”是“数列
有最大项”的
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．（21-22 高三·上海浦东新·模拟）设
为等差数列
的前n 项和，若已知
，则下列叙述
中正确的个数有（ ）
①
是所有
中的最大值；②
是所有
中的最大值；
③公差
一定小于0 ④
一定小于
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．（22-23 高三湖北宜昌·阶段练习）已知数列
为等差数列，若
，且它们的前n 项和
有最大
值，则使得
的n 的最大值为
A．19
B．20
C．21
D．22
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在等差数列
中，
，且
，
是其前
项和，
则（ ）.
A．
都小于0，
都大于0
B．
都小于0，
都大于0
C．
都小于0，
都大于0
D．
都小于0，
都大于0
题型十一：等差数列的函数性质：正负不等式型
在处理等差数列
的前
项和
的最值时，往往转化为判定
的符号变化：
①若
，当
时，则当且仅当
最大；
②若
，当
时，则当且仅当
最小；
③若
最大，则
.
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1．（23-24 高三·陕西·阶段练习）设等差数列
的前n 项和为
，且
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．（23-24 高三浙江金华模拟）已知公差为
的等差数列
，
为其前
项和，若
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．（2022 浙江杭州·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，并满足：对任意
，都有
，则下列命题不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·重庆·模拟预测）若等差数列
的前n 项和为S ，且满足
，对任意正整数
，
都有
则
的值为（ ）
A．21
B．22
C．23
D．24
5．（22-23 高三·广东广州·模拟）已知数列
满足
，记数列
的前
项和
为
，若
对任意的
恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
在等差数列
中
（1）若
，则满足
的项数
使得
取得最大值
；
（2）若
，则满足
的项数
使得
取得最小值
．
即若
，则
有最大值（所有正项或非负项之和）；
若
，则
有最小值（所有负项或非正项之和）．
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
题型十二：等差数列的函数性质：恒成立型求参
1．（21-22 高三 ·福建南平·模拟）已知等差数列
满足
，
，
，若对任意正整数
，恒有
，则正整数
的值是（ ）
A．6
B．5
C．4
D．7
2．（23-24 高三 ·云南昆明·模拟）等差数列{an}的前n 项和为
，已知
，若
存在正整数k，使得对任意
，都有
恒成立，则k 的值为（ ）
A．19
B．20
C．21
D．22
3．（22-23 高三·广西河池·模拟）已知数列
满足
，数列
的前
项和为
，若
的最大值仅为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2021 高三·江苏·专题练习）对于数列
，定义
为数列
的“诚信”值，
已知某数列
的“诚信”值
，记数列
的前
项和为
，若
对任意的
恒成立，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高三·河北唐山·阶段练习）已知等差数列
的前n 项和为
，对任意
，均有
成
立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十三：等差数列的函数性质：范围型
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1．（22-23 高三·浙江·模拟）等差数列
的公差不为0，其前n 和
满足
，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（21-22 高三·北京西城·开学考试）已知等差数列
，
是数列
的前
项和，对任意的
，均
有
成立，则
的值不可能是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．（21-22 高二上·浙江·期末）已知等差数列
的前n 项和为 Sn ，首项 a1 =1，若
，
则公差 d 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·新疆昌吉·模拟预测）已知数列
满足
，且前
项和为
，若
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高二上·浙江金华·期中）已知数列
是公差不为0 的无穷等差数列，
是其前
项和，若
存在最大值，则（ ）
A．在
中最大的数是
B．在
中最大的数是
C．在
中最大的数是
在等差数列
中
（1）若
，则满足
的项数
使得
取得最大值
；
（2）若
，则满足
的项数
使得
取得最小值
．
即若
，则
有最大值（所有正项或非负项之和）；
若
，则
有最小值（所有负项或非正项之和）．
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
D．在
中最大的数是
题型十四：等差数列的函数性质：sn 与n 比值型
1．（23-24 高三 四川眉山·开学考试）在等差数列
中，
，其前
项和为
，若
，
则
（ ）
A．2 023
B．-2 023
C．-2 024
D．2 024
2．（22-23 高三·全国·开学考试）设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．18
B．36
C．40
D．42
3．（21-22 高三·安徽蚌埠·模拟）已知数列
是等差数列，其前n 项和为
，则下列说法错误的是
（ ）
A．数列
一定是等比数列
B．数列
一定是等差数列
C．数列
一定是等差数列
D．数列
可能是常数数列
4．（17-18 高三·甘肃张掖·模拟）在各项均为正数的等比数列
中，公比
，若
，
，数列
的前n 项和为Sn，则
取最大值时，n 的值为（ ）
A．8
B．8 或9
C．9
D．17
5．（15-16 高三·辽宁大连·模拟）设等差数列{an}满足:
,公
差
, 若当且仅当
时，{an}的前
项和
取得最大值,则首项
的取值范围
是
A．
B．
C．
D．
题型十五：等差数列与三角函数
1．（2023·江西南昌·模拟）设等差数列
满足：
，公差
．若当且仅当
时，数列
的前
项和
取得最大值，则首项
的取值范围是
若{
}
na
与{ }
nb
为等差数列，且前n 项和分别为
n
S 与
'
n
S
，则
2
1
2
1
'
m
m
m
m
a
S
b
S
.
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
2．（2022 广东深圳·模拟）已知等差数列
满足：
，
，公差
，则数列
的前
项和
的最
大值为
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江宁波·一模）设等差数列
满足：
，公差
，若当且仅当
时，
的前
项和取得最大值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 高三·江苏·专题练习）已知数列
是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项
的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是 ．
5．（21-22 高三·四川南充·模拟）等差数列
满足：
，
,且公差
，若当且仅当
时，数列
前
项和取得最大值，则
的取值范围是
．
题型十六：等差数列思维第19 题型综合
1．（24-25 高三上·河北·开学考试）定义二元数
，将所有的二元数按照从小
到大排列后构成数列
.
(1)求
；
(2)对于给定的
，是否存在
，使得
，
成等差数
列？若存在求出满足的条件；若不存在，请说明理由；
(3)若
，求
.
2．（24-25 高三上·安徽亳州·开学考试）已知数列
，对于任意的
，都有
，则称数
列
为“凹数列”．
(1)判断数列
是否为“凹数列”，请说明理由；
(2)已知等差数列
，首项为4，公差为
，且
为“凹数列”，求
的取值范围；
(3)证明：数列
为“凹数列”的充要条件是“对于任意的
，当
时，有
”．
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3．（24-25 高三 ·广东·阶段练习）已知数列
的前三项均为，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
的各项均为正整数，且
．
（ⅰ）若
，
，证明：
为等差数列；
（ⅱ）若
，
为递增等差数列，求
的最小值．
4．（24-25 高三上·湖北武汉·开学考试）若有穷数列
满足：
且
，则称其为“
阶
数列”.
(1)若“6 阶
数列”为等比数列，写出该数列的各项；
(2)若某“
阶
数列”为等差数列，求该数列的通项
（
，用
表示）；
(3)记“
阶
数列”
的前
项和为
，若存在
，使
，试问：
数列
能否为“
阶
数列”？若能，求出所有这样的数列
；若不能，请说明理由.
15
