《2026初高衔接》[第七讲]——充要条件与量词命题_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》教师版

66
夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
7
充要条件与量词命题
充要条件与量词命题
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
充要条件
能准确区分三类条件，借助集合关
系推导条件逻辑
逻辑推理、数学抽象
量词与恒成立
会否定量词命题，掌握恒成立题型
的参数分析方法
逻辑推理、数学运算
一充要条件
命题
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”的
形式．其中p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．
1 (★☆☆☆☆)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
(1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形
( ü )
(2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等
( û )
(3) 若x2- 4x + 3 = 0，则x ＝１
( û )
(4) 若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l，则a ∥b
( ü )
将命题“若p，则q” 中的条件p 和结论q 互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原
命题的逆命题．
2 (★☆☆☆☆)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等
( ü )
(2) 若两个三角形全等，则两个三角形周长相等
( û )
(3) 若一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝０有两个不相等的实数根，则ac < 0
( û )
(4) 若A ∪B 是空集，则A 与B 均是空集
( ü )
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p ⇒q，又有q ⇒p，就记作p ⇔q
67
夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
充要条件
对于一个“若p，则q”的命题，我们将p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．若存在：
①条件p结论q，则称p 是q 的充分条件；
②结论q条件p，则称p 是q 的必要条件．
则有四类条件形式：
p ⇒q，q ⇏p：p 是q 的充分不必要条件；
q ⇒p，p ⇏q：p 是q 的必要不充分条件；
p ⇒q，q ⇒p：p 是q 的充要条件；
p ⇏q，q ⇏p：p 是q 的既不充分也不必要条件．
命题结果唯一性判定法
命题语句：“若×××，则×××”，则×××的×××要与题目所给的一致，出现多结果情况，则
该推断过程不成立．我们称为唯一性判断
例：x = 1 ⇒|x| = 1，由|x| = 1 可得x =±1，结果不唯一，故x = 1 是|x| = 1 的充分不必要条件．
不等式判定法
设满足p 的解集为集合P，满足q 的解集为集合Q：
范围大小规律：
小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围．即：
①若P ⊊Q，即p ⇒q，q ⇏p 时，p 是q 的充分不必要条件；
②若Q ⊊P，即q ⇒p，p ⇏q 时，p 是q 的必要不充分条件；
③若P = Q，则p ⇔q，p 与q 互为充要条件．
例：x > 2 （小范围）⇒x > 1 （大范围），反之不成立，故x > 2 是x > 1 的充分不必要条件.
充要条件的判定方法
3 (★★☆☆☆)已知全集U = R，集合P = {x x-5
x+2 <0


，集合Q = {x|a + 1 ≤x ≤2a + 1}．
(1) 若a = 3，求P ∩(∁UQ)；
(2) 若“x ∈P”是“x ∈Q”必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
(1) ∵a = 3，∴Q = {x|4 ≤x ≤7}，则∁UQ = {x|x < 4，或x > 7}，
又P = {x x-5
x+2 <0


= {x| -2 < x < 5}，
∴P ∩(∁UQ) = {x| -2 < x < 4}；
(2) ∵“x ∈P”是“x ∈Q”必要不充分条件，∴Q ⊊P，
则
a+1≤2a+1
a+1>-2
2a+1<5





，解得0 ≤a < 2．
∴实数a 的取值范围是[0，2)．
68
夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
1
(★☆☆☆☆)设x ∈R，则“x < 1”是“0 < x < 1”的
( B )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
∵{x|0 < x < 1} ⊊{x|x < 1}，∴“x < 1”是“0 < x < 1”的必要不充分条件．故选：B．
2
(★☆☆☆☆) P：(x + 8) (x + 2) = 0 是q：x = 2 的
( C )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件
D. 充要条件
若(x + 8) (x + 2) = 0，解得x =-8 或x =-2，所以得不到x = 2，即充分性不成立，当x =
2 时，则(x + 8) (x + 2) = (2 + 8) (2 + 2) ≠0，所以必要性不成立．故选：C．
3
(★☆☆☆☆)集合M 与N，M ⊆N 是M ∩N = M 的
( C )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
M ⊆N，则M ∩N = M，故充分性成立，M ∩N = M，则M ⊆N，故必要性成立，
故M ⊆N 是M ∩N = M 的充要条件，故选：C．
4 若x ∈R，下列选项中，使x2- 2x - 3 < 0 成立的充分不必要条件为
( C )
A. - 1 < x < 3
B. - 1 ≤x ≤3
C. - 1 < x < 2
D. - 2 < x < 3
解不等式x2- 2x - 3 < 0，得-1 < x < 3，A = {x| -1 < x < 3}，记使不等式x2- 2x - 3 <
0 成立的充分不必要条件为集合B，则集合B 为集合A 的真子集，所以B = {x| -1 < x < 2}．
5
(★★☆☆☆)“|2x + 1| < 5”是“x2< 3”成立的
( B )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件
D. 充分必要条件
由|2x + 1| < 5，得-5 < 2x + 1 < 5，解得-3 < x < 2；由x2< 3，得- 3 < x <
3．
因为- 3 < x <
3 ⇒-3 < x < 2，必要性成立，-3 < x < 2 推不出- 3 < x <
3，充分性不成立，
所以“|2x + 1| < 5”是“x2< 3”成立的必要不充分条件．
6
(多选•★★☆☆☆)若x2- x - 2 < 0 是-2 < x < a 的充分不必要条件，则a 的值可以是
( BCD )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
由x2- x - 2 < 0，解得-1 < x < 2. ∵x2- x - 2 < 0 是-2 < x < a 的充分不必要条件，
∴(-1,2) (-2，a)，∴a ≥2. ∴实数a 的值可以是2,3,4.
7
(★★☆☆☆)方程ax2 + 2x + 1 = 0，(a ≠0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是
( C )
A. a < 0
B. a > 0
C. a <-1
D. a > 1
ax2 + 2x + 1 = 0，(a ≠0) 有一个正根和一个负根的充要条件是x1 × x2 = 1
a < 0，即a < 0，
而a < 0 的一个充分不必要条件是a <-1 故选：C．
69
夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
8
(★★☆☆☆)已知集合A = {x|(x - a) (x + a + 1) ≤0}，B = {x|x ≤3 或x ≥6}．
(1) 当a = 4 时，求A ∩B；
(2) 当a > 0 时，若“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件，求实数a 的取值范围．
(1) 当a = 4 时，
A = {x|(x - a) (x + a + 1) ≤0} = {x|(x - 4) (x + 5) ≤0} = {x| -5 ≤x ≤4}，
又∵B = {x|x ≤3 或x ≥6}，
∴A ∩B = {x| -5 ≤x ≤3}．
(2) 当a > 0 时，A = {x|(x - a) (x + a + 1) ≤0} = {x| -a - 1 ≤x ≤a}，
∵x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∴A ⊆B，
∵B = {x|x ≤3 或x ≥6}，
∴a ≤3 或-a - 1 ≥6，又∵a > 0，
∴0 < a ≤3，
∴实数a 的取值范围为(0，3]．
9
(★★☆☆☆)已知p：A = {x|x2- 8x - 20 ≤0}，q：B = {x|1 - m ≤x ≤1 + m} (m > 0)．
(1) 是否存在实数m，使p 是q 的充分条件，若存在，求出m 的范围；
(2) 是否存在实数m，使p 是q 的必要条件，若存在，求出m 的范围．
(1)A = [-2，10]．
若p 是q 的充分条件，则1-m≤-2
10≤1+m

，m > 0，解得：m ≥9．
∴m 的取值范围是[9，+∞)．
(2) 若p 是q 的必要条件，则-2≤1-m
1+m≤10

，m > 0，解得0 < m ≤3．
∴m 的取值范围是(0，3]．
70
夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
二量词与恒成立
全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫
做全称量词命题．即：全称命题p：“∀x ∈Μ，p(x) 成立”．
恒成立
在研究范围内，自变量的所有取值都能使某一条件(方程、不等式) 成立，这样的描述称为“恒成立”
存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命
题，叫做存在量词命题．即：特称命题p：“∃x0 ∈Μ，p(x0) 成立”．
成立
在研究范围内，自变量的部分(至少一个) 取值使某一条件(方程、不等式) 成立，这样的描述称为“成立”
二次不等式的恒成立条件
ax2+ bx + c > 0 恒成立的条件是
a>0
Δ<0

ax2+ bx + c < 0 恒成立的条件是
a<0
Δ<0

成立与恒成立的翻译
对于一个含参结构h(m,x) > 0 的翻译：(h(m,x) 表示整个不等式带有两个字母：m 和x)
①参变分离：将参数摆在左侧，变量摆在右侧，如：m > g(x) 恒成立
②翻译恒成立：m > g(x) 恒成立m > g(x)
max
m < g(x) 恒成立m > g(x)
min
命题的否定
全称命题的否定是特称命题，将∀改为∃，再否定结论．特称命题的否定是全称命题，将∃改为∀，
再否定结论．原命题与其否定真假性相反．
初识成立与恒成立
4 (★★★☆☆)若存在x ≥0，y ≥0，且3x + y = 1，使不等式
3
x+1 +
4
y+1 < m2 - 2m - 3 能成立，则实
数m 的取值范围是
( D )
A. (-4，2)
B. (-∞，-4) ∪(2，+∞)
C. (-2，4)
D. (-∞，-2) ∪(4，+∞)
∵
3
x+1 +
4
y+1 < m2 - 2m - 3 能成立，所以
3
x+1 +
4
y+1


min < m2 - 2m - 3．
又因为x ≥0，y ≥0，3x + y = 1，所以3(x + 1) + (y + 1) = 5 所以
3
x+1 +
4
y+1 = 1
5
3
x+1 +
4
y+1


[3
(x + 1) + (y + 1)] = 1
5 13+ 3(y+1)
x+1
+ 12(x+1)
y+1




≥5 当且仅当y+1
x+1 = 4(x+1)
y+1
，即x = 0，y = 1 时等
号成立，所以5 < m2- 2m - 3，即m2- 2m - 8 > 0，所以m <-2 或m > 4．
71
夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
10 (★☆☆☆☆)用全称量词“∀”或存在量词“∃”改写下列命题，并判断真假．
(1) 任意实数的绝对值都是正数
(2) 自然数的平方都大于零
(1) ∀x ∈R，使得|x| > 0，假命题；
(2) ∀x ∈N，使得x2> 0，假命题；
(3) 有些实数是整数
(4) 非零实数的零次幂都是1
(3) ∃x ∈R，x ∈Z，真命题；
(4) ∀x ≠0，x0= 1，真命题；
(5) 某些无理数的平方仍是无理数
(6) 所有矩形都是平行四边形
(5) ∃x 为无理数，x2仍是无理数，真命题；
(6) ∀矩形都是平行四边形，真命题；
11 (多选•★☆☆☆☆)下列命题中真命题有
(
AB
)
A. p：∀x ∈R，x2- x + 1
4 ≥0；
B. q：所有的正方形都是矩形；
C. r：∃x ∈R，x2+ 2x + 2 ≤0；
D. s：至少有一个实数x，使x2+ 1 = 0．
Ax2 - x + 1
4 = x- 1
2


2
≥0，正确，B 所有的正方形都是矩形，正确，
C x2+ 2x + 2 = (x + 1)2+ 1 ≥1，错误，D x2≥0，则不存在实数x，使x2+ 1 = 0，错误，
12 (★☆☆☆☆)命题“∀x > 1，x2- 1 > 0”的否定形式是
( C )
A. ∀x > 1，x2- 1 ≤0
B. ∀x ≤1，x2- 1 ≤0
C. ∃x > 1，x2- 1 ≤0
D. ∃x ≤1，x2- 1 ≤0
“∀x > 1，x2- 1 > 0”的否定形式是“∃x > 1，x2- 1 ≤0”
13 (★☆☆☆☆)命题“∃x ∈R，x2- x - 2 ≤0”的否定是
( C )
A. ∀x ∈R，x2- x - 2 ≤0
B. ∃x ∈R，x2- x - 2 ≤0
C. ∀x ∈R，x2- x - 2 > 0
D. ∃x ∈R，x2- x - 2 < 0
命题“∃x ∈R，x2- x - 2 ≤0”的否定是“∀x ∈R，x2- x - 2 > 0”
14 (★★☆☆☆)若命题“∀x ∈R，x2- x + m ≥0”是假命题，则实数m 的取值范围是
( B )
A. {m m≤1
4


B. {m m< 1
4


C. {m m> 1
4


D.
m m≥1
4



若命题∀x ∈R，x2- x + m ≥0 是假命题，则命题∃x ∈R，x2- x + m < 0 是真命题，
所以Δ = 1 - 4m > 0，得m < 1
4 ．B．
15 (★★☆☆☆)命题“∃x ∈R，1
2 x2 + x - 3
2 - a < 0”为真命题，则实数a 的取值范围
( C )
A. a ≥0
B. a ≥1
C. a >-2
D. a ≥-2
根据题意，不等式1
2 x2 + x - 3
2 - a < 0 的解集非空，
二次函数y = 1
2 x2 + x - 3
2 - a 的图象与x 轴一2 个交点，得Δ = 1 - 4 × 1
2 × - 3
2 -a


> 0，得a >-2．
72
夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
16 (★★☆☆☆)不等式(a - 2)x2+ 2(a - 2)x - 4 < 0 对一切实数恒成立，则实数a 的取值范围是
( D )
A. [-2，2]
B. (-∞，2)
C. (-∞，-2)
D. (-2，2]
当a = 2 时，原不等式即为-4 < 0，恒成立，即a = 2 满足条件；当a ≠2 时，要使不等式
(a - 2)x2 + 2(a - 2)x - 4 < 0 对一切实数恒成立，必须a-2<0
Δ=4(a-2)2+16(a-2)<0

解得，-2 < a < 2．综上
所述，a 的取值范围是-2 < a ≤2，
17 (多选•★★☆☆☆)若对于任意实数x，不等式(a - 1)x2- 2(a - 1)x - 4 < 0 恒成立，则实数a 可能是
( ABD )
A. - 2
B. 0
C. - 4
D. 1
当a = 1 时，不等式为-4 < 0 恒成立，满足题意；
当a ≠1 时，要满足a-1<0
Δ<0

，因为Δ = 4(a - 1)2+ 16(a - 1) = 4(a - 1) (a + 3)，
所以解Δ < 0，得-3 < a < 1；综上，实数a 的取值范围是(-3，1]；
对比选项得，实数a 可能是-2，0，1．
18 (★★★☆☆)若关于x 的不等式x2- (m + 1)x + 9 ≤0 在[1，4] 上有解，则m 的最小值为
( B )
A. 9
B. 5
C. 6
D. 21
4
由题意得(m + 1)x ≥x2+ 9 有解，
即m + 1 ≥x + 9
x 有解，即m + 1 ≥x+ 9
x


min，
因为1 ≤x ≤4 时，x + 9
x ≥2
x⋅9
x = 6，当且仅当x = 3 时取等号，故m ≥5．
19 (★★★☆☆)若不等式(ax - 2) (x - b) ≥0 对任意的x ∈R 恒成立，则a + 2b 的最小值为
( C )
A. 3
B. 2 2
C. 4
D. 3 2
不(ax - 2) (x - b) ≥0 恒成立，ax2- (ab + 2)x + 2b ≥0 对任意的x ∈R 恒成立，
当a = 0 时，不等式化为-2x + 2b ≥0，这不可能对任意x ∈R 恒成立，
当a ≠0 时，则a>0
Δ=(ab+2)2-4a×2b≤0

得ab = 2，因为a > 0，b > 0，
所以a + 2b ≥2 2ab = 4，当且仅当a = 2b，即a = 2，b = 1 时，等号成立，所以a + 2b 的最小值为4．
20 (★★★☆☆)不等式(x - m) (x2- nx - 2) ≥0 对任意x > 0 恒成立，则m2+ n2的最小值为
( A )
A. 4 2 - 4
B. 4
C. 4 2
D. 4 2 + 2
当x = m 时，(x - m) (x2 - nx - 2) = 0，若m ≤0，当x > 0 时，要使不等式(x - m) (x2 -
nx - 2) ≥0 对任意x > 0 恒成立，则y = x2- nx - 2 ≥0 对任意x > 0 恒成立，
当x = 0 时，y =-2 < 0 不满足题意，所以m > 0，且x = m 是方程x2- nx - 2 = 0 的一个正根，
将x = m 代入x2- nx - 2 = 0 可得m2- mn - 2 = 0，即n = m2-2
m
= m - 2
m ，
则m2 + n2 = m2 + m- 2
m


2
= 2m2 + 4
m2 - 4 ≥2
2m2⋅4
m2 - 4 = 4 2 - 4，
当且仅当2m2 = 4
m2 时，即n = 0，m =
2 时，等号成立，所以m2+ n2的最小值为4 2 - 4．
73
夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
21 (★★★☆☆)已知x，y 均为正实数，且1
x + 2
y = 4，若2x + y > m2 - m 恒成立，则实数m 的取值
范围是
( D )
A. m <-2 或m > 1
B. - 2 < m < 1
C. m <-1 或m > 2
D. - 1 < m < 2
根据1
x + 2
y = 4，可得1
4
1
x + 2
y


= 1，
所以2x + y = 1
4 (2x + y) 1
x + 2
y


= 1
4
4+ y
x + 4x
y


≥1
4
4+2
y
x ⋅4x
y


= 2，
当且仅当y
x = 4x
y ，即x = 1
2 ，y = 1 时等号成立，
若不等式2x + y > m2- m 恒成立，则m2- m < 2，解得-1 < m < 2．
22 (★★★★☆)已知函数y = ax2+ bx + c．
(1) 关于x 的不等式ax2 + bx + c < 0 的解集为{x| -1 < x < 3}，求关于x 的不等式bx2 - a(c - 2)x - 3a2 ≥
0 的解集；
(2) 已知a > 0，b > 0，当x = 2 时，y = 2ab + c，
i


若存在正实数a，b，使不等式t2 + 3t - a - b
2 > 0 有解，求t 的取值范围；
ii


求
4b
b-2 + 16a
a-1 的最小值．
(1) ∵ax2+ bx + c < 0 的解集为{x| -1 < x < 3}，∴
a>0，
-1+3=- b
a
-1×3= c
a ，







，即
a>0
b=-2a
c=-3a





所以不等式bx2- a(c - 2)x - 3a2≥0 可转化为-2ax2- a(-3a - 2)x - 3a2≥0，
又a > 0，所以2x2- (3a + 2)x + 3a ≤0，即(2x - 3a) (x - 1) ≤0，
当3
2 a > 1，即a > 2
3 时，解得1 ≤x ≤3
2 a；
当3
2 a = 1，即a = 2
3 时，解得x = 1；
当3
2 a < 1，即0 < a < 2
3 时，解得3
2 a ≤x ≤1，
(2) 因为当x = 2 时，y = 2ab + c，所以4a + 2b + c = 2ab + c，即2a + b = ab，所以1
a + 2
b = 1，
i


若存在正实数a，b，使不等式t2 + 3t - a - b
2 > 0 有解，则t2+ 3t > a+ b
2


min，
a + b
2 = a+ b
2


1
a + 2
b


= 2 + 2a
b + b
2a ≥2 + 2
2a
b ⋅b
2a = 4，
当且仅当2a
b = b
2a ，即a = 2，b = 4 时，a+ b
2


min = 4，
所以t2+ 3t > 4，解得t <-4 或t > 1，即t 的取值范围是(-∞，-4) ∪(1，+∞)．
ii


由2a + b = ab，可得(a - 1) (b - 2) = 2，
所以
4b
b-2 + 16a
a-1 = 4(b-2)+8
b-2
+ 16(a-1)+16
a-1
= 20 + 8
1
b-2 +
2
a-1


= 20 + 8(a+2b-5)
(a-1)(b-2) = 20 + 4(a + 2b - 5) = 4(a + 2b)
= 4(a + 2b) 1
a + 2
b


= 4 5+ 2b
a + 2a
b


≥4 5+2
2b
a ⋅2a
b


= 36，
当且仅当2b
a = 2a
b ，即a = b = 3 时，等号成立，所以
4b
b-2 + 16a
a-1 的最小值为36．
74
夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★☆☆☆☆)“x > 1”是“ 1
x < 1”的
( A )
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要
充分性：当x > 1 时，有1
x < 1，所以充分性满足；当1
x < 1 时，x > 1 或x < 0，不一定
满足x > 1，所以必要性不满足；所以x > 1 是1
x < 1 的充分非必要条件．故选：A．
2 (★☆☆☆☆)若已知条件p：x ≤1，条件q：x2- 6x + 5 ≥0，则p 是q 的
( A )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
x2- 6x + 5 ≥0 ⇔(x - 1) (x - 5) ≥0，得x ≥5 或x ≤1，
显然{x|x ≤1} ⊊{x|x ≥5 或x ≤1}，则p 是q 的充分不必要条件．
3 (多选•★★☆☆☆)下列命题为真命题的是
( ABD )
A. “∃x ∈Z，x4< 0”是存在量词命题
B. ∀x ∈R，9x2≥0
C. ∃x ∈N，3x2- 4x + 1 < 0
D. “全等三角形面积相等”是全称量词命题
“∃x ∈Z，x4 < 0”是存在量词命题，A 为真命题；∀x ∈R，9x2 ≥0，B 为真命题；因
为由3x2- 4x + 1 < 0 得1
3 < x < 1，故C 为假命题；“全等三角形面积相等”是全称量词命题，D 为真命题．
4 (★★★☆☆)若不等式ax2 + bx + c > 0 的解集为{x - 1
2 <x<3


，则x2 + b
a x + c
a < 0 成立的一个
必要不充分条件是
( D )
A. - 1
2 < x < 3
B. - 1
2 < x < 0
C. - 3 < x < 1
2
D. - 1 < x < 6
由题- 1
2 与3 是方程ax2 + bx + c = 0 的两个根，且a < 0，- 1
2 + 3 =- b
a ，- 1
2 × 3 =
c
a ，x2 + b
a x + c
a < 0 可化为x2 - 5
2 x - 3
2 < 0，得- 1
2 < x < 3，四个选项中，只有D 满足{x - 1
2 <x<3


⊊{x| -1 < x < 6}，x2 + b
a x + c
a < 0 成立的必要不充分条件是D 选项．选：D．
5 (★★★☆☆)若不等式(ax - 1) (x - b) ≥0 对任意的x ∈R 恒成立，则4a + b 的最小值为
( B )
A. 2 2
B. 4
C. 5
D. 4 2
不等式(ax - 1) (x - b) ≥0 可化为ax2- (ab + 1)x + b ≥0，
当a = 0 时，不等式为x ≤b，不满足对任意的x ∈R 恒成立；
当a < 0 时，y = ax2- (ab + 1)x + b，图象开口向下，不满足题意，
所以a > 0，且Δ = (ab + 1)2- 4ab ≤0，即ab = 1，且a > 0，b > 0；
所以4a + b ≥2 4a⋅b = 4，当且仅当4a = b，即a = 1
2 ，b = 2 时等号成立，所以4a + b 的最小值为4．
75
夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
6 (★★☆☆☆)设集合A = {x|x2- 2mx + m2- 1 ≤0}，B = {x|x2- 4x - 5 ≤0}．
(1) 若m = 5，求A ∩B．
(2) 若“x ∈A”是“x ∈B”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
x2- 2mx + m2- 1 ≤0，解得m - 1 ≤x ≤m - 1，∴A = [m - 1，m + 1]．
由x2- 4x - 5 ≤0，解得-1 ≤x ≤5，∴B = [-1，5]．
(1)m = 5 时，A = [4，6]，∴A ∩B = [4，5]．
(2) ∵“x ∈A”是“x ∈B”的充分不必要条件，∴A ⊊B．
∴-1≤m-1
m+1≤5

，且等号不能同时成立．
解得：0 ≤m ≤4．∴实数m 的取值范围是[0，4]．
7 (★★★☆☆)记命题p：对任意x ∈[-2，2]，不等式-x2 - m2 + 5m ≥0 恒成立，命题q：存在x ∈
(0，3]，使得不等式x2- mx + 1 < 0 成立．
(1) 若p 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2) 若命题p 与命题q 一真一假，求实数m 的取值范围．
(1) 因为p 为真命题，
所以对任意x ∈[-2，2]，不等式-x2- m2+ 5m ≥0 恒成立
所以-m2+ 5m ≥(x2)max，其中x ∈[-2，2]，
所以-m2+ 5m ≥4，解得1 ≤m ≤4，所以m 的取值范围[1，4]；
(2) 若q 为真命题，即存在x ∈(0，3]，使得不等式x2- mx + 1 < 0 成立，
则存在x ∈(0，3]，使得m > x + 1
x 成立，即m > x+ 1
x


min，其中x ∈(0，3]，
又x + 1
x ≥2
x⋅1
x = 2，当且仅当x = 1 时取等，则m > 2，
因为p，q 一真一假，所以p 为真命题，q 为假命题或p 为假命题，q 为真命题，
若p 为真命题，q 为假命题，则1≤m≤4
m≤2

，所以1 ≤m ≤2；
若p 为假命题，q 为真命题，则m<1或m>4
m>2

，所以m > 4．
综上，1 ≤m ≤2 或m > 4，
所以m 的取值范围为[1，2] ∪(4，+∞)．