专题1.2 常用逻辑用语
一、核心知识
1.充分条件与必要条件
（1）充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p 是q 的充分条件
q 是p 的必要条件
p 不是q 的充分条件
q 不是p 的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
（2）充要条件：如果“若
，则
”和它的逆命题“若
，则
”均为真命题，即既有
，又有
，就记作
.此时，
既是
的充分条件，也是
的必要条件，我们说
是
的充分必要条
件，简称充要条件。
2.全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“
”表示．
（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
符号表示：通常，将含有变量
的语句用
，
，
，…表示，变量
的取值范围用
表示，
那么，全称量词命题“对
中任意一个
，
成立”可用符号简记为
3.存在量词与存在量词命题
（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“
”表示．
（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
符号表示：存在量词命题“存在
中的元素
，使
成立”可用符号简记为
4.命题的否定
（1）对命题p 加以否定，得到一个新的命题，记作“
”，读作“非p”或p 的否定．
（2）全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“
”的否定是存在量词命题：
．
（3）存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“
”的否定是全称量词命题：
．
（4）命题与命题的否定的真假判断：
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
（5）常见正面词语的否定：
正面词语
等于（＝）
大于（＞）
小于（＜）
是
都是
p
q
q
p
p
q
q
p
p
q
p
q
q
p
q
x
p x
q x
r x
x
M
M
x
p x
,
x
M p x
M
x
p x
,
x
M p x
p
,
x
M q x
,
x
M
q x
,
x
M q x
,
x
M
q x
否定
不等式（≠）
不大于（≤）
不小于（≥）
不是
不都是
正面词语
至多有一个
至少有一个
任意
所有
至多有n 个
否定
至少有两个
一个都没有
某个
某些
至少有n+1 个
二、考点聚焦
考点一：充分条件和必要条件
经典例题：
1．（2023·重庆·模拟预测）若p 是q 的必要不充分条件，q 的充要条件是r，则r 是p 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】p 是q 的必要不充分条件，q 的充要条件是r，则有
，则
，又由
，可得
,则r 是p 的充分不必要条件.故选：A
2．（2023·上海宝山·二模）若
：
，
：
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由题意可得：
：
，显然
可以推出
，但
不能推出
，所以
是
的必
要非充分条件.故选：B.
3.（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当
时，
，即
，故
，
解得
.故“
”是“
”的充分不必要条件.故选：A
4．（2023·全国Ⅰ卷）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数列，则
甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】甲：
为等差数列，设其首项为
，公差为
，则
,
,
q
p p
q q
r
r
q
p
p
q
p
r
2
4
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2,4 ,
3, 1
a
b
2
k
a
kb
a
kb
a
kb
a
kb
0
a
kb
a
kb
2
2
2
0
a
k b
2
2
2
2
2
2
4
3
1
0
k
2
k
2
k
a
kb
a
kb
n
S
na
n
na
{
}
n
S
n
na
1a
d
1
(
1)
,
2
n
n n
S
na
d
，因此
为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，
乙：
为等差数列，即
为常数，设为，即
，则
，有
，两式相减得：
，即
，对
也成立，因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正
确.故选：C
5．（2023·全国·模拟预测）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解不等式
得
或
，记
，因为AB，所以“
”是“
”的充分不必要条件．故选：A
6．（2021·上海徐汇·二模）对于实数
，
，
且
是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若“
且
”则“
”成立，当
，
时，满足
，但
且
不成
立，故
且
”是“
”的充分非必要条件．故选：A．
7．（2023·四川成都·模拟预测）使
成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．x<2 D．
【答案】B
【解析】由
得
，所以“
”是“
”的即不充分也不必要条件，故A 错误；“
”是“
”的充分不必要条件，故B 正确；“
”是“
”的即不充分也不必要条件，
故C 错误；“
”是“
”的充要条件，故D 错误.故选：B.
1
1
1
1
,
2
2
2
1
2
n
n
n
S
S
S
n
d
d
d
a
d
n
a
n
n
n
{
}
n
S
n
{
}
n
S
n
1
1
1
(
1)
1
(
1)
(
1)
n
n
n
n
n
n
S
S
nS
n
S
na
S
n
n
n n
n n
t
1
(
1)
n
n
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S
t
n n
1
(
1)
n
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S
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t n n
1
(
1)
(
1),
2
n
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S
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n
1
(
1)
2
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n
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a
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n
a
tn
1
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a
t
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na
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x
2
4
3
0
x
x
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0
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x
3
x
1
x
,1
3,
,
,1
A
B
1
x
2
4
3
0
x
x
x
y
1
x
2
y
3
x
y
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x
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y
3
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y
5
x
1
y
3
x
y
1
x
2
y
1
x
2
y
3
x
y
2
1
x
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x
0
2
x
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2
x
2
1
x
0
2
x
1
3
x
2
1
x
0
2
x
2
1
x
2
x
2
1
x
0
2
x
2
1
x
8．（2024·海南省·模拟预测）（多选）已知集合
，集合
，能使
成立
的充分不必要条件有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【详解】
当且仅当
是
的子集，当且仅当
，即
，对比选项可知使得
成立
的充分不必要条件有
，
.故选：CD.
9．（2022·江苏连云港·二模）若不等式
的一个充分条件为
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】若不等式
的一个充分条件为
，则
，
所以
，解得
.则实数
的取值范围是
.故选：D.
10．（2022·山西晋中·二模）已知条件p：
，q：
，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，所以
⫋
，则m≤－1，故选：D.
强化训练：
1．（2023·江苏无锡·模拟预测）设
，
，
，
是四个命题，
是
的必要不充分条件，
是
的充分
不必要条件，
是
的充分必要条件，那么
是
的 条件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不
充分又不必要四选一）
【答案】充分不必要
【详解】因为
是
的必要不充分条件，所以
，但
，
是
的充分不必要条件，所以
，
但
A，
是
的充分必要条件，所以
，但
D，所以
，但
D，故
是
的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.
3
A
x x
1
B
x x
m
A
B
A
0
m
1
m
3
m
4
m
A
B
A
A
B
1
3
m
2
m≥
2
m≥
3
m
4
m
1
1
a
x
a
0
1
x
a
0
a
0
a
1
a
1
a
1
1
a
x
a
0
1
x
0,1
1,
1
a
a
0
1
1
1
1 1
a
a
a
a
1
a
a
1
a
1
1
x
x
m
1
|
m m
|
1
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| 1
0
m
m
|
1
m m
| 1
1
x
x
|
x x
m
A
B
C
D
A
B
A
C
D
B
D
C
A
B
B
A
AB
A
C
A
C
C
D
B
D
B
B
D
B
A
C
C
D
C
2．（2024·安徽淮北·一模）记
是等差数列
的前
项和，则“
是递增数列”是“
是递增数
列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若
是递增数列，则公差
，所以
，
故
，所以
为递增数列，若
为递增数列，则
，则
，故
，所以
是递增数列，故“
是递
增数列”是“
是递增数列”的充要条件，故选：C
3．（2024·浙江台州·一模）设
，
是两个不同的平面，a，b 是两条不同的直线，且
，
，则
“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由
，
，则
，又
，所以
，故“
”是“
”的充分条件.当满足
，
，
时，直线
可能平行，可能相交，也可能异面.故“
”不是“
”的必要
条件.
故选：A
4．（2024·湖南株洲·一模）已知函数
定义域为
为常数，则“
”是“
为
在
上最大值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
n
S
na
n
na
n
S
n
na
0
d
1
1
1
1
1
2
2
2
2
n
n n
d
na
n
d
S
d
d
a
n
a
n
n
1
1
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2
2
2
2
n
n
S
S
d
d
d
d
d
d
n
a
n
a
n
n
-
n
S
n
n
S
n
1
1
1
2
2
2
n
n n
d
na
S
d
d
n
a
n
n
1
0
1
2
n
n
S
S
d
n
n
0
d
na
na
n
S
n
a
b
/ /
a
b
a
/ /
a
b
b
b
//
a b
a
b
,a b
/ /
a
b
f x
,I M
,
x
I
M
x
f
M
f x
I
【答案】B
【详解】由函数的最值的定义知，由
，无法推出
为
在
上最大值，而
为
在
上最大值，则必有
.故选：B.
5．（2024·广东深圳·一模）已知向量
，则“
”是“
与
的夹角为钝角”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由已知可得
，由
可得
，解得
，所以由
与
的夹角为钝角可
得
解得
，且
.因此，当
时，
与
的夹角不一定为钝角，则充分性不成立；
当
与
的夹角为钝角时，
，且
，即
成立，则必要性成立.综上所述，“
”是“
与
的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选：B．
6．（2023·海南·模拟预测）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】由
，可得
，解得
，即解集为
，又由
，可得
，解得
，即解集为
，因为集合
为集合
的真子集，所以
是
的充分不必要条件.故选：A.
7．（2024·河南郑州·一模）“
或
”是“圆
与圆
存在
公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
,
x
I f
x
M
M
f x
I
M
f x
I
,
x
I f
x
M
3,3 ,
, 2
a
b
x
2
x
a
b
3
6
a b
x
a b
2
3
3x
2
x
a
b
3
6
0
2
a b
x
x
2
x
2
x
2
x
a
b
a
b
2
x
2
x
2
x
2
x
a
b
R
x
2 2
8
2
1
x
x
lg
3
0
x
2 2
8
2
1
x
x
2
2
8
0
x
x
2
4
x
( 2,4)
A
lg
3
0
x
3
1
x
2
x
( 2,
)
B
A
B
2 2
8
2
1
x
x
lg
3
0
x
5
a
5
a
2
2
1 :
1
C
x
y
2
2
2
)
(
2 )
36
:(
C
x
a
y
a
【详解】圆
的圆心为
，半径
，圆
的圆心为
，半径
，所以两圆的圆心距为
，两圆内含时，即
，解得
，所以当两圆有公切线时，
或
，所以“
或
”是“圆
与圆
存在公
切线”的充要条件．故选：C．
8．（2025·北京丰台·二模）已知关于
的方程
的两实根为
，则“
”是
“关于
的不等式
的解集为
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】充分性的判断：
若
，则
或
，
当
时，关于
的方程
有两个相等的实数根，则
，因为二次函数
开口向上，所以关于
的不等式
的解集为
；
当
时，关于
的方程
有两个不相等的实数根，不妨设
，因为二次函数
开口向上，所以关于
的不等式
的解集为
.所以，由“
”不能推
出“关于
的不等式
的解集为
”，充分性不成立.
必要性的判断：
若关于
的不等式
的解集为
，因为二次函数
开口向上，所以
，
又因为关于
的方程
有两个实数根
，则
，则
，必要性成立.综上，“
”是“关于
的不等式
的解集为
”的必要不充分条件.
1
C
0,0
1
1
r
2
C
,2
a
a
2
6
r
2
2
2
1
2
4
5
d
C C
a
a
a
2
5
6 1
a
5
5
a
5
a
5
a
5
a
5
a
2
2
1 :
1
C
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y
2
2
2
)
(
2 )
36
:(
C
x
a
y
a
x
2
0
,
x
bx
c
b c
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1
2
,
x x
1
2
x
x
x
2
0
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c
1
2
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x
1
2
x
x
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1
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x
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x
2
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x
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c
2
4
0
b
c
2
y
x
bx
c
x
2
0
x
bx
c
1
2
x
x
x
2
0
x
bx
c
1
2
x
x
2
y
x
bx
c
x
2
0
x
bx
c
1
2
,
x
x
1
2
x
x
x
2
0
x
bx
c
x
2
0
x
bx
c
2
y
x
bx
c
2
4
0
b
c
x
2
0
x
bx
c
1
2
,
x x
1
2
x
x
1
2
x
x
1
2
x
x
x
2
0
x
bx
c
故选：B.
9．（2024·吉林延边·一模）若
，则p 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】p：
，即
且
，解得
或
，所以p：
或
，对于
A，
是p 的既不充分也不必要条件；对于B，
即
或
，是p 的必要不充分条件；对
于C，
即
或
，是p 的充分不必要条件；对于D，
是p 的充分不必要条件；故选B.
10．（2023·湖南邵阳·二模）已知集合
，
．若“
”是“
”的充分不必
要条件，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】若“
”是“
”的充分不必要条件，则
，所以
，解得
，即
的取值范围是
.故选：B.
考点二：量词命题及其否定
经典例题：
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知命题
，
，则
是 .
【答案】
【详解】由
，
可得：
.故答案为：
.
2．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
2
:
0
1
x
p
x
1
2
x
1
x
2
x >
2
5
x
2
0
1
x
x
≤
(2
)(
1)
0
x x
1
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
2
x
1
x
1
x
1
x
2
x >
<
2
x
2
x
2
5
x
2,5
A
1,2
1
B
m
m
x
B
x
A
m
,3
2,3
2,3
x
B
x
A
B
A
1
2
1
1
2
2
1
5
m
m
m
m
2
3
m
m
2,3
:
R
p
x
2
1
x
p
0
0
,2
1
x
x
R
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R
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x
2
1
x
0
0
:
,2
1
x
p
x
R
0
0
,2
1
x
x
R
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
【详解】命题“
”的否定是“
，
”.故选：C.
3．（2024·全国·模拟预测）命题“
，函数
在
上单调递增”的否定为（ ）
A．
，函数
在
上单调递减
B．
，函数
在
上不单调递增
C．
，函数
在
上单调递减
D．
，函数
在
上不单调递增
【答案】B
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“
，函数
在
上单调递
增”的否定为“
，函数
在
上不单调递增”．故选：B．
4．（2024·全国Ⅱ卷）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题 B．
和q 都是真命题 C．p 和
都是真命题 D．
和
都是真命题
【答案】B
【详解】对于
而言，取
，则有
，故
是假命题，
是真命题，对于
而言，取
，
则有
，故
是真命题，
是假命题，综上，
和
都是真命题.故选：B.
5．（23-24 高三上·山西吕梁·阶段）若命题：“
”为假命题，则实数
的取值范围
为 ．
【答案】
【详解】因为“
”为假命题，所以“
”为真命题，即方程
没有实数根，所以
，故
，所以
的取值范围为
.故答案为：
1,
2
x
x
1
x
2
x
1
a
a
f x
x
,a
1
a
a
f x
x
,a
1
a
a
f x
x
,a
1
a
a
f x
x
,a
1
a
a
f x
x
,a
1
a
a
f x
x
,a
1
a
a
f x
x
,a
x
R
|
1| 1
x
0
x
3x
x
p
q
p
q
p
=
1
x
1
0
1
x
p
p
q
1
x
3
31
1
x
x
q
q
p
q
2
R,4
2
0
x
x
x
m
m
1 ,
4
2
R,4
2
0
x
x
x
m
2
R,4
2
0
x
x
x
m
2
4
2
0
x
x
m
4 16
0
m
1
4
m
m
1 ,
4
.
6．（2019·四川乐山·一模）若命题“
”是假命题，则实数m 的范围是 ．
【答案】
【详解】命题
是假命题，即命题的否定为真命题，其否定为
，
则
，解得：
.故实数m 的范围是：
．故答案为：
.
7．（2022·河南·模拟预测）命题“
，使
”是假命题，则实数
的取值范围为
．
【答案】
【详解】命题“
，使
”是假命题，则命题
，
恒
成立为真命题，所以当
时，
，不恒成立，当
时，需满足
可得
，
解得
，故
的范围为
．故答案为：
．
8．（2024·辽宁·三模）若“
，使
”是假命题，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为“
，使
”是假命题，所以“
，
”为真命
题，其等价于
在
上恒成立，又因为对勾函数
在
上单调递减，在
上
单调递增，所以
，所以
，即实数
的取值范围为
.故答案为：
.
1 ,
4
2
0
0
0
,
0
x
x
x
m
R
1 ,
4
2
0
0
0
,
0
x
x
x
m
R
2
0
0
0
,
0
x
x
x
m
R
1 4
0
m
1
4
m
1 ,
4
1 ,
4
0x
R
2
0
0
3
0
mx
m
x
m
m
3,
0x
R
2
0
0
3
0
mx
m
x
m
x
R
2
3
0
mx
m
x
m
0
m
3
0
x
0
m
0
Δ
0
m
2
2
0
3
4
0
m
m
m
3,
m
m
3,
3,
0,
x
2
4
0
x
ax
a
,4
0,
x
2
4
0
x
ax
0,
x
2
4
0
x
ax
4
a
x
x
0,
4
f x
x
x
(0,2]
[2,
)
min
2
4
f x
f
4
a
a
,4
,4
9.（2024·湖北武汉·高三期末）若命题“
，
”是假命题，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【解析】若命题“
，
”是真命题，可得
即可；易知
在
上单调递增，所以
，可得
；又因为该命
题是假命题，所以可得
，即实数
的取值范围是
.故答案为：
10.（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于
，
”为真命题，写出符合条件的
的一个
值为 ．
【答案】
（答案不唯一）
【解析】对于
，
，当
时，对于
，
，则
可取任意负数，如
；
故答案为：
.
强化训练：
1．（2024·湖南邵阳·一模）命题“
”的否定为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据全称命题或者特称命题的否定，所以
的否定为
，
故选：D.
2．（2022 秋·新疆伊犁·高三期中）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据全称命题的否定，可得
.故选：A.
0
π π
,
8 6
x
0
tan2
2
x
m
m
3,
0
π π
,
8 6
x
0
tan2
2
x
m
0
min
tan 2
2
x
m
0
tan 2
2
y
x
0
π π
,
8 6
x
0
min
π
tan 2
2
tan 2
2
3
8
x
3
m
3
m
m
3,
3,
0,
x
e
1
x
ax
a
1
0,
x
e
1
x
a<0
0,
x
1 1
ax
a
1
1
2
,
4
6
0
x
x
x
R
2
,
4
6
0
x
x
x
R
2
,
4
6
0
x
x
x
R
2
,
4
6
0
x
x
x
R
2
,
4
6
0
x
x
x
R
2
,
4
6
0
x
x
x
R
2
,
4
6
0
x
x
x
R
0,
1
1.
x
x
a
0,
1
1.
x
x
a
0,
1
1.
x
x
a
0,
1
1.
x
x
a
0,
1
1.
x
x
a
0,
1
1
x
x
a
3．（2025·广东佛山·模拟预测）已知命题p：
，
，命题q：“
”是“
”的充分
不必要条件，则（ ）
A．
假q 假
B．p 真
假
C．p 假q 真
D．p 真q 真
【答案】A
【详解】命题p：因为当
时，
成立，所以p 为真命题，
为假命题．命题q：“
”是“
”的既不充分也不必要条件，所以q 为假命题．故选：A.
4．（2025·四川·模拟预测）已知命题p：
，
，命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题 B．
和q 都是真命题 C．p 和
都是真命题 D．
和
都是真命题
【答案】D
【详解】对于p，取
，则有
，故p 是假命题，
是真命题；对于q，
，则
，故q 是假命题，
是真命题.综上，
和
都是真命题.故选：D.
5．（2025·辽宁辽阳·二模）已知命题
，命题
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】A
【详解】由
，得
是真命题，
是假命题；当
时，
，则
，则
是真命题，
是假命题．综上，
和
都是真命题.故选：A
6．（2021·辽宁·模拟预测）（多选）已知命题
：
，
，若
为真命题，则
的值可
以为（ ）
A．
B．
C．0
D．3
【答案】BCD
【详解】
命题
：
，
，
为真命题，即
有根，当
时，
成
0x
R
0 1
1
1
2
x
a
b
2
2
a
b
p
q
0
0
x
1
1
2
p
a
b
2
2
a
b
x
R
sin x
x
0
x
3
0
x
x
p
q
p
q
1
x
sin
1
1
p
3
2
1
0
x
x
x x
0
x
q
p
q
2
:
,
1
p
x
x
x
R
2
:
0,
q
x
x
x
p
q
p
q
p
q
p
q
2
2
1
x
x
x
x
p
p
1
2
x
2
2
1
,
2
4
x
x
2
0,
x
x
x
q
q
p
q
p
0x
R
2
0
0
4
4
0
ax
x
p
a
2
1
p
0x
R
2
0
0
4
4
0
ax
x
p
2
4
4
0
ax
x
0
a
=
1
x
立，当
时，需满足
，解得
且
，
的取值范围为
，故选BCD．
7．（2023·海南·模拟预测）若
，使得
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，使得
，又因为
，所以
，所以实数
的取值范围为
．故选：B.
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）若命题“
,
”是假命题，则
不能等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意，知原命题的否定“
,
”为真命题.令
,
,解得
.故选:C.
9．（2022·湖北·模拟预测）（多选）给定命题
，都有
.若命题
为假命题，则实数
可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】由题意，命题
，有
成立，由命题
为假命题，则命题
为真命题，
所以
或
，由
，
，
，
.故选：ABC.
10．（2024·辽宁·模拟预测）命题
：存在
，使得函数
在区间
内单调，若
的否定为真命题，则
的取值范围是 .
【答案】
0
a
2
( 4)
4
( 4)
0
a
1
a
0
a
a
[ 1,
)
R
x
2
3
x
a
, 3
3,
,0
0,
x
R
2
3
x
a
2
min
3
3
x
3
a
a
3,
1,3
a
2
2
2
0
ax
a
x
x
1
0
1
2
3
1,3
a
2
2
2
0
ax
a
x
2
( )
(
)
2
2
f a
x
x a
x
2
2
(1)
2 0
(3) 3
2 0
f
x
x
f
x
x
2
1
3
x
:
p
x
m
2
10
x
p
m
1
2
3
4
0
:
p
x
m
2
0
10
x
p
p
2
0
10
m
m
0,
10
m
m
21
1
2
2
4
2
3
9
2
4
16
p
1,1
m
2
2
f x
x
mx
,a
p
a
, 1
【解析】命题p 的否定为：任意
，使得函数
在区间
内不单调，由函数
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，而
，得
，故答
案为：
三、达标检测
《常用逻辑用语》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．（2023·全国·模拟预测）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解不等式
得
或
，记
，因为AB，所以“
”是“
”的充分不必要条件．故选：A
2．（2025·辽宁辽阳·二模）已知命题
，命题
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】A
【详解】由
，得
是真命题，
是假命题；当
时，
，则
，则
是真命题，
是假命题．综上，
和
都是真命题.故选：A
3．（2021·上海徐汇·二模）对于实数
，
，
，且
是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若“
且
”则“
”成立，当
，
时，满足
，但
且
不成
1,1
m
2
( )
2
f x
x
mx
[ ,
)
a
2
( )
2
f x
x
mx
,m
,
m
a
m
1,1
m
1
a
, 1
立，故
且
”是“
”的充分非必要条件．故选：A．
4．（2023·海南·模拟预测）若
，使得
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，使得
，又因为
，所以
，所以实数
的取值范围为
．故选：B.
5．（2022·江苏连云港·二模）若不等式
的一个充分条件为
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】若不等式
的一个充分条件为
，则
，所以
，
解得
.则实数
的取值范围是
.故选：D.
6．（22-23 高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若命题：“
，使
”是真命题，则实数m
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为“
，
”是真命题，所以
，解得
.故选：C.
7．（12-13 高三下·四川·阶段练习）已知命题“
，使
”是假命题，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为命题“
，使
”是假命题，所以
恒成立，所以
，解得
，故实数
的取值范围是
．故选：B．
8．（2025·广西桂林·一模）“
，使
”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【详解】当
时，
有解；当
时，二次函数
开口向上，所以
有解；当
时，
有解，则
，解得
；综
上可得
；因为
真包含于
，所以“
，使
”的一个充分不必要条
件是
.故选：C.
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．（2022·湖北·模拟预测）给定命题
，都有
.若命题
为假命题，则实数
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】由题意，命题
，有
成立，由命题
为假命题，则命题
为真命题，
所以
或
，由
，
，
，
.故选：ABC.
10．（2021·辽宁·模拟预测）已知命题
：
，
，若
为真命题，则
的值可以为
（ ）
A．
B．
C．0
D．3
【答案】BCD
【详解】
命题
：
，
，
为真命题，即
有根，当
时，
成
立，当
时，需满足
，解得
且
，
的取值范围为
，故选：
BCD．
11．（2024·海南省·模拟预测）已知集合
，集合
，能使
成立的充分
不必要条件有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【详解】
当且仅当
是
的子集，当且仅当
，即
，对比选项可知使得
成立
的充分不必要条件有
，
.故选：CD.
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12．（2023·江苏无锡·模拟预测）设
，
，
，
是四个命题，
是
的必要不充分条件，
是
的充分
不必要条件，
是
的充分必要条件，那么
是
的 条件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不
充分又不必要四选一）
【答案】充分不必要
【详解】因为
是
的必要不充分条件，所以
，但
，
是
的充分不必要条件，所以
，
但
A，
是
的充分必要条件，所以
，但
D，所以
，但
D，故
是
的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.
13．（2022·河南·模拟预测）命题“
，使
”是假命题，则实数
的取值范围
为 ．
【答案】
【详解】命题“
，使
”是假命题，则命题
，
恒
成立为真命题，所以当
时，
，不恒成立，当
时，需满足
可得
，
解得
，故
的范围为
．故答案为：
．
14．（23-24 高三上·河南·阶段练习）若命题“
，
”为假命题，则
的取值
范围为 .
【答案】
【详解】由题意可知，命题“
，
”为真命题.当
时，可得
.
若
，则有
，符合题意；若
，则有
，解得
，不符合题意；当
时，
则
，解得
.综上，
的取值范围是
.故答案为：
.
答题卡
班级：
姓名：
总分：
题号:
1
2
3
4
5
6
7
8
答案:
A
A
A
B
D
C
B
C
题号:
9
10
11
题号:
12
13
14
答案:
ABC
BCD
CD
答案:
充分不必要
