文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题15 等比数列性质归类
目录
题型一：等比数列定义.........................................................................................................................................................1
题型二：等比数列通项公式.................................................................................................................................................2
题型三：等比数列an 与sn 的关系...................................................................................................................................3
题型四：构造等比数列求通项公式.....................................................................................................................................4
题型五：等差等比“纠缠数列”.........................................................................................................................................5
题型六：等比数列“指数型中点”特性.............................................................................................................................6
题型七：等比数列单调性.....................................................................................................................................................7
题型八：不定方程型计算.....................................................................................................................................................8
题型九：等比数列不等关系“平衡点”.............................................................................................................................9
题型十：前n 项和的“等距”性.......................................................................................................................................10
题型十一：等比数列最值型...............................................................................................................................................11
题型十二：性质求范围型...................................................................................................................................................12
题型十三：数列与导数.......................................................................................................................................................13
题型十四：等比数列综合...................................................................................................................................................14
题型一：等比数列定义
1．（23-24 高三上·山东·阶段练习）记非常数数列
的前n 项和为
，设甲：
是等比数列；乙：
（
，1，且
），则（ ）
A．甲是乙的充要条件
B．甲是乙的充分不必要条件
等比数列判定方法
(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0 的常数)⇔数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．甲是乙的必要不充分条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
2．（22-23 高二下·辽宁鞍山·阶段练习）数列
的前n 项和
，则
（ ）
A．是等差数列
B．是等差数列也是等比数列
C．是等比数列
D．既不是等差数列又不是等比数列
3．（2023·河南郑州·二模）已知正项数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·新疆喀什·模拟预测）已知等比数列
的前n 项和为
，且
，则
（ ）
A．54
B．93
C．153
D．162
5．（21-22 高三下·北京·开学考试）若数列
满足
，则“
，
，
”是“
为
等比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
题型二：等比数列通项公式
1．（24-25 高三上·广东·阶段练习）已知数列
满足
，前n 项和为
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）数列{an}满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三·辽宁辽阳·模拟）若等比数列{an}满足
，则其公比为（ ）
等比数列公式
(1) 通项公式：an＝a1q n － 1 ；
(2)前n 项和公式：Sn＝
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三·全国·模拟）在公比q 为整数的等比数列
中，
是数列
的前n 项和．若
，
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．数列
是等比数列
C．
D．数列
是公差为2 的等差数列
5．（23-24 高二下·山东青岛·阶段练习）已知数列
满足
，
，数列
是公比为2 的
等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：等比数列an 与sn 的关系
1．（2024·全国·模拟预测）记
为数列
的前n 项和，则“
为等比数列”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2．（21-22 高三重庆沙坪坝·模拟）设等比数列
的前
项和为
，
，若不等式
对任意的
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
3．（22-23 高三·浙江绍兴·模拟）已知等比数列
的前
项和为
，则点列
在同一坐标平
涉及到an 与sn 组合型递推，一般情况下，可以借助通项an 与前n 项和Sn 的关系再写一个做差，消去sn
再递推求解。
通项an 与前n 项和Sn 的关系是：
an＝
等比数列前n 项和
(2)数列{an}是等比数列，Sn＝
，Sn 为
型线性指数函数。
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
面内不可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（21-22 高三·黑龙江绥化·模拟）已知数列
的前n 项和为
，q 为常数，则“数列
是等比数列”
为“
”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
5．（21-22 高三河南·阶段练习）设数列
的前n 项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：构造等比数列求通项公式
等比数列求通项公式：
1. 如果sn 有，则Sn 为
型线性指数函数。
2.
（
为常数）型递推式可构造为形如
的等比数列.
3.倒数变换法，适用于
（
为常数）可以取倒数，构造新的递推公式
即
型，解法回归到构造等比数列技巧中
4. 如果是前n 项积
可以类比前n 项和求通项过程来求数列前n 项积：
（1）.n=1，得a1
（2）.n
时，
所以
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1．（21-22 高三·浙江台州·模拟）已知数列
满足：
，
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
一定为无穷数列
B．
不可能为常数列
C．若
，则
可能小于1
D．若
，则
2．（24-25 高三全国·模拟）已知数列
满足递推公式
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三·云南大理·阶段练习）已知数列
满足：
，且
，则下列
说法错误的是（ ）
A．存在
，使得数列
为等差数列
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，数列
是等比数列
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列
满足
，数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（20-21 高三·海南海口·阶段练习）已知函数
的定义域为(0,+∞)，当
时，
；对任
意的
，
成立.若数列
满足
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：等差等比“纠缠数列”
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1．（2023·四川南充·模拟预测）若
分别是
与
的等差中项和等比中项， 则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（21-22 高三·黑龙江齐齐哈尔·模拟）
是公比不为1 的等比数列
的前n 项和，
是
和
的等差
中项，
是
和
的等比中项，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（14-15 高三·广东东莞·模拟）已知
，
，
是
、
的等差中项，正数
是
、
的等比中项，那么
、
、
、
的从小到大的顺序关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（10-11 高三·福建三明·阶段练习）△
中，角
成等差，边
成等比，则△
一定是
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
5．（21-22 高三宁夏银川·阶段练习）若四个正数
成等差数列，
是
和
的等差中项，
是
和
的等比中项，则
和
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：等比数列“指数型中点”特性
1．（23-24 高三·北京·模拟）等比数列
的公比为
，则“
”是“
”的（ ）
等差等比“纠缠数列”：等差数列某些项成等比，或者等比数列某些项成等差。
1.一般情况下，等差中“纠缠等比”，设等差首项和公差列方程。
2.一般情况下，等比中“纠缠等比”，设等比首项和公比列方程。
等比数列“指数型中点”性质：
（1)“指数型中点”技巧：若p＋q＝m＋n，则ap· a q＝
a m· a n，特别地，若p＋q＝2k，则ap· a q＝
a k
2；
(2)“跳项”等比：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(3)“和项”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__q n __.
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
2．（22-23 高三·江苏苏州·模拟）已知等差数列
公差
，数列
为正项等比数列，已知
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（21-22 高三·全国·模拟）已知等比数列{an}中，公比q＝2，若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知等差数列
公差不为0，正项等比数列
，
，
，则
以下命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（20-21 高按·浙江·模拟）已知数列
是公差不为零的等差数列，
是正项等比数列，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型七：等比数列单调性
1．（23-24 高三山西晋城模拟）已知等比数列
满足
，公比
，且
，
，则当
最小时，
（ ）
A．1012
B．1013
C．2022
D．2023
等比数列与函数的关系
(1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1；
(2)数列{an}是等比数列，Sn＝
，Sn 为
型线性指数函数。
（3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n 是离散型
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．（23-24 高三·北京顺义模拟）数列
是等比数列，则对于“对于任意的
，
”是“
是递增数列”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．不充分也不必要
3．（23-24 高三湖北·开学考试）已知数列
是等比数列，则“存在正整数
，对于
恒
成立”是：“
为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（23-24 高三下·山东·开学考试）已知数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，则“
”是“
是单调递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（23-24 高三上·安徽合肥·阶段练习）已知数列
是无穷项等比数列，公比为
，则“
”是“数
列
单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
题型八：不定方程型计算
1．（23-24 高三·广东揭阳·阶段练习）已知数列{an}为等比数列，
为数列{an}的前n 项和.若
成
等差数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三·吉林松原·模拟）设等比数列
的前
项和为
，且
，则
的公比
为（ ）
A．1 或
B．1 或3
C．
或
D．
或3
设首项与公比，作为变量列方程，构造比例转化关系。
求解时，涉及到前n 项和时，要注意讨论公比是否为1 特殊情况
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3．（23-24 高三·河南省直辖县级单位·阶段练习）等比数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·河南三门峡·阶段练习）已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，
，
成等
差数列，则
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．12
5．（23-24 高三上·四川成都·阶段练习）已知等比数列
的前
项和为
，且数列
是等差
数列，则
（ ）
A．1 或
B．1 或
C．2 或
D．
或
题型九：等比数列不等关系“平衡点”
1．（21-22 高三·湖北·阶段练习）设等比数列{
}的公比为q，其前n 项和为
，前 n 项积为
，并满足条
件
，
，下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
是数列{
}中的最大值
D．数列{
}无最小值
2．（22-23 高三·广东深圳·模拟）设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项之积为
，且满足
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
是数列
中的最大值
D．
等比数列“平衡点”型不等式
等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考：
1.若p＋q＝m＋n，则ap· a q＝
a m· a n，特别地，若p＋q＝2k，则ap· a q＝
a k
2
2.如果等比数列是正项递增数列，则若p＋q>m＋n，则ap· a q> a m· a n.
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3．（22-23 高三·辽宁·模拟）设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，且满足条件
，
，
，则下列选项不正确的是（ ）
A．
为递减数列
B．
C．
是数列
中的最大项
D．
4．（20-21 高三河南郑州·模拟）设等比数列{an}的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，并且满足
条件
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
的最大值为
D．
的最大值为
5．（2021 高三·全国·专题练习）设等比数列
的公比为q，前n 项和为
，前n 项积为
，并满足条件
，
，则下列结论中不正确的有（ ）
A．q>1
B．
C．
D．
是数列
中的最大项
题型十：前n 项和的“等距”性
1．（20-21 高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）设等比数列
的前n 项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．5
2．（21-22 高三·河北唐山·模拟）设
是等比数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三·河南·开学考试）已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
“等距”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为
__
q n __.
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．324
B．420
C．480
D．768
4．（21-22 高三下·江西·开学考试）设等比数列
的前
项和为
，若
，则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．8
B．
C．
D．10
题型十一：等比数列最值型
1．（2023·江西赣州·一模）若等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，并且
，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
的最大值为
D．
的最大值为
2．（21-22 高三四川成都·阶段练习）在各项都为正数的等比数列
中，已知
，其前
项积为
，
且
，则
取得最大值时，
的值是（ ）
A．9
B．8 或9
C．10 或11
D．9 或10
3．（2023 高三·全国·专题练习）设首项为正且大于1 的无穷等比数列
的公比为
，前
项和为
，若a1+a2>0，则（ ）
判断数列的单调性，常用的方法有作差比较法、作商比较法和函数图象法：
（1）作差比较法：当
时，
递增；当
时，
递减.
（2）作商比较法：若
，则当
时，
递增；当
时，
递减.
（3）函数图象法：设
，则可用函数
的图象来研究数列
的单调性
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．数列
无最大项
B．数列
有最小项为
C．数列
是递增数列，
D．数列
最大值为
4．（23-24 高三·福建漳州·模拟）已知正项等比数列{an}的前
项积为
，且
，则下列结论正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
5．（22-23 高三江西萍乡·阶段练习）已知数列
为等比数列，函数
的导函数为
，
，若
，
的公比
，则当
的前
项乘积最小时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
题型十二：性质求范围型
1．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知等比数列
的公比为
， 前
项积为
， 若
， 且
，
， 均有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列
的前5 项积为32，
，则
的取值范围为
等比数列与函数的关系
(1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1；
(2)数列{an}是等比数列，Sn＝
，Sn 为
型线性指数函数。
（3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n 是离散型
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高三·河南南阳·模拟）已知正项数列
是公比为
的等比数列，数列
的通项公式为
．
若满足
的正整数n 恰有3 个，则
的取值范围为 ．
4．（2023 上海嘉定·三模）已知
是递增的等比数列，且
，那么首项
的取值范围是 .
5.（21-22·河南·模拟）已知
，
，
，
，
，
成等差数列，
，，
，
成等比数列，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十三：数列与导数
1．（22-23 高三下·河北石家庄·阶段练习）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
.若存在等差数列
，
，
，
，且
，使得数列
为等比数列，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（20-21 高三上·全国·阶段练习，多选）已知等比数列
首项
，公比为q，前n 项和为
，前n
项积为
，函数
，若
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为单调递增的等差数列
B．
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．
为单调递增的等比数列
D．使得
成立的n 的最大值为6
3．（23-24 高三·四川成都模拟）牛顿数列是牛顿利用曲线的切线和数列的极限探求函数
的零点时
提出的，在航空航天领域中应用广泛.已知牛顿数列
的递推关系为：
是曲线
在点
处的切线在
轴上的截距，其中
.
（1）若
，并取
，则
的通项公式为 ；
（2）若取
，且
为单调递减的等比数列，则
可能为 .
4．（2025·全国·模拟预测）若
，
的解从小到大排成
，那么若
．则
的整数部分是 ．
5．（24-25 高三上·上海·开学考试）已知实数
成公比为
的等比数列，抛物线
上每一点到直线
的距离均大于
，则
的取值范围是 ．
题型十四：等比数列综合
1．（2024·河北·一模）已知等差数列
的公差与等比数列
的公比相等，且
，
，
，则
；若数列
和
的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列
，
数列
的前
项和为
，则使得
成立的
的最小值为 ．
2．（23-24 高三下·山东·开学考试）抛物线
与椭圆
有相同的焦点，
分别是椭圆的上、下焦点，P 是椭圆上的任一点，I 是
的内心，
交y 轴于M，且
，点
是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x 轴的交点为
，若
，则
．
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3．（20-21 高三·上海宝山·模拟）已知各项均不为零的数列
的前
项和为
，
，
，
，且
，则
的最大值等于 .
4．（2024 高三·全国·专题练习）欧拉函数
的函数值等于所有不超过
且与
互质的正整数的
个数（公约数只有1 的两个整数称为互质整数），例如：
，
．记
，数列
的前
项和为
，若
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
15
