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专题13 圆锥曲线二级结论秒杀技巧
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题型01 椭圆、双曲线、抛物线的通径.....................................................................................................................1
题型02 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式.............................................................................................................3
题型03 中点弦问题秒杀公式......................................................................................................................................4
题型04 双曲线焦点到渐近线的距离为
..................................................................................................................6
题型05 离心率秒杀公式..............................................................................................................................................7
题型06 抛物线中与焦半径有关的秒杀公式.............................................................................................................9
题型01 椭圆、双曲线、抛物线的通径
【解题规律·提分快招】
一、通径的定义
1、焦点弦
过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于
两点，则称线段
为圆锥曲线的焦点弦.
2、通径
与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径.
二、通径的性质
【性质1】椭圆
和双曲线
通径的端点坐标为
，抛物线
通径的端点坐标为
.
【性质2】椭圆和双曲线的通径长为
，抛物线的通径长为
.
1
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性质1、性质2 的证明：
①如图1，不妨设
过右焦点
，且
在第一象限，把
，代入椭圆方程
，得到
，
，
，进一步可得通径长
.若
过左
焦点
，同理可得通径的端点坐标为
.
②对于双曲线，证明过程同椭圆.
③对于抛物线
，如图2，把
，带入抛物线方程
得到
，
，
通径
.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通
径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆
的一条直
径与拋物线
的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
2．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）椭圆
的左、右焦点分别记为
，过左焦点
的直线交椭圆
于
A、B 两点.若弦长|AB|的最小值为3，且
的周长为8，则椭圆
的焦距等于（ ）
A．1
B．2
C．
D．
3．（24-25 高三上·福建宁德·阶段练习）已知
是椭圆C 的两个焦点，过
且垂直于x 轴的
直线交C 于A，B 两点，且
，则椭圆C 的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·江苏南通·期中）已知双曲线
的焦点为
，
，点
在双曲线
上，
满足
，
，则双曲线
的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高三上·全国·期中）已知点A，B 分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C 上一点P 向x 轴作垂线，
垂足恰好为左焦点
，且
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
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6．（2024·四川·模拟预测）已知
是双曲线
的右焦点，过
作与
轴垂直的直线
与双曲线交于
两点，过
作一条渐近线的垂线，垂足为
，若
，则双曲线的离心率为
（ ）
A．2
B．
C．
D．
二、填空题
7．（2024·广东广州·模拟预测）已知抛物线
的焦点为F，点M 在C 上，
轴，若
（O 为坐标原点）的面积为2，则
.
8．（24-25 高三上·陕西渭南·期中）已知椭圆
的右焦点为
，过点
且垂直于
轴的直线与
交于
，
两点，
为坐标原点，若
，则
.
9．（2024 高三·全国·专题练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，点
为双曲线
的右支上一点．若线段
的中点
，则双曲线
的两条渐近线的夹角（锐角）的正切值
为 ．
题型02 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式
【解题规律·提分快招】
椭圆焦点三角形的面积为
（
为焦距对应的张角）
证明：设
．
3
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双曲线中焦点三角形的面积为
（
为焦距对应的张角）
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24 高三上·北京丰台·期末）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
在椭圆
上.
若
，则
的面积为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．9
2．（24-25 高三上·河南驻马店·期末）已知
，
分别是双曲线
的左、右焦点，
为
上一点，
，且
的面积等于8，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
3．（23-24 高三上·湖北·期末）已知椭圆
（
）的两焦点分别为
、
．若椭圆上有一点
P，使
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 中点弦问题秒杀公式
【解题规律·提分快招】
中点弦问题（点差法）秒杀公式
1、若椭圆与直线l 交于AB 两点，M 为AB 中点，且
与
斜率存在时，则
；（焦点
在x 轴上时），当焦点在
轴上时，
若AB 过椭圆的中心，P 为椭圆上异于AB 任意一点，
（焦点在x 轴上时），当焦点在
轴上时，
下述证明均选择焦点在x 轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．
直径问题证明：设
，
，因为AB 过原点，由对称性可知，点
，所以
4
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kPA⋅kPB = y0−y1
x0−x1
⋅y0+ y1
x0+x1
=
y
02−y
12
x
02−x
12 ．又因为点
，
在椭圆上，所以有
{
x
02
a
2 +
y
02
b
2 =1(1)¿¿¿¿
．
两式相减得
y
02−y
12
x
02−x
12
=−b2
a2
，所以kPA⋅kPB =−b2
a2 ．
中点弦问题证明：设
，
，
则椭圆
两式相减得
．
2、双曲线中焦点在
轴上为
，焦点在
轴上为
，
3、设直线与抛物线
相交所得的弦
的中点坐标为
，则
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·广西玉林·期中）已知
是抛物线
上的两点，且线段
的中点为
，则直
线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·重庆铜梁·阶段练习）已知抛物线
，过点
作弦
，弦
恰被点
平
分，则弦
所在直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·四川成都·期末）设
为双曲线
上的两点，线段
的中点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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4．（24-25 高三上·广东梅州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为
，直线
与
其相交于
两点，若
中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·内蒙古包头·期中）已知点
为椭圆
的左焦点，点
为椭圆
的下顶点，平行于
的直线交椭圆于
两点，且
的中点为
，则该椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·重庆秀山·期末）直线
经过椭圆
的左焦点
，且与
椭圆交于
两点，若
为线段
中点，
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高三上·四川绵阳·阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”
得到椭圆的面积除以圆周率
等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆
的焦
点为
，过
作直线交椭圆于
两点，若弦
是圆
的一条直径，则椭圆的面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·陕西宝鸡·一模）设
，
为双曲线
上两点，下列四个点中，可为线段
中点的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）已知
为椭圆
的右焦点，过点F 的
直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点，若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，
且
外接圆的面积为
，则椭圆C 的长轴长为（ ）
A．
B．
C．4
D．6
6
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10．（2024·全国·模拟预测）已知直线
恒过抛物线C：
的焦点F，且与
C 交于点A，B，过线段AB 的中点D 作直线
的垂线，垂足为E，记直线EA，EB，EF 的斜率分别为
，
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 双曲线焦点到渐近线的距离为
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设双曲线
：
（
，
）的右焦点为
，过
作双曲线
的一条渐近线的垂线，垂足为
，若
（
为坐标原点），则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．3
C．2
D．
2．（2024·广西桂林·模拟预测）已知
是双曲线
的左、右焦点，过
作双曲线一条渐近
线的垂线，垂足为
，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·天津南开·期末）已知双曲线
的离心率为
为
的两个焦点，过
作
的一条
渐近线的垂线，垂足为
为坐标原点，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
4．（23-24 高三上·天津和平·期末）已知
是双曲线
的右焦点，过点
的直线
与双曲线
的一条渐近线垂直，垂足为
，且直线与双曲线
的左支交于点
，若
，则双曲
线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·江西新余·模拟预测）双曲线
的左、右焦点分别为
、
，过
作斜率为正且与
的某条渐近线垂直的直线与双曲线
在第一象限交于
，
，则
的离心率为（ ）.
7
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A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．（2024·青海海东·模拟预测）已知
，
是双曲线
的左、右焦点，过
的直线l 与
C 的一条渐近线垂直，垂足为A，且
，则双曲线C 的实轴长为 ．
题型05 离心率秒杀公式
【解题规律·提分快招】
1、设圆锥曲线
的焦点
在
轴上，过点
且斜率为
的直线交曲线
两点，若
，则
．
2、已知双曲线方程为
)
0
,0
(
1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
的右焦点为
，过点
且与渐近线
垂直的直线分
别交两条渐近线于
两点.
情形1.如图1.若
)
1
,0
(
FQ
FP
,则
图1 图2
如图2.若
，则
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）已知椭圆
的右焦点为
，过
的直线
与椭
圆
交于
，若
，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8
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2．（23-24 高三上·广东·阶段练习）已知椭圆
的离心率为
，左焦点为F，过F
作倾斜角为
的直线交椭圆E 于M、N 两点，且
（其中
），则
的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
3．（23-24 高三下·甘肃·期末）过双曲线
的左焦点
作斜率为2 的直线交
于
两点．若
，则双曲线的离心率为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
二、填空题
4．（24-25 高三上·上海·课后作业）若斜率为
的直线l 过双曲线
的上焦点
，与双曲
线
的上支交于
两点，
，则
的值为 ．
5．（23-24 高三下·安徽芜湖·期末）已知双曲线
的离心率为，左焦点为
．若
过点
的直线斜率为
，且与双曲线
左支交于两点，则的取值范围为 ；过点
作双曲
线
的一条渐近线的垂线，垂足为
，且与另一条渐近线交于点
，若
，则
．
6．（24-25 高三上·湖南长沙·期末）已知双曲线
：
（
，
）的右焦点为
，过点
作
双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为
，若直线与双曲线
的另一条渐近线交于点
，且
（
为坐标原点），则双曲线
的离心率为 .
题型06 抛物线中与焦半径有关的秒杀公式
【解题规律·提分快招】
1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式
已知倾斜角为
直线的经过抛物线
的焦点
，且与抛物线交于
两点，则
①
.
②
.
9
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③
,
.
2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
①抛物线
的焦点为F，
是过
的直线与抛物线的两个交点，求证：
.
②一般地，如果直线恒过定点
与抛物线
交于
两点，那么
.
③若
恒过定点
.
3、抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题
设AB 是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F 的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①以弦AB 为直径的圆与准线相切．
②以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24 高三上·北京东城·期中）直线过抛物线
的焦点
，且与该抛物线交于不同的两点
、
，若
，则弦
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三下·黑龙江·阶段练习）已知
为抛物线
的焦点，过
且斜率为1 的直线
交
于
两点，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2024·河南开封·三模）过抛物线
的焦点F 的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别
交于A，B 两点，若
，则直线AB 的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，直线过点
与抛物线
相交于
，
10
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两点，且
，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·天津和平·阶段练习）已知抛物线
过抛物线的焦点
作直线与抛物线
交于两点
，且抛物线的准线与
轴的交点为
，则以下结论错误的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．（24-25 高三上·安徽淮南·阶段练习）已知抛物线
的焦点为
，经过点
且斜率为
的直线与抛物线
交于点
，
两点（点A 在第一象限），若
，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高三上·江苏盐城·期中）已知
是抛物线
上不同于原点
的两点，点
是抛物线
的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．点
的坐标为
B．
C．若
，则直线
经过定点
D．若点
为抛物线
的两条切线，则直线
的方程为
8．（24-25 高三上·陕西·期中）已知
为坐标原点，过抛物线
：
的焦点
作斜率为
的直线交抛物线
于
，
两点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（23-24 高三上·江苏南京·阶段练习）已知
是抛物线
上的两动点，
是抛物线的焦点，
下列说法正确的是（ ）
A．直线
过焦点
时，以
为直径的圆与
的准线相切
B．直线
过焦点
时，
的最小值为6
11
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C．若坐标原点为
，且
，则直线
过定点
D．与抛物线
分别相切于
两点的两条切线交于点
，若直线
过定点
，则点
在抛物线
的准线上
10．（24-25 高三上·浙江绍兴·期中）抛物线
的焦点为
，过
的直线交抛物线于
，
，
以下说法正确的有（ ）
A．以
为圆心，
为半径的圆与抛物线仅有1 个交点
B．以
为直径的圆与
轴相切
C．当
轴时，
取到最小值
D．若点
为抛物线准线与
轴交点，则一定有
11．（24-25 高三上·广东惠州·阶段练习）已知F 是抛物线
的焦点，过点F 作两条互相垂直的直
线
与C 相交于
两点，
与C 相交于
两点，直线l 为抛物线C 的准线，则（ ）
A．
的最小值为4
B．以
为直径的圆与l 相切
C．
的最小值为32
D．
和
面积之和最小值为32
一、单选题
1．（24-25 高三上·广东·阶段练习）设
是椭圆
上的一点，
，
为焦点，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．16
2．（23-24 高三下·江苏南京·阶段练习）已知抛物线C：x2＝4y 的焦点为F，准线为l，A 是l 上一点，B 是
直线AF 与C 的一个交点，若
，则|BF|＝（ ）
A．
B．
C．3
D．5
3．（2024·陕西西安·模拟预测）双曲线
的焦点弦长为
的弦有（ ）
A．8 条
B．4 条
C．2 条
D．1 条
4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C 的中心在坐标原点，其中一个焦点为
，过F 的直线l 与
双曲线C 交于A、B 两点，且AB 的中点为
，则C 的离心率为( )
12
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A．
B．
C．
D．
5．（2024·广西·模拟预测）已知双曲线
的左､右焦点分别为
，过点
且与
轴垂直的直线与双曲线
交于
两点，若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆
，一组斜率
的平行直线与椭圆相交，则这些直线被
椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知
是抛物线
的焦点，过点
且斜率为2 的直线
与
交于
两点，若
，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
8．（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）设
是双曲线
的左，右焦点，过
作
的一条渐近线的垂线，垂足为
.若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
9．（23-24 高三上·河南·阶段练习）过椭圆
的右焦点F 且与长轴垂直的弦的长为
，过点
且斜率为
的直线与C 相交于A，B 两点，若P 恰好是AB 的中点，则椭圆C 上一点M
到F 的距离的最大值为（ ）
A．6
B．
C．
D．
10．（2024·河南信阳·一模）倾斜角为
的直线过抛物线
的焦点F，与该抛物线交于点
，且以
为直径的圆与直线
相切，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．
11．（2024 高三·全国·专题练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
作倾斜角为
的直线与双曲线
的左、右两支分别交于
两点，若
，则
的离心率为
13
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（ ）
A．2
B．
C．
D．
12．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆
的长轴长是短轴长的2 倍，过
椭圆
的上焦点
作斜率为
的直线，直线交椭圆
于
两点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（23-24 高三上·山东烟台·期末）已知直线过双曲线
的左焦点
，且与
的左右两支分
､
别交于
两点，设
为坐标原点，
为
的中点，若
是以
为底边的等腰三角形，则直线的
斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（24-25 高三上·上海·期中）过双曲线
的右焦点
向其一条渐近线作垂线l，垂
足为P，l 与另一条渐近线交于Q 点，若
，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
二、多选题
15．（2024 高三·全国·专题练习）已知
为坐标原点，抛物线y
2=2 px ( p>0)上有异于原点的A(x1, y1)，
B(x2, y2)两点，
为抛物线的焦点，以
为切点的抛物线的切线分别记为
，
，则（ ）
A．若
，则
三点共线
B．若
，则
三点共线
C．若
，则
三点共线
D．若
，则
三点共线
16．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）已知抛物线
（
）的焦点为F，直线l 的斜率为
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且经过点F，与抛物线C 交于A，B 两点（点A 在第一象限），与抛物线C 的准线交于点D．若
，
则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知抛物线
：y
2=2 px ( p>0)的焦点
到准线的距离是4，直线过
它的焦点
且与
交于A(x1, y1)，B(x2, y2)两点，
为弦
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线
的焦点坐标是
B．
C．若
，则
D．若以
为圆心的圆与
的准线相切，则
是该圆的一条直径
18．（23-24 高三上·山西朔州·期末）已知
是抛物线
的焦点，
，
是该抛物线上的任意两点，
则正确的是（ ）
A．若
，
，则
，
B．若直线
的方程为
,则
C．若
，则直线
恒过定点
D．若直线
过点
，过
，
两点分别作抛物线的切线，且两切线交于点
，则点
在直线
上
19．（2024·广西柳州·一模）过抛物线
：y
2=2 px ( p>0)的焦点
作倾斜角为
的直线交
于
，
两点，
经过点
和原点
的直线交抛物线的准线于点
，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．
C．以
为直径的圆与
轴相切
D．
三、填空题
20．（23-24 高三上·上海青浦·阶段练习）双曲线
的左右两个焦点为
，
，第二象限内的一点
P 在双曲线上，且
，则三角形
的面积是 ．
21．（23-24 高三上·江苏南京·期末）已知椭圆
的焦距为，过椭圆的一个焦点，作
垂直于长轴的直线交椭圆于
两点，则
．
22．（24-25 高三上·江西·阶段练习）已知O 为坐标原点，
是椭圆M：
（
）的右
焦点，过点F 且与M 的长轴垂直的直线交M 于C，D 两点.若
为直角三角形，则M 的长轴长为
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.
23．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆
的右焦点
和上顶点B，若斜率
为
的直线l 交椭圆C 于P，Q 两点，且满足
，则椭圆的离心率为 .
24．（23-24 高三上·云南临沧·期末）已知双曲线
的右焦点为
，直线
与双曲线
交于
两点，与双曲线
的渐近线交于
两点，若
，则双曲线
的离
心率是 ．
25．（23-24 高三上·河北邯郸·期中）已知椭圆
的左焦点为F，离心率为
，过F 的
直线l 交椭圆于A，B 两点，且
，则直线l 的斜率为 .
26．（2024·安徽·一模）已知直线与椭圆
交于
两点，线段
中点
在直线
上，且线段
的垂直平分线交
轴于点
，则椭圆
的离心率是 .
27．（23-24 高三上·陕西榆林·阶段练习）已知点
是离心率为
的双曲线
上的三点, 直线
的斜率分别是
点
分别是线段
的中点,
为坐标原点，
直线
的斜率分别是
.若
则
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