函数与导数：利用导数研究函数的图像与性质、恒成立问题、能成立问题专项训练
考点目录
利用导数研究函数的图像与性质
利用导数研究函数的恒成立问题
利用导数研究函数的能成立问题
1．（25-26 高三上·广西南宁·开学考试·多选）设函数
2
2
f x
x x
=
-
，则（ ）
A．
2
x =
是
f x 的极小值点
B．
f x 图象的对称中心是
0,0
C．当
2
x >
时，
2
f
x
f
x
<
D．当0
1
x
<
< 时，
32
9
2
1
27
f
x
- <
-
£
【答案】AD
【详解】由
2
3
2
2
4
4
f x
x x
x
x
x
=
-
=
-
+
，所以
2
3
8
4
3
2
2
f
x
x
x
x
x
=
-
+
=
-
-
¢
.
由
0
f
x
¢
>
Þ
2
3
x <
或
2
x >
；由
0
f
x
¢
<
Þ 2
2
3
x
<
< .
所以函数
f x 在
2
, 3
¥
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 和
2, ¥
+
上单调递增，在2 ,2
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，
所以
2
x =
是
f x 的极小值点，故A 正确；
因为
2
x >
时，
2
x
x
>
，且函数
f x 在
2, ¥
+
上单调递增，所以
2
f
x
f
x
>
，故C 错误；
当0
1
x
<
< 时，1
2
1
1
x
- <
- < ，设
2
1
t
x
=
- ，则
f t 在
2
1, 3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø上单调递增，在2 ,1
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，
又
1
9
f -
= - ，
2
32
3
27
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，
1
1
f
= ，所以
32
9, 27
f t
æ
ù
Î -
ç
ú
è
û
.
即当0
1
x
<
< 时，
32
9
2
1
27
f
x
- <
-
£
，故D 正确；
因为
1
9
f -
= - ，
1
1
f
= ，所以函数
f x 的图象不关于原点对称，故B 错误.
故选：AD
2．（25-26 高三上·辽宁·开学考试·多选）已知函数
2
2
3
1
f x
x
x
=
-
，则（ ）
A．
f x 是偶函数
B．
f x 存在最小值
C．直线
0
y =
是曲线
y
f x
=
的一条切线
D．
f x 有4 个单调区间
考点一
利用导数研究函数的图像与性质
【答案】BCD
【详解】因为函数
f x 的定义域为R ，故
2
2
2
2
3
3
1
1
f
x
x
x
x
x
-
= - -
-
=
+
，
故
f
x
f x
-
¹
且
f
x
f
x
-
¹ -
-
，所以
f x 为非奇非偶函数；故A 错误；
因为
2
2
8
5
2
2
2
3
3
3
3
3
1
2
1
2
,
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
-
=
-
+
=
-
+
f
x
¢
\
5
2
1
1
3
3
3
3
8
10
2
2
4
1
1
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
-
-
=
-
+
=
-
-
，
令
( )
0
f
x
¢
=
，可得
1
4
x =
或
1
x = .
当
0
x <
时，
0
f
x
¢
<
,
f x 单调递减;
当
1
0
4
x
<
<
时，
0
f
x
¢
>
,
f x 单调递增;
当1
1
4
x
<
< 时，
0
f
x
¢
<
,
f x 单调递减;
当
1
x > 时，
0
f
x
¢
>
,
f x 单调递增;
故
f x 有4 个单调区间，且存在最小值，故BD选项正确；
当
1
x = 时，
1
0
f
=
,且
1
0
f ¢
=
，
故函数
f x 在
1,0 处的切线方程为
0
0
1
0
y
x
-
=
-
=
；
即直线
0
y =
是曲线
y
f x
=
的一条切线，故C正确；
故选：BCD.
3．（25-26 高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习·多选）已知函数
f x 是定义域为R 的奇函数，当
0
x >
时，
2
2
1 ln
f
x
x
x
=
+
，则（ ）
A．当
0
x <
时，
2
2
1 ln
f x
x
x
=
-
-
B．
f x 在区间
1,1
-
上单调递减
C．
0
f x £
当且仅当
1
x £ -
D．x 轴是曲线
y
f x
=
的一条切线
【答案】AD
【详解】
A 选项：由已知函数
f x 为R 上的奇函数，且当
0
x >
时，
2
2
1 ln
f
x
x
x
=
+
，
所以当
0
x <
时，
0
x
- > ，则
2
2
1 ln
f
x
x
x
-
= -
+
-
，
所以
2
2
1 ln
f x
f
x
x
x
= -
-
=
-
-
，A 选项正确；
B 选项：易知函数
2
2
2
1 ln
,
0
0,
0
2
1 ln
,
0
x
x
x
f x
x
x
x x
ì
-
-
<
ï
=
=
í
ï
+
>
î
，
当
0
x >
时，
2
2
1 ln
f
x
x
x
=
+
，则
2
1
1
2ln
2 2
ln
2ln
ln
2
f
x
x
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
¢
=
+
+
=
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
设
1
ln
2
g x
x
x
=
+
+
，则
2
2
1
1
1
x
g
x
x
x
x
-
¢
=
-
=
，
可知当
0,1
xÎ
时，
0
g
x
¢
<
，
g x 单调递减，当
1,
xÎ
+¥ 时，
0
g
x
¢
>
，
g x 单调递增，
所以
1
3
g x
g
³
= ，
则当
0,1
xÎ
时，
0
f
x
¢
<
，
f x 单调递减，当
1,
xÎ
+¥ 时，
0
f
x
¢
>
，
f x 单调递增，
结合奇函数性质可知，函数
f x 在
1,0
-
和
0,1 上单调递减，在
, 1
¥
-
-
和
1,+¥ 上单调递增，B 选项错误；
C 选项：由函数单调性与奇偶性可知，当
0
x >
时，
1
0
f x
f
³
=
，当
0
x <
时，
1
0
f x
f
£
-
=
，
所以当
,0
1
xÎ -¥
U
时，
0
f x £
，C 选项错误；
D 选项：由函数单调性与奇偶性可知函数图像如图所示，
可知当
1
x = ± 时，函数取得极值，此时切线方程为
0
y =
，即为x 轴，D 选项正确；
故选：AD.
4．（25-26 高三上·广西·开学考试·多选）已知
f x 是定义在R 上的偶函数，且当
0
x ³
时，
3
2
2
f x
x
x
x
=
+
-
+
，
则（ ）
A．
1
4
f ¢ -
=
B．
f x 在
1 ,0
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø和1 ,
3
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø 上单调递增
C．当
0
x <
时，
3
2
2
f x
x
x
x
= -
-
+
-
D．
f x 有2 个极小值点
【答案】BD
【详解】
f x 是定义在R 上的偶函数，所以
f
x
f x
-
=
，
又当
0
x ³
时，
3
2
2
f x
x
x
x
=
+
-
+
，
所以当
0
x <
时，
3
2
2
f
x
f
x
x
x
x
=
-
= -
+ -
- -
+
，
当
0
x <
时，
3
2
2
f x
x
x
x
= -
+
+
+
，
所以
3
2
3
2
2,
0
2,
0
x
x
x
x
f x
x
x
x
x
ì-
+
+
+
<
= í
+
-
+
³
î
，C 错误，
因为当
0
x <
，
3
2
2
f x
x
x
x
= -
+
+
+
，
所以当
0
x <
，
2
3
2
1
f
x
x
x
¢
= -
+
+ ，故
1
3
2 1
4
f
-
= - -
+ = -
¢
，A 错误，
因为当
0
x ³
时，
2
3
2
1
3
1
1
f
x
x
x
x
x
=
+
- =
-
+
¢
，
令
0
f
x
¢
=
可得，
1
3
x =
或
1
x = - （舍去）
当
1
0
3
x
<
<
时，
0
f
x
¢
<
，函数
f x 在
1
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，
当
1
3
x >
时，
0
f
x
¢
>
，
f x 在1 ,
3
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø上单调递增，
又
f x 是定义在R 上的偶函数，
所以函数
f x 在
1 ,0
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø上单调递增，在
1
,
3
¥
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø上单调递减，
所以
f x 在
1 ,0
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø和1 ,
3
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø上单调递增，B 正确，
因为函数
f x 在
1
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，在1 ,
3
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø上单调递增，
1
0
3
f æ
ö =
ç
÷ø
¢
è
，
所以当
0
x ³
时，
1
3
x =
是
f x 的极小值点，因为
f x 是偶函数，所以
1
3
x = -
也是
f x 的极小值点，故
f x 有2
个极小值点，D 正确.
故选：BD.
5．（24-25 高三下·云南昭通·期中·多选）已知函数
f x 是定义在R 上的奇函数，当
0
x >
时，
1
x
f x
x
-
=
-
e
，则
（ ）
A．函数
f x 的极大值点为2
B．函数
f x 有2 个零点
C．函数
f x 在点
1,0
-
处的切线方程为
e
1
0
x
y
+
+ =
D．函数
f x 的值域为
1,1
-
【答案】AD
【详解】对于A ，当
0
x >
时，
2
ex
x
f
x =
¢
-
，令
0
f
x
¢
=
，得
2
x =
．当0
2
x
<
<
时，
0
f
x
f x
¢
> ，
在
0,2 单
调递增；当
2
x >
时，
0
f
x
f x
¢
< ，
在
2,+¥ 单调递
减，所以
f x 的极大值点为2，故A 对；
对于B
0
x >
，
时，令
e
1
0
x
f x
x
-
=
×
-
=
，解得
1
x = ，由
f x 是定义在R 上的奇函数，所以
1
x = - 时，
0
f
x =
．又
0
0
=
f
，故函数
f x 有3 个零点，故B 不对；
对于C ，对
e
1 (
0)
x
f x
x
x
=
×
+
<
，求导得
e
2 (
0)
x
f
x
x
x
+
¢
=
×
<
，所以
1
1
e
f ¢ -
=
，故所求切线为
1
0
1
e
y
x
-
=
+
，即
e
1
0
x
y
-
+ =
，所以C 不对；
对于D ，当
0
x <
时，
e
1
e
2
x
x
f x
x
f
x
x
¢
=
×
+
=
×
+
，
，当2
0
x
- <
<
时，
0
f
x
¢
>
，函数
f x 在
2,0
-
上单
调递增，当
2
x < - 时，
0
f
x
¢
<
，函数
f x 在
, 2
¥
-
-
上单调递减，且当x ® -¥ 时，
0
0
f x
x
®
®
，
时，
1
f x ® ，所以
2
e ,1
f x
-
é
Î -
ë
．由
f x 是定义在R 上的奇函数，故当
0
x >
时，
2
1,e
f x
- ù
Î -
û ，故
f x 的值域
为
1,1
-
，所以D 对，
故选; AD
6．（2025·辽宁大连·一模·多选）记
f x 的导函数
3
2
1,
R
f
x
x
x
x
=
-
-
Î
¢
，下列说法正确的是（ ）
A．
f x 在R 上一定有3 个极值点
B．
f x 在R 上一定有4 个零点
C．过
f x 上一点作切线:l y
kx
b
=
+
，若存在三个点的切线斜率相同，则k 的取值范围为
4 6
4 6
1,
1
9
9
æ
ö
-
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
D．记
1
g
x
f
x
¢
¢
=
+ ，则
g x 一定是偶函数
【答案】ACD
【详解】由题意，
3
2
1
f
x
x
x
=
-
-
¢
，设
4
2
1
4
f x
x
x
x
m
=
-
-
+
，
R
mÎ
.
对于A，由
3
3
2
2
1
1
1
1
1
1
1
f
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
¢
=
-
- =
-
-
- =
-
+
-
+
=
+
-
-
1
5
1
5
1
2
2
x
x
x
æ
öæ
ö
+
-
=
+
-
-
ç
֍
÷
ç
֍
÷
è
øè
ø
，
令
0
f
x
¢
>
，得
1
5
1
2
x
-
- <
<
或
1
5
2
x
+
>
，
令
0
f
x
¢
<
，得
1
x < - 或1
5
1
5
2
2
x
-
+
<
<
所以函数
f x 在
, 1
¥
-
-
和1
5 1
5
,
2
2
æ
ö
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递减，
在
1
5
1,
2
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
和
1
5 ,
2
æ
ö
ç
÷
çè
+
+
ø
¥÷ 上单调递增，
则
f x 在R 上有3 个极值点，故A 正确；
对于B，当
0
m =
时，
4
2
1
4
f x
x
x
x
=
-
-
，
由A 知，函数
f x 在
, 1
¥
-
-
和1
5 1
5
,
2
2
æ
ö
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递减，
在
1
5
1,
2
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
和
1
5 ,
2
æ
ö
ç
÷
çè
+
+
ø
¥÷ 上单调递增，
又
1
1
0
4
f -
=
>
，
0
0
f
=
，
0
1
4
5
2
7
1
f
f
æ
ö <
= -
<
ç
÷
ç
÷
+
è
ø
，
33
3
0
4
f
=
>
，
结合单调性及零点存在性定理，可知
f x 在R 上有2 个零点，故B 错误；
对于C，由题意，
3
2
1
f
x
x
x
k
=
-
- =
¢
有三个不同实根，
设
3
2
1
h x
f
x
k
x
x
k
-
¢
=
-
=
- -
，
R
xÎ
，则
2
3
2
h x
x
¢
=
-
，
令
0
h x
¢
>
，得
6
3
x < -
或
6
3
x >
，令
0
h x
¢
<
，得
6
6
3
3
x
-
<
<
，
所以函数
h x 在
6
,
3
æ
ö
-¥ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
和
6 ,
3
æ
ö
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递增，在
6
6
,
3
3
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递减，
则
6
4 6
1
0
3
9
6
4 6
1
0
3
9
h
k
h
k
ì æ
ö
-
=
- -
>
ï ç
÷
ç
÷
ï è
ø
í æ
ö
ï
= -
- -
<
ç
÷
ï ç
÷
è
ø
î
，解得
4 6
4 6
1
1
9
9
k
<
<
-
-
- ，
即k 的取值范围为
4 6
4 6
1,
1
9
9
æ
ö
-
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，故C 正确；
对于D，由
3
2
1
x
g
x
f
x
x
¢
¢
=
-
=
+
，
可设
4
2
1
,
R
4
g x
x
x
n n
=
-
+
Î
，
R
xÎ
，
则
4
2
4
2
1
1
4
4
g
x
x
x
n
x
x
n
g x
-
=
-
- -
+
=
-
+
=
，
则
g x 为偶函数，故D 正确.
故选：ACD.
7．（25-26 高三上·海南海口·开学考试·多选）已知函数
ln
1
sin
f x
x
a
x
=
+
-
，
f
x
¢
为
f x 的导数，则下列说法
正确的是（ ）
A．当
0
a =
时，
2
f x
x
£
恒成立
B．当
0
a <
时，
f
x
¢
在区间
0,π 单调递减
C．当
1
a = 时，
f
x
¢
在区间
π
1, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 上存在唯一极小值点
D．当
0
a =
时，
f x 有2 个零点
【答案】BC
【详解】当
0
a =
时，若
1
2
x = -
，则有
1
1
1
ln
ln
1
2
2
f
e
æ
ö
-
=
>
= -
ç
÷
è
ø
，此时
1
1
2
2
2
f æ
ö
æ
ö
-
>
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ∴A 错误．
当
0
a <
时，
1
cos
1
f
x
a
x
x
=
-
+
¢
，令
2
1
1
cos ,
sin
1
(
1)
h x
a
x h x
a
x
x
x
=
-
= -
+
¢
+
+
，
当
0,π
xÎ
时，sin
0
x >
，
0
h x
¢
\
<
，
f
x
¢
\
在
0,π 上递减．∴B 正确．
当
1
a = 时，
1
ln
1
sin ,
cos
1
f x
x
x f
x
x
x
=
+
-
=
-
¢
+
，令
1
cos
1
t x
x
x
=
-
+
，
则
2
1
sin
(
1)
t
x
x
x
= -
+
+
¢
，令
2
1
sin
(
1)
g x
x
x
= -
+
+
，则
3
2
cos
(
1)
g
x
x
x
=
+
+
¢
，
当
π
1, 2
x
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø 时，
0
g
x
¢
>
，
g x 递增，又
π
0
0
0
2
g
g æ
ö
<
>
ç
÷
è
ø
,
，所以
g x 在
π
1, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 上存在唯一的零点
0x ，
则当
0
1,
,
0,
x
x
t
x
t x
¢
Î -
<
递减，当
0
π
,
,
0,
2
x
x
t
x
t x
æ
ö ¢
Î
>
ç
÷
è
ø
递增，
0x
\
是
f
x
¢
在区间
π
1, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 上的唯一极小值点，∴C 正确．
当
0
a =
时，
ln
1
f x
x
=
+
，定义域为
1,
- +¥ ，
1
1
f
x
x
¢
=
+ ，
0
f
x
¢
>
恒成立
f x
\
在定义域内为增函数，
f x
\
不可能有2 个零点.
故选：BC
8．（25-26 高三上·黑龙江·开学考试·多选）已知函数
1
1
2
,
0
2
,
0
e
x
x
x
f x
x
x
-
ì
æ
ö
-
<
ï
ç
÷
ï
è
ø
= í
ï
³
ïî
，则下列说法正确的是（ ）
A．
f x 的单调递增区间为
,0 , 0,1
-¥
B．
f x 有3 个零点
C．若关于x 的方程
2
1
0
f x
a f x
a
é
ù
-
û +
-
=
ë
有四个不同实根，则
0,1
aÎ
D．若
0
x
" ³
，
1
2
f x
mx
m
£
+
恒成立，则
1
2
1 e ,
2
m
é
ö
Î
+¥÷
ê
ë
ø
【答案】ACD
【详解】当
0
x <
时，
1
2
2
x
f x
æ
ö
=
-ç
÷
è
ø
，此时
f x 在
,0
¥
-
上单调递增，
当
0
x ³
时，
1
ex
x
f x
-
=
，则
1
1
ex
x
f
x
-
-
¢
=
，
当0
1
x
<
< 时，
0
f
x
¢
>
，
f x 在
0,1 上单调递增，
当
1
x > 时，
0
f
x
¢
<
，
f x 在
1, ¥
+
上单调递减，
所以
f x 的单调递增区间为
,0 , 0,1
¥
-
，故A 正确；
当
0
x <
时令
1
2
0
2
x
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，得
1
x = - ，
当
0
x ³
时，令
1
0
ex
x
- =
，得
0
x =
，所以函数
f x 有2 个零点，故B 错误；
因为
2
1
0
f x
a f x
a
é
ù +
-
-
=
ë
û
，即
1
0
f x
f x
a
é
ù é
ù
+
-
=
ë
û ë
û
，
所以
1
f x = - 或
f x
a
=
，
因为
f x 在
0,1 上单调递增，在
1, ¥
+
上单调递减，
所以当
1
x = 时，函数
f x 有最大值
1
1
f
= ，
当
0
x ³
时，
1
0
ex
x
- ³
，所以
f x 的图象如图所示，
由图可知
1
f x = - 有一个根，
若满足关于x 的方程
2
1
0
f x
a f x
a
é
ù +
-
-
=
ë
û
有四个不同实根，
则
f x
a
=
有三个不同实根，所以
0,1
aÎ
，故C 正确；
若
0
x
" ³
，
1
2
f x
mx
m
£
+
恒成立，则
1
max
e
1
2
x
x
m
x
-
æ
ö
ç
÷
³ ç
÷
ç
÷
+
è
ø
，
令
1e
1
2
x
x
g x
x
-
=
+
，
0
x ³
，所以
2
1
2
1
1
e
2
2
1
2
x
x
x
g
x
x
-
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
=
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
¢
，
由
0
g
x
¢
=
，得
1
x = - （舍）或
1
2
x =
，
当
1
0
2
x
£
<
时，
0
g
x
¢
>
，所以
g x 在
1
0, 2
é
ö
÷
êë
ø 上单调递增，
当
1
2
x >
时，
0
g
x
¢
<
，所以
g x 在1 ,
2
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø上单调递减，
所以当
1
2
x =
时，
g x 有最大值为
1
2
1
1 e
2
2
g æ
ö =
ç
÷
è
ø
，所以
1
2
1 e
2
m ³
，
所以
1
2
1 e ,
2
m
¥
é
ö
Î
+
÷
ê
ë
ø
，故D 正确.
故选：ACD.
9．（25-26 高三上·安徽阜阳·开学考试·多选）已知
( )
f x 是定义在R 上的奇函数，且当
0
x >
时，
3
2
( )
f x
x
x
x
=
-
-
，
则（ ）
A．当
0
x <
时，
3
2
( ) =
+
-
f x
x
x
x
B．
( )
f x 在区间( 1,1)
-
上单调递减
C．当且仅当
2
x >
时，
( )
2
f x >
D．
( ( ))
f f x
在区间( 1,1)
-
上单调递减
【答案】ABC
【详解】已知
( )
f x 是定义在 R 上的奇函数，当
0
x >
时，
3
2
( )
f x
x
x
x
=
-
-
；
设
0
x <
，则
0
x
- > ，可得
3
2
3
2
(
)
(
)
(
)
(
)
f
x
x
x
x
x
x
x
-
= -
- -
- -
= -
-
+
，
所以
3
2
3
2
( )
(
)
f x
f
x
x
x
x
x
x
x
= -
-
= - -
-
+
=
+
-
，故选项A 正确；
当
0
x >
时，
2
( )
3
2
1
(3
1)(
1)
f
x
x
x
x
x
¢
=
-
- =
+
-
；
令
( )
0
f
x
¢
=
，即 (3
1)(
1)
0
x
x
+
-
=
，解得
1
x = 或
1
3
x = -
（舍去）；
当 0
1
x
<
< 时，
( )
0
f
x
¢
<
，所以
( )
f x 在 ( 0, 1) 上单调递减；
当
0
x <
时，
2
( )
3
2
1
(3
1)(
1)
f
x
x
x
x
x
¢
=
+
- =
-
+
，
令
( )
0
f
x
¢
=
，即 (3
1)(
1)
0
x
x
-
+
=
，解得
1
x = - 或
1
3
x =
（舍去）；
当
1
x < - 时，
( )
0
f
x
¢
>
，所以
( )
f x 在 (
, 1)
¥
-
-
上单调递增；
当
1
0
x
- <
<
时，
( )
0
f
x
¢
<
，所以
( )
f x 在 ( 1,0)
-
上单调递减；
又因为
( )
f x 是定义在 R 上的奇函数，
(0)
0
f
=
，
所以
( )
f x 在区间 ( 1,1)
-
上单调递减，故选项 B 正确.
当
0
x >
时，令
3
2
( )
2
f x
x
x
x
=
-
-
>
，即
3
2
2
0
x
x
x
-
-
-
>
。
将
3
2
2
x
x
x
-
-
-
变形为
3
2
2
2
2
2
2
2
(
2)
(
2)
(
2)
(
2)
1
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
-
+
-
+
-
=
-
+
-
+
-
=
-
+
+
，
因为
2
2
1
3
1
0
2
4
x
x
x
æ
ö
+
+ =
+
+
>
ç
÷
è
ø
恒成立，
所以
2
(
2)
1
0
x
x
x
-
+
+
>
等价于
2
0
x -
>
，解得
2
x >
，
当
0
x <
时，由选项B 可知
( )
f x 在区间 ( 1,1)
-
上单调递减，在区间 (
, 1)
¥
-
-
上单调递增，
3
2
( 1)
( 1)
( 1)
( 1)
1 1 1
1
2
f -
= -
+ -
- -
= - + + = <
，
所以
( )
2
f x >
在
0
x <
时无解；
因此，当且仅当
2
x >
时，
( )
2
f x >
，故选项 C 正确.
令
( )
t
f x
=
，由选项B 可知
( )
f x 在区间 ( 1,1)
-
上单调递减，
3
2
( 1)
1,
(1)
1
1
1
1
f
f
-
=
=
-
- = - ，
(1)
( )
( 1)
f
f x
f
<
<
-
，即
1
1
t
- < < .
又因为
( )
f t 在 ( 1,1)
-
上也单调递减，
根据复合函数＂同增异减＂的原则，可知
( ( ))
f f x
在区间 ( 1,1)
-
上单调递增，故选项D 错误.
故选:ABC.
10．（25-26 高三上·河南·开学考试·多选）已知函数
f x 是定义域为R 的奇函数，当
0
x >
时，
2
2
1 ln
f x
x
x
=
+
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
0
x <
时，
2
2
1 ln
f x
x
x
=
-
-
B．
0
1
1
f
f
+
=
C．当
0
x >
时，
f x 单调递增
D．x 轴是曲线
y
f x
=
的一条切线
【答案】AD
【详解】由题意知函数
f x 是定义域为R 的奇函数，当
0
x >
时，
2
2
1 ln
f x
x
x
=
+
，
故当
0
x <
时，
0
x
- > ，则
2
2
2
1 ln
2
1 ln
f x
f
x
x
x
x
x
= -
-
= - -
+
-
=
-
-
，A 正确；
由于函数
f x 是定义域为R 的奇函数，故
0
0
f
=
；
而
2
1
2 1 ln 1
0
f
=
+
=
，故
0
1
0
f
f
+
=
，B 错误；
当
0
x >
时，
2
2
1 ln
f x
x
x
=
+
，则
2
2 2
1 ln
1
2ln
2ln
ln
2
x
x
f
x
x
x
x
x
x
+
æ
ö
=
+
=
+
+
çè
¢
÷ø
，
令
1
ln
2,
0
g x
x
x
x
=
+
+
>
，则
2
1
x
g
x
x
=
¢
- ，
当0
1
x
<
< 时，
0
g
x
¢
<
，当
1
x > 时，
0
g
x
¢
>
，
则
g x 在
0,1 上单调递减，在
1, ¥
+
上单调递增，
故
1
3
0
g x
g
³
=
>
，
故当0
1
x
<
< 时，
0
f
x
¢
<
，当
1
x > 时，
0
f
x
¢
>
，
则
f x 在
0,1 上单调递减，在
1, ¥
+
上单调递增，C 错误；
由C 的分析可知，
f x 在
1
x = 时取得极小值
1
0
f
=
，
结合函数
f x 为奇函数可知
f x 在
1
x = - 时取得极大值
1
0
f -
=
，
作出
f x 图象如图，
由此可知x 轴是曲线
y
f x
=
的一条切线，D 正确，
故选：AD
1．（25-26 高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数
e
e
2sin
x
x
f x
x
-
=
-
-
，若
2
2
0
f a
x
f x
+
+
+
³
恒成立，则a 的
取值范围是（
）
A．
7 ,
4
é
ö
-
+¥÷
êë
ø
B．
7
4
æ
ù
-¥ -
ç
ú
è
û
，
C．
7
2
æ
ù
-¥ -
ç
ú
è
û
，
D．
7 ,
2
é
ö
+¥÷
êë
ø
【答案】A
【详解】
e
e
2sin
x
x
f x
x
-
=
-
-
的定义域为R，且
e
e
2sin
x
x
f
x
x
-
+
-
=
-
，
故
f
x
f x
-
= -
，所以
e
e
2sin
x
x
f x
x
-
=
-
-
为R 上的奇函数，
又
e
e
2cos
2 e
e
2cos
2
2cos
x
x
x
x
f
x
x
x
x
-
-
¢
=
+
-
³
-
=
-
×
，
当且仅当e
e
x
x
-
=
，即
0
x =
时，等号成立，恰好此时2
2cos
0
x
-
=
，
故
0
f
x
¢
³
，故
e
e
2sin
x
x
f x
x
-
=
-
-
在R 上单调递增，
2
2
2
0
2
2
f a
x
f x
f a
x
f x
f
x
+
+
+
³
Þ
+
³ -
+
=
- -
，
故
2
2
a
x
x
+
³ - -
，即
2
2
a
x
x
³ -
-
-
，
由于
2
2
1
7
7
2
2
4
4
x
x
x
æ
ö
-
-
-
= -
+
-
£ -
ç
÷
è
ø
，故
7
4
a ³ -
，
则a 的取值范围是
7 ,
4
é
ö
-
+¥÷
êë
ø .
故选：A
2．（25-26 高三上·重庆南岸·阶段练习）已知
0,
x
" Î
+ ¥ ，有ln
1
0
x
a x
-
+ £
，则a 的取值范围是（ ）
A．3
e ,
æ
ö
+ ¥
ç
÷
è
ø
B．3,
e
é
ö
+ ¥÷
êë
ø
C．
2 ,
e
æ
ö
+ ¥
ç
÷
è
ø
D．
2 ,
e
é
ö
+ ¥÷
êë
ø
【答案】D
【详解】已知
0,
x
¥
" Î
+
，有ln
1
0
x
a x
-
+ £
，
所以
0,
x
¥
" Î
+
，有
ln
1
2ln
1
x
x
a
x
x
+
+
³
=
，
令t
x
=
，所以
0,
t
¥
" Î
+
，有
2ln
1
t
a
t
+
³
，
考点二
利用导数研究函数的恒成立问题
令
2ln
1,
0
t
f t
t
t
+
=
>
，求导得
2
2
2
2ln
1
1
2ln ,
0
t
t
f
t
t
t
t
-
-
-
=
=
>
¢
，
令
2
2
1
2ln
1 2ln
0,
0
0
e,
0,
0
e
t
t
f
t
t
t
f
t
t
t
t
t
-
-
=
>
>
Þ
< <
=
>
Þ
¢
¢
，
所以
f t 在
0, e 上单调递增，在
e, ¥
+
上单调递减，
所以
max
2ln
e
1
2
e
e
e
f t
f
+
=
=
=
，
所以
2
e
a ³
，即a 的取值范围是
2 ,
e
¥
é
ö
+
÷
êë
ø
.
故选：D.
3．（25-26 高三上·四川绵阳·开学考试）已知当
0
x >
时，e
2
2ln
x
x
x
a
x
-
³
+
恒成立，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
,1
¥
-
B．
,2
2ln2
¥
-
+
C．
,2ln 2
¥
-
D．
,2
2ln2
¥
-
-
【答案】D
【详解】设
ln
e
2ln
2
e
2 ln
x
x x
f x
x
x
x
x
x
+
=
-
-
=
-
+
，则
f x
a
³
对任意
0,
xÎ
+¥ 恒成立，
设
ln
t
x
x
=
+
，则
R
t Î
，且
e
2
t
f x
t
=
-
，
设
e
2
t
g t
t
=
-
，则
e
2
t
g t
¢
=
-
，
所以
g t 在
,ln 2
-¥
上是减函数，在
ln 2,+¥ 上是增函数，
所以
ln 2
2
2ln 2
g t
g
³
=
-
，
所以
g t 的最小值为2
2ln 2
-
，即
f x 的最小值为2
2ln 2
-
，
所以
2
2ln 2
a £
-
.
故选：D．
4．（25-26 高三上·吉林延边·开学考试）若关于x 的不等式
3
2
e
ln
1
x
ax x
x
x ³
-
+
在区间
1,+¥ 上恒成立，则实数a 的
取值范围为（ ）
A．
,1
-¥
B．
1
, 2
æ
ù
-¥
ç
ú
è
û
C．
,e
-¥
D．
1
, e
æ
ù
-¥
ç
ú
è
û
【答案】A
【详解】因为
1,
x
¥
Î
+
，所以
3
3
3
3
e
e
ln
1
ln e
ln
1
ln
1
x
x
x
a x
x
a
x
a
x
x
æ
ö
³
-
+
=
-
+
=
+
ç
÷
è
ø
，
令
3
ex
y
x
=
，则
3
2
6
4
e
3
e
3e
,
1
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
-
=
¢
-
=
³ ，
易得
3
min
e
3
0
27
y
y
=
=
>
，
设
3
ex
t
x
=
，则
ln
1
t
a
t
³
+
，分离参数可得
ln
1
t
a
t
£
+
令
ln
1
t
h t
t
=
+ ，
2
2
ln
1 1
ln
1
ln
1
ln
t
t
h t
t
t
+ -
=
=
+
¢
+
，
易得函数在
3e ,1
27
æ
ö
ç
÷
è
ø
上单调递减，在
1, ¥
+
上单调递增，
所以
min
1
1
1
h t
h
a
=
= Þ
£ ，
所以实数a 的取值范围为
,1
-¥
.
故选：A.
5．（25-26 高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数
e
ln
x
f
x
a
x
b
x
a
=
-
-
-
，,
R
a bÎ
，若
0
f x ³ 恒成立，
则2a
b
-
的最小值为
．
【答案】1
ln 2
+
【详解】因为函数的定义域为(0,
)
+¥ ，因
0
f x ³
，
所以考虑(e
)
x
a
-
，(ln
)
x
b
-
，(
)
x
a
-
三个因式的正负号的问题，下面分三种情况：
①当
0
a £
时，因
0
x >
，所以(e
)
0
x
a
-
>
，(
)
0
x
a
-
>
，而
0
x ®
时，(ln
)
x
b
-
® -¥ ，所以不满足
0
f x ³
；
②当
1
a > 时，因
0
x >
，当
0
x ®
时，(e
)
0
x
a
-
<
，(
)
0
x
a
-
<
，(ln
)
x
b
-
® -¥ ，所以也不满足
0
f x ³
；
③当0
1
a
<
£ 时，因
0
x >
，所以(e
)
0
x
a
-
>
，要使
0
f x ³
，必须(
)(ln
)
0
x
a
x
b
-
-
³
.
而函数y
x
a
=
-
及
ln
y
x
b
=
-
在(0,
)
+¥ 上都是单调递增的，
要使(
)(ln
)
0
x
a
x
b
-
-
³
在(0,
)
+¥ 上恒成立，必须两个函数值的正负号在(0,
)
+¥ 完全相同，
所以两个函数的零点也相同，即
eb
a =
且
0
b £
.
综上①②③得，当0
1
a
<
£ ，
eb
a =
且
0
b £
时，
0
f x ³
恒成立.
所以2
2eb
a
b
b
-
=
- ，
0
b £
.令( )
2eb
g b
b
=
- ，
0
b £
，则
( )
2e
1
0
b
g b
¢
=
- =
，得
1
ln
ln 2
2
b =
= -
，
当
ln 2
b < -
时
( )
0
g b
¢
<
，当
ln 2
0
b
-
<
£
时
( )
0
g b
¢
>
，所以
ln 2
b = -
是函数( )
2eb
g b
b
=
- 极小值点也是最小值点，
所以( )
( ln 2)
1 ln 2
g b
g
³
-
= +
，得2
1
ln 2
a
b
-
³ +
.
故2a
b
-
的最小值为1
ln 2
+
.
故答案为：1
ln 2
+
.
6．（2025·黑龙江大庆·一模）对于任意的xÎR ，不等式
2
e
ln
e
2
3
0
x
x
x
a
a
x
a
x
a
é
ù
+
-
-
-
-
+
+
£
ë
û
恒成立，则实数
a =
.
【答案】
2e
【详解】设
e
(
n
)
l
x
a
f
x
x
a
-
-
=
+
，显然
( )
f x 在R 上单调递增，
注意到
ln
(ln )
e
ln
ln
0
a
f
a
a
a
a
=
+
-
-
=
，
于是
ln ,
( )
0;
ln ,
( )
0
x
a f x
x
a f x
>
>
<
<
；
设
2
( )
e
2
3
x
g x
x
a
x
a
=
-
-
+
+
，
要使得
2
e
ln
e
2
3
0
x
x
x
a
a
x
a
x
a
é
ù
+
-
-
-
-
+
+
£
ë
û
对于任意的xÎR 恒成立，
需满足
ln ,
0;
ln ,
0
x
a g x
x
a g x
>
£
<
³
，且(ln )
0
g
a =
；
由(ln )
0
g
a =
，即
2
ln
(
2)ln
3
0
a
a
a
a
a
-
-
+
+
=
，即
2
ln
ln
2ln
2
0
a
a
a
a
a
-
-
+
=
，
整理得(ln
2)(ln
)
0
a
a
a
-
-
=
，
设
( )
ln
p a
a
a
=
-
，
1
1
( )
1
a
p a
a
a
-
¢
=
- =
，
则0
1,
( )
0
a
p a
¢
<
<
>
，
( )
p a 单调递增，
1,
( )
0
a
p a
¢
>
<
，
( )
p a 单调递减，
故
( )
(1)
ln1 1
1
0
p a
p
£
=
- = - <
，即ln
1
a
a
-
£ - ，于是ln
0
a
a
-
=
无解，
只可能ln
2
0
a -
=
，解得
2e
a =
；
下面检验
ln , ( )
0;
ln , ( )
0
x
a g x
x
a g x
>
<
<
>
，且(ln )
0
g
a =
；
由于
2e
a =
，即检验
2, ( )
0;
2, ( )
0
x
g x
x
g x
>
<
<
>
，且(2)
0
=
g
；
2
2
2
( )
e
e
2
3e
x
g x
x
x
=
-
-
+
+
，
2
2
2
(2)
4
e
2(e
2)
3e
0
g
=
-
-
+
+
=
，
2
( )
2
e
e
2
x
g x
x
=
-
-
+
¢
，
设( )
2
ex
q x
x
=
-
，
( )
2
ex
q x
¢
=
-
，
则
ln 2,
( )
0
x
q x
¢
<
>
，( )
q x 单调递增，
ln 2,
( )
0
x
q x
¢
>
<
，( )
q x 单调递减，
故
ln2
( )
(ln 2)
2ln 2
e
2ln 2
2
0
q x
q
£
=
-
=
-
<
，此时
2
( )
2
e
e
2
0
x
g x
x
=
-
-
+
<
¢
，
结合(2)
0
=
g
即得证.
故答案为：
2e
7．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）已知aÎR ，函数
e
1
x
f x =
- ，若
f
x
ax
³
恒成立，则a 的取值范围
是
.
【答案】
0,1
【详解】因为
e
1
x
f x =
- ，所以不等式
f
x
ax
³
可化为e
1
x
ax
-
³
，
当
0
x ³
时，e
1
x ³ ，所以e
1
0
x
ax
- -
³
，
由已知e
1
0
x
ax
- -
³
在
0,+¥ 上恒成立，
所以
min
e
1
0
x
ax
- -
³
，其中
0,
xÎ
+¥ ，
设
e
1
x
g x
ax
=
- -
，
0,
xÎ
+¥ ，
则
ex
g
x
a
¢
=
-
，
若
1
a £ ，则
0
g
x
¢
³
，函数
g x 在
0,+¥ 上单调递增，
所以
0
0
g x
g
³
=
，满足条件，
若
1
a > ，令
0
g
x
¢
=
，可得
ln
0
x
a
=
>
，
当0
ln
x
a
£
<
时，
0
g
x
¢
<
，函数
g x 在
0,ln a 上单调递减，
当
ln
x
a
>
时，
0
g
x
¢
>
，函数
g x 在
ln ,a +¥ 上单调递增，
所以当0
ln
x
a
<
<
时，
0
0
g x
g
<
=
，与条件矛盾，
所以
1
a £ ，
当
0
x <
时，0
e
1
x
<
< ，所以1 e
0
x
ax
-
-
³
，
由已知1 e
0
x
ax
-
-
³
在
,0
-¥
上恒成立，
所以
min
1 e
0
x
ax
-
-
³
，其中
,0
xÎ -¥
，
设
1 ex
h x
ax
= -
-
，
,0
xÎ -¥
，
则
ex
h x
a
¢
= -
-
，
若
0
a ³
，则
0
h x
¢
<
，函数
h x 在
,0
-¥
上单调递减，
又当
0
x <
，且
0
x ®
时，
0
h x →，
所以当
0
a ³
时，1 e
0
x
ax
-
-
³
在
,0
-¥
上恒成立，
当
0
a <
时，1
0
a <
，
1
1
1
1 e
1
e
0
a
a
h a
æ
ö = -
- = -
<
ç
÷
è
ø
，
与条件1 e
0
x
ax
-
-
³
在
,0
-¥
上恒成立矛盾，
所以
0
a ³
，
所以0
1
a
£
£ ，
所以a 的取值范围是
0,1 ，
故答案为：
0,1
8．（25-26 高三上·天津南开·开学考试）若关于x 的不等式
2
ln
2e x
a
ax £
在
0, ¥
+
上恒成立，则实数a 的取值范围
为
．
【答案】0
2e
a
<
£
【详解】由题意得
0
a >
，当
ln
0
ax £
，不等式
2
ln
2e x
a
ax £
在
0, ¥
+
上恒成立，
当
ln
0
ax >
，不等式
2
ln
2 e x
ax
ax
x
£
在
0, ¥
+
上恒成立，
所以不等式
ln
2
e
ln
2 e
ax
x
ax
x
£
在
0, ¥
+
上恒成立，
令
ex
f x
x
=
，则不等式
ln
2
f
ax
f
x
é
ù £
ë
û
在
0, ¥
+
上恒成立，
因为
1 e
0
x
f
x
x
=
+
>
¢
，所以
f x 在
0, ¥
+
上递增，
所以
ln
2
ax
x
£
在
0, ¥
+
上恒成立，显然
ln
0
ax £
，不等式
ln
2
ax
x
£
在
0, ¥
+
上恒成立，
即ln
2
ln
a
x
x
£
-
在
0, ¥
+
上恒成立，
令
2
ln
g x
x
x
=
-
，则
1
2
1
2
x
g
x
x
x
=
¢
-
=
-
，
当
1
0
2
x
<
<
时，
0
g
x
¢
<
；当
1
2
x >
时，
0
g
x
¢
>
，
当
1
2
x =
时，
min
1 ln 2
g x
é
ù
= +
ë
û
，所以ln
1
ln 2
ln 2e
a £ +
=
，则
2e
a £
，
所以0
2e
a
<
£
故答案为：0
2e
a
<
£
9．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数
2
( )
ln(
1)
f x
x
ax
x
=
+
+
-
（aÎR ）.
(1)当
1
a = 时，讨论
( )
f x 的单调性；
(2)当
0
x ³
时，
( )
0
f x ³
恒成立，求a 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2) 1 ,
2
é
ö
+¥÷
êë
ø
【详解】（1）当
1
a = 时，
2
( )
ln(
1)
f x
x
x
x
=
+
+
-
，则
'
1
(2
1)
( )
2
1
1
1
x
x
f
x
x
x
x
+
=
+
- =
+
+
且
1
x > - ，
由
'( )
0
f
x >
，得
1
1
2
x
- <
< -
或
0
x >
；
'( )
0
f
x <
，得
1
0
2
x
-
<
<
；
则
( )
f x 在
1
1,
2
æ
ö
- -
ç
÷
è
ø 上单调递增，在
1 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 上单调递减，在(0,
)
+¥ 上单调递增.
（2）由题知
'
1
( )
2
1
1
f
x
ax
x
=
+
-
+
，令
'
( )
( )
g x
f
x
=
，则
'
2
1
( )
2
(
1)
g x
a
x
= -
+
+
，
因当
0
x ³
时，
( )
0
f x ³
恒成立，且
'
(0)
(0)
0
f
f
=
=
，
则必有
'(0)
1
2
0
g
a
= - +
³
，即
1
2
a ³
，
另一方面，
1
2
a ³
时，
'
2
2
1
1
( )
2
1
0
(
1)
(
1)
g x
a
x
x
= -
+
³ -
³
+
+
，
所以
'
( )
( )
g x
f
x
=
在[0,
)
+¥ 上单调递增，则
'
'
( )
(0)
0
f
x
f
³
=
，
所以
( )
f x 在[0,
)
+¥ 上单调递增，则
( )
(0)
0
f x
f
³
=
，满足题设，
综上，a 的取值范围为1 ,
2
é
ö
+¥÷
êë
ø .
10．（25-26 高三上·黑龙江·开学考试）已知函数
ln ,
1
0,
R
a
f
x
x g x
x
a
x
=
= -
>
Î
.
(1)若曲线
y
f x
=
在点
1,0
P
处的切线与曲线
y
g x
=
也相切，求a 的值；
(2)若
f x
g x
³
，求a 的最小值.
【答案】(1)1
(2)1
【详解】（1）因为
1
0
f
x
x
x
=
¢
>
，所以
1
1
k
f
=
¢
= ，
所以函数
f x 在点
1,0
P
处的切线方程为
0
1
1
y
x
-
= ´
-
，即
1
0
x
y
-
- =
，
因为
f x 在点
1,0
P
处的切线与曲线
y
g x
=
也相切，
设切线
1
0
x
y
-
- =
与曲线
y
g x
=
的切点为
0
0
0
,1
,
0,
R
a
x
x
a
x
æ
ö
-
>
Î
ç
÷
è
ø
，
所以
0
0
1
1
0
a
x
x
æ
ö
-
-
- =
ç
÷
è
ø
，①
因为
2
0,
R
a
g
x
x
a
x
>
¢
=
Î
，所以
0
2
0
1
a
k
g
x
x
=
=
=
¢
，②，
联立①②解得
1
a = ；
（2）因为
f x
g x
³
，所以ln
1
0
a
x
x
- +
³
恒成立，
即
ln
a
x
x
x
³
-
在
0, ¥
+
上恒成立，
令
ln
h x
x
x
=
-
，则
ln
h x
x
¢
= -
，
当0
1
x
<
< 时，
0,
h x
h x
¢
>
在
0,1 上单调递增，
当
1
x > 时，
0
h x
¢
<
，
h x 在
1, ¥
+
上单调递减，
所以
max
1
1
h x
h
=
= ，由题意可知
max
ln
a
x
x
x
³
-
，故
1
a ³ ，
故a 的最小值为1.
11．（25-26 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数
3
ln
1
2
x
f x
ax
b x
x
=
+
+
-
-
．
(1)若
0
b =
，且
0
f
x
¢
³
，求a 的最小值；
(2)证明：曲线
y
f x
=
是中心对称图形；
(3)若
2
a = - ，证明：当
0
b ³
时，
2
f x > - 在区间
1,2 上恒成立．
【答案】(1) 2
-
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当
0
b =
时，
ln 2
x
f x
ax
x
=
+
-
，其中
0,2
xÎ
，
则
1
1
2
,
0,2
2
2
f
x
a
a x
x
x
x
x
=
+
+
=
+
Î
-
¢
-
，
因为
2
2
2
1
2
x
x
x
x
-
+
æ
ö
-
£
=
ç
÷
è
ø
，当且仅当
1
x = 时等号成立，
故
min
2
f
x
a
¢
=
+
，而
0
f
x
¢
³
成立，故
2
0
a +
³
，即
2
a ³ - ，
所以a 的最小值为2
- ．
（2）
3
ln
1
2
x
f x
ax
b x
x
=
+
+
-
-
的定义域为
0,2 ，
设
,
P m n 为
y
f x
=
图象上任意一点，故
3
ln
1
2
m
f m
am
b m
n
m
=
+
+
-
=
-
，
而
3
3
2
2
ln
2
2
1
ln
1
2
2
2
m
m
f
m
a
m
b
m
am
b m
a
n
a
m
m
-
é
ù
-
=
+
-
+
-
-
= -
+
+
-
+
= - +
ê
ú
-
ë
û
，
所以
2
2
f
m
f m
a
-
+
=
，所以
y
f x
=
的图象为中心对称图形，且对称中心为
1,a ．
（3）若
2
a = - ，
0
b ³
，原命题等价于证明
3
2
ln
2 1
1
0
2
x
f x
x
b x
x
+
=
+
-
+
-
>
-
在区间
1,2 上恒成立，
设
1
0,1
t
x
=
- Î
，则需满足
3
1
ln
2
0
1
t
t
bt
t
+ -
+
>
-
在区间
0,1 上恒成立，
设
3
1
ln
2
,
0,1
1
t
g t
t
bt t
t
+
=
-
+
Î
-
，则
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2
3
1
1
t
bt
b
g t
bt
t
t
-
+
+
=
-
+
=
-
¢
-
，
因为
0,1
t Î
，所以
2
0,1
t Î
，
2
1
0
t
-
>
，若
0
b ³
，则
2
3
2
3
3
2
3
2
0
bt
b
b
b
-
+
+
> -
+
+
=
>
，
故
0
g t
¢
>
恒成立，故
g t 在区间
0,1 上为增函数，
故
0
0
g t
g
>
=
，即
2
f x > - 在区间
1,2 上恒成立．
12．（25-26 高三上·江苏南京·开学考试）已知
ln
f x
ax
x
=
-
．
(1)讨论
f x 的单调性；
(2)若
f x 在
2
0,e ùû 有两个零点，求a 的取值范围；
(3)若
2sin
cos
ln
x
x
x
x
f x
-
-
³
在
π
0, 2
x
æ
ù
Îç
ú
è
û 上恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
2
2
1
e
e
a
£
<
(3)
,1
-¥
【详解】（1）∵
ln
f x
ax
x
=
-
，∴
1
1
0
ax
f
x
a
x
x
x
-
=
-
=
>
¢
，
当
0
a £
时，
0
f
x
¢
<
恒成立，
f x 在
0, ¥
+
上递减，
当
0
a >
时，令
0
f
x
¢
<
得，
1
0
x
a
<
<
，∴
f x 在
1
0, a
æ
ö
ç
÷
è
ø 上递减，
令
0
f
x
¢
>
得，
1
x
a
>
，∴
f x 在1 ,
a
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø上递增．
（2）由（1）可知
0
a £
时，不合题意；
0
a >
时，
f x 在
1
0, a
æ
ö
ç
÷
è
ø 上递减，在1 ,
a
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø上递增，
若
f x 在
2
0,e ùû 有两个零点，则定有
1
1 ln
0
f
a
a
æ
ö = +
<
ç
÷
è
ø
，解得
1
0
e
a
<
<
，
此时
1
1
0
e
e
a
f æ
ö =
+ >
ç
÷
è
ø
，所以
f x 在1 1
,
e a
æ
ö
ç
÷
è
ø 上一定有一个零点，
当
2
2
2
2
e
e
2
0,
e
f
a
a
=
-
³
³
时，
f x 在
2
1 ,e
a
æ
ù
ç
ú
è
û 上一定有一个零点，
综上：
2
2
1
e
e
a
£
<
．
（3）由
2sin
cos
ln
x
x
x
x
f x
-
-
³
，得2sin
cos
0
x
x
x
ax
-
-
³
，
故2sin
cos
0
x
x
x
ax
-
-
³
在
π
0, 2
x
æ
ù
Îç
ú
è
û 上恒成立，
设
π
2sin
cos
,
0, 2
h x
x
x
x
ax x
æ
ù
=
-
-
Îç
ú
è
û ，
则
2cos
cos
sin
cos
sin
h x
x
x
x
x
a
x
x
x
a
=
-
+
-
=
+
-
¢
，
设
cos
sin
m x
x
x
x
a
=
+
-
，则
cos
m x
x
x
¢
=
，
当
π
0, 2
x
æ
ù
Îç
ú
è
û 时，
0,
m x
m x
>
¢
\
单调递增；
∴
h x
¢
在
π
0, 2
x
æ
ù
Îç
ú
è
û 上单调递增.
所以在
π
0, 2
x
æ
ù
Îç
ú
è
û 上，
π
π
2
2
h x
h
a
æ
ö
£
=
-
ç
÷
è
ø
¢
¢
，且
0
1
h
a
¢
= -
，
当π
0
2
a
-
£
，即
π
2
a ³
时，
0,
h x
h x
¢
£
在
π
0, 2
æ
ù
ç
ú
è
û 上单调递减，
则
0
0
h x
h
<
=
，不符合题意，舍去，
当π
0
2
a
-
>
，即
π
2
a <
时，
（i）若1
0
a
-
<
，即
π
1
2
a
<
<
，
0
π
0, 2
x
æ
ö
$
Îç
÷
è
ø ，使得
0
0
h x
¢
=
，当
0
0
x
x
<
<
时，
0
h x
¢
<
，
0
h x <
在
0
0, x
内单调递减，
0
0
h x
h
<
=
，不符合题意，舍去，
（ii）若1
0
a
-
³
，即
1,
0
a
h x
¢
£
>
恒成立，
h x 在
π
0, 2
x
æ
ù
Îç
ú
è
û 上单调递增，则
0
0
h x
h
>
=
，符合题意，
综上，实数a 的取值范围为
,1
¥
-
．
13．（25-26 高三上·安徽阜阳·开学考试）已知函数
2
1
1 ln 1
,
0,
f x
x
x
x
¥
é
ù
=
-
+
+
Î
+
ë
û
，
f
x
¢
为
f x 的导函
数.
(1)讨论
f
x
¢
的单调性；
(2)证明：
1
f x
x
£
+ ；
(3)若
1
f x
ax
£
+ ，求a 的取值范围.
【答案】(1)
f
x
¢
在
0,+¥ 单调递减；
(2)证明见解析
(3)
1,+¥
【详解】（1）由题，
1 3
2 ln 1
f
x
x
x
x
= -
-
+
¢
，
令
1 3
2 ln 1
,
0,
g x
x
x
x
x
= -
-
+
Î
+¥ ，
则对
0,
x
" Î
+¥ ，
2
3
2ln 1
0
1
x
g
x
x
x
= - -
+
-
<
+
¢
，
所以
g x 在
0,+¥ 单调递减，即
f
x
¢
在
0,+¥ 单调递减.
（2）令
1
1
ln 1
,
0,
h x
x
x
x
x
= -
+
-
+
Î
+¥ ，
则对
0,
x
" Î
+¥ ，
2
ln 1
0
1
x
h x
x
x -
¢
-
=
+
<
+
，
所以
h x 在
0,+¥ 单调递减，
所以
0
1
h x
h
£
= ，即
1
1
ln 1
1
x
x
x
-
+
-
+
£ ，
因为1
0
x
+
>
，所以
1
1
1
ln 1
1
x
x
x
x
x
é
ù
+
-
+
-
+
£ +
ë
û
，
即
1
f x
x
£
+ 得证.
（3）令
1,
0,
t x
f x
ax
x
=
-
-
Î
+¥ ，则
0
0
t
=
，
若
1
f x
ax
£
+ ，则
0
t x
t
£
.
因为
t
x
f
x
a
¢
¢
=
-
，由（1）
f
x
¢
在
0,+¥ 单调递减，
可知
t
x
¢
在
0,+¥ 单调递减，所以
0
1
t
x
t
a
¢
¢
£
= -
，
若
1
a < ，因为
0
1
0
t
a
=
¢
-
>
，x ® +¥ 时，
t
x
¢
® -¥ ，
所以
0
0,
x
$
Î
+¥ ，
0
0
t
x
¢
=
.
所以当
0
0,
x
x
Î
时，
0
t
x
¢
>
，
t x 单调递增，
所以
0
0
0
t x
t
>
=
，矛盾；
若
1
a ³ ，则由
t
x
¢
在
0,+¥ 单调递减，可得
0
1
0
t
x
t
a
£
= -
¢
£
¢
，
所以
t x 在
0,+¥ 单调递减，
0
t x
t
£
，满足条件.
综上，a 的取值范围是
1,+¥ .
14．（25-26 高三上·河南商丘·开学考试）已知定义域为R 的函数
f x 的导函数
2
3
2cos
f
x
ax
x
m
¢
=
+
-
，且曲线
y
f x
=
在点
0,
0
f
处的切线方程为y
x
=
．
(1)求m 的值；
(2)当
1
a = 时，讨论
f x 的单调性；
(3)若
0
f x ³ 在
0,
xÎ
+¥ 上恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)
1
m =
(2)
f x 在R 上单调递增
(3)
2
1 ,
π
é
ö
+¥÷
êë
ø
【详解】（1）由题意知
2
3
2cos
f
x
ax
x
m
=
+
-
¢
，
且曲线
y
f x
=
在点
0,
0
f
处的切线方程为y
x
=
，
所以
0
1
f ¢
= ，即2
1
m
-
= ，解得
1
m = ．
（2）由（1）知，
1
m = ，则当
1
a = 时，
2
3
2cos
1
f
x
x
x
=
+
-
¢
．
令
f
x
g x
¢
=
，则
6
2sin
2 3
sin
g
x
x
x
x
x
-
=
-
¢
=
，
令
3
sin
h x
x
x
=
-
，则
3
cos
0
h x
x
=
¢
-
>
，
所以
h x 在R 上单调递增，且
0
0
h
=
，
所以
0
x >
时，
1
0
2
h x
g
x
¢
=
>
，所以
g x
f
x
=
¢
在
0, ¥
+
上单调递增；
当
0
x <
时，
1
0
2
h x
g
x
¢
=
<
，所以
g x
f
x
=
¢
在
,0
¥
-
上单调递减．
所以
min
0
1
0
f
x
f
¢
¢
=
= >
，所以
f x 在R 上单调递增．
（3）由曲线
y
f x
=
在点
0,
0
f
处的切线方程为y
x
=
，得
0
0
f
=
，
又
2
3
2cos
1
f
x
ax
x
=
+
-
¢
，所以
3
2sin
f x
ax
x
x
=
+
-
．
当
0
x =
时，
(0)
0
f
=
，则
0
f x ³
恒成立，所以aÎR ．
当
0
x >
时，由
( )
0
f x ³
，得
3
2sin
x
x
a
x
-
³
．
令
3
2sin
x
x
F x
x
-
=
，则
4
2 3sin
cos
x
x
x
x
F
x
x
-
-
¢
=
．
令
3sin
cos
G x
x
x
x
x
=
-
-
，则
sin
2cos
1
G
x
x
x
x
+
¢
=
- ，
再令
sin
2cos
1
H x
x
x
x
=
+
- ，则
cos
sin
H
x
x
x
x
=
-
¢
，
令
cos
sin
K x
x
x
x
=
-
，则
sin
K
x
x
x
¢
= -
．
①当0
π
x
<
£
时，
sin
0
K
x
x
x
¢
= -
<
，故
K x 在
0,π 上单调递减，
又
0
0
K
=
，所以
0
0
H
x
K x
K
<
¢
=
=
，故
( )
H x 在
0,π 上单调递减，
因为
0
1
0
H
= >
，
π
3
0
H
= - <
，
所以存在
0
0,π
x Î
，使得
0
0
0
G
x
H x
¢
=
=
，
于是
G x 在
0
0, x
上单调递增，在
0,π
x
上单调递减．
由于
0
0
G
=
，
π
0
G
=
，于是
0,π
xÎ
时，
0
G x ³
，此时
0
F
x
¢
³
，
所以
F x 在
0,π 上单调递增，
F x 在
0,π 上的最大值为
2
1
π
π
F
=
．
②当
π
x >
时，令
3
2
2sin
π
π
x
L x
x
x x
=
+
-
>
，
则
2
2
2
2
3
3π
2cos
1
2
1
0
π
π
x
L x
x
=
+
- > - +
- =
¢
，
所以
L x 在
π, ¥
+
上单调递增，此时
π
0
L x
L
>
=
，
故当
π,
x
¥
Î
+
时，
3
2
2sin
1
π
x
x
F x
x
-
=
<
，
由①②知
3
2sin
x
x
F x
x
-
=
在
0, ¥
+
上的最大值为
2
1
π ，
所以
2
1
π
a ³
，即a 的取值范围是
2
1 ,
π
¥
é
ö
+
÷
êë
ø．
15．（25-26 高三上·浙江·阶段练习）已知函数
sin
0
f x
x
mx x
=
+
³
.
(1)若函数
f x 的最大值为0，求m 的取值范围；
(2)证明：当
0
x ³
时，有sin
sin3
2
x
x
x
-
³ -
；
(3)若对任意
0
x ³
，都有sin
sin3
x
x
ax
-
£
成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
, 1
-¥ -
(2)证明见解析
(3)
2,+¥
【详解】（1）
cos
f
x
x
m
=
¢
+
，
注意到
0
0
f
=
，而函数
f x 的最大值为0，因此
0
1
0
f
m
=
¢
+
£
，所以
1
m £ - ，
另一方面，当
1
m £ - 时，
cos
1
0
f
x
x
m
m
=
+
£ +
£
¢
，故
f x 在
0, ¥
+
上单调递减，
则
0
0
f x
f
£
=
，满足题意，
综上所述，m 的取值范围为
, 1
-¥ -
.
（2）由（1）得当
1
m = - 时函数
sin
f x
x
x
=
-
在
0, ¥
+
单调递减，
又3
0
x
x
³
³
，因此sin
sin3
3
x
x
x
x
-
³
-
，即sin
sin3
2
x
x
x
-
³ -
成立.
（3）因
sin
sin3
sin 2
sin 2
2cos2
sin
x
x
x
x
x
x
x
x
-
=
-
-
+
= -
×
，
则
sin
sin3
2 cos2
sin
ax
x
x
x
x
³
-
=
×
，
当
π
0, 4
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，cos2
sin
0
x
x
×
³
，则
2cos2
sin
ax
x
x
³
×
，
令
π
2cos2
sin
,
0, 4
h x
x
x
ax x
é
ù
=
×
-
Îê
ú
ë
û ，则
2cos2
cos
4sin2
sin
h x
x
x
x
x
a
=
×
-
¢
×
-
，
因
0
h x £
在
π
0, 4
é
ù
ê
ú
ë
û 上恒成立，且
0
0
h
=
，则
0
2
0
h
a
=
¢
-
£
，即
2
a ³
，
下面证明
2
a ³
时sin
sin3
x
x
ax
-
£
成立：
由（2）得sin
sin3
2
x
x
x
ax
-
³ -
³ -
，下面证明sin
sin3
2
x
x
x
-
£
，
即证明sin
sin3
3
x
x
x
x
+
£
+
，
令
sin
0
g x
x
x x
=
+
³
，则
cos
1
0
g
x
x
=
+ ³
¢
，因此
g x 单调递增，
则
3
g
x
g x
³
即sin
sin3
2
x
x
x
-
£
成立；
综上所述，实数a 的取值范围为
2,+¥ .
16．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知函数
2
ln
.
f x
x
a x
a a
=
-
-
ÎR
(1)讨论
f x 的单调性，并求相应极值.
(2)若
0
a >
，关于x 的不等式
ln
2e
2
a
f x
a
a
> - -
+
恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
答案见解析
(2)
2e, ¥
+
【详解】（1）函数
2
ln
f x
x
a x
a
=
-
-
的定义域为
0, ¥
+
，
对
f x 求导得
2
2
2
a
x
a
f
x
x
x
x
=
¢
-
=
-
当
0
a £
时，
2
2
0
x
a
-
>
，即
0
f
x
¢
>
在
0, ¥
+
上恒成立，
所以
f x 在
0, ¥
+
上单调递增；
当
0
a >
时，令
0
f
x
¢
=
，即
2
2
0
x
a
x
-
=
，
解得
2
a
x =
（
2
a
x = -
舍去，因为
0
x >
）
当0
2
a
x
<
<
时，
2
2
0
x
a
-
<
即
0
f
x
¢
<
，所以
f x 在0,
2
a
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递减，
当
2
a
x >
时，
2
2
0
x
a
-
>
即
0
f
x
¢
>
，所以
f x 在
,
2
a
æ
ö
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递增，
所以
f x 在
2
a
x =
处取得极小值，
极小值为
ln
ln
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
f
a
a
æ
ö =
-
-
= -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，无极大值，
综上，当
0
a £
时，
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，无极值，
当
0
a >
时，
f x 在0,
2
a
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递减，在
,
2
a
æ
ö
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递增，极小值为
ln
2
2
2
a
a
a
-
-
，无极大值.
（2）由（1）可知，当
0
a >
时，
f x 在
2
a
x =
处取得极小值，也是最小值，
即
min
ln
2
2
2
a
a
a
f x
= -
-
，
因为关于x 的不等式
ln
2e
2
a
f x
a
a
> - -
+
恒成立，
所以
min
ln
2e
2
a
f x
a
a
> - -
+
，即
ln
ln
2e
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
-
-
> - -
+
，
化简得
ln
2e
2
2
2
a
a
a
+
>
，即
ln
4e
2
a
a
a
+
>
，
令
ln
,
0
2
a
g a
a
a
a
=
+
>
，
对
g a 求导得
2
1
1
ln
ln
2
2
2
2
a
a
g
a
a
a
= +
+
´
´
=
+
¢
，
令
0
g a
¢
=
，即ln
2
0
2
a +
=
，解得
2
2
e
a =
，
当
2
2
0
e
a
<
<
时，
'
0
g
a <
，
g a 单调递减；
当
2
2
e
a >
时，
'
0
g
a >
，
g a 单调递增，
易知ln
1
2
2
a
a
£
- ，所以
2
ln
1
2
2
2
a
a
a
a
a
a
aæ
ö
+
£
+
-
=
ç
÷
è
ø
，当
0
a ®
时，
0
g a ®
，
即当
2
2
0
e
a
<
<
时，
0
g a <
.
又因为
2e
2e
2elne
4e
g
=
+
=
，所以原不等式即为
2e
g a
g
>
，根据单调性解得，
2e
a >
，
因此，实数a 的取值范围为
2e, ¥
+
.
1．（24-25 高二下·江西九江·期末）已知函数
cos
sin
f x
x
x
x
=
-
，若存在实数
0,2π
x Î
，使得
f
x
t
£ 成立，则
实数t 的最小值是（ ）
A．π
-
B．2π
C．-1
D．1
【答案】A
【详解】由
cos
sin
f x
x
x
x
=
-
，得
sin
f
x
x
x
¢
= -
，
当
0,π
xÎ
时，
0
f
x
¢
<
，故
f x 在
0,π 上单调递减，
当
π,2π
xÎ
时，
0
f
x
¢
>
，故
f x 在
π,2π 上单调递增，
故当
0,2π
xÎ
时，
min
π
π
f x
f
=
= - ，
而存在实数
0,2π
xÎ
，使得
f x
t
£ 成立，故π
t
- £ ，
即实数t 的最小值是π
-
，
故选：A
2．（25-26 高三上·山东·开学考试）若关于x 的不等式
2
ln
0
x ax
ax
-
-
³
有且只有一个整数解，则实数a 的取值范围
是（ ）
A．ln3 ln 2
,
12
6
æ
ù
ç
ú
è
û
B．ln3 ln 2
,
12
6
é
ö
÷
êë
ø
C．ln 2 ln3
,
10
12
æ
ù
ç
ú
è
û
D．ln 2 ln3
,
10
12
é
ö
÷
êë
ø
【答案】A
【详解】因为
2
ln
(
)
0
x
a x
x
-
+
³
，
0
x >
，所以ln
(
1)
x
a x
x ³
+
，
令
ln
( )
x
f x
x
=
，则
2
1 ln
( )
x
f
x
x
-
¢
=
，
当
0,e
xÎ
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
( )
f x 在
0,e 上单调递增，
当
e,+
x
¥
Î
时，
( )
0
f
x
¢
<
，
( )
f x 在
e,+¥ 上单调递减，
当
0
x ®
时，
( )
f x ® -¥ ，当x ® +¥ 时，
( )
0
f x ®
，且
(1)
0
f
=
，
令( )
(
1)
g x
a x
=
+
，则( )
g x 的图象是一条过定点
1,0
P -
的直线，
当
0
a £
时，不符合题意；
则
0
a >
，如图，当( )
g x 的图象经过
ln 2
ln3
ln 4
2,
,
3,
,
4,
2
3
4
A
B
C
æ
ö
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø 时，
直线
,
,
PA PB PC 的斜率分别为ln 2 ln3 ln 2
,
,
6
12
10 ，
考点三
利用导数研究函数的能成立问题
不等式ln
(
1)
x
a x
x ³
+
只有1 个整数解，
由图可知ln3
ln 2
12
6
a
<
£
.
故选：A .
3．（24-25 高二下·河北·期末）已知函数
e
1
0
x
f x
x
a
x
a
=
-
-
+
>
，若不等式
0
f x <
的整数解有且仅有两
个，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
1,2e 1
-
B．
2
1
1,2
e
æ
ù
-
ç
ú
è
û
C．
2
1
2
,2e 1
e
æ
ù
-
-
ç
ú
è
û
D．
2
1
1
,1
e
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【答案】B
【详解】由
0
f x <
得：
e
1
e
x
x
x
x
a
-
+
>
，令
e
1
e
x
x
x
x
g x
-
+
=
，则
e
2
e
x
x
x
g
x
+
-
¢
=
，
令
e
2
x
h x
x
=
+
-
，则
e
1
0
x
h x =
¢
+ >
在R 上恒成立，
所以
h x 在R 上单调递增，由
0
1
0
h
= - <
，1
e 1
0
h
=
- >
，
所以
0
0,1
x
$
Î
，使得
0
0
h x
=
，
当
0
,
x
x
¥
Î -
时，
0
h x <
，即
0
g
x
¢
<
，所以
g x 单调递减，
当
0,
x
x
¥
Î
+
时，
0
h x >
，即
0
g
x
¢
>
，所以
g x 单调递增，
所以
0
min
g x
g x
é
ù
=
ë
û
，如图所示，因为不等式
0
f x <
的整数解有且仅有两个，
即
a
g x
>
的整数解有且仅有两个，
0
1
1
g
g
=
= ，
2
1
2
2
e
g
=
-
，
1
2e 1
g -
=
- ，
所以有：
1
2
a
g
a
g
ì >
ïí £
ïî
，解得
2
1
1
2
e
a
<
£
-
．故B 正确.
故选：B．
4．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）设函数
e
0
x
f x
ax a
=
-
>
，若存在唯一整数
0x 使
0
0
f
x
<
，则a 的取值
范围为（ ）
A．e ,e
2
æ
ù
ç
ú
è
û
B．e ,e
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
2e
e, 2
æ
ù
ç
ú
è
û
D．
2e
e, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
【答案】C
【详解】令
e ,
0 ,
x
g x
h x
ax a
=
=
>
因为存在唯一整数
0x 使
0
0
f x
<
，即
0
0
ex
ax
<
，则
0x 必为正整数，
所以
g x 的图象在
h x 的图象下方的部分有且只有一个横坐标为整数的点，
当
h x 与
g x 相切时，设切点
0
0,ex
x
，
由于
ex
g
x
¢
=
，故切线斜率
0
ex
a =
，
切线方程为：
0
0
0
e
e
x
x
y
x
x
-
=
-
，
代入
0,0 得
0
0
0
e
e
x
x
x
-
=
-
，解得
0
1
x = ，此时
e
a =
，切点为
1,e ，
当a 继续增大时，则
1
1
2
2
g
h
g
h
ì
<
ïí
³
ïî
，解得
2
e
e
2
a
<
£
,
故选：C.
5．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知函数
2 1e
x
f x
x
-
=
，
ln
(
0)
g x
a x
x a
=
-
<
，若对任意的
1
1,3
x Î
，总存在
2
1 ,1
e
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，使得
1
2
f x
g x
£
，则a 的取值范围是
.
【答案】
5
e
a £ -
【详解】因为对任意的
1
1,3
x Î
，总存在
2
1 ,1
e
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，使得
1
2
f x
g x
£
，
所以
1
2
max
max
f x
g x
£
，
1
2 1
1
2 e
e
1
e
2
x
x
x
f
x
x
x
x
x
-
-
-
=
-
=
¢
+
-
，
令
0
f
x
¢
=
，得
2
x =
或0 （舍去）.
当1
2
x
<
<
时，
0
f
x
¢
>
，
f x 单调递增；
当2
3
x
<
<
时，
0
f
x
¢
<
，
f x 单调递减.
故
max
4
( )
2
e
f x
f
=
=
；
ln
(
0)
g x
a x
x a
=
-
<
，则
1
a
a
x
g
x
x
x
-
=
- =
¢
，因为
0
a <
，
所以
0
g
x
¢
<
在1 ,1
e
é
ù
ê
ú
ë
û 上恒成立，
则
g x 在1 ,1
e
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递减，
max
1
1
( )
e
e
g x
g
a
æ
ö
=
= - -
ç
÷
è
ø
，
所以4
1
e
e
a
£ - -
，故
5
e
a £ -
.
故答案为：
5
e
a £ -
6．（2025 高三下·甘肃白银·学业考试）已知函数
e x
f x
mx
-
=
-
，若存在xÎR ，使得
f x
x
³
成立，则m 的取值
范围为
.
【答案】
,1 e
1,
¥
¥
-
-
È
+
【详解】由
f x
x
³
可得(
1)
e x
m
x
-
-
³
，下对x 的范围分情况讨论：
（1）当
0
x =
，
0
(
1) 0
e
m -
´
³
，即0
1
³ ，不成立；
（2）当
0
x >
，由(
1)
e x
m
x
-
-
³
可得
e
1
1
e
x
x
m
x
x
-
- ³
=
，
设
e (
0)
x
y
x
x
=
>
，则
(
1)e
0
x
y
x
¢ =
+
>
，
则
ex
y
x
=
在(0,
)
+¥ 上单调递增，显然
,
ex
x
y
x
® +¥
=
® +¥ ，
即
(0,
)
xÎ
+¥ 时，
e
(0,
)
x
y
x
=
Î
+¥ ，
于是1
(0,
)
ex
x
Î
+¥ ，由于
1
1
ex
m
x
- ³
在
(0,
)
xÎ
+¥ 时有解，
则
1
0
m - >
，即
1
m > ；
（3）当
0
x <
，由(
1)
e x
m
x
-
-
³
可得
e
1
1
e
x
x
m
x
x
-
- £
=
，
设
e (
0)
x
y
x
x
=
<
，则
(
1)ex
y
x
¢ =
+
，
1,
0
x
y¢
< -
<
，1
0,
0
x
y¢
- <
<
>
，
则
ex
y
x
=
在(
, 1)
¥
-
-
上递减，在( 1,0)
-
上递增，
又
1
0,
0,
1,
e
x
y
x
y
=
=
= -
= -
，
而
1
x < - 时
ex
y
x
=
单调递减，但注意到
0
y <
，
于是
ex
y
x
=
在(
,0)
-¥
上的值域为
1 ,0
e
é
ö
-
÷
êë
ø ，
于是
1
, e
ex
x
¥
Î -
-
，由于
1
1
ex
m
x
- £
在
(0,
)
xÎ
+¥ 时有解，
则
1
e
m - £ - ，即
1
e
m £ - .
综上所述，
,1 e
1,
m
¥
¥
Î -
-
È
+
.
故答案为：
,1 e
1,
¥
¥
-
-
È
+
7．（25-26 高三上·河北保定·开学考试）已知
f x 是定义域为
,0
0,
¥
¥
-
È
+
的奇函数，
f x 的导函数为
f
x
¢
，且当
0
x <
时，
0
f
x
f x
¢
>
恒成立.若关于x 的方程
1
f
ax
f
x
-
=
-
有解，则正实数a 的取值范围
为
.
【答案】
1
0, 4
æ
ù
ç
ú
è
û
【详解】由题意知，当
0
x <
时，
0
f
x
f x
¢
>
恒成立，即
f
x
¢
与
f x 同号，
当
0
f x >
时，可得
0
f
x
¢
>
，所以
f x 在
,0
-¥
上单调递增；
当
0
f x <
时，可得
0
f
x
¢
<
，所以
f x 在
,0
-¥
上单调递减，
因为
f x 是定义域为
,0
0,
-¥
+¥
U
的奇函数，
根据奇函数的性质，可得函数
f x 在关于原点对称的区间上单调性相同，
即
f x 在
,0
-¥
和
0, ¥
+
的单调性相同，即要么递增，要么递减；
又因为
1
f
ax
f
x
-
=
-
，
由
0,
0
x
a
- >
>
，可得1
0
ax
-
>
，而
0
x
-
>
，
要使方程
1
f
ax
f
x
-
=
-
有解，则1 ax
x
-
=
-
，
令
,
0
t
x t
=
-
>
，则
2
2
1
1
1
1
1
1
(
)
2
4
4
a
t
t
t
= -
+
= -
-
+
£
，
所以正实数a 的取值范围为
1
0, 4
æ
ù
ç
ú
è
û .
故答案为：
1
0, 4
æ
ù
ç
ú
è
û .
8．（24-25 高二下·江西·期末）若关于x 的方程
2
2
2 ln
e
1
ax
x
x
ax
+
=
+
在区间
1,+¥ 上有解，则a 的取值范围是
．
【答案】
2
0, e
æ
ù
ç
ú
è
û
【详解】由
2
2
2 ln
e
1
ax
x
x
ax
+
=
+
，可得
2
2
e
1
1 ln
ax
ax
x
x
+
=
+
，
设
1 ln
g x
x
x
=
+
，则
1
ln
1
g
x
x
x
+
¢
=
+
，令
1
ln
1
h x
x
x
=
+ +
，则
2
1
x
h x
x
=
¢
- ，
当
0,1
xÎ
时，
0
h x
¢
<
，
h x 单调递减；当
1,
x
¥
Î
+
时，
0
h x
¢
>
，
h x 单调递增，
所以
1
2
0
h x
h
³
=
>
，所以
g x 在区间
0, ¥
+
上单调递增，
又由
2
2
e
1
1 ln
ax
ax
x
x
+
=
+
可化为
2
eax
g
g x
=
，所以
2
2ln
e
,
ax
x
x
a
x
=
=
，
设
2ln (
1)
x
x
x
x
j
=
>
，则
2
2 1 lnx
x
x
j
-
¢
=
，
当
1,e
xÎ
时，
0,
x
x
j
j
¢
>
单调递增；当
e,
x
¥
Î
+
时，
0,
x
x
j
j
¢
<
单调递减，
又因为
2
1
0,
e
,
e x
j
j
¥
=
=
® +
时，
0
x
j
®
，所以
2
0
e
a
<
£
，
所以实数a 的取值范围是
2
0, e
æ
ù
ç
ú
è
û ．
故答案为：
2
0, e
æ
ù
ç
ú
è
û ．
9．（24-25 高二下·四川广元·期末）已知函数
3
2
1
3
f x
x
x
=
-
．
(1)求函数
f x 的图象在
3
x =
处的切线方程；
(2)若
f x
m
£
在
0,3
xÎ
上有解，求m 的取值范围．
【答案】(1)
3
9
y
x
=
-
(2)
4
3
m ³ -
【详解】（1）
2
2
f
x
x
x
¢
=
-
，
2
3
3
2 3
3
f
=
- ´ =
¢
，
3
2
1
3
3
3
0
3
f
=
´
-
=
，
所以函数
f x 的图象在
3
x =
处的切线方程为
3
3
3
9
y
x
x
=
-
=
- .
（2）由（1）知
2
2
f
x
x
x
¢
=
-
，
所以当0
2
x
<
<
时，
0
f
x
¢
<
，函数
f x 单调递减，
当2
3
x
<
£
时，
0
f
x
¢
>
，函数
f x 单调递增，
所以
min
4
2
3
f x
f
=
= -
，
又
f x
m
£
在
0,3
xÎ
上有解，所以
min
4
3
m
f x
é
ù
³
= -
ë
û
.
10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
2 e
1
x
f x
mx
=
-
- ，且
f x 在
0
x =
处取得极值．
(1)求m 的值及
f x 的单调区间；
(2)若存在
R
xÎ
，使得
2e
1
f x
x
a
£
-
- ，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
2e
a £
.
【详解】（1）由题设
2
ex
f
x
mx
m
=
-
+
¢
，且
0
2
0
f
m -
¢
=
=
，即
2
m =
，
所以
2 ex
f
x
x
¢
=
，当
0
x <
时
0
f
x
¢
<
，当
0
x >
时
0
f
x
¢
>
，
所以
f x 的递减区间为(
,0)
-¥
，递增区间为(0,
)
+¥ ，即
0
x =
处取得极小值，满足，
综上，
2
m =
，
f x 的递减区间为(
,0)
-¥
，递增区间为(0,
)
+¥ ；
（2）由题设
2
2 e
1
2e
1
x
x
x
a
-
- £
-
- ，即
)
e
2(
e
e
x
x
a
x
x
£
+
-
在
R
xÎ
上能成立，
令(
e
e
)
ex
x
g
x
x
x =
+
-
，则
)
e
(
e
x
g x
x
¢
=
-
，
令( )
( )
h x
g x
¢
=
，则
( )
(
1)ex
h x
x
¢
= -
+
，
当
1
x < - 时，
( )
0
h x
¢
>
，即( )
( )
h x
g x
¢
=
在(
, 1)
¥
-
-
上单调递增，
当
1
x > - 时，
( )
0
h x
¢
<
，即( )
( )
h x
g x
¢
=
在( 1,
)
- +¥ 上单调递减，
由x ® -¥ 时
e
( )
g x
¢
®
，
(1)
0
g¢
=
，
当
1
x < 时，
( )
0
g x
¢
> ，( )
g x 在(
,1)
-¥
上单调递增，
当
1
x > 时，
( )
0
g x
¢
<
，( )
g x 在(1,
)
+¥ 上单调递减，
所以( )
(1)
e
g x
g
=
≤
，则
2e
a £
.
11．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知函数
eax
f x
x
=
-
．
(1)当
1
a = 时，求
f x 在点
1,
1
f
处的切线方程；
(2)求
f x 的单调区间；
(3)若
1,1
x
$ Î -
，使
3
f
x ³
成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)
e 1
y
x
=
-
(2)详见解析
(3)
ln 2
a £ -
或
2ln 2
a ³
.
【详解】（1）当
1
a = 时，
e
( )
x
x
f x =
- ，对
( )
f x 求导得
( )
e
1
x
f
x
¢
=
- .
则
1
e 1
k
f
=
¢
=
- ，
又
1
e 1
f
=
- ，所以切点为
1,e 1
-
，
所以切线方程为
e 1
(e 1)
1
y
x
-
-
=
-
-
，即
e 1
y
x
=
-
.
（2）对
( )
eax
f x
x
=
-
求导得
( )
e
1
ax
f
x
a
¢
=
- .
当
0
a £
时，
( )<0
f
x
¢
，所以
( )
f x 在R 上单调递减.
当>0
a
时，令
( )
0
f
x
¢
=
，即e
1
0
ax
a
- =
，
1
eax
a
=
，
1
ln
ln
ax
a
a
=
= -
，解得
ln a
x
a
= -
.
当
ln
<
a
x
a
-
时，
( )<0
f
x
¢
，
( )
f x 单调递减；
当
ln
>
a
x
a
-
时，
( )>0
f
x
¢
，
( )
f x 单调递增.
综上，当
0
a £
时，
( )
f x 在R 上单调递减；
当>0
a
时，
( )
f x 在
ln
(
,
)
a
a
-¥ -
上单调递减，在
ln
(
,
)
a
a
-
+¥ 上单调递增.
（3）
( )
3
f x ³
在[ 1,1]
-
有解，即当
1,1
x Î -
时，
max
3
f x
³
，
当>0
a
时，由（2）知函数在[ 1,1]
-
上的最大值在端点处取得.
此时
(1)
e
1
a
f
=
- ，
( 1)
e
1
a
f
-
-
=
+ ，
所以e
1
3
a - ³
或e
1
3
a
- + ³
，得
ln 4
a ³
或
ln 2
a £ -
，
又
0
a >
，所以
ln 2
a £ -
舍去，所以
ln 4
2ln 2
a ³
=
.
当
0
a £
时，函数在[ 1,1]
-
上单调递减，那么最大值在
1
x = - 处取得.
此时
( 1)
e
1
a
f
-
-
=
+ ，
所以e
1
3
a
- + ³
，得
ln 2
a £ -
.
综合两种情况，可得a 的取值范围为
ln 2
a £ -
或
2ln 2
a ³
.
12．（25-26 高三上·陕西汉中·开学考试）已知函数
2eax
f x
x
=
，其中
0
a >
．
(1)求
f x 在
0,
0
f
处的切线方程；
(2)求函数
f x 的极值；
(3)若关于x 的不等式
2
ea
f x £
在
,a +¥ 上有解，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
0
y =
(2)极大值
2
2
4
e
a
，极小值0
(3)
0,1
【详解】（1）
2eax
f x
x
=
Q
，
2
2 e
e
e
2
ax
ax
ax
f
x
x
ax
x
ax
¢
\
=
+
=
+
，
0
0
f ¢
\
=
，且
0
0
f
=
，
f
x
\
在
0,
0
f
处的切线方程为：
0
y =
.
（2）令
e
2
0
ax
f
x
x
ax
¢
=
+
=
，得
0
x =
或
2
x
a
= -
，
\当
2
,
x
a
æ
ö
Î -¥ -
ç
÷
è
ø和
0,
xÎ
+¥ 时，
0
f
x
¢
>
，则函数
f x 单调递增；
当
2 ,0
x
a
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø 时，
0
f
x
¢
<
，则函数
f x 单调递减，
2
x
a
\
= -
为函数
f x 的极大值点，极大值为
2
2
2
4
e
f
a
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
；
0
x =
为函数
f x 的极小值点，极小值为
0
0
f
=
.
（3）根据题意关于x 的不等式
2
2e
e
ax
a
x
£
在
,a +¥ 上有解，
即
2
e
a a x
x
-
£
在
,a +¥ 上有解，
设
2
g x
x
=
，
,
x
a
é
Î
+¥
ë
，
e
a a x
h x
-
=
，
,
x
a
é
Î
+¥
ë
，
由于
0
a >
，
2
g x
x
=
在
,a +¥ 上单调递增，
2
min
g x
a
\
=
，
e
a a x
h x
-
=
在
,a +¥ 上单调递减，
max
1
h x
\
= ，
则
2
1
a £ ，解得0
1
a
<
£ ，
\实数a 的取值范围为
0,1 .
13．（24-25 高二下·福建泉州·期末）已知函数
( )
ln
f x
x
ax
b
=
+
-
，其中,
R
a bÎ
．
(1)若函数
( )
f x 有
1
x = 处取得极大值0，求,a b 的值；
(2)函数( )
( )
g x
xf x
=
．
（i）证明：曲线
( )
y
g x
=
图象上任意两个不同点处的切线均不重合；
（ii）当
1
b = 时，若
( 1,
)
x
$ Î - +¥ ，使得(
1)
2sin
0
g x
x
+
-
<
成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
1,
1
a
b
= -
= -
(2)（ⅰ）证明见解析；（ii）
,1
¥
-
【详解】（1）
( )
ln
,
0
f x
x
ax
b x
=
+
-
>
，得
1
( )
f
x
a
x
¢
=
+
，
由题设知
(1)
1
0
(1)
0
f
a
f
a
b
= +
=
ì
í
=
-
=
¢
î
，解得
1
1
a
b
= -
ì
í = -
î
，
此时
1
1
( )
1
(
0)
x
f
x
x
x
x
-
¢
=
- =
>
当
(0,1)
xÎ
时，
( )
0,
( )
¢
>
f
x
f x 为增函数；
当
(1,
)
xÎ
+¥ 时，
( )
0,
( )
¢
<
f
x
f x 为减函数；
所以函数
( )
f x 在
1
x = 处取得极大值，满足题意，
故
1,
1
a
b
= -
= - ．
（2）（i）函数( )
( )
g x
xf x
=
．
由
2
( )
( )
ln
g x
xf x
x
x
ax
bx
=
=
+
-
，得
( )
2
ln
1
g x
ax
x
b
¢
=
+
-
+ ，
设点
1
1
,
A x g x
和点
2
2
,
B x g x
，不妨设
1
2
0
x
x
<
<
，
则曲线
( )
y
g x
=
在点A 处的切线1l 方程为
1
1
1
y
g x
g
x
x
x
¢
-
=
-
，
即
1
1
1
1
y
g
x
x
g
x
x
g x
¢
+
¢
=
-
；
同理曲线
( )
y
g x
=
在点B 处的切线2l 方程为
2
2
2
2
y
g
x
x
g
x
x
g x
¢
+
¢
=
-
；
假设1l 与2l 重合，则
1
2
1
1
1
2
2
2
g
x
g
x
g
x
x
g x
g
x
x
g x
¢
¢
¢
ì
=
ïí-
+
= - ¢
+
ïî
，
化简得
1
2
1
2
1
2
ln
ln
2
0
1
x
x
a x
x
a x
x
ì
-
+
-
=
ïí
+
= -
ïî
，
两式消去a ，得
1
2
1
2
1
2
ln
ln
2
0
x
x
x
x
x
x
-
-
-
´
=
+
，则
1
1
2
1
2
2
1
ln
2
0
1
x
x
x
x
x
x
-
-
´
=
+
，
令
1
2
1
(0
1), ( )
ln
2
1
x
t
t
t
h t
t
x
t
-
=
< <
=
-
´ + ，
2
2
2
1
1
4
( )
0
1
1
t
h t
t
t
t t
-
=
-
=
+
¢
>
+
，
由
( )
0
h t
¢
>
，所以( )
h t 在( 0, 1) 上单调递增，
所以( )
(1)
0
h t
h
<
=
，即( )
0
h t =
无解，所以1l 与2l 不重合，
即对于曲线
( )
y
g x
=
图象上任意两个不同点处的切线均不重合．
（ⅱ）当
1
b = 时，先解决对于
( 1,
), (
1)
2sin
0
x
g x
x
" Î - +¥
+
-
³
恒成立，
令
2
1
,
( )
ln
2sin(
1)
x
t m t
at
t
t
t
t
+ =
=
+
- -
-
，则
( )
0
m t ³
在(0,
)
+¥ 上恒成立，
由
(1)
0
m
³
，解得
1
a ³ ．
下面证明当
1
a ³ 时，
( )
0
m t ³
在(0,
)
+¥ 上恒成立．
则当
1
a ³ 时，
2
( )
ln
2sin(
1)
m t
t
t
t
t
t
³
+
- -
-
，
令
2
( )
ln
2sin(
1)
p t
t
t
t
t
t
=
+
- -
-
，则
( )
2
ln
2cos(
1)
p t
t
t
t
¢
=
+
-
-
，
则当
[1,
)
t Î
+¥ 时，由2
2,2cos(
1)
2
t
t
³
-
³ - ，
则
( )
0
p t
¢
³
，则
( )
p t 在[1,
)
+¥ 上单调递增，所以
( )
(1)
0
p t
p
³
=
；
当
(0,1)
t Î
时，令( )
( )
2
ln
2cos(
1)
t
p t
t
t
t
j
¢
=
=
+
-
-
，
则
1
( )
2
2sin(
1)
0
t
t
t
j¢
=
+
+
-
³
，则( )t
j
在( 0, 1) 上单调递增，
所以( )
( )
(1)
0
t
p t
p
j
¢
¢
=
<
=
，所以
( )
p t 在( 0, 1) 上单调递减，
所以
( )
(1)
0
p t
p
³
=
成立，
所以对于
( 1,
)
x
"
¥
Î - +
，不等式(
1)
2sin
0
g x
x
+
-
³
恒成立，
实数a 的取值范围为[1,
)
+¥ ．
所以
( 1,
)
x
$ Î - +¥ ，使得(
1)
2sin
0
g x
x
+
-
<
成立，a 的取值范围为
,1
¥
-
．
14．（24-25 高三上·福建三明·阶段练习）已知函数
2
2
2
1
2
2
ln
2
2
2
f x
x
ax
a
x
x
a
a
x
=
-
-
-
+
+
+
，
R
a Î
.
(1)讨论
f x 的单调性；
(2)判断是否存在
1,
aÎ
+¥ ，使得
f x 的最小值为
2
1
4
ea
a
-
-
，并说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由
2
2
2
1
2
2
ln
2
2
2
f x
x
ax
a
x
x
a
a
x
=
-
-
-
+
+
+
得
2
1
2
2
ln
2
2
ln
a
f
x
x
a
x
x
a
x
x
x
æ
ö
=
¢
-
+
-
=
-
+
ç
÷
è
ø，
0,
xÎ
+¥ .
设
1
ln
g x
x
x
=
+
，则
2
2
1
1
1
x
g
x
x
x
x
-
¢
=
-
=
，
当
0,1
xÎ
时
0
g
x
¢
<
，
g x 单调递减，当
1,
xÎ
+¥ 时
0
g
x
¢
>
，
g x 单调递增，
所以
1
1
0
g x
g
³
= >
，即
1
ln
0
x
x
+
>
，
若
0
a £
，则
0
x
a
-
>
，
0
f
x
¢
>
，
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，
若
0
a >
，则当
0,
x
a
Î
时
0
f
x
¢
<
，
f x 单调递减，
当
,
x
a
Î
+¥ 时
0
f
x
¢
>
，
f x 单调递增.
综上，当
0
a £
时
f x 在
0, ¥
+
上单调递增；当
0
a >
时
f x 在（0，a）上单调递减，在
,a +¥ 上单调递增.
（2）由（1）知，当
1
a > 时
f x 在
0,a 上单调递减，在
,a +¥ 上单调递增，
所以
2
2
min
2
2
ln
f
x
f a
a
a
a
a
a
=
=
+
-
+
.
假设存在满足条件的a ，则
2
2
2
1
2
2
ln
4
ea
a
a
a
a
a
a
-
+
-
+
=
-
，即
1
2
2 ln
2
2
ea
a a
a a
a
a
a
-
+
-
+
=
+
-
又
1
a > ，所以
2
0
a +
¹
，所以
1
1
1
ln
2
e
e
1 e
a
a
a
a
a a
a
a
-
-
-
-
=
-
=
-
-
，
设
ln
1
h a
a
a a a
=
-
>
，则
1
ea
h a
h
-
=
，
因为
ln
0
h a
a
¢
= -
<
，
所以
h a 在
1,+¥ 上单调递减，所以
1
ea
a
-
=
，
设
1
e
1
a
m a
a a
-
=
-
>
，则
1
e
1
0
a
m a
- -
¢
=
>
，所以
m a 在
1,+¥ 上单调递增，
所以
1 1
e
1
0
m a
-
>
- =
，故
1
ea
a
- >
，与
1
ea
a
-
=
矛盾，
所以不存在
1,
aÎ
+¥ ，使得
f x 的最小值为
2
1
4
ea
a
-
-
.
