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专题17 计数原理（练习）
一、填空题
1．
名男生和
名女生站成一排照相，则男生站在一起的概率为 ．
2．四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生不相邻，则不同排法的种数是 .（结果用数字作
答）
3．电视台在电视剧开播前连续播放5 个不同的广告，其中3 个商业广告2 个公益广告，现要求2 个公益广
告不能连续播放，则不同的播放方式共有 种.
4．7 个人站成一排，如果甲、乙2 人必须站在两端，有 种排法.
5．2023 年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的5 名志愿者中任意选出3 名，分别担任语言服务、人
员引导、应急救助工作，其中甲不能担任语言服务工作，则不同的选法共有 种.（结果用数值表示）
6．有8 名学生排成一排，甲乙相邻的排法种数为
､
，甲不在排头，乙不在排尾的排法种数为
.（用数字作答）
7．至少通过一个正方体的3 条棱中点的平面个数为 ．
8．10 个相同的小球放到6 个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有 种.
9．某兴趣小组有10 名学生，若从10 名学生中选取3 人，则选取的3 人中恰有1 名女生的概率为
，且女
生人数超过1 人，现在将10 名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则共有
种不同的站队方法.
10．某校开展“全员导师制”．有2 名导师可供5 位学生选择，若每位学生必须也只能选取一名导师且每
位导师最多只能被3 位学生选择，则不同的选择方案共有 种（用数字作答）．
11．4 名志愿者全部分到3 所学校支教，要求每所学校至少有1 名志愿者，则不同的分法共有 种.
12．支足球队进行三轮淘汰赛角逐出冠军，赛前进行随机抽签来确定赛程表，赛程安排方式如下：确定
第一轮4 场比赛的分组，再确定第一轮的4 支胜者队伍在第二轮2 场比赛的分组，最后确定第二轮的2 支
胜者队伍进行第三轮比赛.注意：进行比赛的两支队伍不计顺序，每轮各场比赛不计顺序，赛程表赛前一次
性完成制定(与具体每场比赛的胜者是谁无关).则赛程表有 种.
13．某小组共有4 名男生
，和3 名女生
.若选一名男生和一名女生分别担任组长和干事，共
1
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有 种不同的结果.
14．
展开式中
的系数为 .
15．
的展开式中只有第六项的系数最大，则
.
16．若
展开式中
的系数为272，则实数
．
17．已知
，则
中正数的
个数为 .
18．设集合A 是由所有满足下面两个条件的有序数组
构成：①
；②
；则集合A 中的元素共有 个.
二、单选题
19．教学大楼共有4 层，每层有东西两个楼梯，由1 层到4 层共有（ ）种走法．
A．8
B．4
C．16
D．2
20．在200 件产品中有3 件次品，任取5 件，其中至少有2 件次品的取法种数是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．设
，它等于下式中的（ ）
A．
B．
C．
D．
22．如图，从1 开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或
右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1 移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11 就是一
条移动路线．从1 移动到数字
的不同路线条数记为
，从1 移动到11 的事件中，跳过数字
的概率记为
，则下列结论正确的是（ ）
2
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①
，②
，③
，④
．
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
三、解答题
23．（1）解不等式
；
（2）解方程
.
24．已知
的二项展开式中所有项的二项式系数之和为
，
(1)求
的值；
(2)求展开式的所有有理项(指数为整数)，并指明是第几项．
25．现某学校共有34 人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13 人，高二年级12 人,高三年级9 人.
(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？
(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？
26．12 月31 日是某校艺术节总汇演之日，当天会进行隆重的文艺演出，已知高一，高二，高三分别选送
了4，3，2 个节目，现回答以下问题：（用排列组合数列式，并计算出结果）
(1)为了活跃气氛，学校会把20 个荧光手环发给台下的12 名家长代表，每位家长至少一根，共计有多少种
分配方案；
(2)若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有多少种出场顺序；
(3)演出结束后，学校安排甲、乙等9 位志愿者打扫A，B，C 三个区域的卫生，每个区域至少需要2 名志愿
者，则共有多少种安排方式？甲、乙打扫同一个区域的概率是多少？
27．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并
列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数
（
）称为高斯函数，其中
表示不超过x 的
最大整数. 已知：
，（
，
）
3
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(1)若
，
，
，求
的值；
(2)若
，
，
，求证：
；
(3)设
，求S 除以2023 的余数.
4
