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第一章集合、常用逻辑用语、不等式
§1.4 基本不等式
【高考考向预测】
近三年高考基本不等式考查频率高，多以选择、填空题形式出现，常单独命题或结合函数、
数列、几何等知识考查最值与范围问题，重点考查公式运用、式子配凑及等号成立条件；预测
2027年依旧为高频考点，命题趋向题型灵活化，侧重多题型融合、双变量最值及实际应用考查，
愈发注重解题思路变通与易错点辨析，整体立足核心考点，难度适中稳中略有创新。
【双基自测●明考向】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(a+b) 2 a+b
(1)不等式ab≤ 与❑√ab≤ 成立的条件是相同的. ( )
2 2
1
(2)y=x+ 的最小值是2. ( )
x
(3)y=x(2-x)的最大值是1. ( )
(4)若x>0，y>0且x+y=xy，则xy的最小值为4. ( )
【答案】（1）× （2）×（3）√（4）√
2
2.(2025·延庆模拟)已知x<0，则y=1+2x+ 的最大值为 ，当且仅当x= 时取得最大值.
x
【答案】-3 -1
2 [ 1 ]
【解析】y=1+2x+ =1-2 (−x)+ ≤1-2×2=-3，
x (−x)
当且仅当(-x)2=1，即x=-1时等号成立，
2
故y=1+2x+ 的最大值为-3，此时x=-1.
x
3.(多选)下列命题正确的是( )
1
A.若x<0，则x+ ≤-2
x
1
B.若x>0，则x- ≤-2
x
| 1|
C.若x∈R且x≠0，则 x+ ≥2
x
1
D.x2+ ≥1
x2+1【答案】ACD
【解析】当x<0时有-x>0，
1 ( 1 ) √ 1
则x+ =- −x+ ≤-2❑−x· =-2，
x −x −x
1
当且仅当-x= ，即x=-1时等号成立，A选项正确；
−x
1
当x>0时，y=x- 单调递增，其值域为R，B选项错误；
x
| 1| 1 √ 1
若x∈R且x≠0，则 x+ =|x|+ ≥2❑|x|· =2，
x |x| |x|
1
当且仅当|x|= ，即x=-1或x=1时等号成立，C选项正确；
|x|
1 1 √ 1
x2+ =x2+1+ -1≥2❑(x2+1)· -1=1，
x2+1 x2+1 x2+1
1
当且仅当x2+1= ，即x=0时等号成立，D选项正确.
x2+1
4.已知x>0，y>0，2x+y=xy，则2x+y的最小值为 .
【答案】8
【解析】方法一 由x>0，y>0，2x+y=xy，
2x
可得y= >0，则x>1，
x−1
2x 2x2
则2x+y=2x+ =
x−1 x−1
2(x−1) 2+4(x−1)+2
=
x−1
2
=2(x-1)+ +4
x−1
√ 2
≥2❑2(x−1)· +4=8，
x−1
2
当且仅当2(x-1)= ，即x=2时，等号成立，
x−1
所以2x+y的最小值为8.
2 1
方法二 由x>0，y>0，2x+y=xy，得 + =1，
y x
(2 1) 4x y √4x y
所以2x+y=(2x+y) + = + +4≥2❑ · +4=8，
y x y x y x4x y
当且仅当 = ，2x+y=xy，
y x
即x=2，y=4时，等号成立，
所以2x+y的最小值为8.
【核心梳理●明考点】
a+b
1.基本不等式：❑√ab≤
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立.
a+b
(3)其中 叫做正数a，b的算术平均数，❑√ab叫做正数a，b的几何平均数.
2
2.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2❑√P.
1
(2)已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 S2.
4
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
1.灵活应用两个基本不等式的变形公式
a b
(1) + ≥2(a，b同号，当且仅当a=b时，等号成立)；
b a
2
a+b √a2+b2
(2)1 1≤❑√ab≤ ≤❑ (a>0，b>0，当且仅当a=b时，等号成立).
+ 2 2
a b
2.谨防两个易误点
(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立
的条件必须相同，否则会造成错误.
(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.
【题型突破●明方向】
题型一 基本不等式的理解及常见变形
例1 (1)(多选)下列说法不正确的是( )
A.若a，b∈R，且ab>0，则a+b≥2❑√ab
4
B.x+ 的最小值是4
x
1
C.❑√x2+2+ 的最小值为2
❑√x2+21
D.存在a，使得a+ <2成立
a
【答案】ABC
【解析】选项A，若a，b均为负数，不等式不成立，故A错误；
4 √ 4 4 [ 4 ]
对于B，当x>0时，x+ ≥2❑ x· =4(当且仅当x=2时取等号)，当x<0时，x+ =- (−x)+ ≤
x x x −x
√ 4
-2❑(−x)· =-4(当且仅当x=-2时取等号)，故B错误；
−x
1 1
对于C，y=❑√x2+2+ ≥2，等号成立的条件是❑√x2+2= ，即x2+2=1，显然不能取到，故C
❑√x2+2 ❑√x2+2
错误；
1
对于D，存在a=-1，使得a+ <2成立，故D正确.
a
(2)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是( )
a+b a+b
A.b> >a>❑√ab B.b>❑√ab> >a
2 2
a+b a+b
C.b> >❑√ab>a D.b>a> >❑√ab
2 2
【答案】C
【解析】∵0<a<b，∴2b>a+b，
a+b
∴b> >❑√ab.
2
∵b>a>0，∴ab>a2，∴❑√ab>a.
a+b
故b> >❑√ab>a.
2
【思维升华】基本不等式的常见变形
(a+b) 2 a2+b2
(1)ab≤ ≤ .
2 2
2
a+b √a2+b2
(2)1 1≤❑√ab≤ ≤❑ (a>0，b>0).
+ 2 2
a b
a2+b2 (a+b) 2
【跟踪训练】1 (1)已知p：a>b>0，q： > ，则p是q成立的( )
2 2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】∵a>b>0，则a2+b2>2ab，
∴2(a2+b2)>a2+b2+2ab，
∴2(a2+b2)>(a+b)2，
a2+b2 (a+b) 2
∴ > ，∴由p可推出q；
2 2
当a<0，b<0时，q也成立，
a2+b2 (a+b) 2
如a=-1，b=-3时， =5> =4，
2 2
∴由q推不出p，
∴p是q成立的充分不必要条件.
(2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是( )
a+b √a2+b2
A.4ab≤(a+b)2 B. ≤❑
2 2
2ab a+b a2+b2
C. ≤ D.ab≤
a+b 2 2
【答案】ABD
【解析】A选项，4ab-(a+b)2=-(a-b)2≤0，即4ab≤(a+b)2，故A选项正确；
a+b (a+b) 2 (√a2+b2) 2 a2+b2+2ab−2a2−2b2 −(a−b) 2
B选项，当a+b>0时， >0，则 - ❑ = = ≤0恒成
2 2 2 4 4
a+b √a2+b2
立，即 ≤❑ 恒成立，当a+b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；
2 2
(a+b) 2 −(a−b) 2 (a+b) 2 2ab a+b
C选项，当a+b>0时，2ab- = ≤0，即2ab≤ ， ≤ 恒成立，
2 2 2 a+b 2
(a+b) 2 −(a−b) 2 (a+b) 2 2ab a+b
当a+b<0时，2ab- = ≤0，即2ab≤ ， ≥ ，故C选项错误；
2 2 2 a+b 2
a2+b2
D选项，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤ 恒成立，故D选项正确.
2
题型二 利用基本不等式求最值
命题点1 直接法
1 1
例2 (1)(苏教版必修第一册P61习题3.2 T2改编)设x>0，y>0，且xy=4，则 + 的最小值为
x y
.
【答案】1
【解析】∵x>0，y>0，且xy=4，1 1 √1 1 √ 1
∴ + ≥2❑ · =2❑ =1，
x y x y xy
{xy=4,
当且仅当 1 1 即x=y=2时，等号成立，
= ,
x y
1 1
∴ + 的最小值为1.
x y
(2)(人教B版必修第一册P78例4改编)已知x∈(-1，3)，则y=(1+x)(3-x)的最大值为 ，此时
x= .
【答案】4 1
【解析】当x∈(-1，3)时，1+x>0，3-x>0.
1+x+3−x
由基本不等式可得❑√(1+x)(3−x)≤ =2，
2
从而(1+x)(3-x)≤4，即y≤4.
当且仅当1+x=3-x，即x=1时，等号成立.
从而当x=1时，y取得最大值4.
命题点2 配凑法
2
例3 (1)(2025·吉林模拟)已知x>3，则y= +2x的最小值是( )
x−3
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】C
2 √ 2
【解析】由x-3>0，则y= +2(x-3)+6≥2❑ ·2(x−3)+6=10，
x−3 x−3
2
当且仅当 =2(x-3)，即x=4时等号成立，故最小值为10.
x−3
(2)(2026·渭南模拟)已知0<x<1，则x(4-3x)的最大值为 .
4
【答案】
3
【解析】当0<x<1时，0<3x<3，4-3x>0，
1 1[3x+(4−3x)] 2 4
故x(4-3x)= ×3x(4-3x)≤ = ，
3 3 2 3
2
当且仅当3x=4-3x，即x= 时取等号，
3
4
故x(4-3x)的最大值为 .
3
命题点3 常数代换法2 2
例4 (1)(2025·宣城模拟)已知正实数a，b满足2a+b=4，则 + 的最小值是( )
a+2 b
9
A. +❑√2 B.4
4
9 3 ❑√2
C. D. +
2 4 2
【答案】D
【解析】设x=a+2，y=b，则a=x-2，b=y，
故2x+y=8，其中x>2，y>0，
2 2 1(2 2) 1( 4x 2y)
+ = + (2x+y)= 6+ + ，
a+2 b 8 x y 8 y x
4x 2y
由 + ≥4❑√2，
y x
4x 2y
当且仅当 = ，且2x+y=8，
y x
即x=4(2-❑√2)，y=8(❑√2-1)时等号成立，
此时满足x>2，y>0，
2 2 1 3 ❑√2
故 + 的最小值为 ×(6+4❑√2)= + .
a+2 b 8 4 2
1 1
(2)(2025·上海)设a，b>0，a+ =1，则b+ 的最小值为 .
b a
【答案】4
1 ( 1)( 1) 1 √ 1
【解析】易知b+ = b+ a+ =ab+ +2≥2❑ab· +2=4，
a a b ab ab
1 1
当且仅当ab=1，即a= ，b=2时取等号，此时b+ 取得最小值4.
2 a
命题点4 消元法
例5 已知实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，则2x+y的最小值是( )
❑√2 2❑√2
A. B. C.2❑√2 D.3❑√2
3 3
【答案】B
【解析】因为实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，
1−y2
所以x= ，
3 y
2−2y2 2 y √ 2 y 2❑√2
则2x+y= +y= + ≥2❑ · = ，
3 y 3 y 3 3 y 3 32 y
当且仅当 = ，即y=❑√2时，等号成立，
3 y 3
2❑√2
所以2x+y的最小值是 .
3
命题点5 构造不等式法
例6 (多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷)若x，y满足x2+y2-xy=1，则( )
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
【答案】BC
(a+b) 2 a2+b2
【解析】因为ab≤ ≤ (a，b∈R)，
2 2
(x+ y) 2
由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3 ，
2
解得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；
x2+ y2
由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤ ，
2
解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确；
( y) 2 3
方法一 因为x2+y2-xy=1可变形为 x− + y2=1，
2 4
y ❑√3
设x- =cos θ， y=sin θ，
2 2
❑√3 2❑√3
所以x=cos θ+ sin θ，y= sin θ，
3 3
5 2❑√3
因此x2+y2=cos2θ+ sin2θ+ sin θcos θ
3 3
❑√3 1 1
=1+ sin 2θ- cos 2θ+
3 3 3
4 2 ( π) [2 ]
= + sin 2θ− ∈ ，2 ，所以D错误.
3 3 6 3
方法二 因为x2+y2≥-2xy，
x2+ y2
所以-xy≤ ，
2
x2+ y2 3
所以1=x2+y2-xy≤x2+y2+ = (x2+y2)，
2 2
2 ❑√3
则x2+y2≥ ，当且仅当x=-y=± 时等号成立，所以D错误.
3 3❑√3 ❑√3
方法三 当x= ，y=- 时满足x2+y2-xy=1，
3 3
但是x2+y2≥1不成立，所以D错误.
命题点6 齐次化法
x+6 y+6
例7 (2026·新余模拟)已知x，y为正实数，且x+y=2，则 的最小值为( )
xy
A.12 B.3+2❑√2
25 6❑√2−3
C. D.
2 2
【答案】C
x+6 y+6 2x+12y+12
【解析】由x+y=2，则 =
xy 2xy
(x+ y)x+6(x+ y)y+3(x+ y) 2
=
2xy
4x2+9 y2+13xy 2x 9 y 13
= = + + ，
2xy y 2x 2
2x 9 y
∵x，y为正实数，∴ >0， >0，
y 2x
2x 9 y 13 √2x 9 y 13 25
∴ + + ≥2❑ · + = ，
y 2x 2 y 2x 2 2
2x 9 y 6 4
当且仅当 = ，即x= ，y= 时，等号成立.
y 2x 5 5
x+6 y+6 25
故 的最小值为 .
xy 2
【思维升华】利用基本不等式求最值时需注意
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.
(3)条件最值的求解通常有六种方法：一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形，利用常数
“1”代换的方法；四是消元法；五是构造不等式法；六是齐次化法.
【跟踪训练】2 (1)(多选)下列说法正确的是( )
4
A.y=2-3x- (x>0)的最大值是2-4❑√3
x
x2+3x+3
B.函数y= (x>-1)的最小值为2
x+1
1 x 5
C.已知x+y=1，x>0，y>0，则 + 的最小值为
2x y+1 4
D.若正数m，n，满足m+n=2，则❑√m+❑√n的最大值为2【答案】ACD
4 ( 4) √ 4 4 2❑√3
【解析】当x>0时，y=2-3x- =2- 3x+ ≤2-2❑3x· =2-4❑√3，当且仅当3x= ，即x= 时，等号
x x x x 3
4
成立，所以y=2-3x- (x>0)的最大值是2-4❑√3，故A正确；
x
因为x>-1，则x+1>0，
x2+3x+3 (x+1) 2+x+2 1 1
所以y= = =x+1+ +1≥2+1=3，当且仅当x+1= ，
x+1 x+1 x+1 x+1
即x=0时，等号成立，故B错误；
因为x+y=1，x>0，y>0，
1 x x+ y x 1 x+2y x 1 √1 5
所以 + = + = + + ≥ +2❑ = ，
2x y+1 2x x+2y 4 4x x+2y 4 4 4
x+2y x 2 1
当且仅当 = ，即x= ，y= 时，等号成立，故C正确；
4x x+2y 3 3
由(❑√m+❑√n)2=m+n+2❑√mn=2+2❑√mn≤2+(m+n)=4，当且仅当m=n=1时等号成立，
则❑√m+❑√n的最大值为2，故D正确.
x2+x+3 y2
(2)已知x>0，y>0，且2x+y=1，则 的最小值为 .
xy
【答案】7
【解析】∵x>0，y>0，2x+y=1，
x2+x+3 y2 x2+x(2x+ y)+3 y2
∴ =
xy xy
3x2+xy+3 y2 3x 3 y
= = + +1
xy y x
√3x 3 y
≥2❑ · +1=7，
y x
3x 3 y
当且仅当 = ，且2x+y=1，
y x
1
即x=y= 时，等号成立，
3
x2+x+3 y2
∴ 的最小值为7.
xy
【限时训练】
（30分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(苏教版必修第一册P61练习T1)若m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是( )
A.4 B.4❑√3 C.9 D.18
【答案】D
【解析】因为m>0，n>0，mn=81，
由基本不等式得m+n≥2❑√mn=18，
当且仅当m=n=9时，等号成立，
所以m+n的最小值是18.
x2+x+25
2.若x>0，则函数y= 的最小值为( )
x
A.6 B.7 C.10 D.11
【答案】D
x2+x+25 25
【解析】∵x>0，∴y= =x+ +1
x x
√ 25
≥2❑ x· +1=11，
x
25
当且仅当x= ，即x=5时，等号成立，
x
x2+x+25
∴函数y= 的最小值为11.
x
8
3.(2025·德阳模拟)若x>1，则函数y=2x+ 的最小值为( )
x−1
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】C
【解析】若x>1，则x-1>0，
8 √ 8
所以y=2(x-1)+ +2≥2❑2(x−1)· +2=10，
x−1 x−1
8
当且仅当2(x-1)= ，即x=3时等号成立.
x−1
4.(2026·绍兴模拟)已知a>0，b>0，且a+4b=4ab，则a+b的最小值是( )
9 5
A.2 B.❑√2+1 C. D.
4 2
【答案】C
【解析】∵a>0，b>0，a+4b=4ab，
1 1
∴ + =1，
a 4b
(1 1 ) 1 b a 5 √b a 9
∴a+b=(a+b) + =1+ + + ≥ +2❑ · = ，
a 4b 4 a 4b 4 a 4b 4b a 3 3
当且仅当 = ，即a= ，b= 时，等号成立.
a 4b 2 4
1 1
5.(2025·连云港模拟)设a>0，b>-1，且a+b=1，则 + 的最小值为( )
a b+1
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】B
【解析】因为a>0，b>-1，则b+1>0，
因为a+b=1，则a+(b+1)=2，
1 1 1 (1 1 )
所以 + = [a+(b+1)] +
a b+1 2 a b+1
1( a b+1)
= 2+ +
2 b+1 a
1( √ a b+1)
≥ 2+2❑ · =2，
2 b+1 a
b+1 a
{ = ,
a b+1 {a=1,
当且仅当 即 时，等号成立，
a+(b+1)=2, b=0
a>0,b>−1,
1 1
因此 + 的最小值为2.
a b+1
xy
6.设正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则 的最大值为( )
z
A.4 B.2 C.3 D.1
【答案】D
【解析】因为正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则z=x2+y2-xy，
1 1
xy xy
所以 = = x y ≤ √ x y =1，
z x2+ y2−xy + −1 2❑ · −1
y x y x
x y xy
当且仅当 = (x>0，y>0)，即x=y时，等号成立，故 的最大值为1.
y x z
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列说法正确的是( )
2
A.函数y=2x+ (x<0)的最大值是-4
x
x2+10
B.函数y= 的最小值是2
❑√x2+9
16
C.函数y=x+ (x>-2)的最小值是6
x+2D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是8
【答案】ACD
2
【解析】A选项，对于函数y=2x+ (x<0)，
x
2 [ 2 ] √ 2
2x+ =- (−2x)+ ≤-2❑(−2x)· =-4，
x −x −x
2
当且仅当-2x= ，即x=-1时等号成立，所以A选项正确；
−x
x2+10 1 √ 1
B选项，y= =❑√x2+9+ ≥2❑❑√x2+9· =2，
❑√x2+9 ❑√x2+9 ❑√x2+9
1
当❑√x2+9= 时，无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误；
❑√x2+9
16
C选项，对于函数y=x+ (x>-2)，x+2>0，
x+2
16 16 √ 16
x+ =x+2+ -2≥2❑(x+2)· -2=6，
x+2 x+2 x+2
16
当且仅当x+2= ，即x=2时等号成立，所以C选项正确；
x+2
x2+ y2 (x+ y) 2
D选项，由基本不等式得 ≥ ，
2 2
(x+ y) 2
所以x2+y2≥2· =2×22=8，
2
当且仅当x=y=2时等号成立，所以D选项正确.
8.(2025·苏州模拟)已知a>0，b>0，满足a+2b=4，则下列说法正确的是( )
1 2
A.ab≤2 B. + ≤1
a b
16
C.a2+b2≥ D.3a+9b≥18
5
【答案】ACD
1 1(a+2b) 2
【解析】ab= ·a·2b≤ =2，当且仅当a=2b=2时取等号，故A正确；
2 2 2
1 2 1 (1 2) 1( 2b 2a) 1( √2b 2a) 9
+ = (a+2b) + = 5+ + ≥ 5+2❑ · = ，
a b 4 a b 4 a b 4 a b 4
4
当且仅当a=b= 时取等号，故B错误；
3
( 8) 2 16 16
a2+b2=(4-2b)2+b2=5b2-16b+16=5 b− + ≥ ，
5 5 58 4
当b= ，a= 时取等号，故C正确；
5 5
3a+9b=3a+32b≥2❑√3a·32b=2❑√3a+2b=18，
当且仅当a=2b=2时取等号，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
x+3
9.函数f(x)= 的最小值为 .
❑√x−1
【答案】4
x+3 (x−1)+4 4 √ 4
【解析】函数f(x)= 的定义域为(1，+∞)，f(x)= =❑√x−1+ ≥2❑❑√x−1·
❑√x−1 ❑√x−1 ❑√x−1 ❑√x−1
4
=4，当且仅当❑√x−1= ，即x=5时取等号，故当x=5时，f(x)取得最小值，最小值为4.
❑√x−1
1 1 1
10.已知a>-1，b<2， + = ，则a-b的最小值为 .
a+1 2−b 3
【答案】9
【解析】设a+1=x>0，2-b=y>0，
1 1 1
则 + = ，a-b=x+y-3
x y 3
(1 1) ( y x) ( √ y x)
=3(x+y) + -3=3 2+ + -3≥3 2+2❑ · -3=9.
x y x y x y
y x
{ = ,
x y
当且仅当
1 1 1
+ = ,
x y 3
即x=y=6，即a=5，b=-4时等号成立.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知正实数x，y满足x+y+xy=8，求：
(1)x+y的最小值；(4分)
(2)xy的最大值；(4分)
(3)x-y的取值范围.(5分)
【解析】由题意，正实数x，y满足x+y+xy=8，
(x+ y) 2
(1)由x+y=8-xy≥8- ，
2
可得(x+y)2+4(x+y)-32≥0，
解得x+y≥4，
当且仅当x=y=2时，等号成立，故x+y的最小值为4.
(2)方法一 因为x+y+xy=8，x>0，y>0，
所以8-xy=x+y≥2❑√xy，
所以(❑√xy)2+2❑√xy-8≤0，
所以(❑√xy+4)(❑√xy-2)≤0，
所以❑√xy≤2，即xy≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立，所以xy的最大值为4.
方法二 由x+y≥4，可得xy=8-(x+y)≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立，
所以xy的最大值为4.
8−x
(3)由x+y+xy=8，可得y= ，
x+1
{
x>0,
由 8−x 可得0<x<8，
y= >0,
x+1
8−x 9
且x-y=x- =x+1- ，
x+1 x+1
9
令t=x+1，则t∈(1，9)，构造函数f(t)=t- ，t∈(1，9)，由于函数f(t)在(1，9)上单调递增，
t
所以f(t)的值域为(-8，8)，
故x-y的取值范围为(-8，8).
12.(15分)已知下列求最小值的方法：
求x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值.
解：利用平均值不等式，对任意非负实数a，b，c，有a+b+c≥3√3 abc(当且仅当a=b=c时等号成立)，
得到x3+1+1≥3x，于是x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，当且仅当x=1时等号成立，所以x3-3x，
x∈[0，+∞)的最小值为-2.请模仿上述例题，
(1)求x4-4x，x∈[0，+∞)的最小值；(提示：对任意非负实数a，b，c，d，有a+b+c+d≥4√4 abcd，当
且仅当a=b=c=d时等号成立)(5分)
1
(2)求 x3-x，x∈[0，+∞)的最小值；(5分)
3
(3)已知a>0，求x3-ax，x∈[0，+∞)的最小值.(5分)
【解析】(1)因为x∈[0，+∞)，
利用a+b+c+d≥4√4 abcd，
当且仅当a=b=c=d时等号成立，
得到x4+1+1+1≥4x，
所以x4-4x=x4+1+1+1-4x-3≥4x-4x-3=-3，
当且仅当x=1时等号成立，即x4-4x，x∈[0，+∞)的最小值为-3.
(2)因为x∈[0，+∞)，利用a+b+c≥3√3 abc，
当且仅当a=b=c时等号成立，
1 1 1
得到 x3+ + ≥x，
3 3 3
1 1 1 1 2 2 2
所以 x3-x= x3+ + - -x≥x- -x=- ，
3 3 3 3 3 3 3
当且仅当x=1时等号成立，
1 2
即 x3-x，x∈[0，+∞)的最小值为- .
3 3
(3)因为x∈[0，+∞)，且a>0，
利用a+b+c≥3√3 abc，
当且仅当a=b=c时等号成立，
a❑√a a❑√a
得到x3+ + ≥ax，
3❑√3 3❑√3
a❑√a a❑√a 2a❑√a 2a❑√a 2a❑√3a
所以x3-ax=x3+ + - -ax≥ax- -ax=- ，
3❑√3 3❑√3 3❑√3 3❑√3 9
❑√a ❑√3a
当且仅当x= = 时等号成立，
❑√3 3
2a❑√3a
即x3-ax(a>0)，x∈[0，+∞)的最小值为- .
9
[每小题5分，共10分]
4x−y+5
13.(2026·重庆模拟)已知x，y均为正实数，若x+y=1，则 的最小值为 .
xy
【答案】25
【解析】由x+y=1，可得y=1-x，
4x−y+5
代入S= 中，
xy
4
4x−(1−x)+5 x+
可得S= =-5× 5 ，
x(1−x)
x2−x
4
设t=x+ ，由x>0，y>0得0<x<1，
5
4 9 4
则 <t< ，则x=t- ，
5 5 5t
于是S=-5×( 4) 2 ( 4)
t− − t−
5 5
t 1
=-5× 13 36=-5× 36 13，
t2− t+ t+ −
5 25 25t 5
36 √ 36 12 6
t+ ≥2❑t· = ，当且仅当t= 时，等号成立，
25t 25t 5 5
2 3 4x−y+5
即当x= ，y= 时，S= 取得最小值25.
5 5 xy
x x x x 4
14.若x ，x ，…，x 均为正实数，则x + 2 + 3 + 4 +…+ 2 026 + 的最小
1 2 2 026 1 x x x x x x x x …x x x …x
1 1 2 1 2 3 1 2 2 025 1 2 2 026
值为 .
【答案】4
4 x x x x
【解析】原式= + 2 026 +…+ 4 + 3 + 2 +x
x x …x x x …x x x x x x x 1
1 2 2 026 1 2 2 025 1 2 3 1 2 1
≥2❑
√ 4
·
x
2 026 +
x
2 025 +…+
x
4 +
x
3 +
x
2 +x
x x …x x x …x x x …x x x x x x x 1
1 2 2 026 1 2 2 025 1 2 2 024 1 2 3 1 2 1
4 x x x x
= + 2 025 +…+ 4 + 3 + 2 +x
x x …x x x …x x x x x x x 1
1 2 2 025 1 2 2 024 1 2 3 1 2 1
√ 4 x x x x
≥2❑ · 2 025 +…+ 4 + 3 + 2 +x
x x …x x x …x x x x x x x 1
1 2 2 025 1 2 2 024 1 2 3 1 2 1
4 x x x
= +…+ 4 + 3 + 2 +x
x x …x x x x x x x 1
1 2 2 024 1 2 3 1 2 1
4 √ 4
≥…≥ +x ≥2❑ ·x =4，
x 1 x 1
1 1
4
当且仅当 =x(i=1，2，3，…，2 026，x>0)，
x i i
i
即x =x =…=x =2时，等号成立，
1 2 2 026
x x x x 4
故x + 2 + 3 + 4 +…+ 2 026 + 的最小值为4.
1 x x x x x x x x …x x x …x
1 1 2 1 2 3 1 2 2 025 1 2 2 026
