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专题21 平面向量的应用-正余弦定理
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题21 平面向量的应用-正余弦定理
命题解读
命题预测
复习建议
平面向量基的应用是
考试经常出现的，尤其是正
余弦定理，是高考必考知识
点之一，纵观每年的高考
题，都有正余弦定理的题
目，对于这部分的考察主要
是以大题为主，偶尔会出现
填空或者选择，主要是掌握
正余弦定理的应用。
预计2024 年的高考平面
向量的应用及正余弦定理肯
定还是以解答题的形式出
现，主要出现在第17 题的位
置，需要加强题目练习，掌
握正余弦定理的知识点。
集合复习策略：
1.了解平面向量的应用；
2. 掌握正余弦定理的知识
点；
3.理解正余弦定理在解题中
的应用。
→➊考点精析←
一、 正弦定理与余弦定理
1.正弦定理
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sinC
=2R(其中R 是 △ABC 的外接圆的半径)
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B, c=2Rsin C;
(2)a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C;
(3)sin A= a
2 R
,sin B= b
2 R
,sin C= c
2 R
;
(4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A
2.余弦定理
a2= b2+c2-2bccos A
b2= c2+a2-2accos B,
c2= a2+b2-2abcos C
推论
cos A=b
2+c
2-a
2
2bc
, cos B=a
2+c
2-b
2
2ac
, cos C=a
2+b
2-c
2
2ab
二、 正弦定理与余弦定理的应用
主要考察正弦定理余弦定理在解三角形中的应用
→➋真题精讲←
1. （2023 全国理科甲卷11）已知四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，
2
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，则
的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
2. （2023 全国文科乙卷4 ）在
中，内角
的对边分别是
，若
，且
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
3. （2023 全国甲卷17 ）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
（1）求
；
（2）若
，求
面积．
4. （2023 全国乙卷理科）在
中，已知
，
，
.
（1）求
；
（2）若D 为BC 上一点，且
，求
的面积.
3
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5. （2023 天津卷16 ） 在
中，角
所对的边分別是
．已知
．
（1）求
的值；
（2）求
的值；
（3）求
．
6. （2023 全国Ⅰ卷17）已知在
中，
．
（1）求
；
（2）设
，求
边上的高．
7. （2023 全国Ⅱ卷17）记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积
4
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为
，
为
中点，且
．
（1）若
，求
；
（2）若
，求
．
→➌模拟精练←
1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）在锐角三角形
中，
、
、
是其
三内角，则下列一定成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·山东聊城·统考三模）在
中，
，点
在边
上，且
，
若
，则
长度的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（2023·山东烟台·统考三模）已知
满足
，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·山东德州·三模）若
为锐角，且
，则
_________．
5．（2023·广东·统考一模）在
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)求角
的大小；
(2)求
的取值范围.
5
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6．（2023·广东东莞·统考一模）设
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足：
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求
的面积．
7．（2023·广东汕头·统考一模）如图，在
中，D 是
边上的一点，
，
．
(1)证明：
；
(2)若D 为靠近B 的三等分点，
，
，
，
为纯角，求
．
→➍专题训练←
1. 已知
的内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，其面积S
．
6
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（1）若a
，b
，求cosB．
（2）求sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A）的最大值．
2. 在
中，已知内角
所对的边分别为
，向量
，向量
，且
，角
为锐角.
（1）求角
的大小；
（2）若
，求
面积的最大值.
3．（2023·广东湛江·统考一模）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若△ABC 的面积为
，
，求a．
4．（2023·山东日照·三模）已知
内角
的对边分别为
，且
.
7
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(1)求角A；
(2)若
的周长为
，且
外接圆的半径为1，求
的面积.
5．（2023·广东·联考模拟预测）已知
中，内角
的对边分别为
，且
，
，
．
(1)求
；
(2)若
与
在同一个平面内，且
，求
的最大值．
6．（2023·广东茂名·统考一模）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求证：
.
(2)求
的取值范围.
8
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7．（2023·山东德州·三模）
的内角
的对边分别为
，已知
．
（1）求
；
（2）若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
9
