01 二次函数
1
1
容易
填空题
已知x + y = 2，则y (x −y)的最大值为
.
1
2 | 0.5
根据给定条件，利用均值不等式求解作答.
因为x + y = 2，则y (x −y) = y (2 −2y) = 2 (−y2 + y) = −2(y −1
2 )
2
+ 1
2 ≤1
2 ，当且仅当y = 1
2 时取等号，
所以当x = 3
2 , y = 1
2 时，y (x −y)取得最大值1
2 .
故答案为：1
2
答案
解析
2
较易
填空题
已知函数f(x) = x2 + 2x + 3 + m，若f(x) ≥0对任意的x ∈[1, 2]恒成立，则实数m的取值范围是
.
[−6, +∞)
对任意x ∈[1, 2]，f(x) ≥0恒成立，等价于x2 + 2x + 3 ≥−m在[1, 2]上恒成立，令g(x) = x2 + 2x + 3，求其在
[1, 2]上的最小值即可.
对任意x ∈[1, 2]，f(x) ≥0恒成立，
等价于x2 + 2x + 3 ≥−m在[1, 2]上恒成立，
令g(x) = x2 + 2x + 3，
则其在[1, 2]上的最小值为g(1) = 6，所以6 ≥−m，得m ≥−6.
故答案为：[−6, +∞)
答案
解析
3
较易
填空题
若关于x的一元二次方程2x2 −4x + m + 3 = 0有两个同号实根， 则实数m的取值范围是
.
2
(−3, −1]
根据一元二次方程根与系数关系列不等式组求参数范围.
由题设
⇒−3 < m ≤−1，即实数m的取值范围是(−3, −1].
故答案为：(−3, −1]
答案
解析
⎧
⎨
⎩
m + 3
2
> 0
Δ = 16 −8(m + 3) ≥0
4
一般
填空题
若f (x) = |x −a| ⋅|x −3a|，且x ∈[0, 1]上的值域为[0, f (1)]，则实数a的取值范围是
[0, 1
4 ]
转化条件得f (x) = |(x −a) (x −3a)|，根据a的取值范围画出图像即可得解.
由题意f (x) = |(x −a) (x −3a)|，
当a < 0，函数图像如左图，f(x)min = f (0) = 3a2 > 0，不符合题；
当a ≥0，函数图像如右图，
∵f (0) = 3a2 ≥f (2a) = a2，∴结合图像，当x ∈[0, 1]，f(x)max = f (0)或f (1)，
∵值域为[0, f (1)]，∴f (1) ≥f (0)，即(a −1) (3a −1) ≥3a2，∴a ≤1
4 .
综上a ∈[0, 1
4 ].
本题考查了函数图像的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
答案
解析
02 幂指对函数
1
1
较易
已知函数 f(x) = {
, 若 f(x) = −3
4 , 则 x =
7或-2
根据题意，函数 f(x) = {
，对于 f(x) = −3
4 ，当 x ≤0 时， f(x) = 2x −1 = −3
4 , 则有 x = −2
当 x > 0 时， f(x) = 1 −x
4 = −3
4 , 则有 x = 7, 综合可得 : x = 7 或 -2 .故答案为: 7 或 -2 .
2x −1, x ≤0
1 −x
4 , x > 0
答案
解析
2x −1, x ≤0
1 −x
4 , x > 0
2
一般
已知x > 1, y > 1, xy = 10，则1
lg x +
2
lg y 的最小值为
.
3 + 2√2
依题意可得lg x + lg y = 1，再由基本不等式“1”的妙用即可得解.
因为x > 1, y > 1, xy = 10，
所以lg x + lg y = lg xy = 1，lg x > 0，lg y > 0，
所以1
lg x +
2
lg y = ( 1
lg x +
2
lg y ) (lg x + lg y) = 3 + lg y
lg x + 2 lg x
lg y
≥3 + 2√lg y
lg x ⋅2 lg x
lg y = 3 + 2√2，
当且仅当lg y
lg x = 2 lg x
lg y ，即lg y = √2 lg x = 2 −√2时，等号成立，
显然此时x, y有解，所以1
lg x +
2
lg y 的最小值为3 + 2√2.
故答案为：3 + 2√2.
答案
解析
3
较易
已知集合A = {y|y = 10x, x ∈R}，B = {y|y = x2，1 ≤x ≤2}，则A ∩B =
.
2
[1, 4]
先利用指数函数和二次函数的性质化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.
因为集合A = {y|y = 10x, x ∈R} = {y|y > 0}，B = {y|y = x2，1 ≤x ≤2} = {y|1 ≤y ≤4}，
所以A ∩B =[1, 4],
故答案为：[1, 4]
答案
解析
4
较易
若f(x) = x + 4
x ，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的最小值为4
B. f(x)在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增
C. f(x)的最大值为4
D. f(x)在(0, 2)上单调递增，在(2, +∞)上单调递减
B
函数f(x) = x + 4
x 的定义域为{x|x ≠0}， 函数的图象如图， 由图可知，函数在定义域上无最小值，故A错
误； f(x)在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增，故B正确； 函数在定义域上无最大值，故C错误； f(x)
在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增，故D错误． 故选：B．
答案
解析
3
5
一般
若x，y为实数，则“ 1
x < 1
y ”是“log2 x > log2 y”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
B
根据充分必要条件的定义及对数不等式即可求解；
由题意可知当x = −2, y = 1时，满足1
x < 1
y ，但不满足log2 x > log2 y；
由log2 x > log2 y，得x > y > 0，满足1
x < 1
y ，
所以 “ 1
x < 1
y ”是“log2 x > log2 y”的必要不充分条件，
故选：B．
答案
解析
03 函数概念
1
1
函数f (x) = lg (4 −x)
x −3
的定义域为
{x|x < 4且x ≠3}．
试题分析：由题意可得：{
，解得{x|x < 4且x ≠3}．
考点：本题函数的定义域，学生的基本运算能力．
答案
解析
x −3 ≠0
4 −x > 0
2
若函数f(x) = {
的值域为(−∞, 3]，则实数m的取值范围是
(2, 5]
【分析】分类讨论，先由x ≤1求出3x的取值范围，再结合x > 1时二次函数的单调性求解值域即可
【详解】当x ≤1时，3x ≤31 = 3，f (x) ∈(0, 3]；
当x > 1 时，f (x) = −2x2 + m 是减函数，f (x) ∈(−∞, m −2) ，要满足f (x) ∈(−∞, 3] ，此时应满足
m −2 ∈(0, 3] ，即m ∈(2, 5]
故答案为(2, 5]
【点睛】本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题
3x
x ≤1
−2x2 + m
x > 1
答案
解析
3
已知函数y = {
的值域为R，则实数a的取值范围为
．
(−∞, 0) ∪[1, +∞)
x2 −2x + 2, x ≥0
x + a
x + 3a , x < 0
答案
2
先求解出x ≥0时f (x)的值域，然后根据a = 0, a > 0, a < 0分类讨论x < 0时f (x)的值域，由此确定出a的取值
范围.
当x ≥0时，f (x) = x2 −2x + 2 = (x −1)2 + 1，此时f (x) ∈[1, +∞)，
当a = 0且x < 0时，f (x) = x，
此时f (x) ∈(−∞, 0)，且(−∞, 0) ∪[1, +∞) ≠R，所以不满足；
当a > 0且x < 0时，f (x) = x + a
x + 3a，
由对勾函数单调性可知f (x)在(−∞, −√a)上单调递增，在(−√a, 0)上单调递减，
所以f(x)max = f (−√a) = 3a −2√a，此时f (x) ∈(−∞, 3a −2√a]，
若要满足f (x)的值域为R，只需要3a −2√a ≥1，解得a ≥1；
当a < 0且x < 0时，因为y = x, y = a
x 均在(−∞, 0)上单调递增，
所以f (x) = x + a
x + 3a在(−∞, 0)上单调递增，且x →0时，f (x) →+∞，x →−∞时，f (x) →−∞，
所以此时f (x) ∈(−∞, +∞)，此时显然能满足f (x)的值域为R；
综上可知，a的取值范围是(−∞, 0) ∪[1, +∞)，
故答案为：(−∞, 0) ∪[1, +∞).
解析
4
已知f (sin x) = sin x + 1，则函数f (x)的解析式为f (x) =
.
x + 1, x ∈[−1, 1]
根据给定条件，利用换元法求解作答.
依题意，令sin x = t ∈[−1, 1]，则f(t) = t + 1，
所以函数f (x)的解析式为f (x) = x + 1, x ∈[−1, 1].
故答案为：x + 1, x ∈[−1, 1]
答案
解析
04奇偶性和单调性
1
1
已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x > 0时，f (x) = log2 x，则f (x) ≥−2的解集是
.
[−4, 0] ∪[ 1
4 , +∞)
利用奇偶性求出函数f(x)的解析式f (x) =
，分类讨论即可求解.
当x < 0时，−x > 0，所以f(−x) = log2 (−x)，
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x) = −f(−x) = −log2 (−x)，
所以当x < 0时，f(x) = −log2 (−x)，
所以f (x) =
，
要解不等式f(x) ≥−2，只需{
或{
或{
，
解得x ≥1
4 或−4 ≤x < 0或x = 0，
综上，不等式的解集为[−4, 0] ∪[ 1
4 , +∞).
故答案为：[−4, 0] ∪[ 1
4 , +∞).
答案
解析
⎧
⎨
⎩
−log2 (−x), x < 0
0, x = 0
log2 x, x > 0
⎧
⎨
⎩
−log2 (−x), x < 0
0, x = 0
log2 x, x > 0
x > 0
log2 x ≥−2
x < 0
−log2 (−x) ≥−2
x = 0
0 ≥−2
2
下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. y = ln x
B. y = tan x
C. y = x3 + x
D. y = −1
x
C
A由对数函数的性质判断奇偶性；B根据正切函数的性质判断单调性；C利用奇偶性定义及幂函数的单调性判
断；D根据分式型函数的性质判断单调性.
A：y = ln x的定义域为(0, +∞)，显然不是奇函数；
B： y = tan x在定义域上不单调，不合要求；
答案
解析
2
C：f(−x) = (−x)3 + (−x) = −x3 −x = −f(x)且定义域为R，即y = x3 + x为奇函数，又y = x3, y = x在定义
域上递增，即y = x3 + x为增函数，符合要求；
D：y = −1
x 定义域为{x|x ≠0}，在定义域上不单调性，不合要求；
故选：C
3
设函数f(x) = 1 + |x| −
1
1 + x2 ，则使得f (log2x) > f (−2log 1
2 x −1)成立的实数x的取值范围是
.
( 3√2, 2)
利用定义证明函数f(x)为偶函数，结合f(x)在(0, +∞)上单调递增，解不等式f (log2x) > f (−2log 1
2 x −1)，即
可得出实数x的取值范围.
f(−x) = 1 + |−x| −
1
1 + (−x)2 = 1 + |x| −
1
1 + x2 = f(x)，则函数f(x)为偶函数
当x > 0时， f(x) = x + 1 −
1
1 + x2 ，∴f(x)在(0, +∞)上单调递增
∵f (log2x) > f (−2log 1
2 x −1)
∴f (|log2x|) > f ( 2log 1
2 x + 1 )，∴|log2x| >
2log 1
2 x + 1
∵log 1
2 x = log2x
log2
1
2
= −log2x，∴(log2x)2 > (1 −2log2x)2
即3(log2x)2 −4log2x + 1 < 0，即(3log2x −1) (log2x −1) < 0
∴1
3 < log2x < 1，∴log2
3√2 < log2x < log22
∴
3√2 < x < 2
故答案为：( 3√2, 2)
本题主要考查利用函数的奇偶性以及单调性解不等式，属于中档题.
答案
解析
4
已知函数f (x) = (ex −a
ex ) cos 2x是偶函数，则实数a =
.
−1
根据偶函数的定义，即可列关系式求解.
答案
解析
3
f (x)定义域为R，
f (−x) = (e−x −
a
e−x ) cos (−2x) = (−aex + 1
ex ) cos 2x = f (x) = (ex −a
ex ) cos 2x，
所以−aex + 1
ex = ex −a
ex ⇒a (ex −1
ex ) = 1
ex −ex ⇒(a + 1) (ex −1
ex ) = 0，
故a = −1，
故答案为：−1
05 函数周期性与对称性
1
1
已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数.当0 < x ≤1时,f(x)=x3 −ax + 1,则实数a的值等于
.
2
∵ 函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数.
当0 < x ≤1时,f(x)=x3 −ax + 1,
∴ f(−1)=−f(1)且f(−1)=f(−1 + 2)=f(1),
∴ f(1)=0,即f(1)=1 −a + 1=2 −a=0,
∴ a=2.
故答案为:2.
本题考查了利用函数的奇偶性和周期性求参数值，属于基础题.
答案
解析
2
定义在R上的偶函数y = f (x)，当x ≥0时，f (x) = lg (x2 −3x + 3)，则f (x)在R上的零点个数为
个.
4
因为函数y = f (x)是定义在R上的偶函数,求出x ≥0时,f (x)在的零点个数,根据偶函数关于y轴对称,即可求得
f (x)在R上的零点个数.当x ≥0时,f (x) = lg (x2 −3x + 3),
函数的零点由:lg (x2 −3x + 3) = 0,
即x2 −3x + 3 = 1,
解得x = 1或x = 2.
∵ 函数是定义在R上的偶函数y = f (x),
根据偶函数关于y轴对称,
∴ 函数的零点个数为:4个.
故答案为:4.
本题考查了求偶函数的零点个数问题,解题关键是掌握偶函数图像关于y轴对称,属于基础题.
答案
解析
2
3
设f (x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0, 1)，f (x) = log 1
2 (1 −x)，则函数f (x)在(1, 2) 上的解析式是
y = log 1
2 (x −1)
试题分析：根据题意，由于f (x)是定义在R上以2为周期的偶函数，那么当x ∈(0, 1)，f (x) = log 1
2 (1 −x)，可
知当x∈[−1, 0] , f (−x) = log 1
2 (1 + x) = f(x),那么利用周期性可知，f (x)在(1, 2) 上的解析式就是将x∈[−1, 0]
, f (−x) = log 1
2 (1 + x) = f(x)的图像向右平移2个单位得到的，因此可知y = log 1
2 (x −1)，答案为
y = log 1
2 (x −1)．
考点：函数奇偶性、周期性的运用
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即周期性，奇偶性，单调性等有关性质．
答案
解析
4
定义在实数集R上的函数y = f (x)满足f (x + 4) = f (x)，f (4 −x) = f (x)，且当x ∈[0, 2]时，f (x) = 2x −1，则满
足f (x) > 0的x取值范围为
.
( 1
2 + 4k, 7
2 + 4k), k ∈Z
根据题意得f (x)周期为4，关于x = 2对称，作出函数f (x)在[0, 4]上图象，结合周期性得出答案.
由f (x + 4) = f (x)，可得函数f (x)周期为4，当x ∈[0, 2]时，f (x) = 2x −1，又f (4 −x) = f (x)得f (x)关于
x = 2对称，
作出函数f (x)在[0, 4]上图象，
由图像可得，在[0, 4]上满足f (x) > 0的x取值范围是( 1
2 , 7
2 )，又函数f (x)周期为4，
答案
解析
3
所以函数f (x)满足f (x) > 0的x取值范围是( 1
2 + 4k, 7
2 + 4k), k ∈Z.
故答案为：( 1
2 + 4k, 7
2 + 4k), k ∈Z.
06 阶段测
1
1
已知f (x) = 1 + log3 x (1 ≤x ≤9)，设g (x) = f 2 (x) + f (x2)，则函数y = g (x)的值域为
．
[2, 7]
确定函数y = g (x)的定义域，化简可得y = g (x)的表达式，换元令log3 x = t, (t ∈[0, 1])，可得y = t2 + 4t + 2，
结合二次函数的性质即得答案.
由题意得{
，则1 ≤x ≤3，即g (x) = f 2 (x) + f (x2)的定义域为[1, 3]，
故g (x) = f 2 (x) + f (x2) = (1 + log3x)2 + 1 + log3 x2 = (log3x)2 + 4 log3 x + 2，
令log3 x = t, (t ∈[0, 1])，则y = t2 + 4t + 2 = (t + 2)2 −2，
函数y = (t + 2)2 −2在[0, 1]上单调递增，故y ∈[2, 7]，
故函数y = g (x)的值域为[2, 7]，
故答案为：[2, 7]
答案
解析
1 ≤x ≤9
1 ≤x2 ≤9
2
已知关于x的方程x2 + mx + 1 = 0 (m ∈R)的两个不相等的实根均在区间(0, +∞)内，则m的取值范围为（ ）
A. (−∞, 0)
B. (2, +∞)
C. (−∞, −2)
D. (−∞, −2) ∪(2, +∞)
C
根据给定的条件，利用一元二次方程实根分布，列式求解作答.
因关于x的方程x2 + mx + 1 = 0 (m ∈R)的两个不相等的实根均在区间(0, +∞)内，
则有{
，解得m < −2，
所以m的取值范围为(−∞, −2).
故选：C
答案
解析
Δ = m2 −4 > 0
−m > 0
3
2
设集合A = {y |y = ax, x > 0}（其中常数a > 0，a ≠1），B = {y
y = xk, x ∈A}（其中k是常数），则“k < 0”是“
A ∩B = ∅”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分又非必要条件
A
讨论a的取值范围，求出集合A，进而求出集合B，再根据充分条件、必要条件即可求解.
当a > 1时，A = {y |y = ax, x > 0} = (1, +∞)，
若k < 0，则B = {y
y = xk, x ∈A} = (0, 1)，此时A ∩B = ∅，
当0 < a < 1时，A = {y |y = ax, x > 0} = (0, 1)，
若k < 0，则B = {y
y = xk, x ∈A} = (1, +∞)，此时A ∩B = ∅，
故“k < 0”是“A ∩B = ∅”的充分条件；
当a > 1时，A = (1, +∞)，若A ∩B = ∅，B = {y
y = xk, x ∈A}，可得k ≤0，
当0 < a < 1时，A = (0, 1)，若A ∩B = ∅，B = {y
y = xk, x ∈A}，可得k ≤0，
所以“k < 0”不是“A ∩B = ∅”的必要条件，
所以“k < 0”是“A ∩B = ∅”的充分非必要条件.
故选：A.
答案
解析
4
方程log2(x + 1) + log2(x −1) = 1的解为
.
√3
利用对数的运算法则将对数方程转化为关于x的方程，求解即可．
原方程可化为log2 (x + 1) = −log2 (x −1) + 1,
即 log2 (x + 1) = log2
2
x −1 .
所以x + 1 =
2
x −1 ,
解得 x = √3或x = −√3.
又x + 1 > 0 且x −1 > 0,
所以 x > 1.所以x = −√3不满足题意,
因此应舍去.故方程的解为x = √3.
答案
解析
3
故答案为：√3.
本题考查解对数方程，求解对数方程时，利用对数运算性质转化为关于真数的方程时，要注意等价变化，同
时要满足真数大于0的条件，是基础题．
5
已知函数f(x)的定义域为[0, 4]，求函数y = f(x + 3) + f(x2)的定义域为（ ）
A. [−2, −1]
B. [1, 2]
C. [−2, 1]
D. [−1, 2]
C
根据抽象函数的定义域得到关于x的不等式组，解出即可
函数f(x)的定义域为[0, 4]，
所以函数y = f(x + 3) + f(x2)的定义域满足：{
解得{
，即−2 ≤x ≤1
所以函数y = f(x + 3) + f(x2)的定义域为[−2, 1]
故选：：C
答案
解析
0 ≤x + 3 ≤4
0 ≤x2 ≤4
−3 ≤x ≤1
−2 ≤x ≤2
6
当x ∈( 1
3 , 3)时，不等式|loga x| < 1恒成立，则实数a的取值范围为
．
(0, 1
3 ] ∪[3, +∞)
由题设−1 < loga x < 1，讨论0 < a < 1、a > 1结合恒成立，列不等式组求范围.
由题设|loga x| < 1 ⇒−1 < loga x < 1，
当0 < a < 1时，a < x < 1
a ，此时只需
，则有0 < a ≤1
3 ；
当a > 1时，1
a < x < a，此时只需
，则有a ≥3；
综上，实数a的取值范围为(0, 1
3 ] ∪[3, +∞).
答案
解析
⎧
⎨
⎩
a ≤1
3
1
a ≥3
⎧
⎨
⎩
1
a ≤1
3
a ≥3
4
故答案为：(0, 1
3 ] ∪[3, +∞)
7
已知函数f (x) = 1
x3 + ax3 −bx −5，且f(−2) = 2，那么f(2)=
.
-12
代入x = −2, x = 2，整体代换求值即可.
由题意，f (−2) =
1
(−2)3 + a(−2)3 −b × (−2) −5 = 2，即1
23 + a × 23 −b × 2 = −7，
故f (2) = 1
23 + a × 23 −2b −5 = −7 −5 = −12,
故答案为：-12
答案
解析
8
已知y = loga (3 −ax)在[0, 2]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是
.
1 < a < 3
2
利用一次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出a的范围.
由y = loga (3 −ax)，得a > 0且a ≠1，因此函数u = 3 −ax单调递减，而x ∈[0, 2]，则umin = 3 −2a，
由y = loga (3 −ax)在[0, 2]上是关于x的减函数，得函数y = loga u在(0, +∞)上单调递增，且3 −2a > 0，
因此{
，解得1 < a < 3
2 ，
所以实数a的取值范围是1 < a < 3
2 .
故答案为：1 < a < 3
2
答案
解析
a > 1
3 −2a > 0
9
若函数f(x) = 2|x−a|(a ∈R)满足f(1 + x) = f(1 −x)，且f(x)在[m, +∞)上单调递增，则实数m的最小值为
A. 2
B. −2
C. 1
D. −1
5
C
函数f (x) = 2|x−a| (a ∈R)满足f (1 + x) = f (1 −x)，则有a = 1.f (x) = 2|x−1|
知f (x)在(−∞, 1)单调递减；在(1, +∞)单调递增.
所以m ≥1. m的最小值为1.
故选C.
答案
解析
10
已知函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，满足f (3 + x) = f (3 −x)，当x ∈(0, 3)时，f (x) = 2x，则当
x ∈(−6, −3)时，f (x) =
．
−2x+6
由题得函数的图像关于直线x = 3对称.再求出当$-3<0$时函数的解析式，再求当$-6<-3$时函数的解析式.因为
f (3 + x) = f (3 −x)，
所以函数的图像关于直线x = 3对称.
设$-3<0$，所以0 < −x < 3，
所以f (−x) = 2−x, ∴−f(x) = 2−x, ∴f(x) = −2−x，
所以当$-3<0$时，函数的解析式为f(x) = −2−x
设点P(x, y)是函数y = f(x)（$-6<-3$）图像上一点，其关于直线x = −3对称的点为（−6 −x, y)在函数
f(x) = −2−x图像上，
所以y = −2−(−6−x) = −2x+6，
所以当$-6<-3$时，函数的解析式为f(x) = −2x+6.
故答案为−2x+6
本题主要考查函数的奇偶性和对称性的应用，考查函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌
握水平和分析推理能力.
答案
解析
11
设f(x) =
x2 −2x ，则函数y = f(x) −2024的所有零点之和为
．
答案
6
2
画出函数图象。利用对称性即可求解.
由一元二次函数的图象和性质可知函数f(x) =
x2 −2x 的图象如图所示，
根据图象可知y = f(x) −2024共有2个零点，且2个零点关于x = 1对称，
所以零点之和为2，
故答案为：2
解析
12
已知a ∈R，函数f (x) = {
，若函数f (x)恰有2个零点，则a的取值范围是
．
(1, 3] ∪(4, +∞)
根据一次函数与二次函数的零点情况，分类讨论a的取值，即可求解.
因为函数y = x −4在R上只有1个零点4，
函数y = x2 −4x + 3在R上有2个零点，为1, 3，
若a ≤1，此时函数y = x2 + 4x + 3在x < a上没有零点，
函数y = x −4在x ≥a上有1个零点，不符合题意；
若1 < a ≤3，此时函数y = x2 + 4x + 3在x < a上有1个零点，
函数y = x −4在x ≥a上有1个零点，符合题意；
若3 < a ≤4，此时函数y = x2 + 4x + 3在x < a上有2个零点，
函数y = x −4在x ≥a上有1个零点，不符合题意；
若a > 4，此时函数y = x2 + 4x + 3在x < a上有2个零点，
函数y = x −4在x ≥a上没有零点，符合题意.
综上所述，a的取值范围是(1, 3] ∪(4, +∞).
故答案为：(1, 3] ∪(4, +∞).
x −4, x ≥a
x2 −4x + 3, x < a
答案
解析
07 函数中的恒成立与存在问题
1
1
已知对∀x ∈(0, +∞)，不等式x > m −1
x 恒成立，则实数m的最大值是
.
不存在
利用参变量分离法结合基本不等式求出m的取值范围，即可得解.
由已知可得∀x ∈(0, +∞)，m < x + 1
x ，由基本不等式可得x + 1
x ≥2√x ⋅1
x = 2，
当且仅当x = 1时，等号成立，∴m < 2，故实数m的最大值不存在.
故答案为：不存在.
答案
解析
2
若对任意正实数a、b，不等式a2 + 4b2 ≥kab恒成立，则实数k的取值范围是
.
(−∞, 4]
变形可得k ≤a
b + 4b
a ，利用基本不等式求得a
b + 4b
a 的最小值即可.
因为a、b为正实数，所以ab > 0，
所以由a2 + 4b2 ≥kab，可得k ≤a2 + 4b2
ab
= a
b + 4b
a ，
又a
b + 4b
a ≥2√a
b × 4b
a = 4，当且仅当a
b = 4b
a ，即a = 2b时取等号，
因为对任意正实数a、b，不等式a2 + 4b2 ≥kab恒成立，所以k ≤4，
所以实数k的取值范围是(−∞, 4].
故答案为：(−∞, 4].
答案
解析
3
已知x > 0，y > 0，且2
x + 1
y = 1，若x + 2y > m2 + 2m恒成立，则实数m的取值范围是
．
2
(−4, 2)
由基本不等式求得x + 2y的最小值，然后解相应的不等式可得m的范围．
∵x > 0，y > 0，且2
x + 1
y = 1，
∴x + 2y = (x + 2y)( 2
x + 1
y ) = 4 + x
y + 4y
x ≥4 + 2√x
y × 4y
x = 8，
当且仅当x
y = 4y
x ，即x = 4, y = 2时等号成立，
∴x + 2y的最小值为8，
由m2 + 2m < 8解得$-4<2$，
∴ 实数m的取值范围是(−4, 2)
故答案为：(−4, 2)．
方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题第一步是利用基本不等式求得x + 2y的最小值min，第二步是解
不等式m2 + 2m < min．
答案
解析
4
已知实数a > 0，函数f(x) =
x
1 + ax2 , g(x) = x + a，若对任意x1 ∈[−2a, 2a]，总存在x2 ∈[−2a, 2a]，使得
f (x2) ≤g (x1)，则a的最大值为
.
4−1
3
把对任意x1 ∈[−2a, 2a]，总存在x2 ∈[−2a, 2a]，使得f (x2) ≤g (x1)，转化为f(x)min ≤g(x)min在x ∈[−2a, 2a]
成立，结合一次函数与基本不等式分别求得函数f (x), g (x)的最小值，列出不等关系式，即可求解.
由题意，对任意x1 ∈[−2a, 2a]，总存在x2 ∈[−2a, 2a]，使得f (x2) ≤g (x1)，
等价于f(x)min ≤g(x)min在x ∈[−2a, 2a]成立，
根据函数g(x) = x + a在x ∈[−2a, 2a]上为单调递减函数，所以g(x)min = −a，
即f(x)min ≤−a，即(
x
1 + ax2 )
min ≤−a，
当x ∈[0, 2a]时，可得f (x) ≥0；当x ∈[−2a, 0)时，可得f (x) < 0，
所以当x ∈[−2a, 0)时，化简f (x) =
x
1 + ax2 =
1
1
x + ax
，
又由1
x + ax = −[(−1
x ) + (−ax)] ≤−2√a，当且仅当1
x = ax，即x = −1
√a
时等号成立，
所以f(x)min =
1
−2√a
，
答案
解析
3
所以
1
−2√a ≤−a，即2a√a ≤1，即0 < a ≤4−1
3 ，所以a的最大值4−1
3 .
故答案为：4−1
3 .
方法点拨：
把对任意x1 ∈[−2a, 2a]，总存在x2 ∈[−2a, 2a]，使得f (x2) ≤g (x1)，转化为f(x)min ≤g(x)min在x ∈[−2a, 2a]
成立，结合函数的性质和基本不等式分别求得函数f (x), g (x)的最小值是解答的关键.
08 导数的概念与运算
1
1
下列求导运算正确的是（ ）
A. (ln x + 3
x )
′
= 1
x + 3
x2
B. (x2ex)
′ = 2xex
C. (ex cos 2x)′ = ex (cos 2x −2 sin 2x)
D. (ln 1
2 + ln x)
′
= 2 + 1
x
C
根据导数的运算法则求导后判断.
(ln x + 3
x )
′
= 1
x −3
x2 , A错;
(x2ex)
′ = (x2)
′ex + x2(ee)′ = 2xex + x2ex, B 错;
(ex cos 2x)′ = (ee)cos cos 2x + ex(cos 2x)′ = ex cos 2x −2 ⋅ex sin 2x = ex(cos 2x −2 sin 2x)，C正确；
(ln 1
2 + ln x)
′
= 1
x ， D错.
故选: C.
答案
解析
2
已知f(x)是定义在R上的可导函数，若lim
Δx→0
f(2) −f(2 + Δx)
2Δx
= 1
2 ，则f ′(2)=（ ）
A. −1
B. −1
4
C. 1
D. 1
4
A
答案
解析
2
根据极限与导数的定义计算．
f ′ (2) = lim
Δx→0
f(2 + Δx) −f(2)
Δx
= −2 lim
Δx→0
f(2) −f(2 + Δx)
2Δx
= −2 × 1
2 = −1
故选：A．
3
已知a, b为实数，函数y = ln x + a
x 在x = 1处的切线方程为4y −x −b = 0，则ab的值为
．
3
2
求解导函数，计算x = 1处的导数值，再由切线方程得切线的斜率，由导数的几何意义列式求解出a的值，再
根据函数解析式求解切点坐标并代入切线方程即可求解出b的值，从而计算出ab的值.
因为y = ln x + a
x ，所以y′ = 1
x −a
x2 ，
则y′ |x=1 = 1 −a，由x = 1处的切线方程为4y −x −b = 0，
得切线的斜率为k = 1
4 ，所以1 −a = 1
4 ，得a = 3
4 ，
所以y = ln x + 3
4x ，当x = 1时，y = 3
4 ，所以切点为(1, 3
4 )，
将(1, 3
4 )代入切线方程得：4 × 3
4 −1 −b = 0，
解得b = 2，所以ab = 3
4 × 2 = 3
2 .
故答案为：3
2
答案
解析
4
已知a ∈R，曲线y = f (x)经过点(1, 2)且在该点处的切线方程为ax + y −5 = 0，则 lim
h→0
f (1 + h) −2
h
=
.
−3
利用导数的几何意义，结合导数的定义计算即得.
由点(1, 2)在直线ax + y −5 = 0上，得a = 3，又曲线y = f (x)在点(1, 2)处的切线方程为ax + y −5 = 0，
则f ′ (1) = −a = −3，而f(1) = 2，所以lim
h→0
f (1 + h) −2
h
= lim
h→0
f (1 + h) −f (1)
h
= f ′ (1) = −3.
答案
解析
3
故答案为：−3
09 导数在函数中的应用
1
1
已知函数f(x) = ln x −ax −2在区间(1, 2)上不单调，则实数a的取值范围为
.
( 1
2 , 1)
由于函数f(x)在区间(1, 2)上不单调，等价于函数f(x)在区间(1, 2)上存在极值点，对函数f(x)求导，对a分类讨
论，求出极值点，根据极值点在区间(1, 2)内，可得关于a的不等式，即可求出结果．
由f ′(x) = 1
x −a = 1 −ax
x
.
①当a ≤0时，函数f(x)单调递增，不合题意；
②当a > 0时，函数f(x)的极值点为x = 1
a ，
若函数f(x)在区间(1, 2)不单调，必有1 < 1
a < 2，解得1
2 < a < 1.
故答案为：( 1
2 , 1).
关键点点睛：由于函数f(x)在区间(1, 2)上不单调，等价于函数f(x)在区间(1, 2)上存在极值点，这是解决本题
的关键点和突破点.
答案
解析
2
函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d的图象如图，f ′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式x ⋅f ′(x) < 0的解集为
．
(−∞, −√3) ∪(0, √3)
结合函数图象可得a > 0且−√3, √3是f ′(x) = 3ax2 + 2bx + c = 0的两根，进而可知当x < −√3或x > √3时有
f ′(x) > 0，当−√3<x<√3时，f ′(x) < 0，从而可以求出结果.
f ′(x) = 3ax2 + 2bx + c，根据f(x)的图象可知，−√3, √3分别是f(x)的极大和极小值点，且当x < −√3或
答案
解析
2
x > √3时f(x)单调递增，当−√3<x <√3时f(x)单调递减，所以a > 0且−√3, √3是f ′(x) = 3ax2 + 2bx + c = 0
的两根．故有当x < −√3或x > √3时有f ′(x) > 0，当−√3<x <√3时，f ′(x) < 0．
不等式xf ′(x) < 0等价于{
或{
，则{
或{
，解得x < −√3
或0 <x<√3，
故答案为：(−∞, −√3) ∪(0, √3).
x < 0
f ′(x) > 0
x > 0
f ′(x) < 0
x < 0
x < −√3或x > √3
x > 0
−√3 < x < √3
3
对于函数f(x) = x3 −2ax + b，在x = 1处取极值，且该函数为奇函数，求a-b=
3
2
由函数f(x) = x3 −2ax + b在x = 1处取极值得f ′(1) = 3 −2a = 0，求出a的值并检验，再由函数为奇函数，利
用奇函数定义求出b的值，即可求出a −b的值.
由题f ′(x) = 3x2 −2a，
因为函数f(x) = x3 −2ax + b在x = 1处取极值，
所以f ′(1) = 3 −2a = 0，所以a = 3
2 .
检验：当a = 3
2 时，f ′(x) = 3x2 −3 = 0的根为x = 1或x = −1
当x < −1时，f ′(x) > 0，当−1 < x < 1时，f ′(x) < 0；当x > 1时，f ′(x) > 0，
所以函数f(x) = x3 −2ax + b在x = 1处取极值，成立.
故a = 3
2 .
又该函数为奇函数，所以f(−x) = −f(x)对定义域内任意x ∈R都成立，
即−x3 + 2ax + b = −(x3 −2ax + b)对任意x ∈R都成立
所以b = 0，
故a −b = 3
2 .
故答案为：3
2 .
答案
解析
4
函数y = sin2x + 2sinx的最大值为 .
3√3
2
答案
3
首先求得y′，设cos x = t ∈[−1, 1]，f(t) = 4t2 + 2t −2，得出y的单调区间，即可得出最大值．
y′ = 2 cos 2x + 2 cos x = 2(2cos2x −1) + 2 cos x = 4cos2x + 2 cos x −2，
设cos x = t ∈[−1, 1]，f(t) = 4t2 + 2t −2，
令f(t) = 0，得t = 1
2 或t = −1，
所以当t ∈(−1, 1
2 )时，f(t) < 0，
即在(− π + 2k π , −
π
3 + 2k π )和(
π
3 + 2k π , π + 2k π )(k ∈Z)上y单调递减，
当t ∈( 1
2 , 1)时，f(t) > 0，
即在(−
π
3 + 2k π ,
π
3 + 2k π )(k ∈Z)上，y单调递增，
又因为f(− π + 2k π ) = 0，f(
π
3 + 2k π ) = 3√3
2
，
所以y的最大值为3√3
2
，
故答案为：3√3
2
．
解析
10 三角比
1
1
设θ为第二象限角，若tan θ = −1
2 ，则sin θ + cos θ =
.
−
√5
5
由同角三角函数的基本关系，列方程组解出sin θ, cos θ，求和即可.
θ为第二象限角，则sin θ > 0，cos θ < 0，
若tan θ = −1
2 ，则有
，解得
，
所以sin θ + cos θ = √5
5
−2√5
5
= −√5
5 .
故答案为：−√5
5 .
答案
解析
⎧
⎨
⎩
sin θ
cos θ = −1
2
sin2 θ + cos2 θ = 1
⎧
⎨
⎩
sin θ = √5
5
cos θ = −2√5
5
2
若 cos (θ + π
3 ) = 1 ，则 cos θ =
1
2
根据 cos θ = cos (θ + π
3 −π
3 ) ，利用两角差的余弦公式可求出结果.
因为 cos (θ + π
3 ) = 1 ，所以 sin (θ + π
3 ) = 0 ，
所以 cos θ = cos (θ + π
3 −π
3 ) = cos (θ + π
3 ) cos π
3 + sin (θ + π
3 ) sin π
3
答案
解析
= 1 × 1
2 + 0 × √3
2
= 1
2 .
2
故答案为: 1
2 .
3
已知sin (α + π) = 4 cos α，则tan 2α =
．
8
15
利用诱导公式将sin (α + π) = 4 cos α化简，求出tan α，再利用二倍角公式求值.
因为sin (α + π) = 4 cos α，所以−sin α = 4 cos α，所以tan α = −4，
所以tan 2α =
2 tan α
1 −tan2 α = 8
15 ．
故答案为：8
15
答案
解析
4
若tan (α + β) = 3，tan (α +
π
4 ) = −3，则tan (β −
π
4 )的值为
−3
4
因为tan (α + β) = 3，tan (α +
π
4 ) = −3，
所以tan (β −
π
4 ) = tan [(α + β) −(α +
π
4 )]
=
tan (α + β) −tan (α +
π
4 )
1 + tan (α + β) tan (α +
π
4 )
=
3 + 3
1 + 3 × (−3) = −3
4 .
故答案为：−3
4
答案
解析
5
设点P是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置P0 (1, 0)出发，沿单位圆按逆时针方向转动角
α (0 < α < π
2 )后到达点P1，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角π
4 到达P2．若点P2的横坐标为−3
5 ，则点P1的
纵坐标为
．
3
7√2
10
由P2在单位圆上，得到P2的坐标，再根据三角函数的定义得出cos (α + π
4 )的值，从而求出sin (α + π
4 )的
值，在运用两角差的余弦公式求解.
由题可知cos (α + π
4 ) = −3
5 ，因为π
4 < α + π
4 < 3π
4 ，
所以sin (α + π
4 ) = 4
5
sin α = sin [(α + π
4 ) −π
4 ] = sin (α + π
4 ) cos π
4 −cos (α + π
4 ) sin π
4
= √2
2 ( 4
5 + 3
5 ) = 7√2
10 .
故答案为：7√2
10
答案
解析
11 解三角形
1
1
在△ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, b, c，若a2 −b2 = 3bc, sin C = 2 sin B，则A =
.
2π
3
首先根据正弦定理角化边公式得到c = 2b，再结合余弦定理求解即可.
因为sin C = 2 sin B，所以c = 2b，因为a2 −b2 = 3bc，
所以cos A = b2 + c2 −a2
2bc
= −3bc + 2bc
2bc
= −1
2 ，
因为0 < A < π，所以A = 2π
3 .
故答案为：2π
3
答案
解析
2
已知△ABC的角A、B、C对应边长分别为a、b、c，a = 4，b = 5，c = 6，则sin A =
√7
4
由余弦定理求出cos A，由平方关系求得结果.
由余弦定理可得cos A = b2 + c2 −a2
2bc
= 52 + 62 −42
2 × 5 × 6
= 3
4 ，
∴sin2 A = 1 −cos2 A = 1 −( 3
4 )
2
= 7
16 ，又0 < A < π，
∴sin A = √7
4 .
故答案为：
√7
4 .
答案
解析
3
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a，b，c，若cos A = 4
5 , cos B = 5
13 , a = 1，则b =
．
2
20
13
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A，sin B的值，进而利用正弦定理可求b的值．
因为cos A = 4
5 , cos B = 5
13 , a = 1，
且A, B ∈(0, π)，可得sin A = √1 −cos2A = 3
5 ，sin B = √1 −cos2B = 12
13 ；
由正弦定理
a
sin A =
b
sin B 可得：b = a sin B
sin A
= 20
13 ．
故答案为：20
13 ．
答案
解析
4
某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观
测到火情发生在北偏西40∘方向，而在B处观测到火情在北偏西60∘方向．已知B在A的正东方向10km处（如图所
示），则|BC −AC| =
km. （精确到0.1km）
7.8
根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.
由题意可得，AB = 10，∠ABC = 30∘，∠CAB = 130∘，则∠ACB = 20∘，
在△ABC中，由正弦定理可得，
AB
sin ∠ACB =
AC
sin ∠ABC =
BC
sin ∠BAC ，
即
10
sin 20∘=
AC
sin 30∘=
BC
sin 130∘，
所以AC = 10 sin 30∘
sin 20∘
≈14.6km，
BC = 10 sin 130∘
sin 20∘
≈22.4km，
则|BC −AC| = 22.4 −14.6 = 7.8km.
答案
解析
3
故答案为：7.8
12 结课测
1
1
已知函数f (x) = x2 + ax + 4，x ∈[b, 3]是偶函数，则a + b =
.
−3
根据偶函数的定义求出a, b即可.
因为函数f (x) = x2 + ax + 4是偶函数，
所以f (−x) = f (x)，即x2 −ax + 4 = x2 + ax + 4，可得a = 0，
又因为x ∈[b, 3]，可得b = −3，
即f (x) = x2 + 4在x ∈[−3, 3]上是偶函数，
则a + b = −3.
故答案为：−3.
答案
解析
2
已知log73 = a，log74 = b，用a，b表示log4948为
．
a + 2b
2
试题分析：log4948 = 1
2 log748 = 1
2 log73 × 16 = 1
2 (log73 + 2log74) = 1
2 (a + 2b)．
考点：1、换底公式；2、对数的运算．
答案
解析
3
设函数f(x) = ln x −2mx（m为实数），若f(x)在[1, +∞)上单调递减，则实数m的取值范围
．
[ 1
2 , +∞)
答案
2
首先根据题意得到x ∈[1, +∞)，f ′ (x) ≤0，再根据y = 1
x 的单调性即可得到答案.
f ′ (x) = 1
x −2m，因为函数f(x) = ln x −2mx在区间[1, +∞)上单调递减，
所以x ∈[1, +∞)，1
x −2m ≤0恒成立，
即x ∈[1, +∞)，2m ≥( 1
x )
max
.
又y = 1
x 在[1, +∞)上单调递减，所以( 1
x )
max
= 1，
故2m ≥1，即m ≥1
2 ，
所以m的取值范围为[ 1
2 , +∞).
故答案为：[ 1
2 , +∞).
解析
4
在△ABC中，a = x, b = 2, ∠B = 45∘，若解三角形时有两解，则x的取值范围是（ ）
A. x > 2
B. x < 2
C. 2 < x < 2√2
D. 2 < x ≤2√2
C
根据题意画出图形，根据三角形有两个解的条件列式即可求得x的取值范围.
根据题意作图，如下图所示
当x的值确定以后，以C为圆心，2为半径的圆与c边的交点即为顶点A的位置，
由图可知，两种临界条件分别为：
（1）圆与c边所在直线相切，此时∠CAB = 90∘，三角形只有一个解，
此时根据正弦定理，
a
sin A =
b
sin B ，可得x = 2√2；
（2）圆过B时，∠CAB = 45∘，三角形只有一个解，此时x = 2；
所以当2 < x < 2√2时，三角形有两个解，
所以x的取值范围为2 < x < 2√2.
故选：C.
答案
解析
3
5
已知函数f (x) = 2 sin (ωx + π
6 ) −1 (ω > 0)，若函数f (x)在x ∈[1, 7]上恰有3个零点，则实数ω的取值范围是
（ ）
A. [ π
3 , 2π
3 )
B. [ 2π
3 , 2π)
C. [ 8π
21 , 3π
7 )
D. [ 8π
21 , 4π
7 )
D
根据已知条件及函数零点的定义，列不等式组结合整数限制条件即可求解.
令f (x) = 2 sin (ωx + π
6 ) −1 = 0，则sin (ωx + π
6 ) = 1
2 ，
解得ωx + π
6 = 2kπ + π
6 (k ∈Z)或ωx + π
6 = 2kπ + 5π
6 (k ∈Z)，
即x = 2kπ
ω (k ∈Z)或x = 2kπ
ω
+ 2π
3ω (k ∈Z)，
因为函数f (x)在[1, 7]上恰有3个零点，
所以
或
，k ∈Z，
第一个不等式组解得
⇒−1
6 ≤k < 1
3 ⇒k = 0，8π
21 ≤ω < 4π
7 ，
第二个不等式组解得
⇒1
6 ≤k < 1 ⇒k ∉Z，ω ∈∅
所以所求取值范围为[ 8π
21 , 4π
7 ).
故选：D.
答案
解析
⎧
⎨
⎩4π
ω + 2kπ
ω
> 7
2kπ
ω
< 1，2π
3ω + 2kπ
ω
≥1
2kπ
ω
+ 8π
3ω ≤7
⎧
⎨
⎩2kπ
ω
−4π
3ω < 1
2kπ
ω
≥1
2kπ
ω
+ 2π
ω ≤7
2kπ
ω
+ 8π
3ω > 7
⎧
⎨
⎩ω < 2kπ
7
+ 4π
7
ω > 2kπ
ω ≤2kπ + 2π
3
ω ≥2kπ
7
+ 8π
21
⎧
⎨
⎩ω > 2kπ −4π
3
ω ≤2kπ
ω ≥2kπ
7
+ 2π
7
ω < 2kπ
7
+ 8π
21
6
4
已知f (x) = x3 + (2a −1)x + b
x + a
(a, b ∈R).
(1)
当a = 0时， 判断函数y = f(x)的奇偶性;
(2)
若函数y = f(x)的图像经过点(1, 2)， 且函数y = f(x) −x2在[0, 2]上有两个不相等的零点，求实数b的值以及实
数a的取值范围.
(1) 函数 y = f(x)既不是奇函数也不是偶函数
(2) b = 2， a < −1
2 且 a ≠−1
(1) 当a = 0时，f (x) = x3 −x + b
x
= x2 + b
x −1，
因为f (−x) = x2 −b
x −1 ≠f (x) ≠−f (x)，
所以函数y = f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2) 因为函数y = f(x)的图像经过点(1, 2)，
所以2 = 1 + 2a −1 + b
1 + a
，则b = 2，且a ≠−1，
所以f (x) = x3 + (2a −1)x + 2
x + a
，
令g (x) = f (x) −x2 = −(x −2) (ax + 1)
x + a
= 0，
则(x −2) (ax + 1) = 0，
因为函数y = f(x) −x2在[0, 2]上有两个不相等的零点，
所以a ≠0且0 < −1
a < 2，解得a < −1
2 ，
综上，b = 2，a < −1
2 且a ≠−1.
答案
解析
7
设ω > 0，函数y = f(x)的表达式为f (x) = cos (ωx −π
6 ).
(1)
若ω = 2，设△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，f (C) = −√3
2 ，且c2 −a2 −b2 = 4，求△ABC的面积.
(2)
对任意的x0 ∈R，皆有f (x0) ≤f ( π
3 )成立，且该函数在区间( π
6 , π
2 )上不存在最小值，求函数y = f (x)在
x ∈( 4π
3 , 17π
6 )的单调区间.
(1) √3
(2) 函数在 ( 4π
3 , 7π
3 )单调递减，在 ( 7π
3 , 17π
6 )单调递增
答案
5
(1) 因为ω = 2，所以f (x) = cos (2x −π
6 )，
所以f (C) = cos (2C −π
6 ) = −√3
2 ，解得2C −π
6 = 7π
6 或5π
6 ，
所以C = π
2 或2π
3 ，
若C = π
2 ，则c2 = a2 + b2，不符；所以C = 2π
3 ，
所以cos C = a2 + b2 −c2
2ab
= −1
2 ，所以c2 = a2 + b2 + ab，
由c2 −a2 −b2 = 4，
得4 + a2 + b2 = a2 + b2 + ab，所以ab = 4，
S△ABC = 1
2 ab sin C = 1
2 × 4 × √3
2
= √3；
(2) 由f ( π
3 ) = 1，得ωπ
3 −π
6 = 2kπ，所以ω = 6k + 1
2 ，k ∈Z，
令t = ωx −π
6 ，因为x ∈( π
6 , π
2 )，所以t ∈( π
6 ω −π
6 , π
2 ω −π
6 )，
又函数在( π
6 , π
2 )无最小值，
所以
，解得ω ∈(0, 10
3 )，
所以k = 0，则ω = 1
2 ，所以f (x) = cos ( 1
2 x −π
6 )，
令2kπ ≤1
2 x −π
6 ≤2kπ + π，所以4kπ + π
3 ≤x ≤4kπ + 7π
3 , k ∈Z，
当k = 0时，π
3 ≤x ≤7π
3 ，
因为x ∈( 4π
3 , 17π
6 )， 所以f (x)在( 4π
3 , 7π
3 )单调递减，在( 7π
3 , 17π
6 )单调递增.
解析
⎧
⎨
⎩
π
6 ω −π
6 > −π
2
π
2 ω −π
6 < 3π
2
ω > 0
