第 18 讲 端点效应（先猜后证-必要性探索）在导
数中的应用（高阶拓展）（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
利用导数求函数的单调区间（不含参）
2023年全国甲卷理数，第21题,12分 端点效应
利用导数研究不等式恒成立问题
用导数判断或证明已知函数的单调性
2021年全国甲卷文数，第20题,12分 端点效应
利用导数研究不等式恒成立问题
用导数判断或证明已知函数的单调性
2021年全国Ⅰ卷理数，第21题,12分 端点效应
利用导数研究不等式恒成立问题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1能用导数解决函数基本问题
2能求解含参不等式的基本问题
3能利用端点效应解决含参不等式恒成立问题
【命题预测】求解含参不等式恒成立问题中参数的取值范围是高考中的常考题型，解决这类问题的基本方
法有三种: 1.分离参数、构造函数求参数取值范围；2.构造含参函数，通过讨论参数取值范围将问题转化为
求函数最值问题；3.通过所构造函数在定义域端点处满足的条件，缩小参数的取值范围，求出使不等式恒
成立的必要条件，再证明充分条件，得出参数的取值范围，即所谓的“端点效应”，其中端点效应需要学
生重点复习掌握，也是高考热点问题
知识讲解
1. 端点效应的定义
恒成立问题中, 我们常常能见到类似的命题: “对于任意的 , 都有 恒成立”，这里的
端点 , 往往是使结论成立的临界条件, 因此, 如果能利用好这两个值, 能方便解题，比如对于上述的命
题,观察 和 的取值，这种观察区间端点值来解决问题的做法, 我们称之为端点效应
2. 端点效应的核心思想
利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求.
3. 端点效应的解题思路
端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒成立的一个必
要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论范围，使问题得以顺利的解
决。
利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步
(1) 利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要
条件
(2) 利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调
(3) 若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直
至得到使不等式恒成立的充要条件
4. 端点效应的类型
1.如果函数 在区间 上, 恒成立,则 或 .
2.如果函数 在区问 上, 恒成立,且 (或 ),则 或 .
3.如果函数 在区问 上, 恒成立,且 (或 , 则
或 .
考点一、 端点效应（先猜后证 - 必要性探索）在导数中的应用
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导,然后令 ,讨论导数的符号即可;
（2）构造 ,计算 的最大值,然后与0比较大小,得出 的分界点,再对 讨论即可.
【详解】（1）令 ,则
则
当
当 ,即 .
当 ,即 .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减
（2）
【法一】设
设
所以 .
若 ,
即 在 上单调递减,所以 .
所以当 ,符合题意.
若
当 ,所以 .
.
所以 ,使得 ,即 ,使得 .
当 ,即当 单调递增.
所以当 ,不合题意.
综上, 的取值范围为 .【法二】端点效应
(2)
由于 , 且的
,
注意到当 , 即 时, 使 在 成立, 故此时 单
调递减
, 不成立.
另一方面, 当 时, , 下证它小于等于 0 .
单调递减, . 特上所述: .
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性 在定义域内是减函数,若 ,当
,对应当 .
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递减
(2)
【分析】（1）代入 后，再对 求导，同时利用三角函数的平方关系化简 ，再利用换元法判
断得其分子与分母的正负情况，从而得解；
（2）法一：构造函数 ，从而得到 ，注意到 ，从而得到 ，进而
得到 ，再分类讨论 与 两种情况即可得解；法二：先化简并判断得 恒成立，再分类讨论 ， 与 三种情况，利用零点存在
定理与隐零点的知识判断得 时不满足题意，从而得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
则
，
令 ，由于 ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减.
（2）法一：
构建 ，
则 ，
若 ，且 ，
则 ，解得 ，
当 时，因为 ，
又 ，所以 ， ，则 ，
所以 ，满足题意；
当 时，由于 ，显然 ，
所以 ，满足题意；
综上所述：若 ，等价于 ，所以 的取值范围为 .
法二：
因为 ，
因为 ，所以 ， ，
故 在 上恒成立，
所以当 时， ，满足题意；
当 时，由于 ，显然 ，
所以 ，满足题意；
当 时，因为 ，
令 ，则 ，
注意到 ，
若 ， ，则 在 上单调递增，
注意到 ，所以 ，即 ，不满足题意；
若 ， ，则 ，
所以在 上最靠近 处必存在零点 ，使得 ，
此时 在 上有 ，所以 在 上单调递增，
则在 上有 ，即 ，不满足题意；
综上： .
【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论 这种情况的关键是，注意到 ，从而分类讨论
在 上的正负情况，得到总存在靠近 处的一个区间，使得 ，从而推得存在
，由此得解.
3．（2020·全国·统考高考真题）已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
【答案】（1）当 时， 单调递减，当 时， 单调递增.
（2）
【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.
(2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值
即可确定实数a的取值范围.
【详解】(1)当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
(2) [方法一]【最优解】：分离参数
由 得， ，其中 ，
①.当x=0时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②.当 时，分离参数a得， ，
记 ， ，
令 ，
则 ， ，
故 单调递增， ，
故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此， ,综上可得，实数a的取值范围是 .
[方法二]：特值探路
当 时， 恒成立 ．
只需证当 时， 恒成立．
当 时， ．
只需证明 ⑤式成立．
⑤式 ，
令 ，
则 ，
所以当 时， 单调递减；
当 单调递增；
当 单调递减．
从而 ，即 ，⑤式成立．
所以当 时， 恒成立．
综上 ．
[方法三]：指数集中
当 时， 恒成立 ，
记 ，
，
①.当 即 时， ，则当 时， ， 单调递增，又 ，所以当 时， ，不合题意；
②.若 即 时，则当 时， ， 单调递减，当
时， ， 单调递增，又 ，
所以若满足 ，只需 ，即 ，所以当 时，
成立；
③当 即 时， ，又由②可知 时，
成立，所以 时， 恒成立，
所以 时，满足题意.
综上， .
【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，
本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：
方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；
方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；
方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！
一、单选题
1．（全国·高考真题）若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析： 对 恒成立，
故 ，即 恒成立，
即 对 恒成立，构造 ，开口向下的二次函数 的最小值的可能值为端点值，故只需保证 ，解得 ．故选C．
【考点】三角变换及导数的应用
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不
等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注
意正、余弦函数的有界性.
二、填空题
2．（·浙江·高考真题）已知 ，函数 在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围
是
【答案】
【详解】 ，分类讨论：
①当 时， ，
函数的最大值 ，舍去；
②当 时， ，此时命题成立；
③当 时， ，则：
或 ，解得： 或
综上可得，实数 的取值范围是 ．
【名师点睛】本题利用基本不等式，由 ，得 ，通过对解析式中绝对值符号的处理，进
行有效的分类讨论：① ；② ；③ ，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难
题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．
三、解答题
3．（全国·高考真题）已知函数 .
（I）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）若当 时， ，求 的取值范围.【答案】（1） （2）
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求 的定义域，再求 ， ， ，由直线方程的点斜式可求曲线
在 处的切线方程为 （Ⅱ）构造新函数 ，对实数 分类讨
论，用导数法求解.
试题解析：（I） 的定义域为 .当 时，
，
曲线 在 处的切线方程为
（II）当 时， 等价于
设 ，则
，
（i）当 ， 时， ，故 在 上单调递增，因
此 ；
（ii）当 时，令 得
.
由 和 得 ，故当 时， ， 在 单调递减，因此 .
综上， 的取值范围是
【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性
【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
（1）确定函数y＝f（x）的定义域；
（2）求导数y′＝f′（x）；
（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
4．（全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2） .【分析】（1）求导得到导函数后，设为 进行再次求导，可判断出当 时， ，当
时， ，从而得到 单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结
论；（2）构造函数 ，通过二次求导可判断出 ，
；分别在 ， ， 和 的情况下根据导函数的
符号判断 单调性，从而确定 恒成立时 的取值范围.
【详解】（1）
令 ，则
当 时，令 ，解得：
当 时， ；当 时，
在 上单调递增；在 上单调递减
又 ， ，
即当 时， ，此时 无零点，即 无零点
，使得
又 在 上单调递减 为 ，即 在 上的唯一零点
综上所述： 在区间 存在唯一零点
（2）若 时， ，即 恒成立
令
则 ，
由（1）可知， 在 上单调递增；在 上单调递减
且 ， ，
，①当 时， ，即 在 上恒成立
在 上单调递增
，即 ，此时 恒成立
②当 时， ， ，
，使得
在 上单调递增，在 上单调递减
又 ，
在 上恒成立，即 恒成立
③当 时， ，
，使得
在 上单调递减，在 上单调递增
时， ，可知 不恒成立
④当 时，
在 上单调递减
可知 不恒成立
综上所述：
【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值
恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，
进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
5．（全国·高考真题）已知函数 ．
（1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间；
（2）证明：当 时， ．
【答案】(1)a= ；增区间为 ，减区间为 ．(2)证明见解析.
【分析】（1）先确定函数的定义域，利用 ，求得a= ，从而确定出函数的解析式，再解不等式 即可求出单调区间；
（2）方法一：结合指数函数的值域，可以确定当 时， ，之后构造新函数
，利用导数研究函数的单调性，从而求得 ，利用不等式的传递性，证得结
果.
【详解】（1） 的定义域为 ， ，则 ，解得： ，故
．易知 在区间 内单调递增，且 ，
由 解得： ；由 解得： ，
所以 的增区间为 ，减区间为 ．
（2）［方法一］：【最优解】放缩法
当 时， .
设 ，则 .
当 时， ；
当 时， .所以 是 的最小值点.
故当 时， .因此，当 时， .
［方法二］：【通性通法】隐零点讨论
因为 ，所以 在区间 内单调递增．设 ，当 时， ，当
时， ，所以 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，且
，所以 ．
设 ，则 ．
所以 在区间 内单调递减，故 ，即 成立．
［方法三］：分离参数求最值
要证 时 ，即 ，则证 成立．
令 ，则 ．令 ，则 ，由 知 在区间 内单调递减，从而 在
内单调递增，在区间 内单调递减．
所以 ，而 ，所以 恒成立，原命题得证．
［方法四］：隐零点讨论＋基本不等式
，结合 与 的图像，可知 有唯一实数解，不妨设 ，则
．易知 在区间 内是减函数，在区间 内是增函数．所以
．
由 ，得 ．
．
当且仅当 ，即 时， ，所以 ．
［方法五］：异构
要证明 ，即证 ，
即证明 ，再证明 即可．
令 ， ．
设 ，则 ．
若 时， 在 上恒成立，所以 ；
若 时，当 时 ；当 时， ．
所以 为 的极小值点，则 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
令 ．
当 时， ；当 时， ，所以 为 的极小值点．
则 ，所以 ，即 ．
所以 ．
［方法六］： 高阶函数借位构建有界函数．
令 ，则 ．
令 ．显然 为定义域 上的增函数．又 ，故当 时， ，得
；当 时， ，得 ．即 在区间 上为减函数， 在区间 上为增
函数，故 ．即 恒成立，而 恒成立．
【整体点评】（2）方法一：利用 的范围放缩，转化为求具体函数的最值，是该题的最优解；
方法二：根据函数的单调性讨论，求最值，是该类型题的通性通法；
方法三：原不等式可以通过分参转化为求具体函数的最值，也是不错的解法；
方法四：同方法二，根据函数的单调性讨论，利用基本不等式求最值，区别在于最后求最值使用的方式不
一样；
方法五：利用常见的对数切线不等式异构证明，也是很好的解决方法，不过在本题中使用过程稍显繁琐；
方法六：基本类似于方法三．
【能力提升】
1．（2023·江苏南通·高三）已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的最大值；
(2)若关于 的不等式 对任意的实数 恒成立，其中 为自然对数的底数，求 的取
值范围.
【答案】(1) ：
(2) .
【分析】（1）代入 ，然后求导 ，通过导函数来判断原函数单调性，最后简单计算可得结果.
（2）对 、 进行讨论，然后通过对式子化简变形分离参数 ，进一步使用不等式
，最后简单判断即可.
(1)
当 时， ， ，令 ，且当 时， ， ↗；当 时， ， ↘，
∴ .
(2)
对任意的 恒成立，
即 对 恒成立，
当 时，显然成立.
当 时， ，
由 ，
当且仅当 ， 时取“ ”，∴取不到“ ”，即 ，
∴ ， 的取值范围为 .
2．（2023·江苏南通·高三）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时， ，求 的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 ， ；单调递减区间为
(2)
【详解】（1） 时， ， ，
令 ， .
∴ 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
（2）法一：常规求导讨论
.
①当 时，令
且当 时， ， ；当 时， ， .注意到 ， 时， 符合题意.
②当 时， ， 在 上 ，
此时 符合题意.
③当 时，令 ， ，
且当 在 上 ， 上 ， 上 ，
此时 符合题意.
③当 时，令 ， ，
且当 在 上 ， 上 ， 上 ，
此时只需 ，显然成立.
④当 时，令 ， ，
且当 在 上 ， 上 ， 上 .
此时只需 .
综上：实数 的取值范围 .
法二：参变分离
① 时，不等式显然成立.
②当 时， ，令 ，
.
令 且当 时， ， ；当 时， ， ，
∴ ，∴ .
3．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数 （其中 是自然对数的底数）， .
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)设函数 ，若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数 进行求导，通过构造函数利用导数可以判断出 的导函数的正负性，进而确
定函数 的单调性；
（2）已知不等式变形为： ，构造新函数 ，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以 .
令 ，则 ，当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.所以 ，
又 ，所以 在定义域 上单调递增.
（2）由 得 ，即 ，所以 ，
即 对任意 恒成立，
设 ，则 ，所以当 时， ，函数 单调递增，
且当 时， ，当 时， ，
若 ，则 ，若 ，因为 ，
且 在 上单调递增，所以 ，
综上可知， 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立.
设 ，则 ，
所以 在 单调递增，所以 ，即 的取值范围为 .
【点睛】关键点睛：构造函数，利用导数的性质进行求解是解题的关键.
4．（2023·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）已知函数 在 处取得
极值，且曲线 在点 处的切线与直线 垂直.
(1)求实数 的值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 , 求得 ，再根据 在 处取得极
值，求得a，b的关系，然后由曲线 在点 处的切线与直线 垂直求解.
（2）将不等式 恒成立，转化为 恒成立，由 时，恒成立；当 时，
恒成立，令 ，求得其最大值即可.
【详解】（1）解： ,
；
函数 在 处取得极值，
；
又 曲线 在点 处的切线与直线 垂直，
；
解得： ；
（2）不等式 恒成立可化为 ，
即 ；
当 时，恒成立；当 时， 恒成立，令 ，
则 ；
令 ，
则 ；
令 ，
则 ；
得 在 是减函数，
故 ，
进而
（或 ， ，
得 在 是减函数，进而 ）．
可得： ，故 ，所以 在 是减函数，
而 要大于等于 在 上的最大值，
当 时， 没有意义，由洛必达法得 ，
．
5．（2023·四川·高三期中）已知函数 ．
(1)证明：
(2)若对任意 都有 ，求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）令 ，求导利用导数正负判断单调性可得；
（2）由 ，只需证 对任意的正实数恒成立即可，构造函数，
利用导数求解单调性即可判断.【详解】（1）证明：令 ，则 ，
由 解得 ，由 解得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
则 ；
（2）由 ，下证 的最大值为 ，
即证 对任意的正实数恒成立；
令 ，
则 ，
当 时， ；
当 时， ， ，所以 ；
综上 在 上恒成立 在 上单调递增；
由 可得， 在 单调递减；在 单调递增．
可得 ，所以 的最大值为 ．
6．（2023·江苏·高三统考阶段练习）已知函数 ， .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若对任意的 ，都有 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出函数 的导函数 ，分 ， 讨论研究 的正负情况即可；
（2）将原不等式转化为 对任意的 恒成立，令 ，利用导数的
知识求出 的最小值即可，这个过程中需要二次求导，估算 的导函数的零点，求出 的单调性，
进而计算 的最小值.
(1)由已知
当 时， 恒成立，此时函数 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，
若 ， ，若 ， ，
此时函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
综合得：当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
(2)
，即
对任意的 恒成立，
令
则
令 ，则
在 上单调递增，
又 ， ，
，使 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
由 得
，
设 ， ，
即 在 上单调递增，
由 得 ，，即有
，
.
【点睛】关键点点睛：
1.对于利用导数研究函数问题，当一次求导不能解决问题的时候，我们需要进行二次求导来研究函数性质；
2.对于导函数的零点我们无法求出时，我们可以应用零点存在性定理，找到零点所在去区间，然后设出零
点，进而可以写出函数的单调性.
7．（重庆市2022届高三上学期第四次质量检测数学试题）已知函数 ，其中 .
(1)当 时，讨论 在 上的单调性；
(2)若对任意 都有 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)
【分析】（1）根据题意求导，解导数方程，讨论导数的正负，即可得函数的单调性；（2）根据题意，构
造函数 和 ，对 进行分类讨论，结合单调性即可求解 的取值范围.
（1）
当 时， ，则 ，令 ，当 时，解得 ，故当
时， ；当 时， .
所以， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）
令 ，则 .
当 时， ，所以 .
当 时， ，故 在 上单调递增.
又 ，故 .
当 时，令 ，则 ，故 在
上单调递增.故存在 使得 ，且当 时 ，即 在 上单调递减，所以当
时， ，故不符合 .
综上所述， 的取值范围为 .
8．（2023·河南新乡·高三原阳一中校考阶段练习）已知 ， ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 时， 恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)在 单调递减，在 单调递增.
(2)
【分析】(1)先对函数进行求导，再进行分类讨论判断导数值的正负，即可得到答案；
(2)将问题转化为 在 恒成立，令 ，再利用（1）的结论进行
求解，即可得到答案；
(1)
， ，
①当 时， ，
在 恒成立， ， 在 单调递减，
②当 时，令 ，则 在 恒成立，
在 单调递增，且 ， 在 恒成立，
即 在 恒成立，
在 单调递增，
综上所述： 在 单调递减，在 单调递增.
(2)
当 时，
在 恒成立，令 ，
，令 ，
由（1）得 ， 在 单调递增，且 ，在 恒成立， 在 单调递增， ，
.
9．（2023·陕西安康·高三）已知函数 ， .
(1)若 ，证明： ；
(2)若 恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 ，求出函数导数，利用导数求出函数的最小值即可证明；
（2）先由 可得 ，再利用导数求出函数的最小值，再根据 ，不等式的性质证明最小值
恒大于0即可求解.
【详解】（1）当 时， ， ， ，
易知 在 单调递增，且 ，
所以 时， ， 时，
∴ 在 单调递减， 单调递增，
∴ .
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
， ，易知 在 单调递增，
且 ， ，
∴ ， 且 在 单调递减， 单调递增，
∴ ，且 ，
∴ ，
易证 ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴
∴.当 时， ，
∴实数a的取值范围是 .
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若对任意的 ，都有 成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递减
(2)
【分析】（1）先求出 ，容易得到 ，对导函数再次求导，进而得到 的符号，最后求出
原函数的单调性；
（2）讨论 和 两种情况，当 时进行参变分离，进而通过导数方法求出函数的最值，最后求
出答案.
(1)
，由题意得 ， ，
设 ，则 ，
易知当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，∴ ，
∴ 在 上单调递减．
(2)
当 时， ，满足题意；
当 时，由题已知 ．
设 ， ，则
，
由（1）可知，当 时， ，即 ，∴当 时， ，当
时， ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，
∴ ，即 ．
综上可知，实数a的取值范围是 ．
【点睛】导数的主要作用是判断函数的单调性，而导数值的符号与原函数的单调区间密切相关，因此判断
导数值的符号至关重要，判断导数值的符号的关键在于寻找“零点”、因式分解，本题的难点就是对
的因式分解.
