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2025 年高考押题预测卷
数学（新高考八省卷02）·全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
．故选D.
2．设集合
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，又
，
所以当
时，可得
.故选：C.
3．某中学随机抽取了60 名学生，统计了他们某天学习数学的时间，数据如下表，则该组数据的第75 百分
位数是（ ）
学习时间／分钟
60
7
0
80
90
100
110
120
1
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人数
9
1
0
14
12
8
5
2
A．75 分钟
B．90 分钟
C．95 分钟
D．100 分钟
【答案】C
【解析】因为
，所以第75 百分位数是所有数据从小到大排列的第45 项和第46 项的平均数，
由表中数据可知，第45 项为90，第46 项为100，所以第75 百分位数是
分钟．故选：C.
4．已知向量
，
，则
在
上的投影向量是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，
，则
，
所以
在
上的投影向量是
.故选：B．
5．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
.故选：A.
6．已知椭圆
的焦点在圆
上，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
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【答案】D
【解析】由题意得椭圆的焦点坐标为
，即
，
，
所以
，所以
，则椭圆的离心率
.故选：D
7．已知一个圆锥与一个圆台的高相等，圆锥的底面积和圆台的一个底面的面积相等．若圆台的体积是圆
锥的体积的7 倍，则圆台的上、下底面的面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面面积为
，圆台另一个底面的面积为
，高为
，
则圆台的体积为：
，圆锥的体积为：
，
由题意可知：
，
即：
，变形可得：
，
解得：
（负值舍去），则
.故选：B
8．已知函数
若
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，且
；
3
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当
时
，所以
在
上单调递增，且
，
所以
的图象如下所示：
又
，且
，不妨令
，
结合图象可知
且
，即
，
所以
，即
的取值范围为
.
故选：A
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知如图是函数
，（
，
）的部分图象，则（ ）
A．
的图象关于
中心对称
B．
在
单调递增
C．
在点
处的切线方程为
D．
的图象向左平移
个单位长度后为偶函数
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【答案】BCD
【解析】由图可得
，即
，
而
，可得
，
又
，即
，
可得
，
，
可得
，
，
又
，且
，即
，即
，可得
，
，
对于选项A，
，
，
不是函数的对称中心，故A 不正确；
对于选项B，
，可得
，
函数在
上是单调递增，故B 正确；
对于选项C 中，
，
，
则
在点
处的切线方程为
，故C 正确；
对于选项D 中，将
向左平移
个单位后，
可得
，则
为偶函数，故D 正确.
5
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故选：BCD
10．已知
，且
，其中
为自然对数的底数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】由
，
，得
，则
，
令函数
，求导得
，函数
在
上单调递减，
不等式
，因此
，
对于A，由
，得
，
，A 错误；
对于B，由
，得
，
，B 正确；
对于C，由
，得
，C 正确；
对于D，
，D 正确.
故答案为：BCD
11．已知抛物线
：
的焦点为
，点
在抛物线上，
，设直线
为抛
物线
在点
处的切线，过点
作
的垂线交抛物线于另一点
，若
，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线
的斜率为
C．
D．
【答案】BCD
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【解析】对于选项A，因为
，解得
，所以选项A 错误，
因为
，即
，则
，
所以抛物线在点
处的切线方程为
，
垂线方程
，
由
，消
得到
，
则
，得到
，又
，所以选项
B 和C 正确，
对于选项D，因为
，
得到
，所以当
时，
，
又
，所以
，则
，故选项D 正确，
故选：BCD．
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知函数
在
上的最小值是1，则
.
【答案】
/
【解析】若
，则
，
在
上单调递增，最小值为
，不符合
题意；若
，则
的定义域为
，
且由复合函数的单调性可知
在
上单调递增，
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则最小值为
，解得
，不符合题意；
若
，则
的定义域为
，
由题意可得
，则
，
此时由复合函数的单调性可知
在
上单调递增，
则最小值为
，解得
，符合题意；
综上，
.
13．
的展开式中的常数项为 （用数字作答）.
【答案】
【解析】由
，所以
，
只需求
展开式中的
的系数，
即
.
14．如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点
出发，每隔
等可能地向左或向右移动一个单位，
共移动5 次.该质点在有且仅有一次经过
位置的条件下，共经过两次1 位置的概率为 .
【答案】
/
【解析】设事件
“有且仅有一次经过
”，事件
“共经过两次位置1”，
按到
位置需要1 步，3 步，5 步分类讨论.记
向左，
向右，
①若1 步到位为事件
，则满足要求的是
，
（第5 步无关），
，
（第5 步无
8
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关），所以
；
②若3 步到位为事件
，则满足要求的是
，
所以
；
③若5 步到位为事件
，则满足要求的是
，
所以
，
所以
满足
的情况有：
，
，
，
，
,所以
所以
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13 分）在
中，角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，点
在边
上，且
是
的平分线，求
的面积.
【解】（1）由
，得
，
解法一：由正弦定理得
，
又
中，
，所以
，
所以
，
于是
， …………………………3 分
又
，所以
，
又
，所以
. …………………………6 分
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解法二：由余弦定理得
，
化简得
， …………………………2 分
由余弦定理得
， …………………………4 分
又
，
所以
. …………………………6 分
（2）由
是
的平分线，得
，
解法一：
， …………………………9 分
又
， …………………………10 分
所以
. …………………………13 分
解法二：由
得
. …………………………9 分
即
，
解得
， …………………………11 分
所以
. …………………………13 分
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16．（本小题满分15 分）已知函数
（
）.
(1)若
，求
的极小值；
(2)当
时，求
的单调递增区间；
(3)当
时，设
的极大值为
，求证：
.
【解】（1）由题意知
.
若
，则
，所以
.
令
，得
. …………………………2 分
当
时，
当
时，
所以
在
单调递减，在
单调递增， …………………………4 分
所以
的极小值等于
. …………………………5 分
（2）因为
，所以
，
由
，即
，解得
或
，
所以
在
和
单调递增， …………………………7 分
由
，即
，解得
，
所以
在
单调递减，
故
的单调增区间为
和
. …………………………9 分
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（3）当
时，由（2）知，
的极大值等于
； …………………………10 分
当
时，
，
单调递增，
无极大值； …………………………11 分
当
时，当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
所以
的极大值等于
， …………………………12 分
令
，所以
，
在
上
在
上，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增， …………………………14 分
所以故
，
综上所述，
. …………………………15 分
17．（本小题满分17 分）如图，在三棱柱
中，四边形
为正方形，
，
.点
满足
，
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求三棱锥
的体积；
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(3)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【解】（1）
四边形
是正方形，
，
又
，
，
平面
，
平面
， …………………………2 分
平面
，
平面
平面
. …………………………3 分
（2）取
上一点
满足
，连接
， ………………………4 分
，
，
且
，
四边形
为平行四边形，
，
，
又
，
，
平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
. …………………………6 分
，
，
平面
，
，
平面
. …………………………7 分
则以
为坐标原点，
的方向为
轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
，
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，
，
，
， …………………………8 分
由
可知：
，解得：
，
，
………………………10 分
（3）由（2）得：
，
，
， ………………………11 分
记平面
的法向量为
，
则
，令
，解得：
，
，
， …………………………13 分
，
即直线
与平面
所成角的正弦值为
. …………………………15 分
18.（本小题满分17 分）已知椭圆
的左、右焦点分别为
是圆
上一点，线段
与C 交于点Q，且
．
(1)求C 的标准方程；
(2)过点
的直线与C 交于A，B 两点，记O 为坐标原点，线段
的中点为N，C 的左顶点为D．
（i）求
面积的最大值；
（ii）若
的外心为M，直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，试判断
是否为定值．若是，
求出该定值；若不是，请说明理由．
【解】（1）由
，整理得
，
则该圆是以
为圆心，6 为半径的圆． …………………………1 分
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因为P 是圆
上一点，线段
与C 交于点Q，且
，
所以
，即
，解得
． …………………………2 分
由题可知
，则
， …………………………3 分
故C 的标准方程为
； ………………………4 分
（2）（i）当点
的直线斜率不存在时，
重合，
此时
不存在，不合要求， ………………………5 分
当点
的直线斜率为0 时，
重合，此时
不存在，不合要求，
直线
的斜率存在且不为0，设直线
的方程为
．
联立
整理得
，
则
， …………………………7 分
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则线段
的中点N 的坐标为
．
设
的面积为S，则
． …………………………9 分
因为
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，即
面积的最大值为
． …………………………11 分
（ii）
为定值9，理由如下：
设
，显然
为
外接圆圆心，
故可设
外接圆的方程为
．
因为
在外接圆上，所以
，故
，
故外接圆的方程为
．
联立
，整理得 …………………………13 分
，
则
．
因为
，
故
， …………………………15 分
解得
．
故
，为定值． …………………………17 分
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19．（本小题满分17 分）若数列
满足
，则称数列
为
项
数
列，由所有
项
数列组成集合
.
(1)若
是15 项
数列，当且仅当
时，
，求数列
的所有项的和；
(2)已知
，
，记
，其中
且
.
（ⅰ）求
取到最大值时
的值；
（ⅱ）若
，
是两个不同的数列，求随机变量
的分布列，并证明：
.
【解】（1）因为
是15 项
数列，当且仅当
时，
， ………1 分
所以当
和
时，
． …………………………2 分
设数列
的所有项的和为S，
则
，
所以数列
的所有项的和为0． …………………………5 分
（2）（i）因为数列
是从集合
中任意取出的两个数列，
所以数列
为
项
数列，所以
的可能取值为：
．
根据数列中0 的个数可得，集合
中元素的个数共有
个……………6 分
当
时，则数列
中有
项取值不同，有
项取值相同，
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从
项中选择
项，
和
在
项的某一项数字相同，
其余
项，两者均在同一位置数字相反，
由于
，此问题为组合问题，
故所有的情况会重复1 次，故共有
种情况， …………………………8 分
所以
，
令
，化简可得
，解得
，
则当
时，
取得最大值. …………………………10 分
（ii）证明：因为数列
是从集合
中任意取出的两个数列，
所以数列
为
项
数列，所以
的可能取值为：
．
根据数列中0 的个数可得，集合
中元素的个数共有
个，…………11 分
当
时，则数列
中有
项取值不同，有
项取值相同，
从
项中选择
项，
和
在
项的某一项数字相同，
其余
项，两者均在同一位置数字相反，
由于
，此问题为组合问题，
故所有的情况会重复1 次，故共有
种情况， …………………………13 分
18
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所以
， …………………………14 分
因为
，
所以
，
即
． …………………………17 分
19
