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三角函数与解三角形
猜押考点
3 年真题
考情分析
押题依据
三角函数
与解三角
形
2024 全国新高考I
卷4、7、15
2024 全国新高考
Ⅱ卷9、13、15
2023 全国新高考I
卷8、15、17
2023 全国新高考
Ⅱ卷7、16、17
2022 全国新高考I
卷6、18
2022 全国新高考
Ⅱ卷6、9、18
1.单调性的独立考查；
2.周期性、奇偶性、周期性的综合考查；
3.结合函数的图像和性质，求解析式（函数
值）；
4.关于三角恒等变换的考查，基本稳定，以
“和差倍半”等公式的应用为主.条件求值、化
简三角函数式等，客观题形式；在解三角形问
题中的应用；适当关注其与平面向量的交汇问
题等.
关于解三角形问题，命题比较灵活.
5.正弦定理、余弦定理的基本应用，求三角形
的边、角；
6.与边、角计算相结合，考查三角形面积问
题；
7.与边、角计算相结合，考查三角形周长问
题；
8.在三角形中引入“第四点”，与高线、中
线、角平分线等结合，完成边、角计算；
9.以实际问题、数学文化为背景的解三角形问
题；
10.三角形中最值、范围问题，与基本不等式、
函数、导数等知识交汇.
1.2024 年II 卷的命题形
式，即给出两个函数，
综合考查它们的性质、
图象关系等，值得关注.
终边角问题以及同角三
角函数关系是高考的一
个方向
三角函数恒等变换是高
考数学高频考点，常考
是二倍
2.公式的应用
三角函数图象伸缩变换
及图象定区间最值极值
问题是高考的重难点
3.三角函数中ω 的范围
问题三角函数综合性质
应用的重难点
题型一 三角恒等变换
1．（2025·江西·模拟预测）
的值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】由辅助角公式，结合诱导公式求解.
1
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【详解】
.
故选：D.
2．（河南省部分名校2025 届高三下学期第三次考试（4 月）数学试卷）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意利用两角和差公式可得
，进而可得
，进而可求
.
【详解】因为
，
即
，可得
，
即
，
．
因为
，则
，
可得
，
又因为
，
可得
．
所以
．
故选：D.
2
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3．（2025 高一·全国·专题练习）已知
，函数
，若
，则
.
【答案】
/
【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得
，从而利用同角三角函数的基本
关系以及
即可求解.
【详解】因为
，可得
，同理可得
，
因为
，所以，
，所以，
，
则
，
，
所以
.
故答案为：
.
4．（24-25 高一下·江苏南京·阶段练习）已知角
，且
，当
取得最
大值时，角
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
3
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【分析】利用三角函数的两角和公式将
展开化简，得到
关于
的表达式，
再根据均值不等式求出
取得最大值时
的值，进而求出
.
【详解】已知
，可得：
，
，
可得：
，得：
，
因为
，所以
，
，等式两边同时除以
和
可得：
，上式可化为：
，
又因为
，代入上式可得：
，
令
，则
，
，代入
可得：
，
因为
，所以
，则
.
根据均值不等式对于有：
，
当且仅当
，即
，
时等号成立.
所以
，即当
时，
取得最大值
.
因为
，且
，所以
.
4
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当
取得最大值时，角
.
故选：D.
5．（24-25 高一下·江苏镇江·阶段练习）已知
为锐角，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【分析】根据角的范围和同角的三角函数关系求出
和
，利用两角和的余弦公式计算可得答
案.
【详解】∵
为锐角，
，
∴
.
∵
，∴
，且
，
∵
，函数
在
上单调递增，
∴
，
∴
，
∴
.
故选：B．
6．（24-25 高一下·江苏南通·阶段练习）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
5
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【分析】由已知得出
，
，再根据两角和的余弦公式求得
，结合
即可求解．
【详解】因为
，且
，
所以
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
故选：A．
7．（2025 高三·全国·专题练习）已知
均为锐角，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将等式展开并化为有关正切的关系式，再根据同角三角函数之间的关系以及基本不等式得到结果.
【详解】由题可得
，
因为
均为锐角，两边同时除以
得
，
所以
，
因为
均为锐角，所以
，
则
，
6
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当且仅当
，即
时取等号，
故选：C．
题型二 三角函数图像与性质
1．（24-25 高一下·江西·阶段练习）函数
的最大值为 .
【答案】1
【分析】先利用诱导公式把函数化成
的形式，再结合正弦函数的值域求函数的最大值.
【详解】因为
，
所以
（当
，
即
，
取“
”）.
故答案为：1
2．（21-22 高一·全国·单元测试）已知函数
，则下列选项错误的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．曲线
关于点
中心对称
C．
的最大值为
D．曲线
关于直线
对称
【答案】B
【分析】对于选项A：将函数
化为
形式，求出周期
，判断A.
对于选项B：代入验证得到
判断B. 对于选项C：求出
，最大值是
，判断
C.
对于选项D：根据对称轴性质，代入求出值，看是否是最值即可判断D.
7
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【详解】已知
，所以
.
那么
，所以选项A 正确.
若曲线
关于点
中心对称，则
.
计算
，所以曲线
不关于点
中心对称，选项B 错误.
因为正弦函数
的最大值为，在
中，
，选项C 正确.
若曲线
关于直线
对称，则
为函数的最值.
计算
，
是函数
的最大值，所以曲线
关于直线
对称，选项D 正确.
故选：B.
3．（24-25 高一下·云南·阶段练习）将函数
的图象上各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不
变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到
的图象，则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的图象变换，求函数的解析式.
8
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【详解】将函数
的图象保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的
，得到
，
再向右平移
个单位长度后得到
.
故选：D
4．（24-25 高一上·浙江杭州·期末）（多选）已知
的部分图象
如图所示，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图像可由
的图象向左平移
个单位得到
C．
的对称轴为
D．
在区间
上的最大值为
【答案】ABD
【分析】
由周期求出
，由五点法作图求出
的值，可得
的解析式．再根据
的图象变换规
律，正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】
解：根据函数
的部分图象，可得
，
.
9
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再根据五点法作图可得，
，因为
，
，
又
最大值为
，∴
.
的最小正周期为
，故A 正确；
的图像可由
的图象向左平移
个单位得到，故B 正确；
令
，则
，所以
的对称轴为
，故C 不正确；
时，
，
在区间
上单调递增，故当
时，
，
故D 正确，
故选：ABD．
5．（24-25 高一下·广东佛山·阶段练习）先把函数
的图象上所有点的横坐标
变为原来的4 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则函数
的一条对称轴可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式结合诱导公式化简原函数，再利用平移和伸缩规则得到
，最后利用整体代入
法求解对称轴即可.
【详解】因为
，
所以
，
10
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则由诱导公式得
，
若将图象上所有点的横坐标变为原来的4 倍，纵坐标不变，
此时图象变为
，
再把所得曲线向右平移
个单位长度，此时图象变为
，
，故
，
令
，解得
，
当
时，
，则函数
的一条对称轴可以是
，故B 正确.
故选：B
6．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）已知函数
在区间
上单调，其
中
为大于1 的正整数，若
是
的一个零点，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．将
的图象向右平移
个单位长度得到的图象对应的函数为偶函数
【答案】ABD
【分析】根据函数在区间
上单调，可得
，即可求出
的值，再根据
是
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的一个零点，
检验即可得出
，即可判断ABC；再根据平移变换的原则结合三角函数的奇偶性
即可判断D.
【详解】函数
在区间
上单调，
所以最小正周期
，所以
，即
，
因为
为大于1 的正整数，所以
，
因为
是
的一个零点，
所以
，
，即
，
，
当
时，
，
，
因为
，所以
，
所以
，
，符合题意；
当
时，
，
，
因为
，所以
，
故
，不符题意，故AB 正确，C 错误；
将
的图象向右平移
个单位长度，
此时图象对应的函数为
，
又
，且
的定义域为
，
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所以
为偶函数，故D 正确.
故选：ABD.
7．（2025·湖南岳阳·一模）（多选）如图，直线
与函数
的部分图象交于
三点（点
在
轴上），若
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象
D．当
时，
【答案】AD
【分析】对A，根据
过
判断即可；对B，由
相邻可得
，
，再根据
求解；对C，由
的函数解析式与平移变化分析即可；对D，
根据正弦函数的值域判断即可.
【详解】对A，由
过
可得
，即
，由图结合
可得
，故A 正确；
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对B，由
可得
，即
或
，
由
相邻可得
，
，
故
，又
，则
，可得
，故B 错误；
对C，由AB 可得
，将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，故C 错误；
对D，当
时，
，故
，
则
，故D 正确.
故选：AD
8．（2025·辽宁·二模）（多选）已知函数
，若
，且
，则下列
说法正确的是（ ）
A．函数
为偶函数
B．函数
为偶函数
C．
D．
在区间
上单调递减
【答案】BCD
【分析】利用辅助角公式可得
，
为锐角，且
，
，利用余弦型
函数的奇偶性可判断AB 选项；利用正弦型函数的最值可判断C 选项；利用正弦型函数的单调性可判断D
选项.
【详解】由辅助角公式可得
，
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为锐角，且
，
，
因为
，则
，可得
，
所以，
，因为
，故
，
对于A 选项，
，
且
，故
，
即函数
不是偶函数，A 错；
对于B 选项，
，
即函数
为偶函数，B 对；
对于C 选项，
，
所以，
，C 对；
对于D 选项，因为
，且当
时，
，
由于
，故函数
在区间
上单调递减，D 对.
故选：BCD.
题型三 求
取值范围
1．（23-24 高一下·江西景德镇·期中）设函数
，若
为函数
的零
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点，
为函数
的图象的对称轴，且
在区间
上单调，则
的最大值为 ．
【答案】
/
【分析】先根据对称轴及零点结合周期关系计算得出
，再应用区间单调得出
，最后分类计算求解即可.
【详解】因为
为函数
的一个零点，且
是函数
图象的一条对称轴，
所以
，所以
，所以
；
因为函数
在区间
上单调，
所以
，即
，所以
，所以
，
又因为
，所以
，
当
时，
，
又因为
，则
，所以
，
又
，则
，
所以函数
在区间
上不单调，所以
舍去；
当
时，
，
又因为
，则
，所以
．
又
，
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所以函数
在区间
上单调，所以
．
故答案为：
．
2．（19-20 高一上·湖北武汉·期末）已知函数
，其图象与直线
相邻两
个交点的距离为
，若
对
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据余弦型函数的图形与性质可求得
，进而根据
对
恒成立列不等式组，
求解
的范围，再逐项判断即可.
【详解】根据三角函数的性质可知，函数
的最大值为3，
又因为
的图象与直线
相邻两个交点的距离为
，
所以
的最小正周期
，则
，解得
，
所以
.
由
对
恒成立，得
对
恒成立，
所以
，
，
解得
.
结合选项可知，当
时，
，故B 正确.
故选：B.
3．（24-25 高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数
在
上单调递增，则
的
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取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由正弦函数的单调性结合题意可得.
【详解】由题意可得
，
即
，
令
，可得
，
因为函数
在
上单调递增，
所以
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：B
4．（24-25 高一下·江西赣州·阶段练习）设函数
，
在区间
恰有三个最值点和
两个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出
,结合
图象，恰有三个最值点和两个零点，则右端点应该介于
内，故列出不等式求解即可.
【详解】
，如上图可知：若函数
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，
在区间
恰有三个最值点和两个零点，则
，
故选：A.
5．（2025·全国·模拟预测）已知函数
在
上恰好有一个零点，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】法一：换元
，由
，得到
，再结合余弦函数零点即可求解.
法二：通过令
，得
，再结合
，求解即可.
【详解】令
，由
，得
，
函数
在
上恰好有一个零点，等价于函数
在
上只有一个零点，
所以结合余弦函数的部分图象得
，解得
.
故选：C
法二：令
，得
，则
，
19
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由
，得
，得
.
因为满足题意的零点只有一个，即满足
的整数
只有一个，必为
，
所以
，解得
.
故选：C.
6．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数
的定义域为
，若
有且仅有两个解，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用辅助角化简得出
，由已知条件分析可知方程
在
时有两个解，当
时，求出
的取值范围，结合题意可得出关于
的不等式，解
之即可.
【详解】因为
，
由
可得
，可得
，
即
，则
，
即方程
在
时有两个解，
因为
，当
时，
，
由题意可得
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
20
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故答案为：
.
题型四 正余弦定理解三角形（解答题）
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知
为锐角三角形，角
所对的边分别为
，
．
(1)求证：
；
(2)若
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合和角差角公式变形计算即可；
（2）运用正弦定理边角互化，再结合余弦函数性质，结合换元法和二次函数性质计算.
【详解】（1）由
，得
，
由余弦定理得
，即
，
由正弦定理得
，所以
．
所以
，即
．
所以
或
，
即
或
．
因为
，
，所以
．
（2）因为
为锐角三角形，所以
即
解得
．
因为
，由正弦定理得
，所以
，
21
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由正弦定理得
，
故
的周长
．
令
，由（1）知
，所以
．
因为函数
在
上单调递增，
所以
周长的取值范围为
．
2．（2025·湖南·二模）在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)判断
的形状；
(2)设
，且
是边
的中点，求当
最大时，
的面积.
【答案】(1)等腰三角形
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式化简可得
，即可根据三角函数的性质求解
得解，
（2）根据余弦定理结合基本不等式可得
，则
，结合边的关系可得
为正
三角形，即可求解.
【详解】（1）由二倍角公式得
，
所以
，
22
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整理得
，即
.
因为
，所以
，即
，即
为等腰三角形.
（2）由（1）及题设，有
，
所以
，当且仅当
时，等号成立.
又
为三角形内角，所以
，即
的最大值为
，此时
，又
，所以
，
故
，可得
为直角三角形且
.
又由（1）可得
为正三角形，
所以当
最大时，
的面积
.
3．（2025 高三·全国·专题练习）在
中，角
的对边分别为
，已知
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，
，
的中点为
，求
的长．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）先利用正弦定理化简，再结合角的范围得出
，再利用
计算；
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（2）先利用面积公式求出
，进一步得出
，再在
中利用余弦定理即可.
【详解】（1）因为
，由正弦定理，得
，
所以
．
所以
．
又因为
为
的内角，所以
，
所以
，从而
．
又因为
，则
，
所以
．
（2）由题意，
，所以
．
又
，所以
．
所以
．
因为
，所以
，从而
．
在
中，由余弦定理得
，
所以
．
4．（2025·山东潍坊·一模）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，已知
，
．
(1)求
；
(2)若
的面积为
，
是
上的点，且
，求
的长．
【答案】(1)
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(2)
【分析】（1）由已知得出
，利用余弦定理结合
可得出
，再利用余弦定理可
求得
的值；
（2）利用三角形的面积公式结合（1）中的结论可求出
、
、的值，求出
的值，利用正弦定
理可求出
的长.
【详解】（1）因为
，所以，
，即
，
因为
，则
，即
，故
，
由余弦定理可得
.
（2）因为
，则
，
因为
，可得
，
因为
，
，故
，
，
，
是
上的点，且
，则
，
，
所以，
，
在
中，由正弦定理可得
，
25
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.
5．（24-25 高三下·北京·阶段练习）在△ABC 中，已知
(1)求角A；
(2)若
求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理将已知等式中的角化为边，再根据余弦定理求出角
；
（2）已知
、和角
，先根据余弦定理求出
的值，再利用三角形面积公式求出面积.
【详解】（1）根据正弦定理将
边角互化，
得到
. 化简可得
，
即
. 再根据余弦定理
，
因为
，所以
.
（2）已知
，
，
，
根据余弦定理
，可得
.
即
，整理得
.
解得
或
（边长不能为负舍去）.
最后根据三角形面积公式
，
可得
.
26
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6．（24-25 高二上·广西南宁·阶段练习）（1）若
的面积为
，
，
，求边AB 的长度；
（2）在
中，已知
，且
.求证：
为等腰直角三角形.
【答案】（1）2；（2）证明见解析.
【分析】（1）应用三角形面积公式可得
，法一：由余弦定理求边长；法二：确定
为等边三
角形，即可求边长；
（2）由正弦边角关系及已知得
，设
结合已知得到
，即可证
结论.
【详解】（1）由
，得
，
法一：由余弦定理得
，
所以
，即边AB 的长度等于2.
法二：易知
，又
，所以
为等边三角形，
所以
，即边AB 的长度等于2.
（2）证明：因为
，所以
，又
，
所以
，则
，即
.
设
，则
，
，
.
又
，所以
，即
，
所以
为等腰直角三角形.
7．（24-25 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设
的内角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
.
(1)求
；
(2)若
，在
边上存在一点
，使得
，
，
的平分线交
于
点，求
的
值.
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求出
的值，结合角
的取值范围可得出角
的值；
（2）在
中，利用正弦定理求出
的大小，进而可求得
的大小，然后
中，利用正
弦定理可求出
的长，进而可得出
的长，然后利用角平分线定理可求得
的值.
【详解】（1）由
，
故
，
所以
，所以
，
由余弦定理
，
因为
，所以
．
（2）在
中，由正弦定理得
，解得
．
又因为
，所以
或
．
当
时，
．因为
，所以
；
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当
时，
．因为
，所以
，
由
，则不符合题意，舍去，
所以
，则
．
且
，
在
中，由正弦定理，得
，
解得
．
又因为
为
的平分线，所以
．
8．（24-25 高一下·江苏无锡·阶段练习）在
中，
.
(1)若
，
的面积为
，求；
(2)若
，
①求
的值：
②求
面积的最大值；
③求
周长的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)①
；②
；③
.
【分析】（1）应用余弦边角关系可得
，应用余弦定理有
，进而有
，再
由面积公式得
，结合已知即可求边长；
（2）①应用正弦定理有
，结合合比性质即可得；②③应用基本不等式求
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的范围，即可得面积最值和周长范围.
【详解】（1）由题设及余弦边角关系有
，
所以
，则
，且
，
在三角形中有
，又
，可得
，
结合
，则
；
（2）①由（1）有
，则
，所以
；
②由
，当且仅当
时取等号，
所以
，即
面积最大值为
；
③由
，则
，
当且仅当
时取等号，所以
周长
.
9．（2025·安徽马鞍山·一模）记锐角三角形
的内角
，
，
的对边分别为a，b，c，已知
，
．
(1)求
；
(2)求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）由倍角公式结合正弦定理即可求；
（2）由正弦定理边化角，由
为锐角三角形得出
的范围，利用正弦型函数性质即可求.
【详解】（1）因为
，所以
．
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又
为锐角三角形，故
，则
．
因为
，所以
．
又
，故
．
（2）由正弦定理得
，
则
，
．
由（1）知
，则
．
所以
，
因为
为锐角三角形，
所以
，所以
，
所以
，
所以当
时，即
时，
取得最大值
．
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