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第四章 三角函数与解三角形
§4.1 三角函数基本公式
【高考考向预测】
近三年高考三角函数基本公式为板块必考基础内容，全题型高频运用，涵盖同角关系、诱导
公式、和差倍角及辅助角公式，是化简求值、图象性质、解三角形解题的核心依托，侧重公式熟
记与快速变形；预测2027 年依旧作为必备考点稳定考查，命题侧重公式灵活混搭、角度灵活转换、
齐次式弦切互化，多结合限定角范围化简计算，弱化单一公式直接套用，强化凑角配式、整体代
换思路，着重考查公式活用能力与运算准确率。
【双基自测●明考向】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( )
(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同. ( )
(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角. ( )
(π ) cosα
(4)tan −α = (α≠kπ，k∈Z). ( )
2 sinα
2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
(3π )
A.sin(-x)=sin x B.sin −x =cos x
2
(π )
C.cos +x =-sin x D.cos(x-π)=-cos x
2
❑√3
3.已知α是第二象限角，且sin α= ，则tan α等于( )
3
❑√2 ❑√2 3❑√2
A.-❑√2 B.- C.- D.-
2 3 2
( ❑√5 2❑√5)
4.(2026·哈尔滨模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为P − ，− ，则cos α-sin α=
5 5
.
【核心梳理●明考点】
1.角的概念
定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形
(1)按旋转方向分为正角、负角和零角；
分类
(2)按终边位置分为象限角和轴线角
相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|
终边相同的角
β=α+k·360°，k∈Z}或 { β | β = α +2 k π ， k ∈ Z }
2.弧度制的定义及公式
定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad
l
弧度数公式 |α|= (弧长用l表示，半径用r表示)
r
π (180)
角度与弧度的换算 1°= rad；1 rad= °≈57.3°
180 π
弧长公式 弧长l= | α | r
1 1
扇形面积公式 S= lr= | α | r 2
2 2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直
y
角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y=sin α，x=cos α， =tan α(x≠0).
x
(2)定义的推广
y x
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α= ，cos α= ，
r r
y
tan α= (x≠0).
x
4.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： sin 2 α +cos 2 α =1 .
sinα ( π )
(2)商数关系： =tan α α≠ +kπ，k∈Z .
cosα 2
5.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
π π
角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α π-α -α +α
2 2
正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α
正切 tan α tan α -tan α -tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
1.熟记关于角的两个常用结论
(1)象限角
(2)轴线角
2.谨防几个易误点
(1)角度与弧度不可混用；
(2)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况；
(3)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号；
π
(4)“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变
2
化，应用时要注意.
【题型突破●明方向】
题型一 三角函数基本概念
命题点1 任意角与象限角
例1 (多选)下列说法正确的是( )
A.665°角是第四象限角
B.与-65°角终边相同的角的集合为{α|α=−65°+k·360°，k∈Z}
C.若α是第二象限角，则2α是第三象限或第四象限角α
D.若α是第二象限角，则 为第一象限或第三象限角
2
命题点2 弧度制与扇形公式
例2 (2025·青岛模拟)中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，
记 的长为l cm， 的长为l =12 cm，若l ∶l =3∶1，AD=8 cm，则扇环的面积为( )
1 2 1 2
128
A.128 cm2 B. π cm2
3
160
C. π cm2 D.192 cm2
3
命题点3 任意角的三角函数
例3 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(-1，t)，若sin α=-
❑√10
，则tan α等于( )
10
1 1
A.-3 B.- C. D.3
3 3
【跟踪训练】1 (1)(北师大版必修第二册P16练习T7)若角θ的终边经过点P(-6t，-8t)(t≠0)，则
sin θ-cos θ的值是 .
(2)已知扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α= rad时，扇形的面积最大，最大面积为
cm2.
题型二 同角三角函数基本关系式
sin3α−sinα
例4 (1)已知tan α=-3，则 等于( )
cosα
3 3 3 3
A.- B. C. D.-
4 4 10 10
1
(2)(2025·赤峰模拟)已知锐角α满足sin α-cos α= ，则tan α的值为( )
5
3 4 ❑√5
A. B. C. D.❑√5
4 3 5
( π) 17
【跟踪训练】2 (1)(2025·萍乡模拟)已知x∈ 0， ，sin4x+cos4x= ，则sin x+cos x等于( )
2 18
2❑√3 2❑√3 ❑√6 ❑√6
A.- B. C.- D.
3 3 3 3
( π) 1
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈ 0， ，tan θ= ，则sin θ-cos θ= .
2 2题型三 诱导公式
cos(−585°)
例5 (1)(2026·南京模拟) 等于( )
tan585°+sin570°
❑√2 ❑√2
A. B.- C.❑√2 D.-❑√2
3 3
(3π ) 1 π (π )
(2)(2025·淄博模拟)若sin −x = ，且0<x< ，则sin +x 等于( )
8 3 2 8
2❑√2 1 1 2❑√2
A. B.- C. D.-
3 3 3 3
sin(−α)tan(5π+α)
(3π )
【跟踪训练】3 (1)(2025·六安模拟)已知cos −α =2cos(α+π)，则 (π ) 等于(
2 sin +α tan(π−α)
2
)
2
A.-5 B.-3 C.- D.2
3
( π) 4 ( π)
(2)(2025·湛江检测)若cos α+ = ，则sin α− 等于( )
3 5 6
3 3 4 4
A. B.- C. D.-
5 5 5 5
【限时训练】
（30分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·邢台模拟)2 025°角是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.在同一平面直角坐标系中，角α与4α的终边重合，则α的值可能是( )
π 2π 5π 7π
A. B. C. D.
3 3 3 3
{ | k } { | k }
3.设集合M= x x= ·180°+45°，k∈Z ，N= x x= ·180°+45°，k∈Z ，则( )
2 4
A.M=N B.M N
C.N M D.M∩N=∅
⊆
4.(2 ⊆ 025·日照模拟)已知α是第一象限角，且sin α+cos α=3cos αtan α，则sin ( α+ π) 的值为( )
2❑√5 2❑√5 ❑√5 2❑√5
A.- B.- C. D.
5 5 5 5
1 1
5.(2026·哈尔滨检测)已知sin α-cos α= ，则 +tan α的值为( )
3 tanα
4 2 9 9
A. B. C. D.
9 9 4 2
5
6.(2025·徐州模拟)已知cos(75°+α)= ，α是第三象限角，则sin(195°-α)+cos(105°-α)等于( )
13
24 7 10 7
A.- B. C.- D.-
13 13 13 13
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知A(4❑√3，3❑√3)是角α终边上的一点，则( )
3 (π ) 4
A.sin(π-α)= B.sin −α =
5 2 5
3 (3π ) 3
C.tan(π-α)= D.cos −α =-
4 2 5
8.(2025·临沂模拟)下列说法正确的是( )
π π 3π
A.若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形的面积为
3 2 8
α
B.若角α是第一象限角，则 是第一象限或第二象限角
2
π
C.若角α与β的终边关于y轴对称，则α+β= +2kπ，k∈Z
2
D.cos 3·sin 4>0
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知角α的终边上有一点P(1，-2)，则sin α-cos α的值为 .
10.在一块顶角为120°，腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示两种方案，
既要充分利用废料，又要切割时间最短，则你选择的方案是 .
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2026·宜春模拟)如图所示，角α为锐角，设角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位
2❑√5 π
圆交于点P，cos α= ，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转 后与单位圆交于点Q(x ，y ).
5 2 1 1
设终边OQ对应的角度为β.(1)求tan β的值；(6分)
(π )
−sin(−β)+3sin +β
2
(2)求 的值.(7分)
(3π )
sin +β +sin(π−β)
2
12.(14分)(2025·苏州统考)已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.
(1)求实数a的值；(6分)
1−cos2θ sinθ+cosθ
(2)求 + 的值.(8分)
sinθ−cosθ 1−tan2θ
[13题6分，14题5分，共11分]13.(多选)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成
一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，其中小正方形的面积为4，大正方形的面积
为9，则下列说法正确的是( )
5
A.每一个直角三角形的面积为
4
B.3cos β-3cos α=2
C.3sin β-3sin α=2
D.sin2α+sin2β=1
14.(2025·乌鲁木齐模拟)已知角α(0°<α<360°)终边上A点坐标为(sin 310°，cos 310°)，则α=
.
