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第四章 三角函数与解三角形
§4.5 三角函数的图象与性质
【考情分析·探规律】
考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势
2024·全国甲卷、2024·天津卷
2024·上海卷、2024·北京卷
考点1 三角函数的图
理解并掌握三角
2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷
象与性质（基础）
函数的图象与性质，会先平
2022·天津卷、2021·北京卷
移后伸缩或先伸缩后平移来
2021·全国甲卷、2021·全国乙卷
综合解决三角函数的伸缩平
2024·天津卷、2024·全国新Ⅰ卷
移变换，该内容是新高考卷
2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国新Ⅱ
的载体内容，一般会结合三
卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷
考点2 三角函数的图 角函数的图象与性质综合考
2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷
查三角函数的伸缩平移变
象与性质（拔高）
2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国甲卷
换，需加强复习备考。
2022·北京卷、2022·全国新Ⅰ卷
2021·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷
【知识梳理】
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，
0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－
1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
【名师点拨】
1.对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，
相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z).
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增
函数.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.( )
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(4)y＝sin|x|是偶函数.( )
( π)
2.(多选)已知函数f(x)＝sin x− (x∈R)，下列结论正确的是( )
2
A.函数f(x)的最小正周期为2π
[ π]
B.函数f(x)在区间 0， 上单调递增
2
C.函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D.函数f(x)是奇函数
( 3π)
3.函数y＝tan 2x− 的单调区间为 .
4
( π) [ π]
4.函数y＝cos x＋ ，x∈ 0， 的值域是 .
3 2
【名师点拨】
1.熟记与三角函数周期性、对称性、奇偶性有关的常用结论
1
(1)正弦型曲线、余弦型曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 个周期，
2
1
相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期.
4
π
(2)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋ (k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z).
2
π
(3)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋ (k∈Z).
2
2.谨防两个易误点
(1)要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，
避免出现增减区间的混淆.
( π π)
(2)对于y＝tan x，是在每个区间 kπ− ，kπ＋ (k∈Z)上单调递增，不能认为其
2 2
在定义域上为增函数.
【必练核心题型】
题型一 三角函数的定义域和值域
【典例】1.函数y＝❑√sinx−cosx的定义域为 .
【典例】2.函数f(x)＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋2的值域为 .
【变式训练】
(π )( [ π π] )
变式1.函数y＝tan −x x∈ − ， 且x≠0 的值域为( )
2 4 4A.[－1，1] B.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C.(－∞，1] D.[－1，＋∞)
变式2.若函数f(x)＝4sin x－2cos 2x＋m在R上的最大值是3，则实数m等于( )
A.－6 B.－5 C.－3 D.－2
题型二 三角函数的周期性、对称性与奇偶性
( π)
【典例】1.(多选)(2024·淄博模拟)已知函数f(x)＝sin 2x− ＋1，则下列结论中正
3
确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期T＝π
(π )
B.函数f(x)的图象关于点 ，0 对称
6
5π
C.函数f(x)的图象关于直线x＝ 对称
12
D.函数f(x)在区间[0，2π]上有4个零点
【典例】2.(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝cos(x＋φ)，则“f(0)＝0”是“f(x)为奇函
数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【变式训练】
变式1.(多选)(2024·黄山模拟)已知函数f(x)＝❑√3sin ωx－cos ωx(ω>0)图象上相邻两
π
条对称轴之间的距离为 ，则( )
2
A.ω＝2
B.函数f(x)为奇函数
( 5π )
C.函数f(x)的图象关于点 − ，0 对称
12
2π
D.函数f(x)的图象关于直线x＝ 对称
3变式2.(2025·广州模拟)若函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ等于( )
A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z)
kπ
C. (k∈Z) D.(2k＋1)π(k∈Z)
2
题型三 三角函数的单调性
命题点1 求三角函数的单调区间
(π )
【典例】3 函数f(x)＝sin −2x 的单调递减区间为 ，在[0，π]上的
3
单调递减区间为 .
命题点2 根据单调性求参数
【典例】4 (2025·广州模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋❑√3cos ωx(ω>0)在区间[a，b]上单
π
调递减，且f(a)＝1，f(b)＝－1，b－a＝ ，则ω等于( )
2
1 2
A. B.1 C. D.2
3 3
【变式训练】
( π)
变式1.下列区间中，函数f(x)＝－2sin x− 单调递增的是( )
3
( π) ( 5π)
A. 0， B. π，
2 3
(2π 3π) (3π )
C. ， D. ，2π
3 2 2
( π)
变式2.(2025·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)＝sin ωx− (ω>0)图象的相邻两条对称轴
3
π
之间的距离为 ，若f(x)在(－m，m)上单调递增，则正数m的取值范围是
2
.【限时训练】 （限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.函数f(x)＝❑√−2cosx−1的定义域为( )
[2π 4π ]
A. ＋2kπ， ＋2kπ (k∈Z)
3 3
[5π 7π ]
B. ＋2kπ， ＋2kπ (k∈Z)
6 6
[ 2π 2π ]
C. − ＋2kπ， ＋2kπ (k∈Z)
3 3
[ 5π 5π ]
D. − ＋2kπ， ＋2kπ (k∈Z)
6 6
( π)
2.已知函数f(x)＝cos 2x− ，则f(x)在[－2，0]上( )
6
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
( π) (π) (π) (π)
3.已知函数f(x)＝2cos x＋ ，设a＝f ，b＝f ，c＝f ，则a，b，c的大
6 7 6 4
小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
[π π]
4.已知函数f(x)＝sin(3x＋φ)(0<φ<2π)在区间 ， 上单调递增，则φ等于( )
6 2
π π π
A. B. C. D.π
8 4 2
( π) π [π ]
5.已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ) 0<φ< 的图象关于直线x＝ 对称，则f(x)在 ，π
2 12 2
上的最小值为( )A.－2 B.－❑√3 C.－1 D.－❑√2
(π )
6.已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(0<ω<10，0<φ<π)图象的一个对称中心是A ，0 ，点B
8
( ❑√2)
0， 在f(x)的图象上，下列说法错误的是( )
2
( π)
A.f(x)＝cos 2x＋
4
5π
B.直线x＝ 是f(x)图象的一条对称轴
8
[7π 11π]
C.f(x)在 ， 上单调递减
8 8
( π)
D.f x＋ 是奇函数
8
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
( π)
7.(2024·新课标全国Ⅱ)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin 2x− ，下列说法中正确的
4
有( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
( π) π
8.(2025·岳阳模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋ (ω∈N*，ω≤6)的图象关于直线x＝ 对称，
6 6
则下列说法正确的是( )
1
A.f(0)＝
2
(5π )
B.f(x)的图象关于点 ，0 对称
12
C.f(x)在区间(0，π)上有2个极值点
( π)
D.f(x)在区间 0， 上单调递增
3三、填空题(每小题5分，共10分)
1
9.函数y＝ 的定义域为 .
tanx−1
[π 5π]
10.函数f(x)＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈ ， 的值域为 .
6 6
四、解答题(共27分)
( π)
11.(13分)已知f(x)＝❑√2sin 2x＋ .
4
2
[ ( π)]
(1)求函数y＝ f x＋ 的最小正周期；(6分)
2
[π 3π]
(2)当x∈ ， 时，求函数f(x)的最大值和最小值.(7分)
4 4
( π) ( π)
12.(14分)已知函数f(x)＝asin 2x− －2cos2 x＋ (a>0)，且满足 .
6 6
从①f(x)的最大值为1；②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π；
(π )
③f(x)的图象过点 ，0 这三个条件中选择一个，补充在上面 中并作答
6
下列问题.
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；(6分)
(2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围.(8分)
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【尖子拔高训练】13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)已知函数f(x)＝sin |x|－cos 2x，则下列结论正确的是( )
A.f(x)为偶函数
B.f(x)的最小正周期为π
9
C.f(x)的最小值为－
8
D.f(x)的最大值为2
( 1)
14.已知函数满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数f(x)在 0， 上单调递
2
减.
写出一个同时具有以上性质①②③的函数： .
