文档文本内容
第四章 三角函数与解三角形
§4.6 正弦定理、余弦定理
【高考考向预测】
近三年高考正、余弦定理为解三角形核心必考知识点，大小题型高频考查，主要用于边角互
化、边长角度求解、三角形形状判定、面积计算及条件式化简，是解三角各类题型的基础工具；
预测2027 年仍持续重点考查，命题侧重定理灵活混用、多条件融合推导、边角关系式变形化简，
常结合三角恒等变换、均值不等式探究最值范围，增多含参数与多解情形题型，强化三角形内角
范围限制意识，注重定理选用技巧与运算化简能力考查。
【双基自测●明考向】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比. ( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则a>b. ( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素. ( )
(4)在△ABC中，若b2+c2-a2>0，则△ABC为锐角三角形. ( )
【答案】（1）√（2）×（3）×（4）×
2π
2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=❑√7，a=1，B= ，则c等于( )
3
A.❑√5 B.2 C.❑√3 D.3
【答案】B
a2+c2−b2 1 1+c2−7
【解析】由余弦定理得cos B= ，即- = ，整理得c2+c-6=0，解得c=2(负值舍去).
2ac 2 2c
π 5π
3.(2025·广安模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A= ，C= ，b=❑√2，则a
4 12
等于( )
2❑√3 ❑√3 ❑√3
A.2 B. C. D.
3 3 2
【答案】B
π 5π π 5π π
【解析】因为A= ，C= ，所以B=π- - = ，
4 12 4 12 3
❑√2
❑√2×
a b bsinA 2 2❑√3
由正弦定理 = ，可得a= = = .
sinA sinB sinB ❑√3 3
2
4.(2025·辽阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=5，b=7，c=4，则△ABC
的面积为 .【答案】4❑√6
【解析】在△ABC中，因为a=5，b=7，c=4，
a2+c2−b2 25+16−49 1
由余弦定理可得cos B= = =- ，又0<B<π，
2ac 2×5×4 5
所以sin B=❑√1−cos2B=❑ √ 1− ( − 1) 2 = 2❑√6 ，
5 5
1 1 2❑√6
因此，S = acsin B= ×5×4× =4❑√6.
△ABC 2 2 5
【核心梳理●明考点】
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2= b 2 + c 2 -2 bc cos A ；
a b c
内容 = = =2R b2= c 2 + a 2 -2 ca cos B ；
sinA sinB sinC
c2= a 2 + b 2 -2 ab cos C
(1)a=2Rsin A，
b= 2 R sin B ，
c= 2 R sin C ；
b2+c2−a2
cos A= ；
2bc
a
(2)sin A= ，
2R c2+a2−b2
变形 cos B= ；
2ac
b
sin B= ，
2R a2+b2−c2
cos C=
c 2ab
sin C= ；
2R
(3)a∶b∶c= sin A ∶ sin B ∶ sin C
2.三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b解的个数 一解 两解 一解 一解
3.三角形中常用的面积公式
1
(1)S= ah (h 表示边a上的高)；
2 a a
1 1 1
(2)S= ab sin C = ac sin B = bc sin A ；
2 2 2
1
(3)S= r ( a + b + c ) (r为三角形的内切圆半径).
2
1.熟记以下△ABC中的常用结论：
A+B π C
(1)A+B+C=π， = - .
2 2 2
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(3)大边对大角，大角对大边，a>b A>B sin A>sin B，cos A<cos B.
(4)sin(A+B)=sin C；cos(A+B)=-cos C；tan(A+B)=-tan C.
⇔ ⇔
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a=bcos C+ccos B；b=acos C+ccos A；c=bcos A+acos B.
2.谨防两个易误点
(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.
(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断.
【题型突破●明方向】
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 (1)(2026·临沂模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O是△ABC的外接
圆的圆心，a=4❑√2，b=6，sin C+cos C=❑√2，则该外接圆O的面积为( )
A.8π B.5π C.10π D.20π
【答案】C
( π) ( π)
【解析】由sin C+cos C=❑√2，得❑√2sin C+ =❑√2，即sin C+ =1，
4 4
π π 5π
又因为0<C<π，得 <C+ < ，
4 4 4
π π π
所以C+ = ，所以C= ，
4 2 4
❑√2
由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得c2=32+36-2×4❑√2×6× =20，解得c=2❑√5，
22❑√5
c
由正弦定理得外接圆O的直径2R= = ❑√2 =2❑√10，所以R=❑√10，
sinC
2
所以圆O的面积S=πR2=10π.
(2)(2025·重庆模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc=a2.若b=❑√6，
a=3❑√2sin B，则C等于( )
π π π π
A. B. C. D.
4 6 8 12
【答案】D
b2+c2−a2 1
【解析】在△ABC中，由b2+c2+bc=a2及余弦定理，可得cos A= =- ，
2bc 2
2π
由0<A<π，可得A= ，
3
又b=❑√6，a=3❑√2sin B，由正弦定理得
2π ❑√3
bsin A ❑√6sin ❑√6× 1
sin B= = 3 = 2 = ，
a 2sinB
3❑√2sinB 3❑√2sinB
❑√2
又sin B>0，解得sin B= ，
2
π π
又0<B< ，因此B= ，
3 4
π
所以C=π-A-B= .
12
【思维升华】应用正弦、余弦定理的解题技巧
bsinA
(1)求边：利用正弦定理变形公式a= 等或余弦定理求解.
sinB
asinB
(2)求角：利用正弦定理变形公式sin A= 等或余弦定理的推论求解.
b
(3)利用式子的特点转化：如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐
次式用正弦定理.
【跟踪训练】1 (多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a+b=10，c=5，
sin 2B+sin B=0，则下列结论正确的是( )
A.a=3 B.b=7
5❑√3
C.B=60° D.sin C=
14
【答案】ABD
【解析】由sin 2B+sin B=0，得2sin Bcos B+sin B=0，
1
因为在△ABC中，0°<B<180°，故sin B>0，得cos B=- ，
2
由余弦定理b2=a2+c2-2accos B，
( 1)
得b2=a2+52-2×a×5× −
2
=a2+5a+25，
因为b=10-a，所以(10-a)2=a2+5a+25，
解得a=3，所以b=7.
1 ❑√3
由cos B=- ，得B=120°，则sin B= .
2 2
c 5 ❑√3 5❑√3
由正弦定理得sin C= sin B= × = .
b 7 2 14
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形的形状判断
例2 (多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是( )
A.若a=2ccos B，则△ABC是等腰三角形
B.若cos Acos Bcos C>0，则△ABC是锐角三角形
C.若acos A=bcos B，则△ABC是等腰三角形
D.若a-ccos B=acos C，则△ABC是等腰三角形或直角三角形
【答案】ABD
【解析】对于A，方法一 由正弦定理可得sin A=2sin Ccos B，
又sin A=sin(C+B)=sin Ccos B+cos Csin B，因此可得sin(B-C)=0，
又因为B∈(0，π)，C∈(0，π)，
所以B=C，所以△ABC是等腰三角形，A正确；
a2+c2−b2
方法二 由余弦定理得a=2c· ，
2ac
即a2=a2+c2-b2，即b2=c2，
又b>0，c>0，所以b=c，
所以△ABC为等腰三角形，A正确；
( π)
对于B，由cos Acos Bcos C>0且A+B+C=π知，cos A>0，cos B>0，cos C>0，所以A，B，C∈ 0，
2
，所以B正确；
对于C，若acos A=bcos B，由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B，
即sin 2A=sin 2B，因此2A=2B或2A=π-2B，π
可得A=B或A+B= ，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，C错误；
2
对于D，由正弦定理可得sin A-sin Ccos B=sin Acos C，
即sin Bcos C+sin Ccos B-sin Ccos B=sin Acos C，所以sin Bcos C=sin Acos C，
π
所以sin B=sin A或cos C=0，所以A=B或C= ，
2
即△ABC为等腰三角形或直角三角形，D正确.
命题点2 三角形的面积
例3 (2025·南宁模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积S=
❑√2
(b2+c2-a2)，则cos A= .
2
1
【答案】
3
❑√2
【解析】由S= (b2+c2-a2)，
2
1 ❑√2
可得 bcsin A= (b2+c2-a2)，
2 2
1 ❑√2 b2+c2−a2
所以 sin A= · ，
4 2 2bc
所以sin A=2❑√2cos A>0，
即cos A>0，
两边平方得sin2A=8cos2A，
又sin2A+cos2A=1，
1
所以9cos2A=1，所以cos A= .
3
【思维升华】(1)判断三角形形状的两种思路
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.
(2)三角形面积公式的应用原则
1 1 1
①对于面积公式S= absin C= acsin B= bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
2 2 2
②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
【跟踪训练】2 (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A=sin Bsin C，
(b+c+a)(b+c-a)=3bc，则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形
【答案】C
【解析】因为(b+c+a)(b+c-a)=3bc，
所以b2+c2-a2=bc，
b2+c2−a2 bc 1
所以cos A= = = .
2bc 2bc 2
π
因为A∈(0，π)，所以A= ，
3
又sin2A=sin Bsin C，所以a2=bc，
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，得bc=b2+c2-bc，即(b-c)2=0，所以b=c，
所以△ABC是等边三角形.
(2)(2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=❑√2cos B，
a2+b2-c2=❑√2ab.
①求B；
②若△ABC的面积为3+❑√3，求c.
【解析】①由余弦定理有a2+b2-c2=2abcos C，
因为a2+b2-c2=❑√2ab，
❑√2
所以cos C= ，
2
因为C∈(0，π)，所以sin C>0，
从而sin C=❑√1−cos2C=❑
√
1−
(❑√2) 2
=
❑√2
，
2 2
又因为sin C=❑√2cos B，
1
即cos B= ，
2
π
又B∈(0，π)，所以B= .
3
π ❑√2
②由①可得B= ，cos C= ，C∈(0，π)，
3 2
π (π π)
从而C= ，sin A=sin(B+C)=sin +
4 3 4
❑√3 ❑√2 1 ❑√2 ❑√6+❑√2
= × + × = .
2 2 2 2 4
b c
方法一 由正弦定理有 π = π ，
sin sin
3 4❑√3 ❑√6
从而b= ·❑√2c= c，
2 2
由三角形面积公式可知，
1
△ABC的面积可表示为S = bc·sin A
△ABC 2
1 ❑√6 ❑√6+❑√2 3+❑√3
= · c·c· = c2，
2 2 4 8
由已知△ABC的面积为3+❑√3，
3+❑√3
可得 c2=3+❑√3，所以c=2❑√2.
8
方法二 记R为△ABC外接圆的半径，
由正弦定理得
1
S = ab·sin C=2R2sin Asin Bsin C
△ABC 2
❑√6+❑√2 ❑√3 ❑√2
=2R2· · ·
4 2 2
3+❑√3
= ·R2=3+❑√3.
4
所以R=2.
❑√2
所以c=2R·sin C=2×2× =2❑√2.
2
题型三 与中线、角平分线、垂线有关的问题
π
例4 (多选)(2026·沈阳模拟)在△ABC中，AB=4，AC=6，A= ，点D为边BC上一动点，则( )
3
A.BC=2❑√7
3❑√21
B.当AD为边BC上的高时，AD=
7
C.当AD为边BC上的中线时，AD=❑√19
12❑√3
D.当AD为角A的平分线时，AD=
5
【答案】ACD
1
【解析】对于A，由余弦定理，可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=16+36-2×4×6× =28，
2
所以BC=2❑√7，所以A正确；
1 1 ❑√3
对于B，由正弦定理，可得S = ×AB×AC×sin A= ×4×6× =6❑√3，
△ABC 2 2 21 1 6❑√3 6❑√21
而S = ×BC×AD= ×2❑√7×AD=6❑√3，故AD= = ，所以B错误；
△ABC 2 2 ❑√7 7
1
对于C，因为⃗AD= (⃗AB+⃗AC)，
2
所以⃗AD2= 1 (⃗AB2 +2⃗AB·⃗AC+⃗AC2)= 1 × ( 16+2×4×6× 1 +36 ) =19，所以|⃗AD|=❑√19，所以C正确；
4 4 2
对于D，因为AD为角A的平分线，
π
则∠BAD=∠CAD= ，
6
由S =S +S ，
△ABC △ABD △ACD
1 π 1 π
可得6❑√3= ×4×ADsin + ×6×ADsin ，
2 6 2 6
12❑√3
可得AD= ，所以D正确.
5
【思维升华】三角形中线、角平分线的解题策略
1
(1)若AD是△ABC边BC上的中线，一般利用向量解决问题，即⃗AD= (⃗AB+⃗AC)，两边平方即可得到
2
边与角的关系.
AB BD
(2)若AD是△ABC中角A的平分线，则S +S =S ， = .
△ABD △ACD △ABC AC DC
2π
【跟踪训练】3 (多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A= ，角A的平
3
分线AD交BC于点D，AD=2，b=6，则以下结论正确的是( )
A.c=3
B.BD=2CD
9❑√3
C.△ABC的面积为
2
D.a=3❑√5
【答案】AC
【解析】如图所示，
2π A ❑√3 1
A= ，则sin A=sin = ，cos A=- ，
3 2 2 2
1 1 A 1 A
由S =S +S ，即有 bcsin A= b·AD·sin + c·AD·sin ，
△ABC △ACD △ABD 2 2 2 2 2
所以bc=2b+2c，因为b=6，所以c=3，故A正确；BD AB c 1
由角平分线的性质可知， = = = ，即2BD=CD，故B错误；
CD AC b 2
1 1 ❑√3 9❑√3
S = bcsin A= ×6×3× = ，故C正确；
△ABC 2 2 2 2
1
在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=36+9+2×6×3× =63，
2
所以a=3❑√7，故D错误.
相关定理在解三角形中的综合应用
1.角平分线定理
AB AC
在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，则 = .
BD CD
进而得到(1)AD2=AB·AC-BD·CD(斯库顿定理).
AB BD S
(2) = =
△ABD
.
AC CD S
△ACD
2.张角定理
在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，若∠BAD=α，∠CAD=β，
sinβ sinα sin(α+β)
则 + = .
AB AC AD
3.中线长定理
在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2).
典例 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=8，c=9，则AC边上的中线
长为 .
【答案】7
【解析】方法一 在△ABC中，设BD是AC边上的中线，由中线长定理知，
AB2+BC2=2(BD2+DC2)，
即c2+a2=2
( BD2+ 1 b2)
，
4c2+a2 b2 81+49 64
则BD2= - = - =49，BD=7，
2 4 2 4
故AC边上的中线长为7.
a2+c2−b2 72+92−82 11
方法二 因为a=7，b=8，c=9，由余弦定理得cos B= = = .
2ac 2×7×9 21
1
设D是AC的中点，则⃗BD= (⃗BA+⃗BC)，
2
1
两边平方得|⃗BD|2= (⃗BA2 +2⃗BA·⃗BC+⃗BC2)
4
1 ( 11 )
= × 81+2×9×7× +49 =49，
4 21
所以|⃗BD|=7，即AC边上的中线长为7.
π
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD是∠BAC的平分线，若∠BAC= ，AD=2
3
❑√3，则2b+c的最小值为 .
【答案】6+4❑√2
【解析】如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD
1 π
= ∠BAC= ，
2 6
sin∠BAC sin∠BAD sin∠CAD
由张角定理得 = + ，
AD AC AB
π π π
sin sin sin 1 1 1
即 3 = 6 + 6 ，∴ + = ，
b c 2
2❑√3 b c
(1 1)
∴2b+c=(2b+c) + ×2
b c
2c 4b √2c 4b
=6+ + ≥6+2❑ ×
b c b c
2c 4b 1 1 1
=6+4❑√2(当且仅当 = 且 + = ，
b c b c 2
即c=❑√2b=2❑√2+2时取等号).
【限时训练】
（30分钟）一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·北京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若asin B-❑√3sin A=0，则b等于
( )
A.❑√3 B.2❑√3 C.1 D.2
【答案】A
【解析】因为asin B-❑√3sin A=0，即asin B=❑√3sin A，由正弦定理得ab=❑√3a，又a≠0，所以b=❑√3.
2.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1+❑√3，AB=❑√6，则A等于( )
A.45° B.60° C.120° D.135°
【答案】A
AB2+AC2−BC2
【解析】方法一 由余弦定理得cos A=
2AB·AC
(❑√6) 2+(1+❑√3) 2−22 ❑√2
= = ，
2×❑√6×(1+❑√3) 2
又0°<A<180°，所以A=45°.
方法二 由题意得BC<AB<AC，所以A<C<B，又A+B+C=180°，
所以A<60°，结合选项可知A正确.
b2+c2−a2 1
3.(2025·齐齐哈尔模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 =4，sin A=
cosA 3
，则△ABC的面积为( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
【答案】B
b2+c2−a2
【解析】由余弦定理得b2+c2-a2=2bccos A，代入 =4，
cosA
1 1 1 1
整理可得bc=2，所以S= bcsin A= ×2× = .
2 2 3 3
B a+c
4.(2025·杭州期末)在△ABC中，cos2 = (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(
2 2c
)
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
【答案】BB a+c
【解析】因为cos2 = ，
2 2c
1+cosB a+c a
所以 = ，整理得cos B= ，
2 2c c
a2+c2−b2 a
方法一 由余弦定理得 = ，
2ac c
π
化简得a2+b2=c2，所以C= .
2
故△ABC的形状为直角三角形.
a b c
方法二 由正弦定理 = = ，
sin A sinB sinC
sinA
得cos B= ，
sinC
所以sin Ccos B=sin A=sin(B+C)
=sin Bcos C+cos Bsin C，
得sin Bcos C=0，
又B∈(0，π)，所以sin B>0，
所以cos C=0，又C∈(0，π)，
π
所以C= .
2
故△ABC的形状为直角三角形.
5.(2026·吉林模拟)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=7，a=4，D为边AB上靠近
点B的三等分点，若CD2=19，则c等于( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】C
【解析】设BD=x，则AD=2x，
在△ADC中，得cos∠ADC
AD2+CD2−AC2
=
2AD·CD
4x2+19−49
= ，
2·2x·❑√19
在△BDC中，BD2+CD2−BC2 x2+19−16
得cos∠BDC= = ，
2BD·CD 2·x·❑√19
因为∠ADC+∠BDC=π，所以cos∠ADC+cos∠BDC=0，
4x2+19−49 x2+19−16
即 + =0，解得x=2或x=-2(舍去)，所以c=3x=6.
2·2x·❑√19 2·x·❑√19
π 9
6.(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B= ，b2= ac，则sin
3 4
A+sin C等于( )
2❑√39 ❑√39 ❑√7 3❑√13
A. B. C. D.
13 13 2 13
【答案】C
π 9
【解析】因为B= ，b2= ac，
3 4
4 1
则由正弦定理得sin Asin C= sin2B= .
9 3
由余弦定理可得，
9
b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac= ac，
4
13
即a2+c2= ac，
4
根据正弦定理得
13 13
sin2A+sin2C= sin Asin C= ，
4 12
7
所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C= ，
4
因为A，C为三角形内角，则sin A+sin C>0，
❑√7
则sin A+sin C= .
2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4，则下列结论
中正确的是( )
A.A∶B∶C=2∶3∶4
B.△ABC为钝角三角形
C.若a+b+c=18，则△ABC的面积是6❑√15
D.若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R=16r
【答案】BD
【解析】因为sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4，由正弦定理可得a∶b∶c=2∶3∶4，A错误；
设a=2x，b=3x，c=4x，x>0，
由题意可知，C为最大角，0<C<π，
a2+b2−c2 4x2+9x2−16x2 1
因为cos C= = =- <0，故C为钝角，故B正确；
2ab 12x2 4
若a+b+c=18，则a=4，b=6，c=8，
1 ❑√15
又cos C=- ，所以sin C=❑√1−cos2C= ，
4 4
1 1 ❑√15
所以S = absin C= ×4×6× =3❑√15，故C错误；
△ABC 2 2 4
4x
c 16x 8x
由正弦定理得2R= =❑√15= ，即R= ，
sinC ❑√15 ❑√15
4
1 1
由面积公式可得 (a+b+c)r= absin C，
2 2
1 1 ❑√15
即 ×9x×r= ×2x×3x× ，
2 2 4
❑√15 R 16
所以r= x，所以 = ，故5R=16r，故D正确.
6 r 5
8.已知△ABC中，AB=1，AC=4，BC=❑√13，D在BC上，AD为∠BAC的平分线，E为AC的中点，则(
)
2❑√39
A.BC边上的高线长为
13
2❑√3
B.AD=
5
❑√13
C.BD=
5
D.BE=❑√3
【答案】ACD
【解析】在△ABC中，由余弦定理
AB2+AC2−BC2 1+16−13 1
cos∠BAC= = = ，
2AB·AC 2×1×4 2
∴∠BAC=60°，
设BC边上的高为h，
1 1
则S = AB·AC·sin 60°= ·BC·h，
△ABC 2 22❑√39
解得h= ，故A正确；
13
1 1 1
又S +S =S ，故 AB·AD·sin 30°+ AC·AD·sin 30°= AB·AC·sin 60°，
△ABD △ACD △ABC 2 2 2
4❑√3
解得AD= ，故B不正确；
5
AB BD
∵AD平分∠BAC，由角平分线定理知 = ，
AC DC
BD 1 1 1 ❑√13
∴ = ，∴BD= DC= BC= ，
DC 4 4 5 5
故C正确；
∵E为AC的中点，∴AE=2，在△ABE中，
由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos∠BAC
1
=1+4-2×1×2× =3，∴BE=❑√3，故D正确.
2
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·永州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，b=1，c=4，则
a+b+c
= .
sin A+sinB+sinC
2❑√39
【答案】
3
1
【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=1+16-8× =13，即a=❑√13，
2
a b c
由正弦定理 = = =2R(R为△ABC外接圆的半径)，
sinA sinB sinC
❑√13
a+b+c 2R(sin A+sinB+sinC) a 2❑√39
可得 = =2R= = ❑√3 = .
sin A+sinB+sinC sin A+sinB+sinC sin A 3
2
3π
10.在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B= ，AB=3❑√2，AD=2❑√10，若AC=3❑√5，则CD=
4
.
【答案】1或5
3π
【解析】因为在△ABC中，∠B= ，AB=3❑√2，AC=3❑√5，
4
❑√2
AC AB AB·sinB 3❑√2× ❑√5
由正弦定理可得 = ，所以sin∠ACB= = 2 = ，
sinB sin∠ACB AC 5
3❑√5❑√5
又BC⊥CD，所以∠ACB与∠ACD互余，因此cos∠ACD=sin∠ACB= ，
5
在△ACD中，AD=2❑√10，AC=3❑√5，
❑√5 AC2+CD2−AD2 5+CD2
由余弦定理可得cos∠ACD= = = ，
5 2AC·CD 6❑√5CD
所以CD2-6CD+5=0，解得CD=1或CD=5.
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2025·天津)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B=❑√3bcos A，
c-2b=1，a=❑√7.
(1)求A的值；(4分)
(2)求c的值；(4分)
(3)求sin(A+2B)的值.(5分)
【解析】(1)已知asin B=❑√3bcos A，
由正弦定理得sin Asin B=❑√3sin Bcos A，
显然cos A≠0，sin B≠0，
则tan A=❑√3，
π
由0<A<π，可知A= .
3
1
(2)由(1)知，cos A= ，且c=2b+1，a=❑√7，
2
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，
1
得7=b2+(2b+1)2-2b(2b+1)× =3b2+3b+1，即b2+b-2=0，
2
解得b=1(b=-2舍去)，
故c=3.
a b ❑√3 bsin A ❑√21
(3)由正弦定理 = ，且b=1，a=❑√7，sin A= ，得sin B= = ，且a>b，则角B为
sin A sinB 2 a 14
锐角，
5❑√7
故cos B= ，
14
5❑√3
又sin 2B=2sin Bcos B= ，
14
(❑√21) 2 11
且cos 2B=1-2sin2B=1-2× = ，
14 14
❑√3 11 1 5❑√3 4❑√3
故sin(A+2B)=sin Acos 2B+cos Asin 2B= × + × = .
2 14 2 14 712.(14分)(2026·潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos C+b=0，b=
❑√2
c.
4
(1)求cos C；(6分)
1 3π
(2)若△ABC的面积为 ，D是BC上的点，且∠ADB= ，求AD的长.(8分)
4 4
【解析】(1)因为acos C+b=0，
a2+b2−c2
所以a· +b=0，
2ab
即a2+3b2-c2=0，
❑√2
因为b= c，则c=2❑√2b，
4
即a2+3b2-8b2=a2-5b2=0，
又a>0，b>0，故a=❑√5b，
a2+b2−c2
由余弦定理可得cos C=
2ab
5b2+b2−8b2 ❑√5
= =- .
2❑√5b2 5
❑√5
(2)因为cos C=- ，
5
则sin C=❑√1−cos2C=❑ √ 1− ( − ❑√5) 2 = 2❑√5 ，
5 5
1 ❑√5 1
因为S = absin C= ab= ，
△ABC 2 5 4
❑√5
可得ab= ，
4
又因为a=❑√5b，c=2❑√2b，
❑√5 1
故a= ，b= ，c=❑√2，
2 2
❑√2
由b= c，
4
❑√2 ❑√2 2❑√5 ❑√10
得sin B= sin C= × = ，
4 4 5 10
在△ABD中，
c AD
由正弦定理可得 = ，
sin∠ADB sinB❑√10
❑√2×
csinB 10 ❑√10
故AD= = = .
sin∠ADB ❑√2 5
2
[13题6分，14题5分，共11分]
1
13.(多选)(2025·漳州模拟)在△ABC中，AC=2❑√5，tan A=2，向量⃗AC在向量⃗AB上的投影向量为 ⃗AB，
3
则( )
A.边BC上的高为3❑√2
3❑√10
B.sin∠ACB=
10
C.⃗CA·⃗CB=-8
D.边AB上的中线长为❑√17
【答案】ABD
【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则向量⃗AC在向量⃗AB上的投影向量为⃗AD，
1 1
由已知⃗AD= ⃗AB，所以AD= AB，
3 3
π
设AD=x，则BD=2x，又tan A=2，所以CD=2x，所以B= ，
4
在Rt△ACD中，AC=❑√5x=2❑√5，所以x=2，
所以AD=2，BD=4，CD=4，所以AB=6，
在Rt△BCD中，易得BC=❑√BD2+CD2=4❑√2，
所以边BC上的高为AB·sin B=3❑√2，故选项A正确；
AC2+BC2−AB2 ❑√10
在△ABC中，由余弦定理的推论得cos∠ACB= = ，
2AC·BC 10
3❑√10
又因为∠ACB∈(0，π)，所以sin∠ACB=❑√1−cos2 ∠ACB= ，故选项B正确；
10
❑√10
⃗CA·⃗CB=|⃗CA||⃗CB|cos∠ACB=2❑√5×4❑√2× =8，故选项C错误；
10
1
设AB的中点为M，则⃗CM= (⃗CA+⃗CB)，
21 1
所以⃗CM2= (⃗CA2 +⃗CB2+2⃗CA·⃗CB)= ×(20+32+2×8)=17，
4 4
则|⃗CM|=❑√17，即CM=❑√17，故选项D正确.
1
14.已知△ABC的面积S= (b2+c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为 .
4
【答案】等腰直角三角形
1
【解析】依题意，△ABC的面积S= (b2+c2)，
4
1 1
则 bcsin A= (b2+c2)，即2bcsin A=b2+c2，
2 4
由于0<A<π，所以0<sin A≤1，
所以0<2bcsin A≤2bc，
即0<b2+c2≤2bc，
由基本不等式可知b2+c2≥2bc，
当且仅当b=c时等号成立，
π
所以b2+c2=2bc，b=c，所以sin A=1，A= ，所以△ABC是等腰直角三角形.
2
