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第5 节 指数与指数函数
考试要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂
的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工
具画出指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应
用.
1.根式的概念及性质
(1)概念：式子叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
(2)①负数没有偶次方根.
②0 的任何次方根都是0，记作＝0.
③()n＝a(n∈N*，且n>1).
④＝a(n 为大于1 的奇数).
⑤＝|a|＝(n 为大于1 的偶数).
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负
分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0 的正分数指数幂等于
0；0 的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：aras＝a r ＋ s ；(ar)s＝a rs ；(ab)r＝a r b r ，其中a>0，b>0，r，
s∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义
域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
1
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值域
(0
，＋
∞
)
性质
过定点(0
，
1)
，即x＝0 时，y＝1
当x>0 时，y >1
；
当x<0 时，0<
y <1
当x<0 时，y >1
；
当x>0 时，0<
y <1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
y＝ax与y＝的图象关于y 轴对称
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，
1)，.
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分
a>1 与0<a<1 来研究.
3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)＝－4.( )
(2)分数指数幂a 可以理解为个a 相乘.( )
(3)函数y＝2x－1是指数函数.( )
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)由于＝＝4，故(1)错误.
(2)当<1 时，不可以，故(2)错误.
(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，
故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错误.
(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.
故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错误.
2.(多选)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A.y＝x2
B.y＝
C.y＝2x
D.y＝3x－1
答案 CD
解析 y＝x2的值域为[0，＋∞)；y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
y＝2x的值域为(0，＋∞)；
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y＝3x－1的值域为(0，＋∞).
3.(2021·日照检测)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
答案 A
解析 易知f(x)为偶函数，且f(x)＝1－e|x|≤0，A 正确.
4.(易错题)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________.
答案 2
解析 依题意解得a＝2.
5.已知a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c 的大小关系是________.
答案 c＜b＜a
解析 ∵y＝是R 上的减函数，
∴－＞－＞，即a＞b＞1，
又c＝－＜＝1，∴c＜b＜a.
6.(2022·重庆月考)计算：－×＋8×－
＝________.
答案 2
解析 原式＝×1＋2×2－＝2.
考点一 指数幂的运算
1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基
本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染
所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计
感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R0，T 近似满足
R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情
初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A.1.2 天
B.1.8 天
C.2.5 天
D.3.5 天
答案 B
解析 由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，
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得r＝＝＝0.38.
由题意，累计感染病例数增加1 倍，
则I(t2)＝2I(t1)，
即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2，
即0.38(t2－t1)＝ln 2，
∴t2－t1＝≈≈1.8.
2.[(0.064)－2.5]－－π0＝________.
答案 0
解析
＝××－－1
＝－－1＝0.
3.计算：－·＝________(a＞0，b＞0).
答案
解析 原式＝＝.
4.若x＋x－＝3，则＝________.
答案
解析 由x＋x－＝3，两边平方，
得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47.
∴x2＋x－2－2＝45.
x＋x－＝(x)3＋(x－)3
＝(x＋x－)(x－1＋x－1)
＝3×(7－1)＝18.
∴＝.
感悟提升 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便
利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
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(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
考点二 指数函数的图象及应用
例1 (1)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c 且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中一定成立
的是( )
A.a<0，b<0，c<0
B.a<0，b≥0，c>0
C.2－a<2c
D.2a＋2c<2
答案 D
解析 作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
∵a<b<c 且f(a)>f(c)>f(b)，
结合图象知，
0<f(a)<1，a<0，c>0，
∴0<2a<1.
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，
∴f(c)<1，∴0<c<1.
∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又∵f(a)>f(c)，
∴1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2.
(2)若曲线|y|＝2x＋1 与直线y＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________.
答案 [－1，1]
解析 曲线|y|＝2x＋1 与直线y＝b 的图象如图所示，
由图象可得：如果曲线|y|＝2x＋1 与直线y＝b 没有公共点，
则b 应满足的条件是b∈[－1，1].
感悟提升 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最
基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数
a 与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形
结合求解.
训练1 (1)(2020·北京卷)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0 的解集是(
)
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A.(－1，1)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(0，1)
D.(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案 D
解析 在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1 的图象如图.由图象得
交点坐标为(0，1)和(1，2).
又f(x)＞0 等价于2x＞x＋1，
结合图象，可得x＜0 或x＞1.
故f(x)＞0 的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).
(2)(多选)(2021·济南调研)已知实数a，b 满足等式2 022a＝2 023b，则下列关系式
成立的是( )
A.0<b<a
B.a<b<0
C.0<a<b
D.a＝b
答案 ABD
解析 如图，观察易知a，b 的关系为a<b<0 或0<b<a 或a＝b＝0.
考点三 指数函数的性质及应用
角度1 比较指数式的大小
例2 (1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )
A.b＜a＜c
B.a＜b＜c
C.b＜c＜a
D.c＜a＜b
答案 A
解析 a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，
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∵幂函数y＝x 在R 上单调递增，所以a＜c，
∵指数函数y＝16x在R 上单调递增，
∴b＜a，即b＜a＜c.
(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是( )
A.a＋b≤0
B.a－b≥0
C.a－b≤0
D.a＋b≥0
答案 D
解析 ∵ea＋πb≥e－b＋π－a，
∴ea－π－a≥e－b－πb，①
令f(x)＝ex－π－x，
则f(x)是R 上的增函数，
①式即为f(a)≥f(－b)，
∴a≥－b，即a＋b≥0.
角度2 解简单的指数方程或不等式
例3 (1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a 的值为______.
答案
解析 当a<1 时，41－a＝21，解得a＝；
当a>1 时，2a－(1－a)＝4a－1，无解，故a 的值为.
(2)(2022·湖南五市联考)设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a 的取值范围是( )
A.(－∞，－3)
B.(1，＋∞)
C.(－3，1)
D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 当a＜0 时，不等式f(a)＜1 可化为－7＜1，
即＜8，即＜，
因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；
当a≥0 时，不等式f(a)＜1 可化为＜1，即0≤a＜1.
故a 的取值范围是(－3，1).
角度3 与指数函数有关的复合函数的单调性
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例4 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m 为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则
m 的取值范围是________.
答案 (－∞，4]
解析 令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
而y＝2t为R 上的增函数，
所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，
则有≤2，即m≤4，
所以m 的取值范围是(－∞，4].
(2)函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递减区间为________.
答案 (－∞，1]
解析 设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R 上为减函数，
所以函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1 的单调递增区
间.
又u＝－x2＋2x＋1 的单调递增区间为
(－∞，1]，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1].
(3)已知定义域为R 的函数f(x)＝－＋，则关于t 的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)＜0
的解集为________.
答案 ∪(1，＋∞)
解析 由题意知f(x)是奇函数，且在R 上为减函数，
则f(t2－2t)＋f(2t2－1)＜0，
即f(t2－2t)＜－f(2t2－1)＝f(1－2t2).
所以t2－2t＞1－2t2，解得t＞1 或t＜－.
角度4 函数的最值(值域)问题
例5 (1)(2021·沈阳期末)函数y＝－＋1 在区间[－3，2]上的值域是________.
答案
解析 因为x∈[－3，2]，所以若令t＝，则t∈，
故y＝t2－t＋1＝＋.
当t＝时，ymin＝；
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当t＝8 时，ymax＝57.
故所求函数值域为.
(2)若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是________.
答案 (－∞，－1]
解析 ∵y＝是减函数，且f(x)的值域是，
∴t＝ax2＋2x＋3 有最小值2，
则a>0 且＝2，解之得a＝1，
因此t＝x2＋2x＋3 的单调递减区间是
(－∞，－1]，
故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].
感悟提升 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，
再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“0 或1”等中间量比
较大小.
2.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合
函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这
一性质分析判断.
易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定
时，要分类讨论.
训练2 (1)(2022·福州一模)已知a＝25，b＝6，c＝2，则( )
A.a＜b＜c
B.b＜a＜c
C.c＜b＜a
D.a＜c＜b
答案 A
解析 a＝25＝5，b＝6，c＝2＝8，
因为幂函数y＝x 在(0，＋∞)上单调递增，且5＜6＜8，
所以5＜6＜8，所以a＜b＜c.
(2)函数y＝的单调递增区间是________.
答案
解析 令t＝
＝，
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所以y＝，0≤t≤，－1≤x≤2，
故t 的单调递减区间为，
所以函数y 的单调递增区间为.
(3)已知函数f(x)＝的图象关于点对称，则a＝________，f(x)的值域为________.
答案 1 (0，1)
解析 依题设f(x)＋f(－x)＝1，
则＋＝1，
整理得(a－1)[4x＋(a－1)·2x＋1]＝0.
所以a－1＝0，则a＝1.
因此f(x)＝＝1－.
由于1＋2x>1，∴0<<1，
∴0<f(x)<1.
故f(x)的值域为(0，1).
1.(多选)函数y＝ax－a(a＞0，a≠1)的图象可能是( )
答案 BC
解析 当a＞1 时，y＝ax－a 为增函数，且过点(1，0)，
当x＝0 时，y＝1－a＜0，故A 不正确，B 正确.
当0＜a＜1 时，y＝ax－a 为减函数，且过点(1，0)，
当x＝0 时，y＝1－a∈(0，1)，故C 正确，D 不正确.
2.(多选)下列函数中在区间(0，1)内单调递减的是( )
A.y＝x
B.y＝21－x
C.y＝ln(x＋1)
D.y＝|1－x|
答案 BD
解析 A 项，y＝x 在(0，1)内单调递增，
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B 项，y＝21－x＝2×，在(0，1)内单调递减，
C 项，y＝ln(x＋1)在(0，1)内单调递增，
D 项，y＝|1－x|＝故在(0，1)上单调递减.
3.不论a 为何值，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 y＝(a－1)2x－变为a－(2x＋y)＝0，
依题意，对a∈R，a－(2x＋y)＝0 恒成立，
则2x－＝0，且2x＋y＝0，
∴x＝－1 且y＝－，即恒过定点.
4.(2021·合肥冲刺)若0<b<a<1，则ab，ba，aa，bb中最大的是( )
A.ab
B.ba
C.aa
D.bb
答案 A
解析 ∵0<b<a<1，∴指数函数y＝ax和y＝bx均为减函数，∴ab>aa，ba<bb，∵幂
函数y＝xb在(0，＋∞)上为增函数，∴ab>bb，即ab，ba，aa，bb中最大的是ab.
5.(多选)(2022·聊城模拟)已知函数f(x)＝2－x－2x，有下列四个结论，其中正确的
结论是( )
A.f(0)＝0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增
D.对任意的实数a，方程f(x)－a＝0 都有解
答案 ABD
解析 f(x)＝2－x－2x，则f(0)＝－20＝0，故A 正确；
f(－x)＝2x－2－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故B 正确；
f(x)＝－2x在R 上是减函数，故C 错误；
当x→－∞时，f(x)→＋∞；
当x→＋∞时，f(x)→－∞，
即f(x)的值域是(－∞，＋∞)，
它又是R 上的减函数，
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因此对任意实数a，f(x)＝a 都有解，故D 正确.
6.(2021·烟台一模)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物
含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P＝P0e－kt，其中P0，k 为正
常数.如果一定量的废气在前10 h 的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染
物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数
据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)( )
A.11 h
B.21 h
C.31 h
D.41 h
答案 B
解析 由已知得＝e－10k，方程两边同取自然对数得ln ＝－10k，所以k＝≈0.022
3.
设污染物减少到最初含量的50%需要经过t h，则＝e－0.022 3t，
方程两边同取自然对数得ln ＝－0.022 3t，解得t≈31.
所以还需要经过31－10＝21 h 使污染物减少到最初含量的50%.
7.(2022·德州调研)设函数f(x)为偶函数，当x≥0 时，f(x)＝2x－1，则不等式f(x)
＞1 的解集为________.
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 由题意得f(1)＝1，则f(x)＞1 可化为f(x)＞f(1)，
又f(x)为偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，
故解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
8.化简：(a＞0，b＞0)＝________.
答案
解析 原式＝
＝a－－－·b＋－＝.
9.已知0≤x≤2，则函数y＝4x－－3×2x＋5 的最大值为________.
答案
解析 设2x＝t，0≤x≤2，则1≤t≤4，y＝4x－－3×2x＋5＝t2－3t＋5＝(t－3)2
＋，故当t＝1，即x＝0 时，函数有最大值.
10.化简下列各式：
(1)8－＋＋[(－2)6]；
(2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3).
解 (1)原式＝(23)－1＋|3－π|＋(26)＝4－1＋π－3＋23＝π＋8.
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(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－＝－·＝－.
11.已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b 为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，
6)，B(3，24).
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式＋－m≥0 在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围.
解 (1)因为f(x)的图象过A(1，6)，B(3，24)，
所以
所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3.
所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，＋－m≥0 恒成立，即m≤＋在
x∈(－∞，1]上恒成立.
又因为y＝与y＝均为减函数，所以y＝＋也是减函数，所以当x＝1 时，y＝＋
有最小值.
则m≤，故m 的取值范围是.
12.(多选)(2021·唐山二模)已知a＞b＞0，且ab＝4，则( )
A.2a－b＞1
B.log2a－log2b＞1
C.2a＋2b＞8
D.log2a·log2b＜1
答案 ACD
解析 a＞b＞0，且ab＝4.
对于A，a－b＞0，所以2a－b＞20＝1，故A 正确；
对于B，取a＝，b＝，所以log2a－log2b＝log2＝log2＜log22＝1，故B 错误；
对于C，2a＋2b≥2＝2，当且仅当a＝b 时取等号，又因为a＋b≥2＝4，当且仅
当a＝b 时取等号，所以2a＋2b≥2≥2＝8，当且仅当a＝b 时取等号，因为a＞b
＞0，所以不能取等号，故C 正确；
对于D，当a＞1＞b＞0 时，log2a＞0，log2b＜0，所以log2a·log2b＜1；当a＞b
＞1 时，log2a＞0，log2b＞0，所以log2a·log2b≤＝＝1，当且仅当a＝b 时取等号，
因为a＞b＞0，所以不能取等号，故D 正确.
13.已知常数a>0，函数f(x)＝的图象经过点P，Q.若2p ＋q＝36pq，则a＝
________.
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答案 6
解析 因为f(x)＝＝，且其图象经过点P，Q，
则f(p)＝＝，即＝－，①
f(q)＝＝－，即＝－6，②
①×②得＝1，则2p＋q＝a2pq＝36pq，
所以a2＝36，解得a＝±6，因为a>0，所以a＝6.
14.已知函数f(x)＝－＋4(－1≤x≤2).
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若方程f(x)＝0 有解，求实数λ 的取值范围.
解 (1)f(x)＝－＋4
＝－2λ·＋4(－1≤x≤2).
设t＝，得g(t)＝t2－2λt＋4.
当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋4
＝＋.
所以g(t)max＝g＝，
g(t)min＝g＝.
所以f(x)max＝，f(x)min＝，
故函数f(x)的值域为.
(2)方程f(x)＝0 有解可转化为
λ＝2·2x＋·(－1≤x≤2).
设φ(x)＝2·2x＋，
当2x＝，即x＝－1 时，φ(x)min＝2；
当2x＝4，即x＝2 时，φ(x)max＝.
∴函数φ(x)的值域为.
故实数λ 的取值范围是.
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