1
限时练2
(时间:45 分钟,满分:80 分)
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的.
1.(2023 全国乙,理1)设z=
2+i
1+i
2+i
5,则z=( )
A.1-2i
B.1+2i
C.2-i
D.2+i
2.(2023 江苏南京、盐城一模)设M={x|x=k
2,k∈Z},N={x|x=k+1
2,k∈Z},则( )
A.M⫋N
B.N⫋M
C.M=N
D.M∩N=∅
3.(2023 山东聊城模拟)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,且a5=5,a1+S11=67,则a3a10是{an}中的
(
)
A.第30 项
B.第36 项
C.第48 项
D.第60 项
4.(2023 新高考Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a 的取值范围是( )
A.(-∞,-2]
B.[-2,0)
C.(0,2]
D.[2,+∞)
5.(2023 湖南常德二模)某人同时掷两枚骰子,得到点数分别为a,b,则焦点在y 轴上的椭圆y
2
a
2 + x
2
b
2=1
的离心率e≥√3
2 的概率是( )
A. 5
36
B.1
6
C.1
4
D.1
3
6.(2023 新高考Ⅱ,5)已知椭圆C: x
2
3 +y2=1 的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m 与C 交于A,B 两点,
若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2 倍,则m=( )
A.2
3
B.√2
3
C.-√2
3
D.-2
3
7.(2023 江苏苏锡常镇一模)已知正四面体P-ABC 的棱长为1,点O 为底面ABC 的中心,球О 与该正四
面体的其余三个面都有且只有一个公共点,且公共点非该正四面体的顶点,则球O 的半径为( )
A.√6
12
B.√6
9
C.√2
9
D.√2
3
8.(2023 河南郑州二模)函数f(x)={
x ln x, x>0,
x +1, x ≤0, 若关于x 的方程[f(x)]2-(m+1)f(x)+m=0 恰有5 个不相
等的实数根,则实数m 的取值范围是
( )
A.(- 1
e ,0)
B.(- 1
e ,0]
C.[- 1
e ,0)
D.[- 1
e ,0]
二、选择题:本题共4 小题,每小题5 分,共20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选
对的得5 分,部分选对的得2 分,有选错的得0 分.
2
9.(2023 山东聊城三模)随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高,我国社会物流需求不断
增加.社会物流总费用与GDP 的比率是反映地区物流发展水平的指标,下面是2017—2022 年我国社
会物流总费用与GDP 的比率统计,则( )
2017—2022 年我国社会物流总费用与GDP 的比率统计
A.2018—2022 这5 年我国社会物流总费用逐年增长,且2021 年增长的最多
B.2017—2022 这6 年我国社会物流总费用的70%分位数为14.9
C.2017—2022 这6 年我国社会物流总费用与GDP 的比率的极差为0.2%
D.2022 年我国的GDP 超过了121 万亿元
10.(2023 河北唐山三模)函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若f(x)为奇函数,且f(x+2)=f(x),则(
)
A.f'(x)为偶函数
B.f'(0)=0
C.f(x)的图象关于点(1,0)对称
D.若F(x)=f(x)+xf'(x),则F'(x)为奇函数
11.(2023 广东汕头一模)已知直线l1:2x-y-3=0,l2:x-2y+3=0,圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,若圆C 与直线l1,l2都相
切,则下列选项一定正确的是( )
A.l1与l2关于直线y=x 对称
B.若圆C 的圆心在x 轴上,则圆C 的半径为3 或9
C.圆C 的圆心在直线x+y-6=0 或直线x-y=0 上
D.与两坐标轴都相切的圆C 有且只有2 个
12.(2023 山西临汾二模)已知二面角α-l-β 的棱上有A,B 两点,直线AC,BD 分别在这个二面角的两个半
平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,记二面角α-l-β 的大小为θ,则下列说法正确的是(
)
A.当CD=2√17时,θ=60°
B.当θ=120°时,CD=2√41
C.θ≤∠CAD
D.点A 到平面BCD 的距离的最大值为3√5
5
三、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共20 分.
13.(2023 广东茂名二模)已知曲线f(x)=x3+x-3x
1
3在点(1,-1)处的切线与曲线g(x)=acos x 在点(
π
2 ,0)
处的切线平行,则a 的值为 .
14.(2023 全国乙,理15)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7= .
15.(2023 山东德州一模)某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成,每包产品均含有10
个零件.小张到该企业采购,利用如下方法进行抽检:从该企业产品中随机抽取1 包产品,再从该包产品
中随机抽取4 个零件,若抽取的零件都是一等品,则决定采购该企业产品;否则,拒绝采购.假设该企业
这批产品中,每包产品均含1 个或2 个二等品零件,其中含2 个二等品零件的包数占10%,则小张决定
采购该企业产品的概率为 .
16.(2023 广东广州一模)已知抛物线C 的顶点为坐标原点O,焦点F 在x 轴上,过点(2,0)的直线交C 于
P,Q 两点,且OP⊥OQ,线段PQ 的中点为M,则直线MF 的斜率的最大值为 .
3
限时练2
1.B 解析 因为z=
2+i
1+i
2+i
5 =
2+i
1-1+i = 2+i
i
= i(2+i)
i
2
=1-2i,
所以z=1+2i.故选B.
2.B 解析 因为x=k+1
2 = 1
2(2k+1),k∈Z,所以集合N 是由整数中奇数的1
2组成,而集合M 是由整
数的1
2组成,故N⫋M.
3.A 解析 设等差数列{an}的公差为d,由a5=5,得a1+4d=5;
①
由a1+S11=67,得12a1+11×10
2
d=67,
即12a1+55d=67.
②
由①②解得a1=1,d=1,所以an=n,于是a3a10=3×10=30,而a30=30,故a3a10是{an}中的第30 项.
4.D 解析 (方法一 导数法)由题意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)2x(x-a)ln 2,
由函数在(0,1)内单调递减,知(2x-a)2x(x-a)·ln 2≤0 在(0,1)内恒成立,即2x-a≤0 在(0,1)内恒成立,即
a≥(2x)max,
所以a≥2.故选D.
(方法二 复合函数法)因为函数y=2x在R 上是增函数,要使复合函数f(x)=2x(x-a)在(0,1)内单调递
减,只需函数h(x)=x(x-a)=( x - a
2 )
2
- a
2
4 在(0,1)内单调递减,所以a
2≥1,即a≥2.故选D.
5.C 解析 因为椭圆y
2
a
2 + x
2
b
2=1 的焦点在y 轴上,所以a>b.
由e=√
1-(
b
a)
2
≥√3
2 ,得0<b
a ≤1
2.
用投掷两枚骰子得到的点数组成的数组(a,b)表示这个试验的一个样本点,则该试验的样本空间
共有36 个样本点,其中满足0<b
a ≤1
2的样本点有(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(6,3),共
9 个,所以所求概率为9
36 = 1
4 .
6.C 解析 如图所示,
椭圆x
2
3 +y2=1 的左、右焦点分别为F1(-√2,0),F2(√2,0),设点F1,F2到直线y=x+m 的距离分别为
d1,d2,由点到直线的距离公式可知d1=|-√2+m|
√2
,d2=|√2+m|
√2
.由{
x
2
3 + y
2=1,
y = x +m,
消去y 可得
4x2+6mx+3m2-3=0.
∵y=x+m 与椭圆C 交于A,B 两点,
∴Δ=36m2-16(3m2-3)>0,即-2<m<2.
4
∵△F1AB 的面积是△F2AB 的两倍,∴有1
2·|AB|·d1=2×1
2·|AB|·d2,即d1=2d2,|-√2+m|
√2
=2
|√2+m|
√2
,
两边平方整理,得3m2+10√2m+6=0,解得m=-√2
3 或m=-3√2.又-2<m<2,∴m=-√2
3 .故选C.
7.B 解析 因为正四面体P-ABC 的棱长为1,所以正四面体P-ABC 底面ABC 上的高为PO=
√
1-(
2
3 × √3
2 )
2
= √6
3
.由题可知球O 与该正四面体的其余三个面都相切,设球O 的半径为r,则VP-
ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC,所以1
3 × √3
4 × √6
3 = 1
3 × √3
4 r+1
3 × √3
4 r+1
3 × √3
4 r,所以r=√6
9 .
8.A 解析 由[f(x)]2-(m+1)f(x)+m=[f(x)-m][f(x)-1]=0,可得f(x)=m 或f(x)=1.令y=xln x 且定义域为
(0,+∞),则y'=ln x+1,当x∈(0, 1
e)时,y'<0;当x∈(
1
e ,+∞)时,y'>0.所以ymin=-1
e .
综上,根据f(x)的解析式可得f(x)的图象如图所示.
显然f(x)=1 有两个根,要使原方程有5 个不相等的实数根,则f(x)=m 有三个根,
所以-1
e <m<0.
9.ACD 解析 由图表可知,2018—2022 这5 年我国社会物流总费用逐年增长,2021 年增长的最
多,且增长为16.7-14.9=1.8 万亿元,故A 正确;
因为6×70%=4.2,所以70%分位数为第5 项数据,即为16.7,所以这6 年我国社会物流总费用的
70%分位数为16.7,故B 错误;
由图表可知,2017—2022 这6 年我国社会物流总费用与GDP 的比率的极差为14.8%-
14.6%=0.2%,故C 正确;
由图表可知,2022 年我国的GDP 为17.8÷14.7%≈121.1 万亿元,故D 正确.
故选ACD.
10.AC 解析 对于A,因为f(x)为奇函数且在定义域R 上可导,即f(-x)=-f(x),所以两边对x 取导可
得(-x)'f'(-x)=-f'(x),即f'(-x)=f'(x),所以f'(x)为偶函数,故A 正确;
对于B,令f(x)=sin(πx),显然f(x)为奇函数,且最小正周期T=2π
π =2,即满足f(x+2)=f(x),则
f'(x)=πcos(πx),则f'(0)=π,故B 错误;
对于C,因为f(x+2)=f(x)且f(x)为R 上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即f(x+2)=-f(-x),所以
f(x-1+2)=f(x+1)=-f(1-x),即f(x+1)+f(1-x)=0,
所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,故C 正确;
对于D,因为F(x)=f(x)+xf'(x),则F(-x)=f(-x)-xf'(-x)=-f(x)-xf'(x)=-F(x),
所以F(x)为奇函数,由A 可知F'(x)为偶函数,故D 错误.
故选AC.
11.ACD 解析 对于A,设直线l1:2x-y-3=0 上任意一点(x0,2x0-3)关于直线y=x 对称的点为(m,n),
则{
2 x0-3-n
x0-m
=-1,
m+ x0
2
= n+2 x0-3
2
,
解得m-2n+3=0,所以点(m,n)在直线l2:x-2y+3=0 上,所以l1与l2关于直线
y=x 对称,故A 正确.
5
对于B,因为圆C 的圆心在x 轴上,所以圆心为(a,0).因为圆C 与直线l1,l2都相切,所以r=
|2a-3|
√5
=|a+3|
√5
,解得a=0 或a=6.当a=0 时,r= 3
√5 = 3√5
5
;
当a=6 时,r= 9
√5 = 9√5
5
,故B 错误.
对于C,由圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,得圆心为(a,b),半径为r,因为圆C 与直线l1,l2都相切,所以r=
|2a-b-3|
√5
=|a-2b+3|
√5
,
解得a+b-6=0 或a=b,所以圆心(a,b)在直线x+y-6=0 或直线x-y=0 上,故C 正确.
对于D,由圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,得圆心为(a,b),半径为r,由圆C 与两坐标轴都相切,得圆心到x 轴
的距离为|b|,到y 轴的距离为|a|,所以r=|a|且r=|b|,即|a|=|b|,解得a=b 或a=-b.当a=b 时,由题意
可知|2a-b-3|
√5
=|a|,解得a=b=-3(√5+1)
4
或a=b=3(√5-1)
4
;当a=-b 时,
|2a-b-3|
√5
=|a-2b+3|
√5
,无解,此时不满足.
所以与两坐标轴都相切的圆C 有且只有2 个,故D 正确.
故选ACD.
12.AB 解析 如图所示,
过点A 作AE∥BD 且AE=BD,连接CE,ED,则四边形ABDE 为平行四边形.又BD⊥AB,∴AE⊥AB.
又AC⊥AB,
∴∠CAE=θ.又AC∩AE=A,AC,AE⊂平面ACE,
∴AB⊥平面ACE.又AB∥ED,∴ED⊥平面ACE,
∴ED⊥CE,ED⊥AE.由题意知,BD⊥AB,AC⊥AB,
∴⃗BD·⃗AB=0,⃗AC ·⃗AB=0.∵⃗CD =⃗CA +⃗AB+⃗BD,
∴⃗CD
2=⃗CA
2+⃗AB
2+⃗BD
2+2⃗CA ·⃗AB+2⃗CA ·⃗BD+2⃗AB·⃗BD=62+42+82-2×6×8cos θ=116-96cos θ.
对于A,当CD=2√17时,代入⃗CD
2=116-96cos θ 得cos θ=1
2,又因为0°≤θ≤180°,所以θ=60°,故A
正确;
对于B,当θ=120°时,代入⃗CD
2=116-96cos θ 得|⃗CD|=2√41,故B 正确;
对于C,在△CAE 中,cos θ= A C
2+ A E
2-C E
2
2 AC · AE
,
在△CAD 中,cos∠CAD=
A C
2+ A D
2-C D
2
2 AC · AD
= A C
2+( A E
2+ D E
2)-(C E
2+ D E
2)
2 AC · AD
= A C
2+ A E
2-C E
2
2 AC · AD
,
∵AE<AD,0°≤θ≤180°,0°≤∠CAD≤180°,
∴①当AC2+AE2-CE2>0 时,cos θ>cos∠CAD,则θ<∠CAD,②当AC2+AE2-CE2=0 时,cos
θ=cos∠CAD,则θ=∠CAD=90°,③当AC2+AE2-CE2<0 时,cos θ<cos∠CAD,则θ>∠CAD,故C 错误;
对于D,以A 为原点,分别以AE,AB,AZ 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,
6
则A(0,0,0),E(8,0,0),D(8,4,0),B(0,4,0),C(6cos θ,0,6sin θ),所以⃗BD=(8,0,0),⃗BC=(6cos θ,-4,6sin θ),⃗
BA=(0,-4,0),
设平面BCD 的一个法向量为n=(x,y,z),
则{
n·⃗BD =0,
n·⃗BC =0, 即{
8 x =0,
6cosθx - 4 y +6sinθz =0,取n=(0,3sin θ,2),
∴点A 到平面BCD 的距离为d=
|⃗BA ·n|
|n|
=
12sinθ
√9 sin
2θ+ 4
=
12
√
9+
4
sin
2θ
,又0°≤θ≤180°,所以
0≤sin2θ≤1,
∴当sin θ=1 时,d 取得最大值12
√13 = 12√13
13
,故D 错误.
13.-3 解析 f'(x)=3x2+1-x
- 2
3,g'(x)=-asin x,由题意可知,g'(
π
2)=f'(1),即-asinπ
2 =3,解得a=-3.
14.-2 解析 (方法一)设等比数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,
得{
a1q·a1q
3·a1q
4=a1q
2·a1q
5,
a1q
8·a1q
9=-8,
可得{
a1q =1,
q
5=-2,所以a7=a1q6=a1q·q5=-2.
(方法二)设{an}的公比为q.由a2a4a5=a3a6,可得a2=1.
又因为a9a10=a2q7·a2q8=-8,即q15=-8,得q5=-2,则a7=a2·q5=-2.
15.43
75 解析 根据题意,该企业这批产品中,含2 个二等品零件的包数占10%,则含1 个二等品零
件的包数占90%,在含1 个二等品零件一包产品中,随机抽取4 个零件,若抽取的4 个零件都是一
等品,其概率P1= C9
4
C10
4 = 3
5,在含2 个二等品零件一包产品中,随机抽取4 个零件,若抽取的4 个零件
都是一等品,其概率P2= C8
4
C10
4 = 1
3,则小张决定采购该企业产品的概率P= 9
10 × 3
5 + 1
10 × 1
3 = 43
75.
16.√6
6 解析 依题意,抛物线C 的焦点在x 轴的正半轴上,设C 的方程为y2=2px,p>0,显然直线
PQ 不垂直于y 轴,设直线PQ 的方程为x=ty+2,点P(
y1
2
2 p , y1),Q(
y2
2
2 p , y2),
联立{
x =ty +2,
y
2=2 px,消去x 得y2-2pty-4p=0,则有y1+y2=2pt,y1y2=-4p.由OP⊥OQ 得⃗
OP·⃗OQ = y1
2
2 p · y2
2
2 p
+y1y2=4-4p=0,解得p=1,于是抛物线C:y2=2x 的焦点F(
1
2 ,0),弦PQ 的中点
M 的纵坐标为2 pt
2 =t,则点M(t2+2,t).
若直线MF 的斜率最大,则必有t>0,则直线MF 的斜率k=
t
t
2+ 3
2
=
2
2t + 3
t
≤
2
2√2t · 3
t
= √6
6 ,当且
仅当2t=3
t 且t>0,即t=√6
2 时,等号成立,所以直线MF 的斜率的最大值为√6
6 .
