立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练
1．（24-25 高一下·广东广州·阶段练习）如图，在多面体ABCDQP 中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，
60
ABC
Ð
=
° ，PAB
V
为正三角形，四边形ADQP 为直角梯形，
90
ADQ
DQP
Ð
= Ð
=
° ，
2
AB
AD
=
=
，E 为平面
ADQP 上的点．
(1)当点E 在直线AD 上时，求线段AE 的长度，使得CE ∥平面PAB ；
(2)若CE ∥平面PAB ，求线段CE 的最小值．
【答案】(1)4
(2)
3 ．
【详解】（1）因为CE ∥平面PAB ，CE Ì 平面ABCD ，平面ABCD I 平面PAB
AB
=
，
所以CE ∥AB ．
又因为四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，
所以四边形ABCE 为平行四边形，因此AE
BC
=
．
在BC 上找一点F ，使得
2
AB
BF
=
=
．
因为
60
ABF
Ð
=
°，所以
ABF
△
为等边三角形，
因此
60
AFB
Ð
=
° ，
又因为在等腰梯形ABCD 中，
60
DCB
ABC
Ð
= Ð
=
°，所以
AFB
DCB
Ð
= Ð
.
所以AF ∥CD ．
又因为AD ∥FC ，所以四边形AFCD 为平行四边形，
因此
2
FC
AD
=
=
，所以
4
AE
BC
BF
FC
=
=
+
=
．
（2）过点C 作
1
CE ∥AB 交AD 的延长线于点
1
E ，过点
1
E 作
1
2
E E ∥PA ，交PQ的延长线于点
2
E ，
考点一
线面平行的判定
∵
1
CE ∥PA ，PAÌ 平面PAB ，
1
CE Ë 平面PAB ，∴
1
CE ∥平面PAB ，
同理
1
2
E E ∥平面PAB ，
又因为
1
1
2
1
1
1
2
,
,
CE
E E
E CE E E
=
Ì
I
平面
1
2
CE E ，
所以平面
1
2
CE E ∥平面PAB .
直线
1
2
E E 上任意一点记为E ，则CE Ì 平面
1
2
CE E ，所以CE ∥平面PAB ．
所以线段CE 的最小值为点C 到
1
2
E E 的距离，即
1
2
CE E
△
中以C 为顶点的高．
因为
2
PE ∥AD ∥BC ，所以四边形
1
2
E E PA ，四边形
1
ABCE 为平行四边形，
所以
1
2
AE
BC
PE =
=
,
2
PBCE 为平行四边形，
所以
1
2
CE E
PAB
≌△
△
，
所以
1
2
CE E
△
是以2 为边长的等边三角形，则高为
3 ，
因此线段CE 的最小值为
3 ．
2．（24-25 高一下·河北·期末）如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2,
2 2,
AB
BC
BB
AC
N
=
=
=
=
为线段AB 的中点.
(1)证明：
1 / /
AC
平面
1
B CN ；
(2)平面
1
B CN 将三棱柱分成两部分，求这大小两部分体积的比值.
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【详解】（1）如图：
连接
1
BC 交
1
B C 于点O ，连接ON ，
则O 为
1
BC 的中点，又N 为线段AB 的中点，则
1
AC
ON
∥
，
因为
1
AC Ë 平面
1
,
B CN ON Ì 平面
1
B CN ，
所以直线
1 / /
AC
平面
1
B CN .
（2）由题知
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
，所以AB
BC
^
，
所以三棱柱的体积
2
1
2
2
4
2
V =
´
´
=
.
三棱锥
1
B
BCN
-
的体积
1
1
1
2
1 2 2
3
2
3
V =
´
´ ´ ´
=
，
所以多面体
1
1
1
A B C
ACN
-
的体积
2
2
10
4
3
3
V =
-
=
.
所以
2
1
5
V
V =
.
3．（24-25 高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知四棱锥P
ABCD
-
的底面为菱形，平面PAC ^ 底面ABCD ．
(1)求证：BD
PC
^
．
(2)若E 为侧棱PC 的中点，在侧棱PD 上是否存在点M ，使得
/ /
BE
平面MAC ？若存在，求出PM
MD 的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，2
【详解】（1）由已知得ABCD 为菱形，所以BD
AC
^
，
因为平面PAC ^ 平面ABCD ，平面PAC I平面ABCD
AC
=
，BD Ì 平面ABCD ，
所以BD ^ 平面PAC ，
又PC Ì平面PAC ,所以BD
PC
^
．
（2）如图，记AC
BD
O
=
I
，显然O 为BD 的中点．
取侧棱PD 上的点M ，使得
/ /
BE
平面MAC ，
连结ED ，交MC 于点F ，连结OF ，
则
/ /
OF
BE ，从而F 是DE 的中点．
因为E 为PC 的中点，所以
1
2
PE
PC
=
uuur
uuur
．
设PD
PM
l
=
uuur
uuuur
，
则
1
1
1
1
2
2
2
4
PF
PD
PE
PM
PC
l
=
+
=
+
uuur
uuur
uuur
uuuur
uuur
．
因为
,
,
M F C 三点共线，
所以1
1
1
2
4
l +
= ，解得
3
2
l =
．
所以
3
2
PD
PM
=
uuur
uuuur
，故
2
PM
MD =
．
又当
2
PM
MD =
时，确有F 是DE 的中点，
从而
/ /
OF
BE ，故
/ /
BE
平面MAC ．
所以在侧棱PD 上存在点M ，使得
/ /
BE
平面MAC ，
此时
2
PM
MD =
．
4．（24-25 高一下·河南驻马店·阶段练习）如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F 分别为所在棱的中点，点
G 在棱BB¢上，且满足B G
aB B
¢
¢
=
.
(1)若
0.5
a =
，求证：
//
EG 平面D AC
¢
；
(2)若点M 在线段BD 上，且满足
/ /
D M
¢
平面EFG ，且a 的取值范围为1
[ ,1]
2
，求D M
¢
的取值范围.
【答案】(1)证明见详解
(2) 3 2
6
2
é
ù
ê
ú
ë
û
，
【详解】（1）证明：连接A B
¢ ，
0.5
a =
，
1
2
B G
B B
¢
¢
=
，则G 为BB¢中点，
又E 为A B
¢ ¢的中点，所以
//
EG A B
¢ ，
在正方体中，
//
D C A B
¢
¢
，所以
//
EG D C
¢
，
又EG Ë 平面D AC
¢
，D C
¢
Ì平面D AC
¢
，所以
//
EG 平面D AC
¢
.
（2）设
,
EF B D
¢ ¢交于点P ，连接PG 并延长交DB 的延长线于Q ，
/ /
D M
¢
Q
平面EFG ，D M
¢
Ì 平面BB D D
¢
¢
，平面BB D D
¢ ¢
I平面EFG
PQ
=
，
//
D M PQ
¢
\
，又
//
D P MQ
¢
，所以四边形PQMD¢ 为平行四边形，
则
3 2
2
D P
MQ
¢
=
=
，又
~
PB G
QBG
¢
V
V
，所以PB
B G
BQ
BG
¢
¢
=
，
又
2 ,
2 ,
2
2
2
PB
B G
aB B
a BG
a
=
=
=
=
¢
-
¢
¢
，所以
2
2
2
2
BQ
a
=
-
，
3 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
BM
a
a
æ
ö
=
-
-
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2
2
DM
a
=
，
所以
2
1
4
2
D M
a
=
+
¢
,因
1 ,1
2
a
é
ù
Îê
ú
ë
û ,则可得
2
1
1
3 2
2,
6
2
2
2
D M
a
£
£
Þ
¢
£
£
.
5．（24-25 高一下·河北承德·期末）如图，在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
1
1
2
2
4
BC
BB
B C
=
=
=
．
(1)求证：
1 / /
BB
平面
1
ACD ；
(2)求点
1B 到平面
1
ACD 的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 2 .
【详解】（1）连接BD 交AC 于点E ，连接
1
1
,
ED AD ，
1
1
,
BD B D 是正四棱台的对角面
1
1
BDD B 与下底面和上底面的交线，则
1
1
//
BD
B D ，
又
1
1
2
BC
B C
=
，所以
1
1
2
2
BD
B D
BE
=
=
，即
1
1
BE
B D
=
，
所以
1
1
BED B 是平行四边形，所以
1
1
//
BB
ED ，
1
1
BB
ED
=
，
又
1
BB Ë 平面
1
ACD ，
1
ED Ì平面
1
ACD ，所以
1 / /
BB
平面
1
ACD ；
（2）由（1）
1 / /
BB
平面
1
ACD ，所以
1
1
1
1
B
ACD
B ACD
D
ABC
V
V
V
-
-
-
=
=
，
正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
1
1
2
2
4
BC
BB
B C
=
=
=
，
作
1
D H
BD
^
于H ，则
1
D H 是正四棱台的高，正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
1
1
2
2
4
BC
BB
B C
=
=
=
，
1
1
4 2,
2 2
BD
B D
=
=
，则
2
2
2
2
1
1
4 2
2 2
2
(
)
2
2
D H
DD
DH
-
=
-
=
-
=
，
1
4 4
8
2
ABC
S
=
´ ´
=
△
，
所以
1
1
1
1
1
1
8 2
8
2
3
3
3
B
ACD
D
ABC
ABC
V
V
S
D H
-
-
=
=
×
=
´ ´
=
!
，
又
1
1
D A
D C
=
，E 是AC 中点，所以
1
D E
AC
^
，
由（1）知
1
1
2
D E
B B
=
=
，而
4 2
AC =
，
所以
1
1
1
1
4 2
2
4 2
2
2
ACD
S
AC D E
=
×
=
´
´
=
V
，
设点
1B 到平面
1
ACD 的距离为h ，则1
8 2
4 2
3
3
h
´
=
，
2
h =
，
所以点
1B 到平面
1
ACD 的距离为2 .
6．（24-25 高二下·贵州安顺·期末）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面
ABC
V
是边长为2 的正三角形，
1
AA ^
底面ABC ，
1
3
AA =
，
,
D E 分别是
1
1
,
AC AC 的中点，点F 在线段
1
BB 上，且
1
1
3
BF
BB =
．
(1)证明：
/ /
DE
平面
1
1
ABB A ．
(2)求直线AF 与平面
1
DAB 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
5
5
【详解】（1）在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，因为
,
D E 分别是
1
1
,
AC AC 的中点，
根据三棱柱的性质，
1
1
/ /
AC
AC 且
1
1
AC
AC
=
，所以四边形
1
ADEA 为平行四边形,
所以
1
/ /
DE
AA ，
又因为DE Ë 平面
1
1
1
,
ABB A AA Ì 平面
1
1
ABB A ，
所以
/ /
DE
平面
1
1
ABB A ．
（2）由题意，底面
ABC
V
是边长为2 的正三角形，侧棱
1
3
AA =
，则
1,
3
AD
BD
=
=
．
如图，以D 为原点，
,
,
DA DB DE 所在直线分别为, ,
x y z 轴建立空间直角坐标系．
因为
1
1
3
BF
BB =
，所以
1
0,0,0 ,
1,0,0 ,
0, 3,3
D
A
B
，
0, 3,1
F
，
所以
1
1, 3,1 ,
1,0,0 ,
0, 3,3
AF
DA
DB
= -
=
=
uuur
uuur
uuuur
．
设平面
1
DAB 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，
则
1
0,
3
3
0,
n DA
x
n DB
y
z
ì ×
=
=
ïí ×
=
+
=
ïî
uuur
r
uuuur
r
令
1
z = ，则
0,
3,1
n =
-
r
．
设直线AF 与平面
1
DAB 所成的角为q ，
则
2
2
2
2
2
2
1
0
3
3
1 1
5
sin
cos
,
5
( 1)
( 3)
1
0
(
3)
1
AF n
AF n
AF n
q
-
´ +
´ -
+ ´
×
=
=
=
=
-
+
+
+ -
+
uuur r
uuur r
uuur r
，
所以直线AF 与平面
1
DAB 所成角的正弦值为
5
5
．
7．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ^底面
ABCD ，底面ABCD 为正方形，E，F 分别为AB ，PC 的中点．
(1)求证：直线EF ∥平面PAD ；
(2)若
2
AD =
，求侧面PBC 与侧面PAD 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
21
7
【详解】（1）证明：取PD 的中点G，连接
,
AG FG .
因为F 为PC 的中点，所以FG ∥CD 且
1
2
FG
CD
=
,
因为底面ABCD 为正方形，E 为AB 中点，所以AE ∥CD 且
1
2
AE
CD
=
，
所以FG ∥AE 且FG
AE
=
，所以四边形AGFE 为平行四边形，所以EF ∥AG .
因为AG Ì平面PAD ，EF Ë 平面PAD ，
所以直线EF ∥平面PAD .
（2）
取AD 的中点M ，BC 的中点N ，连接
,
PM MN ，因为
PAD
△
为正三角形，故PM
AD
^
，
因为侧面PAD ^底面ABCD ，交线为AD ，PM Ì 平面PAD ，所以PM ^ 底面ABCD ，
又MN
AD
^
，以M 为原点，
,
,
MA MN MP 所在直线分别为, ,
x y z 轴，建立空间直角坐标系，
又
2
AD =
，故
1
AM = ，
3
PM =
，
2
AB =
，
故
0,0, 3
P
，
1,2,0
B
，
1,0,0
A
，
1,0,0
D -
，
1,2,0
C -
，
1,2,
3
PB =
-
uuur
，
2,0,0
BC = -
uuur
，
1,0,
3
PA =
-
uuur
，
2,0,0
AD = -
uuur
设平面PBC 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，那么
, ,
1,2,
3
2
3
0
, ,
2,0,0
2
0
n PB
x y z
x
y
z
n
PB
n
BC
n BC
x y z
x
ì ×
=
×
-
=
+
-
=
ì ^
ï
ï
Þ
í
í
^
ï
ï ×
=
× -
= -
=
î
î
uuur
uuur
r
r
uuur
uuur
r
r
解得
0
x =
，令
3
z =
，则
3
2
y =
，所以
3
0,
, 3
2
n
æ
ö
= ç
÷
è
ø
r
.
同理，设平面PAD 的法向量为
0
0
0
,
,
m
x
y z
=
r
，则
0
0
0
0
0
0
,
,
1,0,
3
3
0
,
,
2,0,0
2
0
m PA
x
y
z
x
z
m
PA
m
AD
m AD
x
y
z
x
ì
×
=
×
-
=
-
=
ì
^
ï
ï
Þ
í
í
^
ï
ï
×
=
× -
= -
=
î
î
uuur
uuur
r
r
uuur
uuur
r
r
解得
0
0
x =
，
0
z =
，令
1
y = 则
0,1,0
m =
r
.
设侧面侧面PBC 与侧面PAD 所成角为θ，那么
3
3
0,1,0
0,
, 3
2
21
2
cos
cos
,
7
9
21
3
4
4
m n
m n
m
n
q
æ
ö
ç
÷
×
è
ø
=
=
=
=
=
×
+
r r
r r
r
r
8．（24-25 高一下·湖南衡阳·期末）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的棱长为1，E ，F 分别为
1
AD ，
1
CD 的中点．
(1)证明：
/ /
EF
平面ABCD ．
(2)求异面直线AF 与
1
BC 所成角的大小．
(3)求直线BD 与平面
1
D EF 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)30o ；
(3)
3
3
.
【详解】（1）证明：连接AC 交BD 于点O ，
,
E F
Q
分别为
1
AD ，
1
CD 的中点，
/ /
EF
AC
\
，
AC Ì
Q
平面ABCD ，且EF Ë 平面ABCD ，
/ /
EF
\
平面ABCD ；
（2）
1
1
/ /
BC
AD
Q
，
AF
\
与
1
BC 所成角大小等于与
1
FAD
Ð
，
1
1,
AC
AD
CD F
=
=
Q
为
1
CD 的中点，
1
30
FAD
\Ð
=
o，即AF 与
1
BC 所成角的大小为30o ；
（3）连接
1
D O ，过D 作
1
DG
D O
^
于点G ，
1
DD ^
Q
平面ABCD ，且AC Ì 平面ABCD ，
1
DD
AC
\
^
，又BD
AC
^
且
1
DD
BD
D
=
I
,且两直线在平面内，
AC
\
^ 平面
1
D DO ，
DG Ì
Q
平面
1
D DO ，
DG
AC
\
^
，又
1
DG
D O
^
，且
1
AC
D O
O
Ç
=
，,且两直线在平面内，
DG
\
^ 平面
1
ACD ，
\直线BD 与平面
1
D EF 所成角大小等于
1
DOD
Ð
，
Q正方体的边长为1，
1
1
2
6
,
1,
2
2
DO
DD
D O
\
=
=
=
1
1
3
cos
3
DO
DOD
D O
\
Ð
=
=
.
1．（24-25 高一下·江苏南通·阶段练习）如图所示，在三棱锥P
ABC
-
中，
2 2
AB
BC
=
=
，
4
PA
PB
PC
AC
=
=
=
=
，点O，M 分别为线段AC ，AB 的中点．
(1)若平面POM I 平面PBC
l
= ，证明：/ /
l
BC ；
(2)证明：OP ^ 平面ABC ；
(3)求PM 与AC 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见详解.
(2)证明见详解.
(3)
14
14
【详解】（1）由题：点O，M 分别为线段AC，AB 的中点，所以
/ /
OM
BC ；
又因为OM Ë 平面PBC ，
Ì
BC
平面PBC ，所以
/ /
OM
平面PBC ；
而OM Ì 平面POM ，平面POM I 平面PBC
l
= ，故
/ /
OM
l ,所以/ /
l
BC .
（2）因为
4
PA
PB
PC
AC
=
=
=
=
，所以PAC
V
为边长为4 的等边三角形，
O 为线段AC 的中点，所以
,
2 3
OP
AC OP
^
=
；
又因为
2 2
AB
BC
=
=
，
4
AC =
，故
2
OB =
；
在
POB
V
中，
2
2
2
OP
OB
PB
+
=
，所以OP
OB
^
；
而AC
OB
O
=
I
，
,
AC OB Ì 平面ABC，所以OP ^ 平面ABC .
（3）
考点二
线面平行的性质
取BC 中点N ，连接
,
,
PM MN PN ，于是MN 是
ABC
V
中位线，则MN
AC
∥
，
于是PM 与AC 所成角即为
NMP
Ð
，由题知，
1
2
2
MN
AC
=
=
，
又PA
PB
=
，由三线合一，PM
AB
^
，做完
2
2
16
2
14
PM
PA
AM
=
-
=
-
=
，
同理
14
PN =
，在PMN
V
中，由余弦定理
14
4 14
14
cos
14
2 14
2
PMN
+
-
Ð
=
=
´
故直线PM 与AC 所成角的余弦值为
14
14
.
2．（24-25 高一下·广东汕头·期中）如图，四棱锥P
ABCD
-
中，PD ^ 平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，
2
PD
AB
=
=
，E 为PC 中点．
(1)求证：
/ /
PA
平面BDE ；
(2)求证：DE ^平面PCB ；
(3)设平面PAB Ç 平面PCD
l
= ，求证：/ /
l
平面ABCD ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）连接AC ，交BD 于M ，如下图所示：
因为底面ABCD 是正方形，故M 为AC 的中点，所以
/ /
ME
PA，
又因为EM Ì 平面BDE ，AP Ë 平面BDE ，
所以
/ /
AP
平面BDE ；
（2）∵PD ^ 平面ABCD ，
Ì
BC
平面ABCD ∴PD
BC
^
，
又∵在正方形ABCD 中，CD
BC
^
，
PD
CD
D
Ç
=
，PD ，CD Ì 平面PCD，
∴
^
BC
平面PCD，
又∵DE Ì 平面PCD，∴BC
DE
^
，
∵PD
CD
=
，E 为PC 中点，故DE
PC
^
，
又PC
BC
C
Ç
=
，且PC Ì平面PCB，
Ì
BC
平面PCB ，
∴DE ^平面PCB
（3）在正方形ABCD 中，有
/ /
AB
CD ，
因为AB Ë 平面PCD，CD Ì 平面PCD，
所以
/ /
AB
平面PCD，
又因为AB Ì 面PAB ，平面PAB Ç 平面PCD
l
= ，所以
/ /
AB
l ，
又因为l Ë 平面ABCD ，AB Ì 平面ABCD ，
所以/ /
l
平面ABCD ．
3．（23-24 高一下·广东中山·阶段练习）如图，正四棱锥P
ABCD
-
的底面为平行四边形．M 、N 、Q 分别为
PC 、CD 、AB 的中点，设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．
(1)求证：平面
/ /
MNQ
平面PAD ；
(2)求证：
/ /
BC
l ；
(3)若
5
4 2
PA
AB
=
=
，
，求四棱锥P
ABCD
-
的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)32.
【详解】（1）因为M 、N 、Q 分别为PC 、CD 、AB 的中点，底面ABCD 为平行四边形，
所以
/ /
MN
PD ，
/ /
NQ
AD ，
又MN Ë平面PAD ，PD Ì 平面PAD ，
则
/ /
MN
平面PAD ，
同理NQ Ë 平面PAD ，AD Ì 平面PAD ，
可得
/ /
NQ
平面PAD ，
又MN
NQ
N
=
I
，
,
MN NQ Ì 平面MNQ ，
所以平面
/ /
MNQ
平面PAD ．
（2）因为底面ABCD 为平行四边形，所以
/ /
BC
AD ，
又BC Ë平面PAD ，AD Ì 平面PAD ，
所以
/ /
BC
平面PAD ，
又
Ì
BC
平面PBC ，平面PBC I平面PAD
l
= ，
所以
/ /
BC
l .
（3）
因为四棱锥P
ABCD
-
是正四棱锥，
所以底面ABCD 是正方形，P 在底面上的投影是底面的中心，
又
4 2
AB =
，所以
8
AC =
，
又
5
PA =
，
所以四棱锥的高为
2
2
2
2
1
5
4
3
2
PA
AC
æ
ö
-
=
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以正四棱锥P
ABCD
-
的体积
2
1
4 2
3
32
3
V =
×
× =
．
4．（24-25 高一下·辽宁朝阳·期末）如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，AB
AC
^
，
1
2
BB
BA
=
，点Q 是线段
1
BB 的
中点，连接
1
1
,
,
,
QA QC QA QC ．
(1)求证：QA ^ 平面
1
1
QAC
(2)设平面QAC 与平面
1
1
QAC 的交线为直线l ．求证：
//
AC l
(3)若
1
AB
AC
=
= ，求二面角
1
C
QA
C
-
-
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
6
3
【详解】（1）由Q 为
1
BB 的中点，
1
2
BB
BA
=
，则BQ
AB
=
，易知
1
1
1
A B
B Q
=
，
在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，易知
1
BB
AB
^
，
1
1
1
BB
A B
^
，
则
1
1
45
AQB
AQB
Ð
= Ð
=
° ，故
1
AQ
AQ
^
，
在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，由AB
AC
^
，则
1
1
1
1
A B
AC
^
，
由
1
BB ^ 平面
1
1
1
A B C ，
1
1
AC Ì 平面
1
1
1
A B C ，则
1
1
1
BB
AC
^
，
因为
1
1
1
1
A B
BB
B
Ç
=
，
1
1
1
,
A B BB Ì平面
1
1
ABB A ，所以
1
1
AC ^ 平面
1
1
ABB A ，
因为AQ Ì 平面
1
1
ABB A ，所以
1
1
AQ
AC
^
，
因为
1
1
1
1
AQ
AC
A
Ç
=
，
1
1
1
,
AQ AC Ì 平面
1
1
AC Q ，所以AQ ^ 平面
1
1
AC Q .
（2）在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
/ /
AC
AC ，
因为AC Ë平面
1
1
AC Q ，AC Ì平面
1
1
AC Q ，所以
/ /
AC
平面
1
1
AC Q ，
因为平面ACQ Ç 平面
1
1
AC Q
l
= ，AC Ì平面ACQ ，所以AC
l
∥.
（3）由题意，将三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
补形成四棱柱
1
1
1
1
ABDC
A B D C
-
，如下图：
其中底面ABDC 为正方形，E 为
1
DD 的中点，
由（1）可知
1
1
AC ^ 平面
1
1
ABB A ，且
1
1
AC
AC
∥
，则AC ^平面
1
1
ABB A ，
在四棱柱
1
1
1
1
ABDC
A B D C
-
中，易知AC
EQ
∥
，则EQ ^ 平面
1
1
ABB A ，
因为AQ Ì 平面
1
1
ABB A ，所以QE
AQ
^
，
由（1）可知AQ ^ 平面
1
1
AC Q ，且
1
C Q Ì 平面
1
1
AC Q ，所以
1
AQ
C Q
^
，
所以
1
C QE
Ð
为二面角
1
C
AQ
C
-
-
的平面角，
在四棱锥
1
1
1
1
ABDC
A B D C
-
中，EQ ^ 平面
1
1
CDD C ，
因为
1
C E Ì 平面
1
1
CDD C ，所以
1
EQ
C E
^
，
易知
2
2
1
1
1
1
2
EC
C D
ED
=
+
=
，
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
C Q
B Q
B C
B Q
B D
C D
=
+
=
+
+
=
，
所以
1
1
1
6
sin
3
C E
C QE
C Q
Ð
=
=
，则二面角
1
C
AQ
C
-
-
的正弦值为
6
3
.
5．（24-25 高一下·黑龙江·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，
//
BC AD ，平面PAB ^平面PBC ，且
2
AB
BC
=
=
，
4
PA
AD
=
=
.
(1)若平面PBC 与平面PAD 相交于直线l ，求证：
//
BC l ；
(2)求l 与AC 所成的角；
(3)求二面角C
PD
A
-
-
的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) π
4
(3)
3
3
【详解】（1）因为
//
BC AD ，BC Ë平面PAD ，AD Ì 平面PAD ，所以
//
BC
平面PAD ，
因为
Ì
BC
平面PBC ，平面PBC I平面PAD
l
= ，故//
l BC .
（2）过点A 在平面PAB 内作AH
PB
^
，垂足为点H ，如下图所示：
因为平面PAB ^平面PBC ，平面PAB Ç 平面PBC
PB
=
，AH Ì 平面PAB ，
AH
PB
^
，故AH ^ 平面PBC ，
因为
Ì
BC
平面PBC ，所以AH
BC
^
，
因为PA ^平面ABCD ，
Ì
BC
平面ABCD ，所以BC
PA
^
，
因为PA
AH
A
=
I
，PA 、AH Ì 平面PAB ，所以
^
BC
平面PAB ，
因为AB Ì 平面PAB ，所以BC
AB
^
，
因为//
l BC ，故l 与AC 所成的角为
ACB
Ð
或其补角，
又因为
2
AB
BC
=
=
，则
ABC
V
为等腰直角三角形，则
π
4
ACB
Ð
=
，
即l 与AC 所成的角为π
4 .
（3）取AD 的中点O ，连接CO ，
因为
4
=
AD
，
2
BC =
，
//
AD BC ，故
2
AO
BC
=
=
，
所以，四边形ABCO 为平行四边形，所以
//
CO AB ，CO
AD
^
，
由PA ^平面ABCD ，CO Ì 平面ABCD ，则CO
PA
^
，
而PA
AD
A
Ç
=
，
,
PA AD Ì 平面PAD ，于是CO ^ 平面PAD ，
又PD Ì 平面PAD ，则PD
CO
^
，过O 作OE
PD
^
于E ，连接CE ，
显然CO
OE
O
Ç
=
，CO 、OE Ì 平面COE ，因此PD ^ 平面COE ，
而CE Ì 平面COE ，则PD
CE
^
，即
OEC
Ð
是二面角C
PD
A
-
-
的平面角，
由
4
PA
AD
=
=
，PA
AD
^
，得
45
ADP
Ð
=
o ，
则
sin
2
OE
OD
ADP
=
Ð
=
，
6
CE =
，
3
cos
3
OE
OEC
CE
Ð
=
=
，
所以二面角C
PD
A
-
-
的余弦值是
3
3
.
6．（24-25 高二下·四川凉山·期末）如图，在圆锥PO 中，ABCD 为底面圆的内接四边形，对角线AC 过圆心O ，圆
锥母线长为2 2 ，
2
BC =
，
π
3
ACB
Ð
=
.
(1)若
//
AD BC ，平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，证明：
//
AD l ；
(2)若
2
AD =
，求平面PAD 与平面PBC 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 4 3
7
【详解】（1）证明
//
AD BC
Q
，AD Ë 平面PBC ，BC Ì平面PBC ，
//
AD
\
平面PBC ，
Q平面PAD Ç 平面PBC
l
= ，AD Ì 平面PAD ，
//
AD l
\
.
（2）由题意知
2 2
PA
PC
=
=
，
2
BC
AD
=
=
，
π
3
ACB
Ð
=
，
4
AC
\
=
，
2 3
AB
CD
=
=
，
π
2
ADC
ABC
Ð
= Ð
=
，
2
PO =
，
方法一：向量法
ABCD
\
为矩形，因此可建立如图所示空间直角坐标系，过点D 平行于PO 竖直向上为z 轴，
0,0,0
D
\
，
2,0,0
A
，
2,2 3,0
B
，
0,2 3,0
C
，
1, 3,2
P
，
2,0,0
DA
\
=
uuur
，
1, 3,2
DP =
uuur
，
2,0,0
CB =
uuur
，
1,
3,2
CP =
-
uuur
，
设平面PAD 的法向量为
1
1
1
,
,
m
x y z
=
r
，平面PBC 的法向量为
2
2
2
,
,
n
x
y
z
=
r
.
则
0
0
DA m
DP m
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur r
uuur r
，所以
1
1
1
1
2
0
3
2
0
x
x
y
z
=
ìïí
+
+
=
ïî
，令
1
2
y = - ，
0, 2, 3
m =
-
r
，
0
0
CB n
CP n
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur r
uuur r
，所以
2
2
2
2
2
0
3
2
0
x
x
y
z
=
ìïí
-
+
=
ïî
，令
2
2
y =
，可得
0,2, 3
n =
r
，
·
4
3
1
cos
,
7
7
7
m n
m n
m n
- +
\
=
=
= -
´
r r
r r
r r
，
\平面PAD 与平面PBC 所成角的正弦值为
2
1
4 3
1
7
7
æ
ö
- -
=
ç
÷
è
ø
.
方法二：几何法：
过点P 分别向AD 、BC 引垂线，垂足分别为M 、N ，连接MN ，
由（1）知
//
AD l ，所以PM
l
^ ，PN
l
^ ，
MPN
\Ð
为平面PAD 与平面PBC 所成角的平面角，
7
PM
PN
\
=
=
，
2 3
MN =
，
\根据余弦定理得：
2
2
2
1
cos
2
7
PM
PN
MN
MPN
PM PN
+
-
Ð
=
=
，
\平面PAD 与平面PBC 所成角的正弦值为4 3
7
.
7．（24-25 高一下·陕西汉中·期末）在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为平行四边形，O 为底面中心，M,E 分别
为PA,PD 的中点，
PDC
△
为等腰直角三角形，且DP
DC
=
.
(1)若平面PBC I平面PAD
l
= ，判断直线l 与BC 的位置关系并证明；
(2)求异面直线MO 与EC 所成角的余弦值；
(3)若F,N 分为CE,DE 的中点，点G 在线段PB 上，且|
|
|
|
PG
GB
l
=
，若平面
//
GFN
平面ABCD，求实数l 的值.
【答案】(1) //
l BC ，证明见解析
(2) 3 10
10
(3)
3
l =
【详解】（1）//
l BC
证明：因为底面ABCD 为平行四边形，
所以
//
BC AD ，
又因为BC Ë面PAD ，AD Ì 面PAD ，
所以
//
BC
面PAD ，
又因为
Ì
BC
面PBC ，面PBC I平面PAD
l
= ，
所以//
l BC .
（2）
连接AC ，则O 为AC 中点，又点M 为PA 中点，所以
//
MO PC ，
异面直线MO 与EC 所成角即为EC 与PC 夹角，
在等腰直角三角形PDC 中，设
2
DP
DC
a
=
=
，则PE
DE
a
=
=
，
2 2
PC
a
=
，
5
CE
a
=
，
在PEC
V
中，由余弦定理得，
2
2
2
2
2
2
2
8
5
3 10
cos
2
10
4 10
PC
CE
PE
a
a
a
PCE
PC
CE
a
+
-
+
-
Ð
=
=
=
×
，
所以异面直线MO 与EC 所成角的余弦值为3 10
10 .
（3）连接BD ，如图所示，
因为N 为DE 的中点，E 为PD 的中点，所以
3
4
PN
PD
=
，
因为平面
//
GFN
平面ABCD ，平面PBD I平面ABCD
BD
=
，
平面PBD I平面GFN
GN
=
，所以
//
GN BD ，
则
3
PN
PG
ND
GB
=
=
，即
3
PG
GB
=
，所以
3
l =
.
8．（24-25 高一下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，
/ /
BC
AD ，平面PAB ^平面PBC ，且
1
AB
BC
=
= ，
2
PA
AD
=
=
.
(1)若平面PBC 与平面PAD 相交于直线l ，求证：
/ /
BC
l ；
(2)求证：AB
BC
^
；
(3)求二面角C
PD
A
-
-
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
3
3
.
【详解】（1）由
/ /
BC
AD ，BC Ë平面PAD ，AD Ì 平面PAD ，得
/ /
BC
平面PAD ，
又
Ì
BC
平面PBC ，且平面PBC 与平面PAD 相交于直线l ，所以
/ /
BC
l .
（2）在平面PAB 内作AH
PB
^
于H，
∵平面PAB ^平面PBC ，平面PAB Ç 平面PBC
PB
=
，
∴PH ^平面PBC ，
Ì
BC
平面PBC ，则PH
BC
^
又PA ^平面ABCD ，
Ì
BC
平面ABCD ，则PA
BC
^
，
又PA
AH
A
=
I
且都在平面PAB 内，故
^
BC
平面PAB ，
又AB Ì 平面PAB ，则BC
AB
^
.
（3）若O 是AD 的中点，连接CO ，
由（2）知，
/ /
CO
AB ，CO
AD
^
，
由PA ^平面ABCD ，CO Ì 平面ABCD ，则CO
PA
^
，
而PA
AD
A
Ç
=
，
,
PA AD Ì 平面PAD ，于是CO ^ 平面PAD ，
又PD Ì 平面PAD ，则PD
CO
^
，过O 作OE
PD
^
于E ，连接CE ，
显然CO
OE
O
Ç
=
，
,
CO OE Ì 平面COE ，因此PD ^ 平面COE ，
而CE Ì 平面COE ，则PD
CE
^
，即
OEC
Ð
是二面角C
PD
A
-
-
的平面角，
由
2
PA
AD
=
=
，PA
AD
^
，得
2 2
=
PD
，sin
45
ADP
Ð
=
° ，
则
2
sin
2
OE
OD
ADP
=
Ð
=
，
6
2
CE =
，
3
cos
3
OE
OEC
CE
Ð
=
=
，
所以二面角C
PD
A
-
-
的余弦值是
3
3
.
1．（24-25 高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，E，F 分别为线段
1
AC ，
1
1
AC 上的点，
1
AE
AC
l
=
uuur
uuuur
，
1
1
1
A F
AC
l
=
uuuur
，
(0,1)
l Î
．
(1)求证：
/ /
EF
平面
1
1
BCC B ．
(2)在线段
1
BC 上是否存在一点G，使平面EFG / / 平面
1
1
ABB A ？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点G ，满足
1
BG
BC
l
=
uuur
uuuur
即可，理由见解析
【详解】（1）因
1
AE
AC
l
=
uuur
uuuur
，
1
1
1
A F
AC
l
=
uuuur
，则
1
1
1
1
A F
AE
AC
AC
=
，故
1
/ /
EF
AA ，
在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
/ /
AA
BB ，则
1
/ /
EF
BB ，
因EF Ë 平面
1
1
BCC B ，
1
BB Ì 平面
1
1
BCC B ，则
/ /
EF
平面
1
1
BCC B .
（2）
如图，线段
1
BC 上存在点G ，满足
1
BG
BC
l
=
uuur
uuuur
，即可使平面
/ /
EFG
平面
1
1
ABB A ，理由如下：
因
1
AE
AC
l
=
uuur
uuuur
，则
1
1
AE
BG
AC
BC
=
，则
/ /
EG
AB ，因AB Ì 平面
1
1
ABB A ， EG Ë 平面
1
1
ABB A ，故
/ /
EG
平面
1
1
ABB A ，
由（1）
1
/ /
EF
AA ，因
1
AA Ì 平面
1
1
ABB A ， EF Ë 平面
1
1
ABB A ，故
/ /
EF
平面
1
1
ABB A ，
又
,
,
Ç
=
Ì
EG
EF
E EG EF
平面EFG ，故平面
/ /
EFG
平面
1
1
ABB A .
2．（24-25 高一下·云南临沧·期末）如图1，等腰梯形ABCD 中，
//
AD BC ，E 为AD 边上一点，且
2
AB
AE
BE
CD
=
=
=
=
，
4
BC
ED
=
=
，O 为BE 中点，F 为BC 中点.将ABE
V
沿BE 折起到
'A BE
V
的位置，如图
2 ．
考点三
面面平行的判定
(1)证明：CD ^ 平面
'AOF ；
(2)若
'AO
OF
^
，求点F 到平面
'A EC 的距离；
(3)试在线段
'A D 上确定一点G ，使得平面
//
GCE
平面
'AOF ，并给出证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
2
(3)G 为线段
'A D 上靠近
'A 的三等分点，证明见解析
【详解】（1）在等腰梯形ABCD 中，
//
AD BC ，
4
BC
ED
=
=
，
则四边形BCDE 是平行四边形，则
//
BE
CD ，
因为
2
AB
AE
BE
CD
=
=
=
=
，所以ABE
V
为等边三角形，则
60
BAE
Ð
=
o
因为O 为BE 中点，所以
'
BE
AO
^
，
在等腰梯形ABCD 中，可得
60
BAE
CDE
CBE
Ð
= Ð
= Ð
=
o
连接EC ，在
BEC
V
中，由余弦定理可
2
2
2
2
cos
12
EC
BC
BE
BC BE
EBC
=
+
-
×
×
Ð
=
，
则
2 3
EC =
，所以
2
2
2
16
BE
EC
BC
+
=
=
，则BE
EC
^
．
因为O 、F 分别是BE 、BC 中点，所以
//
OF EC ，所以OF
BE
^
，
从而可得OF
CD
^
，CD
A O
^
¢
，
因为
'AO
OF
O
=
I
，
'AO 、OF Ì 平面
'AOF ，所以CD ^ 平面
'AOF ；
（2）由（1）可知
//
OF EC ，因OF Ë 平面
'A EC ，EC Ì平面
'A EC ，则
//
OF
平面
'A EC ，
所以点F 到平面
'A EC 的距离即为点O 到平面
'A EC 的距离，
因为O 是BE 中点，所以点F 到平面
'A EC 的距离等于点B 到平面
'A EC 的距离的一半．
取
'A E 的中点为H ，连接BH ，
因为
'A BE
V
为等边三角形，所以
'
BH
A E
^
，
由（1）知EC
BE
^
，因为
'
A O
OF
^
，而
//
OF EC ，则EC
A O
^
¢
，
又因为BE
A O
O
Ç ¢
=
，BE 、
'AO Ì 平面
'A BE ，所以EC ^ 平面
'A BE ，
因为BH Ì 平面
'A BE ，所以EC
BH
^
，
又因为
'
EC
A E
E
=
I
，EC 、
'A E Ì 平面
'A EC ，所以BH ^平面
'A EC ，
因为
'A BE
V
是等边三角形，边长为2 ，故
2
2
2
1
3
BH =
-
=
，
所以点B 到平面
'A EC 的距离为
3 ，
故点F 到平面
'A EC 的距离为
3
2
；
（3）设DF
CE
M
=
I
，则
1
2
FM
CF
MD
ED
=
=
，
在AD 上取点G ，使
'
1
2
AG
GD =
，从而
'
//
GM A F ，
连接EG ，因为
'A F Ë 平面GEC ，GM Ì 平面GEC ，所以
'
//
A F
平面GEC ，
又由（1）可知，
//
OF EC ，OF Ë 平面GEC ，GM Ì 平面GEC ，
则
//
OF
平面GEC ，
又因为
'A F
OF
F
=
I
，
' ,
A F OF Ì 平面
'AOF ，所以平面
//
GCE
平面
'AOF ，
故G 为线段
'A D 上靠近
'A 的三等分点时，平面
/ /
GCE
平面
'AOF ．
3．（24-25 高一下·青海海南·期末）如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
,
,
E F G 分别是棱
1
1
1
,
,
AB BB A B 的中点.
(1)证明：
1
/ /
C G
平面CEF .
(2)在棱
1
AA 上是否存在点H ，使得平面
1
/ /
C GH
平面CEF ？若存在，求出
1
1
A H
A A 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
1
1
1 .
2
A H
A A =
【详解】（1）证明：如图所示，连接EG ，
因为
,
E G 分别是棱
1
1
,
AB A B 的中点，所以
1
1
/ /
,
EG
BB EG
BB
=
，
由长方体的性质，可知
1
1
1
1
/ /
,
BB
CC BB
CC
=
，则
1
/ /
EG
CC 且
1
EG
CC
=
，
所以四边形
1
CEGC 是平行四边形，所以
1
/ /
CE
C G ，
又因为CE Ì 平面CEF ，且
1
C G Ë 平面CEF ，所以
1
/ /
C G
平面CEF .
（2）解：取棱
1
AA 的中点H ，连接
1
,
GH C H ，平面
1
/ /
C GH
平面CEF ，此时
1
1
1 .
2
A H
A A =
理由如下：
连接
1
AB ，因为
,
E F 分别为棱
1
,
AB BB 的中点，所以
1
/ /
EF
AB ，
因为
,
G H 分别为棱
1
1
1
,
A B A A 的中点，所以
1
/ /
GH
AB ，所以
/ /
GH
EF ，
因为EF Ì 平面CEF 且GH Ë 平面CEF ，所以
/ /
GH
平面CEF ，
由（1）可知
1
/ /
C G
平面CEF ，且
1
C G Ì 平面
1
C GH ，GH Ì 平面
1
C GH ，
1
C G
GH
G
=
I
，所以平面
1
/ /
C GH
平面
CEF ，
故在棱
1
AA 上存在点H ，使得平面
1
/ /
C GH
平面CEF ，此时
1
1
1
2
A H
A A =
.
4．（24-25 高一下·陕西汉中·期末）由正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
截去三棱锥
1
1
1
C
B CD
-
后得到的几何体如图所示，O
为AC 与BD 的交点.
(1)求证：
1
/ /
AO
平面
1
1
B CD ；
(2)求证：平面
1
/ /
A BD
平面
1
1
B CD .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）取
1
1
B D 的中点E ，连接
1 ,
A E CE .
则
1
1
,
/ /
A E
OC A E
OC
=
.
所以四边形
1
COA E 为平行四边形，所以
1
/ /
AO
EC .
因为EC Ì平面
1
1
B CD ，
1AO 不在平面
1
1
B CD 内，
所以
1
/ /
AO
平面
1
1
B CD .
（2）因为
1
1
/ /
BD
B D ，
1
1
B D Ì 平面
1
1
B CD ，BD 不在平面
1
1
B CD 内，
所以
/ /
BD
平面
1
1
B CD .
由（1）知，
1
/ /
AO
平面
1
1
B CD .
因为
1
1
,
,
AO
BD
O AO BD
Ç
=
Ì 平面
1A BD ，
所以平面
1
/ /
A BD
平面
1
1
B CD .
5．（24-25 高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，
BCD
△
为等边三角形，
2 3
BD =
，
3
PA =
，AB
AD
PB
PD
=
=
=
，
120
BAD
Ð
=
° ，点E，F 分别为PC ，CD 的中点.
(1)求证：平面
/ /
BEF
平面PAD ；
(2)求二面角P
BD
A
-
-
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
1
2
-
【详解】（1）在PCD
V
中，点
,
E F 分别为
,
PC CD 的中点，
所以
/ /
EF
PD ，因为PD Ì 平面PDA，而EF 不在平面PDA内，
所以
/ /
EF
平面PDA.
因为
,
120
AB
AD
BAD
°
=
Ð
=
，所以
30
BDA
°
Ð
=
.
因为BCD
V
为等边三角形，所以
60
BDC
°
Ð
=
，
所以
90
ADC
°
Ð
=
.又BF
CD
^
，所以
/ /
BF
AD.
又因为AD Ì 平面PDA，而BF 不在平面PDA内，
所以
/ /
BF
平面PDA.
又
,
,
EF
BF
F EF BF
Ç
=
Ì 平面BEF ，
所以平面
/ /
BEF
平面PAD .
（2）取BD 的中点为G ，连接
,
AG PG .
因为AB
AD
PB
PD
=
=
=
，所以
,
AG
BD PG
BD
^
^
.
因为AG
PG
G
Ç
=
，平面PBD Ç 平面ABD
BD
=
，
所以二面角P
BD
A
-
-
的平面角为
PGA
Ð
.
因为
1
3
2
DG
BD
=
=
，所以
3
1,
1 3
2
3
AG
DG
AD
PD
=
´
=
=
=
+
=
.
所以
2
2
1
PG
PD
DG
=
-
= .
根据余弦定理得
2
2
2
1 1 3
1
cos
2
2 1 1
2
PG
AG
PA
PGA
PG
AG
+
-
+ -
Ð
=
=
= -
´
´ ´
.
所以二面角P
BD
A
-
-
的余弦值为
1
2
-
.
6．（24-25 高一下·甘肃白银·期末）如图，一个水平放置的边长为
3 的等边三角形ABC 绕着中心点O 逆时针旋转
π
3 ，再沿竖直方向
OO¢
uuuur
平移一定距离后，连接AA¢，AC¢，BB¢，BA¢，CC¢ ，CB¢ ，此时侧面三角形AA B
¢
，
A BB
¢
¢，BB C
¢
，ACC¢正好都是等边三角形.
(1)证明：平面
/ /
B C C
¢ ¢
平面AA B
¢
.
(2)求平面A B C
¢ ¢ ¢与平面A AB
¢
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 1
3
【详解】（1）由题意可得
/ /
B C
AB
¢ ¢
，且B C
AB
¢ ¢ =
，所以四边形ABB C
¢ ¢ 为平行四边形，
同理，A C
¢ ¢与BC 平行且相等，所以四边形A BCC
¢
¢为平行四边形，故
/ /
A B
C C
¢
¢
.
又B C
CC
C
¢ ¢
¢ =
¢
I
，AB
A B
B
¢
=
I
，
,
B C CC
¢ ¢
¢ Ì 平面B C C
¢ ¢
，
,
AB A B
¢
Ì 平面AA B
¢
，
所以平面
/ /
AA B
¢
平面B C C
¢ ¢
.
（2）由平面
/ /
B C C
¢ ¢
平面AA B
¢
，得平面A B C
¢ ¢ ¢与平面A AB
¢
所成的角a 即为平面ABC 与平面A AB
¢
所成的角.
如图，作点A¢在平面ABC 上的投影E，连接OE ，交AB 于点D ，连接A D
¢
，A E
¢
，可知DE
AB
^
，则
A DE
¢
Ð
即
为二面角A
AB
C
¢-
-
的平面角.
因为EO
A O
¢ ¢
=
，所以
1
1
2
2
DE
AO
=
=
，
π
3
sin 3
2
A D
AB
¢
=
×
=
，
故
1
2
cos
3
3
2
1
DE
A D
a =
=
=
¢
.
7．（24-25 高一下·四川成都·期末）如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AB
AA
=
，
,
E F 分别是
1
1
,
AB A B 的中
点．
(1)求证：CE ^ 平面
1
1
ABB A ；
(2)求证：平面
1//
AFC
平面
1
CEB ；
(3)求直线
1
AC 与直线
1
CB 所成角的大小．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3) π
2
【详解】（1）由题意知
ABC
V
是正三角形，Q E 是AB 的中点，\ CE
AB
^
，
又Q
1
1
1
ABC
A B C
-
是正三棱柱，
\
1
AA ^ 平面ABC ，CE Ì 平面ABC ，\
1
AA
CE
^
.
又Q AB Ì 平面
1
1
ABB A ，
1
AA Ì 平面
1
1
ABB A ，
1
AA
AB
A
=
I
，
\ CE ^ 平面
1
1
ABB A ；
（2）
连接EF ，
Q
1
1
1
/ /
,
/ /
EF
AA CC
AA ，\
1
/ /
EF
CC ，且
1
EF
CC
=
，
\四边形
1
CEFC 是平行四边形，\
1
/ /
CE
C F
又Q CE Ì 平面
1
CEB ，
1
C F Ë 平面
1
CEB ，\
1
/ /
C F
平面
1
CEB .
又Q
,
E F 分别是
1
1
,
AB A B 的中点，\
1
/ /
AE
FB ，且
1
AE
FB
=
，
\四边形
1
AEB F 是平行四边形，\
1
/ /
AF
EB
又Q
1
EB Ì 平面
1
CEB ，AF Ë平面
1
CEB ，\
/ /
AF
平面
1
CEB .
又Q AF Ì 平面
1
AFC ，
1
C F Ì平面
1
AFC ，
1
AF
C F
F
=
I
，
\平面
1//
AFC
平面
1
CEB ；
（3）连接
1
C B 交
1
CB 于点G ，连接GE ，
Q
,
G E 分别是
1 ,
C B AB 的中点，\
1
/ /
EG
AC ，
\
CGE
Ð
（或其补角）就是异面直线
1
AC 与
1
CB 所成的角，
设
1
2
AA =
，Q
1
2
AB
AA
=
，\
2
AB =
，
\
2
2
3
CE
BC
BE
=
-
=
，
2
2
1
1
3
EB
BE
BB
=
+
=
，\
1
CE
EB
=
.
又Q G 是
1
CB 的中点，\
1
EG
CB
^
，即
1
1
AC
CB
^
.
\直线
1
AC 与直线
1
CB 所成角的大小为π
2 .
8．（24-25 高一下·贵州铜仁·期末）如图，在以
, ,
,
,
,
A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均
为等腰梯形，
/ /
,
/ /
BC
AD EF
AD ，
4
=
AD
，
2
AB
BC
EF
=
=
=
，
7
ED =
，
3
FB = ，M 为AD 的中点．
(1)证明：平面
/ /
BMF
平面CDE ；
(2)求平面ABF 与平面CDE 所成角的正弦值；
(3)求点M 到平面ABF 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 2
3
(3) 2 6
3
【详解】（1）因为
4
=
AD
且M 为AD 的中点，所以
2
MD = ,
因为
//
,
BC MD BC
MD
=
，所以四边形BCDM 是平行四边形，则
//
BM CD ,
因为BM Ë 平面CDE，CD Ì 平面CDE，所以
//
BM
平面CDE,
同理可得
//
MF
平面CDE，
又因为
=
I
BM
MF
M ,
,
BM MF Ì 平面BMF，所以平面
/ /
BMF
平面CDE .
（2）由（1）知平面ABF 与平面CDE 所成角即为平面ABF 与平面BMF 所成角，过点A 作AG
BF
⊥
交BF 于点
G，连接MG，
易知ABF
MBF
@
V
V
，所以MG
BF
^
，则
AGM
Ð
或其补角即为平面ABF 与平面BMF 所成角的平面角，
在
ABF
△
中由余弦定理得
2
2
2
7
cos
2
14
AB
AF
BF
BAF
AB AF
+
-
Ð
=
=
×
，
则
2
3 21
sin
1 cos
14
BAF
BAF
Ð
=
-
Ð
=
,
因为
1
3 21
1
2 7
3
2
14
2
ABF
S
AG
=
´
´
=
´
V
，解得
3
AG =
，
在AGM
V
中，由余弦定理得
2
2
2
3
3
4
1
cos
2
2 3
3
AG
GM
AM
AGM
AG GM
+
-
+ -
Ð
=
=
=
×
´
,
所以平面ABF 与平面CDE 所成角的正弦值为
2
1
2 2
1
3
3
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
.
（3）取AM 的中点为H，连接BH、FH，
因为△AFM 为等腰三角形、△ABM 为等边三角形，所以
,
FH
AM BH
AM
^
^
，
所以
2
2
3
BH
BM
MH
=
-
=
,
2
2
6
FH
FM
HM
=
-
=
，
因为
2
2
2
BH
FH
BF
+
=
，所以
π
2
FHB
Ð
=
，FH
BH
^
，
因为FH
BH
^
，FH
AM
^
，BH
AM
H
=
I
，
,
BH AM Ì 平面ABM，
所以FH ^ 平面ABM，
设点M 到平面ABF 的距离为h，
1
2
3
6
1
1
2 6
2
1
3
3
3
3 3
2
ABM
F
ABM
ABM
ABF
ABF
S
FH
V
S
FH
S
h
h
S
-
´ ´
´
×
=
×
=
×
Þ
=
=
=
´
V
V
V
V
，
所以点M 到平面ABF 的距离为2 6
3
.
1．（24-25 高一下·江苏南通·阶段练习）如图，在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，底面ABCD 是菱形，
60
ABC
Ð
=
° .
(1)证明：AC ^平面
1
1
BB D D ；
(2)若
1
2
=
=
BC
BB
，求二面角
1
B
AC
B
-
-
的正切值；
(3)若点P 在
1A D 上，
1
1
BC
CB
E
=
I
，直线BP 与平面
1
AB C 交于点F，求证：
1
C P
EF
∥
.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 3
3
.
(3)证明见解析
【详解】（1）因为直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
BB ^ 底面ABCD ，AC Ì 底面ABCD ，
所以
1
AC
BB
^
.
因为菱形ABCD ，所以AC
BD
^
，
1
1
,
,
BD
BB
B BD BB
=
Ì
I
平面
1
1
BB D D ，
所以AC ^平面
1
1
BB D D .
（2）设AC
BD
O
=
I
，连接
1
B O ，
因为
1B O Ì 平面
1
1
BB D D ，
所以
1
AC
B O
^
，且BO
AC
^
，
1
BO
B O
O
=
I
，
所以
1
BOB
∠
是二面角
1
B
AC
B
-
-
的平面角.
因为
60
ABC
Ð
=
° ，AB
BC
=
，
所以
ABC
V
是正三角形，
所以
2
2
AC
OC
=
=
，
2
2
3
BO
BC
OC
=
-
=
.
因为
1
BB
BD
^
，在直角三角形中，
1
1
2
2 3
tan
3
3
BB
BOB
BO
Ð
=
=
=
考点四
面面平行的性质
所以二面角
1
B
AC
B
-
-
的正切值为2 3
3
.
（3）如图，连接
1
1
AC ，
1
C D .
在直四棱柱中，
1
1
B C
BC
AD
∥
∥
，
1
1
B C
BC
AD
=
=
，
所以四边形
1
1
B C DA是平行四边形，
所以
1
1
C D
AB
∥
，
1
AB Ì 平面
1
AB C ，
1
C D Ë 平面
1
AB C ，
所以
1
/ /
C D
平面
1
AB C .
同理，
1
1 / /
AC
平面
1
AB C
因为
1
1
1
1
AC
C D
C
=
I
，
1
1
AC ，
1
C D Ì 平面
1
1
AC D ，
所以平面
1
/ /
AB C
平面
1
1
AC D ，
因为平面
1
BPC Ç平面
1
AB C
EF
=
，平面
1
BPC Ç平面
1
1
1
AC D
C P
=
，
所以
1
C P
EF
∥
.
2．（24-25 高一下·江西上饶·期末）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点.已知M ，N 分
别是PC ，AB 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于HG.
(1)求证：
//
MN
平面PAD ；
(2)求证：
/ /
AP
HG .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）
法一：取PD 中点K ，连接MK ，AK ，MN ，
易知MK 为
PCD
△
中位线，故
/ /
MK
CD ，且
1
2
MK
CD
=
，
因为四边形ABCD 是平行四边形，所以
/ /
AB
CD ，AB
CD
=
，
故
/ /
MK
AN ，又因为N 是AB 的中点，所以
1
1
2
2
AN
AB
CD
MK
=
=
=
，
所以四边形ANMK 为平行四边形，所以
/ /
AK
MN ，
又因为MN Ë平面PAD ，AK Ì 平面PAD ，所以
/ /
MN
平面PAD .
法二：连接AC ，交BD 于O ，连接MO ，如下图：
因为四边形ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点，
又因为M 为PC 中点，所以MO 为
ACP
△
的中位线，
所以
/ /
MO
PA ，
又因为MO Ë 平面PAD ，PAÌ 平面PAD ，所以
//
MO
平面PAD ，
因为四边形ABCD 是平行四边形，所以O 为BD 中点，
又因为N 是AB 的中点，所以NO 为
ABD
△
的中位线，
所以
/ /
NO
AD ，又因为NO Ë 平面PAD ，AD Ì 平面PAD ，
所以
//
NO
平面PAD ，又因为NO
MO
O
Ç
=
，
NO Ì 平面MON ，MO Ì 平面MON ，所以平面
//
MON
平面PAD ，
因为MN Ì平面MON ，所以
//
MN
平面PAD .
（2）连接AC ，交BD 于O ，连接MO ，如下图：
因为四边形ABCD 是平行四边形，所以O 是AC 的中点，
又因为M 是PC 的中点，所以MO 为
ACP
△
的中位线，
所以
//
MO PA，
又因为MO Ì 平面BDM ，PA Ë 平面BDM ，
所以
//
PA 平面BDM ，
又因为PAÌ 平面PAHG ，平面PAHG Ç 平面BDM
GH
=
，
所以
/ /
AP
HG .
3．（2025·北京·模拟预测）在如图所示的多面体中，
/ /
AB
CD ，四边形ACFE 为矩形，
1
AB
AE
=
= ，
2
AD
CD
=
=
.
(1)求证：
/ /
DF
平面ABE ；
(2) AB
AD
^
，平面AED ^ 平面ABCD ，求直线DF 与平面BEF 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 15
5
【详解】（1）由四边形ACFE 为矩形，可得
/ /
CF
AE ，因 AE Ì 平面ABE ，CF Ë 平面ABE ，故
//
CF
平面ABE ；
因
/ /
AB
CD ，AB Ì 平面ABE ，CD Ë 平面ABE ，故
/ /
CD
平面ABE ，
又因
,
,
CD
CF
C CD CF
=
Ì
I
平面CDF ，故有平面
/ /
ABE
平面CDF .
再由DF Ì 平面CDF 可得
/ /
DF
平面ABE .
（2）因为平面AED ^ 平面ABCD ，平面AED I 平面ABCD
AD
=
，AB
AD
^
，AB Ì 平面ABCD ，所以AB ^平面
AED .
又因为AE Ì 平面AED ，所以AB
AE
^
，在矩形ACFE 中，AE
AC
^
.
因为
,
AB AC Ì 平面ABCD ，AB
AC
A
Ç
=
，故AE ^ 平面ABCD .
因为AD Ì 平面ABCD ，所以AE
AD
^
.
故分别以
,
,
AB AD AE 所在的直线为, ,
x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得
1,0,0
B
，
0,0,1
E
，
2,2,1
F
，
0,2,0
D
.
所以
1,0,1
BE = -
uuur
，
1,2,1
BF =
uuur
.
设平面BEF 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，则
0,
0,
BE n
BF n
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur r
uuur r
即
0,
2
0.
x
z
x
y
z
- +
=
ì
í +
+
=
î
令
1
x = ，则
1
y = - ，
1
z = .于是
1, 1,1
n =
-
r
.
因为
2,0,1
DF =
uuur
，设直线DF 与平面BEF 所成角为q ，
则
2 1
15
sin =|cos ,
|
5
3
5
n DF
n DF
n
DF
q
×
+
=
=
=
´
×
uuur
r
uuur
r
uuur
r
，
故直线DF 与平面BEF 所成角的正弦值为15
5
.
4．（2025·北京·三模）如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中， 侧面
1
1
ADD A 和底面ABCD 均为菱形， 且
2
AD = ，
1
π
3
A AD
DAB
Ð
= Ð
=
， E 为
1
1
AD 的中点，
1
1
B C 与平面CDE 交于点F ，
(1) 求证: F 为
1
1
B C 的中点；
(2) 若平面
1
1
ADD A ^ 平面ABCD ，求二面角
1
B
AA
D
-
-
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
5
5
【详解】（1）在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
平面
/ /
ABCD
平面
1
1
1
1
D
C
B
A
，
又因为平面CDE Ç 平面ABCD=CD，
所以
/ /
CD
EF ，
又因为
1
1
/ /
CD
C D ，所以
1
1
/ /
EF
C D ，
又因为E 为
1
1
AD 的中点，所以F 为
1
1
B C 的中点
（2）取AD 的中点O，连接
1
1
,
,
,
AO BO A D BD ，
在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
四边形
1
1
ADD A ，四边形ABCD 均为菱形，
又
1
π
3
A AD
DAB
Ð
= Ð
=
，
所以
1
,
A AD
DAB
V
V
均为等边三角形，
所以
1
,
AD
AD
AO
BO
^
^
，
又因为平面
1
1
ADD A ^ 平面ABCD，平面
1
1
ADD A Ç 平面ABCD=AD，
1AO Ì 平面
1
1
ADD A ，所以
1AO ^ 平面ABCD，
BO Ì 平面ABCD，所以
1AO
BO
^
，
如图建立空间直角坐标系O
xyz
-
，
所以
1
0,0,0 ,
1,0,
,
0
3
,
0, 3,0 ,
0 0,
O
A
A
B
，
所以
0, 3,0
OB =
uuur
即为平面
1
ADA 的一个法向量，
1
1,0, 3 ,
1, 3,0
AA
AB
= -
= -
uuur
uuur
，
设平面
1A AB 的一个法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，
所以
1
3
0
3
0
AA n
x
z
AB n
x
y
ì
×
= - +
=
ïí
×
= - +
=
ïî
uuur r
uuur r
，令
3
x =
得
1
y
z
=
= ，
所以
3,1,1
n =
r
，
所以
3
5
cos
,
5
3
5
n OB
n OB
n OB
×
=
=
=
´
uuur
r
uuur
r
uuur
r
，
因为二面角
1
B
AA
D
-
-
为锐角，
所以二面角
1
B
AA
D
-
-
的余弦值为
5
5
，
5．（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AA ^ 底面
1
1
1
A B C ，
ABC
V
与
1
1
1
A B C
△
都是等腰直角
三角形，
BAC
Ð
1
1
1
90 ,
2,
4
AB
AA
A B
=
°
=
=
=
，E 、F 分别为
1
AA 、
1
1
B C 的中点．
(1)证明：
/ /
EF
平面
1
AB C ；
(2)求异面直线EF 与
1
BB 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 15
5
【详解】（1）在三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，设
1
1
C C 的中点为D ，连接
,
DE DF ，由F 为
1
1
B C 的中点，
得
1
/ /
DF
B C ，又
1
B C Ì 平面
1
AB C ，DF Ë 平面
1
AB C ，则
/ /
DF
平面
1
AB C ，
由DE 为梯形
1
1
AAC C 的中位线，得
//
DE AC ，又AC Ì 平面
1
AB C ，DE Ë 平面
1
AB C ，
则
//
DE
平面
1
AB C ，而DE
DF
D
Ç
=
，DE Ì 平面DEF ，DF Ì 平面DEF ，
因此平面
//
DEF
平面
1
AB C ，又EF Ì 平面DEF ，所以
//
EF
平面
1
AB C .
（2）取
1
1
A B 的中点G ，
1AG 的中点H ，连接AG 、EH 、HF 、GF 、
1A F ，
由
1
1
1
1
2,
4,
//
AB
A B
AB A B
=
=
，G 是
1
1
A B 中点，得四边形
1
ABB G 是平行四边形，
则
1//
BB
AG ，又H 是
1AG 中点，E 是
1
AA 中点，则
1
/
//
/
EH A
BB
G
，
即
FEH
Ð
就是异面直线EF 与
1
BB 夹角，
又
1
AA ^ 底面
1
1
1
A B C ，
ABC
V
与
1
1
1
A B C
△
都是等腰直角三角形，
1
1
1
2,
4
AB
AA
A B
=
=
=
，
则
2
2
1
1
1
1
1
1
2 5,
2 2
2
AG
AA
AG
A F
B C
=
+
=
=
=
，
1
5
2
EH
AG
=
=
，
2
2
2
2
1
1
2 3,
5
EF
A E
A F
HF
GF
GH
=
+
=
=
+
=
，因此
1
15
2
cos
5
EF
FEH
EH
Ð
=
=
，
所以异面直线EF 与
1
BB 夹角的余弦值为15
5
.
6．（24-25 高三上·云南楚雄·期末）如图，在正四棱锥P
ABCD
-
中，
3,
2,
,
,
PA
AB
E F G
=
=
分别为棱
,
,
AD PC PD 的
中点.
(1)证明：PB ∥平面EFG .
(2)求平面AFG 与平面ABCD 的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 3.
4
【详解】（1）证明：因为
,
,
E F G 分别为棱
,
,
AD PC PD 的中点，
所以EG ∥
,
PA FG ∥CD .
又P
ABCD
-
为正四棱锥，所以四边形ABCD 为正方形，
则AB ∥CD ，从而FG ∥AB .
因为PA Ë 平面
,
EFG AB Ë平面
,
EFG EG Ì 平面
,
EFG FG Ì 平面EFG ，
所以PA ∥平面
,
EFG AB ∥平面EFG .
又PA
AB
A
=
I
，所以平面PAB ∥平面EFG .
因为PB Ì平面PAB ，所以PB ∥平面EFG .
（2）解：因为P
ABCD
-
为正四棱锥，
所以以四边形ABCD 的中心O 为坐标原点，过点O 且与AB 平行的直线为x 轴，过点O 且与AD 平行的直线为y
轴，OP 所在直线为z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
由
3,
2
PA
AB
=
=
，得
7
OP =
，
则
1 1
7
1 1
7
1, 1,0 ,
,
,
,
,
,
2 2
2
2 2
2
A
F
G
æ
ö
æ
ö
- -
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以
3 3
7
1 3
7
,
,
,
,
,
2 2
2
2 2
2
AF
AG
æ
ö
æ
ö
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur
uuur
.
设平面AFG 的一个法向量为
, ,
m
x y z
=
r
，
由
0,
0,
m AF
m AG
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
得
3
3
7
0,
2
2
2
1
3
7
0,
2
2
2
x
y
z
x
y
z
ì
+
+
=
ïïí
ï
+
+
=
ïî
令
7
y =
，得
0, 7, 3
m =
-
r
.
由图可知，
0,0,1
n =
r
是平面ABCD 的一个法向量.
则
3
cos
,
4
m n
m n
m n
×
=
= -
r r
r r
r r
，
故平面AFG 与平面ABCD 的夹角的余弦值为3.
4
7．（24-25 高二上·重庆·期末）如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面ABC 是边长为2 的正三角形，
1
3
AA =
，点
D ，E 分别在线段
1A B ，
1
1
B C 上，且
1
2
A D
DB
=
，
1
1
2
C E
EB
=
.
(1)求证：
//
DE
平面
1
1
ACC A
(2)求直线DE 与平面
1
1
BCC B 所成角正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
30
20
【详解】（1）证明：过点D 作
1
//
DF AA 交
1
1
A B 于点F ，连接EF
因为
1
//
DF AA ，且
1
2
A D
DB
=
，
1
1
2
A F
FB
=
可得
又因为
1
1
2
C E
EB
=
，故
1
1
1
1
1
1
1
3
B E
B F
B C
B A
=
=
，所以
1
1
//
EF AC
又因为EF Ë 平面
1
1
ACC A ，
1
1
AC Ì 平面
1
1
ACC A ，
所以
//
EF
平面
1
1
ACC A .
因为
1
//
DF AA ，DF Ë 平面
1
1
ACC A ，
1
AA Ì 平面
1
1
ACC A ，
所以
//
DF
平面
1
1
ACC A
又EF
DF
F
=
I
，
,
Ì
EF DF
平面EFD ，则平面
//
EFD
平面
1
1
ACC A ，
因为DE Ì 平面EFD ，所以
//
DE
平面
1
1
ACC A .
（2）以BC 中点O 为原点，分别以
,
OA OB
uuur uuur
为,x y 轴建立空间直角坐标系，如图.
则
0,1,0
B
，
0, 1,0
C
-
，
1
(0,
,3
3
E
，
1
3,0,3
A
，设
, ,
D x y z ，
由
1
1
3
BD
BA
=
uuur
uuur
即
1
( ,
1, )
3,, 1,3
3
x y
z
-
=
-
得，
3 2
,
,1
3
3
Dæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
3 1
(
,
, 2)
3
3
ED =
-
uuur
易知，平面EBC 的一个法向量为
(1,0,0)
m =
ur
设直线DE 与平面EBC 所成角为q ，
3
30
3
sin
cos
,
20
2 10
1
3
m ED
m ED
m ED
q
×
=
=
=
=
´
uuur
r
uuur
r
uuur
r
故直线DE 与平面EBC 所成角的正弦值为
30
20
8．（24-25 高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，PA ^底面ABC ，
90
BAC
°
Ð
=
．点D ，E ，
N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，
4
PA
AC
=
=
，
2
AB =
．
(1)求证：MN ∥平面BDE ；
(2)求直线AC 与平面EMN 的夹角的正弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
21
21
【详解】（1）取AB 中点F ，连接MF 、NF ，
因为M 是线段AD 的中点，所以MF
BD
∥
，
因为BD Ì 平面BDE ，MF Ë 平面BDE ，所以MF ∥平面BDE ，
因为点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，所以NF
AC
DE
P
P
，
因为DE Ì 平面BDE ，NF Ë 平面BDE ，所以NF ∥平面BDE ，
因为MF
NF
F
=
I
，MF 、NF ∥平面BDE ，MF 、NF Ì 平面MNF ，
所以平面MNF ∥平面BDE ，
因为MN Ì平面MNF ，所以MN ∥平面BDE ．
（2）因为PA ^底面ABC ，
90
BAC
°
Ð
=
，以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系A
xyz
-
，
则有
0,0,0
A
，
2,0,0
B
，
0,4,0
C
，
0,0,1
M
，
1,2,0
N
，
0,2,2
E
，
1,2, 1
MN =
-
uuuur
，
0,2,1
ME =
uuur
，
0,4,0
AC =
uuur
，
设平面EMN 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，则
2
0
2
0
n MN
x
y
z
n ME
y
z
ì ×
=
+
-
=
ïí ×
=
+
=
ïî
uuuur
r
uuur
r
，令
1
y = ，则有
4,1, 2
n = -
-
r
，
设AC 与平面EMN 所成角为q ，
则直线AC 与平面EMN 的夹角的正弦值为
4
21
sin
cos
,
21
21 4
n
AC
n AC
n AC
q
´
=
=
=
=
´
uuur
r
uuur
r
uuur
n
n
r
．
