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立体几何：表面积问题、体积问题、外接球问题、内切球问题专项训练
1．（24-25 高二下·广西南宁·期中）球的表面积增大为原来的9 倍，那么球的体积增大为原来的（
）
A．9 倍
B．18 倍
C．27 倍
D．81 倍
2．（2025·江西·模拟预测）任意一圆锥的表面积与其侧面积之比的取值范围为（ ）
A．
3
1, 2
æ
ù
ç
ú
è
û
B．
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．(1,2]
D．(1,2)
3．（24-25 高一下·广东佛山·期末）如图，等边三角形与直线l 在同一平面，AC 垂直l 于A ，
2
AC =
，则
ABC
V
绕
l 旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是（ ）
A．10π
B．11π
C．12π
D．13π
4．（24-25 高三下·云南昭通·阶段练习）已知某圆锥的轴截面是正三角形，从该圆锥高的一半处作平行于底面的平
面截圆锥得一个小圆锥和一个小圆台，则该小圆台与原圆锥的表面积之比为（ ）
A．11:12
B．5:6
C．3: 4
D．2 :3
5．（24-25 高一下·浙江·期中）水平桌面上放置了4 个完全相同的半径为1 的小球（不叠起），四个小球的球心构成
正方形，且相邻的两个小球相切．用一个半球形容器（容器壁厚度不计）罩住这四个小球，则这个半球形容器表
面积（不包含底面圆）的最小值为（ ）
A．
6
4 2 π
+
B．
8
4 3 π
+
C．
3
2 2 π
+
D．
4
2 3 π
+
考点一
表面积问题
6．（24-25 高二下·陕西西安·阶段练习·多选）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方
体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（不含最
底层正方体的底面面积）超过34，则该塔形中正方体的个数可以是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
7．（23-24 高三上·贵州遵义·阶段练习·多选）在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
1
1
2
4 3,
10
AB
A B
AA
=
=
=
，点P
在四边形 ABCD 内，且
1
4
A P =
，则（ ）
A．正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的体积是56
B．正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的侧面积是36 2
C．正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的外接球的表面积是145π
D．P 的轨迹长度是5 3π
3
8．（24-25 高一下·北京昌平·期末）以边长为2 的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个
圆柱，则该圆柱的体积是
；表面积是
.
9．（24-25 高一下·湖北十堰·阶段练习）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为2π
3 ，半径为1的扇形，则这个圆锥的
侧面积与表面积的比是
．
10．（2025·重庆·模拟预测）阅读下面两则材料解决问题:
材料一: 2025 年 4 月 29 日，长征火箭再次腾空，将 “互联网低轨卫星” 成功送入预定轨道. 低轨卫星距地面一
般为 160~2000 公里，与高轨卫星相比，有速度快、 回传信号质量高等特点，在半径为 6400 公里的地球上空，
更像 “贴地飞行”.
材料二: 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高(如图). 当球面半径
为 R ，球冠高为 h 时，球冠表面积
2π
S
Rh
=
.问题:若某低轨卫星位于赤道正上方 1600 公里高度的轨道，保持
高度绕地球一圈 (地球相对静止)，回传信号沿直线传输(能直线观测到卫星的地面均可接收到信号)，则该卫星回传
信号的地表覆盖面积百分比为 .
11．（24-25 高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，圆锥PO 的底面半径和高均是a.
(1)过线段PO 的中点O¢ 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积.
(2)若过线段PO 上的任意一点作平行于底面的截面，并以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的最大表面
积.
12．（24-25 高一下·广东广州·期中）如图，圆锥PO 的底面直径和高均是2cm，过PO 上的一点O¢ 作平行于底面的
截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．
(1)若O¢ 是PO 的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积；
(2)当OO¢ 为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值．
1．（24-25 高一下·福建厦门·期末）某组合体的上、下部分分别是圆台和圆柱.圆台和圆柱的高相等，且圆台的下底
面与圆柱的上底面重合，圆台的上底面半径是下底面半径的一半，则圆台与圆柱的体积之比为（ ）
A．5
12
B．7
12
C．5
4
D．7
4
2．（24-25 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”
指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.利用
祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的
示意图，其中曲线AOC 和BOD 均是以3 2 为半径的半圆，平面AOC 和平面BOD 均垂直于平面ABCD，用任意
平行于底面ABCD 的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体积是（ ）
（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱）
A．36 2
B．72 2
C．36π
D．72π
3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，E，F，G 分别是
1
1
C D ，AD ，
1
CC 的中点，过E，
F，G 三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（ ）
A．13
16
B．59
72
C．119
144
D．49
72
4．（24-25 高一下·河北邢台·阶段练习）已知正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的所有顶点都在球O 的表面上，且球心O
在平面ABCD 内，若
5 2
AB =
，
1
1
4 2
A B =
，则正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的体积是（ ）
A．61
B．122
C．183
D．366
5．（24-25 高一下·浙江温州·期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为2 和4，侧棱长为4，则它的体积是
（ ）
A．28 14
3
B．112
3
C．28 14
D．112
考点二
体积问题
6．（2025·四川绵阳·模拟预测·多选）正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
棱长为2，E 为
1
CC 中点，F 为平面
1
1
BCC B 上的动点
（在四边形
1
1
BCC B 内部及其边界）且满足
1
/ /
A F
平面
1
AD E ，则下列正确的是（ ）
A．动点F 的轨迹长度为
2
2
B．三棱锥
1
1
A
CC F
-
的体积范围为2 4
,
3 3
é
ù
ê
ú
ë
û
C．三棱锥
1
F
AD E
-
的体积为定值
D．当三棱锥
1
1
A
CC F
-
的体积最小时，其外接球的表面积为14π
7．（24-25 高二下·广东揭阳·期末·多选）用半径为R 的圆形铁皮剪出圆心角为q 的扇形（以圆形铁皮的半径为半径
的扇形），制成一个圆锥形容器SO ，底面圆O 的半径为r ．则下列说法正确的是（ ）
A．当
3
2
r =
，且圆锥SO 的侧面积为3π 时，圆锥的体积
3 7π
8
V =
B．当
3
2
r =
，且圆锥SO 的侧面积为3π 时，过圆锥SO 的顶点S 所作的截面中，截面面积的最大值为3 7
4
C．当
3
R =
，且圆锥SO 的侧面积为3π 时，圆锥SO 能在棱长为4 的正四面体内任意转动
D．当
2 6 π
3
q =
时，圆锥SO 的体积最大
8．（2025·湖北黄冈·二模）在正三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
1
6,
3,
AB
A B
A A
=
=
与平面ABC 所成角的正切值为1，则
该棱台的体积
．
9．（2025·辽宁·二模）我国古代《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童，关于“刍童”的体积计
算曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上
底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面
的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知刍童ABCD
EFGH
-
的外接球（球心在该刍童体
内）半径为5，且
3 3,
3,
4 3,
4
AB
AD
EH
EF
=
=
=
=
，则该刍童的体积是
.
10．（2025·湖南永州·模拟预测）三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的体积为1，P 点为四边形
1
1
BB C C 的中心，则四面体
1
1
A
B PB
-
的体积与三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的体积比为
．
11．（2025·河南·三模）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，AB ^平面
1
1
BCC B ，四边形
1
1
BCC B 为菱形．
(1)证明：
1
1
B C
AC
^
；
(2)若
1
60
B BC
Ð
=
°，
4
AB =
，二面角
1
1
A
B C
B
-
-
的余弦值为
21
7
，求三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的体积．
12．（24-25 高一下·安徽阜阳·期中）如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，AB
AC
^
，D ，E 分别为BC ，
1
1
A B 的中
点．
(1)求证：
/ /
DE
平面
1
1
A ACC ；
(2)求证：AB
DE
^
．
(3)若
1
3
AA =
，
2
AB
AC
=
=
，求三棱锥A
BCE
-
的体积．
1．（24-25 高一下·浙江衢州·期末）在
ABC
V
中，
2,
45
AB
C
=
=
°，PA ^平面ABC ，且
2
PA =
，则三棱锥P
ABC
-
外接球的表面积为（ ）
A．2π
B．4 3π
C．12π
D．36π
2．（23-24 高三上·天津东丽·阶段练习）在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AA =
，
1
AB = ，
3
AC =
，
150
BAC
Ð
=
° ，该直三棱柱的外接球表面积为（ ）
A．16π
B．29π
C．32π
D．36π
3．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）在三棱锥P
ABC
-
中，
ABC
V
为等边三角形，
3
PA
PB
PC
=
=
=
，
PA
PB
^
，则三棱锥P
ABC
-
的外接球的体积为（ ）
A．27
2 p
B．27 3
2
p
C．27 3p
D．27p
4．（24-25 高二下·湖南永州·期末）如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
2
AB =
，P 是正方形ABCD 内部(含边界)
的一个动点，若
1
2
DP
DB
=
uuur
uuur
，则三棱锥
1
P
BB C
-
外接球的表面积为（ ）
A．8π
B．6π
C．4 2π
D．4π
考点三
外接球问题
5．（24-25 高一下·吉林长春·期末·多选）已知正三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
是由一个平面截棱长为6 的正四面体所得，其
中
6
AB =
，
1
2
A A =
，以点A 为球心，2 7 为半径的球面与侧面
1
1
BCC B 的交线为曲线Γ ，P 为Γ 上一点，则（ ）
A．点A 到平面
1
1
BCC B 的距离为2 6
B．曲线Γ 的长度为4π
C．线段CP 的最小值为2 3
2
-
D．所有线段AP 所形成的曲面面积为4 7π
3
6．（24-25 高一下·甘肃白银·期末·多选）在四棱锥P
ABCD
-
中，PC ^ 平面ABCD ，
90
ABC
ADC
Ð
= Ð
=
o ，
120
BCD
Ð
=
o ，
4 2
PC =
，
10
AB =
，
8
AD =
，则（ ）
A．四边形ABCD 外接圆的半径为2 7
B．四边形ABCD 外接圆的半径为8 2
C．四棱锥P
ABCD
-
外接球的体积为288p
D．四棱锥P
ABCD
-
外接球的体积为144p
7．（2025·陕西西安·模拟预测）已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1 和2，它的两个底面的圆周在同
一个球的球面上，则该球的表面积为
．
8．（2025·甘肃白银·三模）已知正三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
的侧棱长为10 ，上、下底面的边长分别为
3 ，2 3 ，则
三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
的外接球的表面积为
．
9．（24-25 高一下·江西抚州·期末）如图，在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
1
2
A B =
，
6
AB =
，若该四棱台的体积
为52 3
3
，则该四棱台的外接球表面积为
．
10．（24-25 高一下·陕西·期末）三棱锥ABCD 中，
2
AB =
，
4
ACB
p
Ð
=
，
6
ADB
p
Ð
=
，那么三棱锥ABCD 外接球的
表面积的最小值是 ．
11．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在梯形ABCD 中，
/ /
AB
CD ，
2
6
CD
AB
=
=
，
2
AD =
，
60
ADC
Ð
=
° ，
E ，F 分别为线段AB ，CD 上异于端点的一点，EF
AB
^
，将梯形AEFD 沿EF 翻折至与梯形EBCF 垂直的位
置，得到多面体ABEDCF ．
(1)若BD
EC
^
，证明：DF
FC
=
．
(2)若
/ /
CD
平面ABF ，求直线BC 与平面ABF 所成角的正弦值．
(3)求四面体ACDF 的外接球的半径的最小值．
12．（2025·陕西延安·模拟预测）如图，三棱锥P
ABC
-
中，PA ^底面ABC ，E 是PB 的中点，F 是PC 的中点，
EF
AC
^
．
(1)求证：平面AEF ^ 平面PAC ；
(2)若
2
AC =
，
5
AB =
，且二面角A
PB
C
-
-
的正弦值为2 6
5
，求三棱锥P
ABC
-
外接球的表面积．
1．（2025·吉林长春·模拟预测）所有棱长都是2 的正四棱锥的内切球半径为（ ）
A．
2
3
B．
3
3
C．
6
2
2
-
D．
6
2
4
+
2．（2025·四川泸州·模拟预测）已知圆锥PO 的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的半径为（ ）
A．
2
4
B．
2
3
C．
2
2
D．
2
6
3．（24-25 高三下·福建泉州·阶段练习）如图，三棱锥P
ABC
-
中，
2
2
2 2
AB
PB
CB
=
=
=
，
2
APB
ACB
p
Ð
= Ð
=
，已知平面EFG ∥平面ABC ，且
3
PC
PG
=
，三棱锥P
ABC
-
的内切球同时与平面EFG 也相
切，则PC = （ ）
A．
6
2
-
B．
6
1
-
C．13
1
-
D．13
2
-
4．（2025·云南·三模）正三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与
上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（ ）
A．144 3
B．153 3
C．225 3
D．234 3
5．（2025·湖南长沙·三模）已知圆锥的母线长为 1，其侧面展开图扇形的圆心角为
3π ，则该圆锥内切球半径为
（ ）
A．
3
3
2
-
B．
3
1
2
-
C．2
3
-
D．
3
1
2
-
考点四
内切球问题
6．（24-25 高三上·江苏·阶段练习）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底
面半径为1r ，
2r ，且1
2
1
r r×
= ，则它的内切球的表面积为
．
7．（2025·山西·三模）一边长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
，如图所示，则两个三棱锥
1
1
D
A BC
-
，
1
1
B
AD C
-
的
公共部分的内切球的表面积为
．
