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第二十二章 二次函数 整理与复习（单元测试（进阶卷））
一、单选题（每题3 分，共30 分）
1．（21-22 九年级上·山西·期中）若
是关于x 的二次函数，则a 的值是（ ）
A．1
B．
C．
D．
或
2．（2024·浙江丽水·一模）在函数图象与性质的拓展课上，小明同学借助几何画板探索函数
的图象，请你结合函数解析式的结构，分析他所得到的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 九年级下·浙江杭州·阶段练习）设二次函数
（
，m，k 是实数），则
（ ）
A．当
时，函数y 的最大值为
B．当
时，函数y 的最大值为
C．当
时，函数y 的最大值为
D．当
时，函数y 的最大值为
4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数
的部分图象如图所示，对称轴为直线
，则下列结论中：
①
②
（m 为任意实数） ③
④若
、
是抛物线上不同的两个点，则
．其中正确的结论有（ ）
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．（23-24 八年级下·重庆九龙坡·期末）已知抛物线
上有两点
，若
，且
，则
与
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
6．（23-24 九年级下·浙江·阶段练习）在数学实践活动课中，某小组的四位同学对二次函数
为常数，且
的图象及其性质进行研究，分别得到如下结论：
小赵：该函数图象开口向上；
小钱：该函数的图象经过点
；
小孙：该函数的图象经过点
；
小李：该函数的图象的对称轴为直线
．
若这四个结论中只有一个是错误的，则得到错误结论的同学是（ ）
A．小赵
B．小钱
C．小孙
D．小李
7．（23-24 九年级下·河北邯郸·期末）已知二次函数
，把图象向右平移
个单位长度后，使
两个函数图象与
轴的交点中，相邻的两个交点之间的距离都相等，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
8．（23-24 八年级下·福建福州·期末）直线
经过第一、二、四象限，那么
的图像大致
为( )
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A．
B．
C．
D．
9．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知关于x 的函数
的图象与坐标轴共有两个不同
的交点，则实数a 的可能值有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰
中，
，
，动点E，F
同时从点A 出发，分别沿射线
和射线
的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E 停止运动时，点F
也随之停止运动，连接
，以
为边向下做正方形
，设点E 运动的路程为
，正方形
和等腰
重合部分的面积为下列图像能反映y 与x 之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每题4 分，共20 分）
11．（2024·湖北武汉·三模）已知抛物线
（a，k 为常数）的
与
的部分对应值如表所示；
下列四个结论：①
②若
，则该抛物线与
轴没有交点；③若
，则
；④若
，则
，
其中正确的结论是 （填写序号）．
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12．（23-24 九年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于x 的二次函数
，当
时，函
数y 的取值范围为 ．
13．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线
的对称轴在y 轴右侧，当
时，y 随x
增大而增大，若抛物线上的点纵坐标
，则m 的取值范围为
14．（2024·上海·模拟预测）将抛物线
沿直线
方向平移
个单位后的解析式为
．
15．（2024·吉林长春·二模）长春公园拟建一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着
喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，当喷水管离地面
3.2 米喷水时，水柱在离水管水平距离3 米处离地面竖直高度最大，最大高度是5 米．此喷水管可以上下调
节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1 米，则
喷水管需要向下平移 米．
三、解答题（16-18 题每题4 分，19 题6 分，20 题7 分，21、22 题每题8 分，23 题9 分，共50 分）
16．（2024·广东广州·三模）先化简，再求值：
，其中
是抛物线
与
轴交点
的横坐标．
17．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系
中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完
美点”．抛物线
（a 为常数且
）与y 轴交于点A．
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(1)若
，求抛物线的顶点坐标；
(2)若线段
（含端点）上的“完美点”个数大于3 个且小于6 个，求a 的取值范围；
(3)若抛物线与直线
交于M、N 两点，线段
与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4 个“完美点”，
求a 的取值范围．
18．（23-24 九年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图
象与
轴交于点
．
(1)若抛物线经过点
，求此抛物线的对称轴．
(2)点
为
轴上一点，
，过点
且垂直于
轴的直线与抛物线交于
、
两点，若
，求点
的纵坐标
的取值范围．
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19．（23-24 九年级下·湖北宜昌·阶段练习）某影像公司经过市场调研，发现制作某种毕业相册的销量y
（套）是售价x（元/套）的一次函数，其售价、销售量、销售利润w（元）的三组对应值如下表：
售价x（元/套）
130
150
180
销售量y（套）
210
150
60
销售利润w（元）
10500
10500
6000
注：销售利润
销售量（售价成本价）
(1)求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)求制作该毕业相册的成本价；
(3)当售价为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？
(4)已知影像公司在七月份为某校九年级制作这种毕业相册的过程中，尽可能让利于学生，最后所得利润为
9600 元，求这种毕业相册的售价．
20．（23-24 九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，平面直角坐标系
中，直线
与坐标轴交于
，
两点，点
在
轴上，点
在
轴上，抛物线
经过点
，
．
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(1)根据图象，直接写出不等式
的解集．
(2)若对称轴上有一点
，当
最小时，则点
的坐标是
．
21．（23-24 九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数
，其中
，
；
(1)若
时，
二次函数图象经过点
，
两点中的一个点，求该二次函数解析式；
二次函数图象的顶点为
，求
的值；
(2)当
，
，二次函数图象经过点
，
，求证：
．
22．（2024·湖北武汉·二模）某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管
，安装在水
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管顶端A 处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O 点为
坐标原点，水平方向为x 轴，
所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．x 轴上的点C，D 为水柱的落
水点，若落地直径
，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为
处达到最高
．
(1)求图1 中右边抛物线的解析式；
(2)计划在图1 中的线段
上的点B 处竖立一座雕像，雕像高
，若想雕像不碰到水柱，请求出线
段
的取值范围；
(3)圆形水池的直径为
，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图
2），若右侧抛物线顶点始终在直线
上，当喷出的抛物线水柱最大高度为
时，水柱会喷到圆
形水池之外吗？请说明理由．
23．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线
与
轴交于点
和点
，与
轴交于
点
，点
在抛物线上．
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(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点
在第二象限内，且
的面积为3 时，求点
的坐标；
(3)在直线
上是否存在点
，使
是以
为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点
的坐
标；若不存在，请说明理由．
