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第5 讲 导数中函数的构造问题（新高考专用）
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】导数型构造函数............................................................................................................2
【考点二】构造函数比较大小.........................................................................................................3
【专题精练】.................................................................................................................................5
考情分析：
目录
1
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导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特
征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·全国·高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、解答题
3．（2022·全国·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
，求a 的取值范围；
(3)设
，证明：
．
4．（2021·全国·高考真题）设函数
，已知
是函数
的极值点．
（1）求a；
（2）设函数
．证明:
．
【考点一】导数型构造函数
一、单选题
1．（2023·河北唐山·一模）已知函数
,则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
真题自测
考点突破
2
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C．
D．
2．（23-24 高三上·江苏常州·期末）已知定义在
上的函数
的导数为
，
，且对任意的
满足
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2023·江苏南通·模拟预测）已知O 为坐标原点，曲线
在点
处的切线与曲线
相切
于点
，则（ ）
A．
B．
C．
的最大值为0
D．当
时，
4．（2023·湖北·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2023·山东威海·一模）若不等式
对任意
成立,则实数a 的取值范围为
.
6．（2022 高三·全国·专题练习）已知函数
，若对任意正数
，当
时，都
有
成立，则实数m 的取值范围是 ．
四、解答题
7．（23-24 高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数
．若函数
有两个不相等的零
点
．
3
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(1)求a 的取值范围；
(2)证明：
．
8．（2023·湖北武汉·二模）已知函数
，其中
．
(1)证明：
恒有唯一零点；
(2)记（1）中的零点为
，当
时，证明：
图像上存在关于点
对称的两点．
规律方法：
(1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝.
(3)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
(4)出现f′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝.
【考点二】构造函数比较大小
一、单选题
1．（23-24 高二上·河北石家庄·期末）已知
，则a，b，c 大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·广东·二模）已知
，
，
，则（参考数据：
）（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（23-24 高二下·福建莆田·开学考试）已知
为函数
的导函数，当
时，有
恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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4．（2023·重庆·一模）已知m，n 关于x 方程
的两个根，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2022·福建龙岩·模拟预测）设
，则
的大小关系为 .（从小到
大顺序排）
6．（2023·山西·模拟预测）已知定义在R 上的可导函数
的导函数为
，满足
，且
，
，则不等式
的解集是 ．
四、解答题
7．（2023 高三·全国·专题练习）已知
，函数
有两个零点，记为
，
．
(1)证明：
．
(2)对于
，若存在
，使得
，试比较
与
的大小．
8．（2023 高三·全国·专题练习）设函数
的两个零点是
，求证：
．
规律方法：
构造函数比较大小的常见类型
(1)构造相同的函数，利用单调性，比较函数值的大小；
(2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小．
一、单选题
1．（2022·广东汕头·一模）已知
，
，
，则以下不等式正确的是（ ）
专题精练
5
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A．
B．
C．
D．
2．（2023·江西萍乡·二模）已知
，则这三个数的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高三上·福建厦门·期末）已知定义在
上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足
且
为偶函数.
为奇函数，若
，则不等式
的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二下·广东佛山·期中）已知
，
，
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·辽宁·模拟预测）已知函数f（x）为定义在R 上的偶函数，当
时，
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（22-23 高三下·江西南昌·阶段练习）已知定义在
上的函数
满足
，
为
的导函数，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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7．（22-23 高二上·重庆沙坪坝·期末）已知
是函数
的导函数，
，且对于任意的
有
．则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·辽宁·模拟预测）已知函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，若对任意
有
，
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（22-23 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数
，若
，则下列选项正确的是
（ ）
A．
B．
C．当
时，
7
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D．若方程
有一个根，则
10．（22-23 高二下·重庆沙坪坝·开学考试）若函数
的定义域为
，其导函数为
，满足
恒成立，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（22-23 高二下·江苏南京·阶段练习）若两曲线
与
存在公切线，则正实数a 的取值
可以是（ ）
A．1
B．e
C．e2
D．3e
三、填空题
12．（23-24 高三上·上海浦东新·期中）定义在
上的函数
满足
，其中
为
的导函数，若
，则
的解集为 .
13．（2022 高三·全国·专题练习）如果
，那么
的取值范围是
．
14．（23-24 高三上·河南焦作·开学考试）已知定义在R 上的函数
及其导函数
满足
，若
，则满足不等式
的x 的取值范围是 ．
四、解答题
15．（22-23 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数
，
.
(1)若对于任意
，都有
，求实数
的取值范围；
(2)若函数
有两个零点
，求证：
.
16．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数
．
8
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(1)若
在
上单调递增，求实数
的取值范围；
(2)当时，，不等式是否恒成立？并说明理由．
9
