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专题 02 常用逻辑用语
【题型归纳目录】
题型一：充分条件与必要条件的判断
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
题型四：根据命题的真假求参数的取值范围
题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定
【高考考情分析】
考点要求 考题统计 复习目标
2024年新高考II卷第2题，5
分
1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意
（1）必要条件、充分
2023年新高考I卷第7题，5
条件、充要条件； 义；
分
（2）全称量词与存在 2、理解判定定理与充分条件的关系、性质定
2023年天津卷第2题，5分
量词；
理与必要条件的关系；
（3）全称量词命题与
2023年全国甲卷第7题，5分
3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确
存在量词命题的否定． 2022年天津卷第2题，5分
对两种命题进行否定．
2021年全国甲卷第7题，5分【知识点思维导图】【知识点梳理】
知识点一、充分条件、必要条件、充要条件
1、定义
如果命题“若 ，则 ”为真（记作 ），则 是 的充分条件；同时 是 的必要条件．
2、从逻辑推理关系上看
（1）若 且 ，则 是 的充分不必要条件；
（2）若 且 ，则 是 的必要不充分条件；
（3）若 且 ，则 是 的的充要条件（也说 和 等价）；
（4）若 且 ，则 不是 的充分条件，也不是 的必要条件．
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质： ，则 是 的充分条件，同时 是
的必要条件．所谓“充分”是指只要 成立， 就成立；所谓“必要”是指要使得 成立，必须要 成
立（即如果 不成立，则 肯定不成立）．
题型一：充分条件与必要条件的判断
【例1】（2024年北京高考数学真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的
（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；综上所述，“ ”是“ 或 ”的必要不充分条件．
故选：B．
【变式1-1】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】C
【解析】对A，当 时，则 ，
所以 ，解得 或 ，即必要性不成立，故A错误；
对C，当 时， ，故 ，
所以 ，即充分性成立，故C正确；
对B，当 时，则 ，解得 ，即必要性不成立，故B错误；
对D，当 时，不满足 ，所以 不成立，即充分性不立，故D错误．
故选：C．
【变式1-2】（2024年天津高考数学真题）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据立方的性质和指数函数的性质， 和 都当且仅当 ，所以二者互为充要条件．
故选：C．
【变式1-3】（2022年新高考天津数学高考真题） “ 为整数”是“ 为整数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】当 为整数时， 必为整数；
当 为整数时， 不一定为整数，
例如当 时， ．
所以“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件．
故选：A．
【变式1-4】（2023年北京高考数学真题）若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解法一：
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 ．
所以“ ”是“ ”的充要条件．
解法二：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 ．
所以必要性成立．
所以“ ”是“ ”的充要条件．
解法三：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以必要性成立．
所以“ ”是“ ”的充要条件．
故选：C
【变式1-5】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲： ，乙： ，则
（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当 时，例如 但 ，
即 推不出 ；
当 时， ，
即 能推出 ．
综上可知，甲是乙的必要不充分条件．
故选：B
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
【例2】（江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高三上学期学业质量统测（一）数学试题）命题
， ，若 的一个充分不必要条件是 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】由于 的一个充分不必要条件是 ，故 是 的充分不必要条件，
故 ，故 ，
故选：D
【变式2-1】（江西省南昌市2024届高三第三次模拟测试数学试题）已知 “ ”， “
”，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若 是 的充分不必要条件，故 在 时恒成立，
故得 ，令 ，由二次函数性质得 在 时单调递增，
则 ，可得 ，故B正确．
故选：B
【变式2-2】（山东省实验中学2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知 ，
若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 ，所以 ．
故选：D．
【变式2-3】（山东省烟台市2024年高考适应性练习（二模）数学试题）已知 ，
，若 是 的充分不必要条件，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】命题 ，即 ，
因为 是 的充分不必要条件，
显然当 时满足 ，
所以当 时 恒成立，
则 在 上恒成立，
又函数 在 上单调递增，且 ，
所以 ．
故选：A
【变式2-4】（浙江省宁波市余姚市2024届高三上学期期末数学试题）命题“ ， ”
为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若命题“ ， ”为假命题，
则命题的否定“ ， ”为真命题，
即 ， 恒成立，
， ，当 ，取得最大值 ，
所以 ，选项中只有 是 的真子集，
所以命题“ ， ”为假命题的一个充分不必要条件为 ．
故选：D
知识点二．全称量词与存在童词
（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对 中的任意一个 ，有
成立”可用符号简记为“ ”，读作“对任意 属于 ，有 成立”．
（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，
并用符号“ ”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在 中的一个 ，使
成立”可用符号简记为“ ”，读作“存在 中元素 ，使 成立”（存在量
词命题也叫存在性命题）．
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
【例3】（2020年山东省春季高考数学真题）下列命题为真命题的是（ ）
A． 且 B． 或
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】A项：因为 ，所以 且 是假命题，A错误；
B项：根据 、 易知B错误；
C项：由余弦函数性质易知 ，C错误；
D项： 恒大于等于 ，D正确，
故选：D．
【变式3-1】（广西南宁市2024-2025学年高三上学期普通高中毕业班摸底测试数学试题）已知命题
， ， ， ，则（ ）
A．p和q都是真命题
B．p和 都是真命题
C． 和q都是真命题
D． 和 都是真命题
【答案】B
【解析】当 时，命题 成立，所以命题p是真命题，命题 是假命题；当 时，命题 不成立，所以命题q是真命题，命题 是真命题．
故选：B．
【变式3-2】（重庆市育才中学校2025届高三上学期定时训练（一）数学试题）已知命题 ，
命题 ：函数 （ 且 ）过定点 ，则（ ）
A．p和q都是真命题 B． 和q都是真命题
C．p和 都是真命题 D． 和 都是真命题
【答案】B
【解析】由指数函数性质可知， 恒成立，故 为假命题，所以 为真命题；
因为 ，所以 过定点 ， 为真命题．
故选：B
【变式3-3】（河北省承德市承德县第一中学等校2024-2025学年高三上学期摸底联考数学试题）已知命题
；命题 ，则（ ）
A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题
C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题
【答案】C
【解析】对于命题 ，因为 ，所以 ，所以命题 为真命题， 为假命题；
对于命题 ，当 时， ， ， 不成立，
所以命题 为假命题， 为真命题．
故选：C．
【变式3-4】（陕西省西安市陕西师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题）已知命
题 ： ， ；命题 ： ， ，则（ ）
A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题
C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题
【答案】C【解析】当 时， ，所以命题 为假命题，则命题 为真命题；
当 时， ，所以命题 为真命题，则命题 为假命题；
所以 和 都是真命题．
故选：C
题型四：根据命题的真假求参数的取值范围
【例4】（江苏省苏州中学、海门中学、姜堰中学、淮阴中学等四校2024-2025学年高三下学期2月联考数
学试卷）若命题“ ”是假命题，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】命题“ ”是假命题，
则 是真命题，
∴ ，
解得： 或 ，
即a的范围是
故选：D．
【变式4-1】（2025届河南省河南部分重点高中高三年级青桐鸣大联考模拟预测数学试题）已知命题“
”是假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知原命题为假命题，那么它的否定“ ”为真命题．
对于一元二次函数 ，要使其对于任意实数 都大于等于 ．因为 恒成立，所以 ，即 ，解得 ．
故选：A．
【变式4-2】（多选题）（四川省达州市通川区2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题）已知命
题“ ”为真命题，则实数 的值可以是（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】CD
【解析】因为命题“ ”为真命题，
所以 ．
令 ，
根据增函数减去减函数知： 为增函数，
当 时， 有最小值 ，
故实数 的取值范围为 ．
故选：CD．
【变式4-3】（多选题）（黑龙江省百师联盟2024届高三冲刺卷（五）数学试卷）已知命题“ ，
”为真命题，则实数m的可能取值是（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】AB
【解析】因为命题“ ， ”为真命题，
所以 ， ，
令 ， ，则 ，可知 为增函数，当 时， 有最小值 ，
故实数m的取值范围为 ，
故选：AB．
【变式4-4】（东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2023-2024学年高三下学期
第四次联合模拟考数学试题）命题“任意 ， ”为假命题，则实数 的取值范围是
．
【答案】
【解析】若命题任意“ ， ”为假命题，
则命题存在 ， 为真命题，
因为 时， ，
令 ，则 ，
则 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
知识点三．含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题 的否定 为 ， ．
（2）存在量词命题 的否定 为 ．
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．
题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定
【例5】（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））命题“存在一个无理数，它的平
方是有理数”的否定是
A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
【答案】B
【解析】由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它
的平方不是有理数．
考点：命题的否定．
【例6】（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷精编版））命题“ ，使
得 ”的否定形式是
A． ，使得 B． ，使得
C． ，使得 D． ，使得
【答案】D
【解析】 的否定是 ， 的否定是 ， 的否定是 ．故选D．
【考点】全称命题与特称命题的否定．
【变式6-1】（吉林省吉林地区普通中学2024-2025学年高三上学期第二次模试考试数学试题）命题
，则 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】命题 是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以 为： ．
故选：C
【变式6-2】（福建省漳州市2025届高三毕业班第二次质量检测数学试题）命题“ ”的否
定是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为命题的否定为“改量词，否结论”，
所以命题“ ”的否定是“ ”．
故选：D
【变式6-3】（江西省景德镇市2025届高三上学期第二次质检数学试题）命题： ，
的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】命题“ ”的否定为“ ”．
故选：B．
【方法技巧与总结】
1、从集合与集合之间的关系上看
设 ．
（1）若 ，则 是 的充分条件（ ）， 是 的必要条件；若 ，则 是 的充分
不必要条件， 是 的必要不充分条件，即 且 ；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小 大”．
（2）若 ，则 是 的必要条件， 是 的充分条件；
（3）若 ，则 与 互为充要条件．
2、常见的一些词语和它的否定词如下表
原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 至多 至多
（所有） 有一个 有一个(=) (>) (<)
否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 一个都
(≠) (≤) (≥) 两个 没有
（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立，要判断
全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个 ，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个
反例．
x
（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个
0
使之成立即可，否则这
个存在量词命题就是假命题．【强化测试】
1．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为 ， ．
故选：B
2．（2025·广东·一模）已知 ，设命题 ，命题 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】取 ，满足 ，但 ，必要性不成立，
由基本不等式得 ，由题可知 ，则 ，解得 ，充分性成立，
则 是 的充分不必要条件，
故选：A
3．（2025·江西南昌·一模）设 关于x的方程 有实数解，则p是q的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，即 ．
因为 ，
所以由 可以推出 ，由 不可以推出 ，所以 是 的充分不必要条件．
故选：A．
4．（24-25高三下·江苏常州·开学考试）已知平面向量 ， 则“ ”是“ ， 共线”的
（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】若 则 ， 共线，故充分性成立；
若 ， 共线，不一定得到 ，
如 ， ，显然满足 ， 共线，
但是不存在实数 使得 ，故必要性不成立；
所以“ ”是“ ， 共线”的充分不必要条件．
故选：A
5．命题“ ， ”的否定是（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】命题“ ， ”为全称量词命题，
其否定为： ， ．
故选：A
6．已知命题 和命题 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要
条件
【答案】A
【解析】 ，
，若命题 为真，则 ；若命题 为真，则 ．
所以由 可以推出 ，由 不可以推出 ，所以 是 的充分不必要条件．
故选：A．
7．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知等比数列 的公比为 ，且 ，则 的一个充分不必
要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意， 成立时，有 ，
结合 ，得 ，即 ．
①当 时，可得 ，所以 ，即 ．
②当 时，若 为偶数，则 ，可得 ，所以 ；
若 为奇数，则 ，可得 ，所以 ．因此不存在 满足 成立．综上所述，
成立的充要条件是 ．
对于A，因为 ，所以 ，则 ，故是充要条件，A错误；
对于B，因为 ，所以 ，则 或 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，B错误；
对于C，因为 ，即 ，所以 ，
显然“ ”是“ ”的必要不充分条件，C错误；
对于D，因为 ，由 得 ，显然“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以D正确．
故选：D．
8．（24-25高三下·广东·开学考试）已知小明和小王从5张编号为 的卡牌中依次不放回各抽取2张卡
牌，设甲：小明手中的两张卡牌编号和为3，乙：小王手中的两张卡牌编号均不小于3，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【解析】由小明手中的两张卡牌编号和为3，可知小明手中的两张卡牌编号分别为1，2，
根据题意此时小王手中的两张卡牌编号可能为 中的两个，均满足编号不小于3，充分性成立，
若小王手中的两张卡牌编号均不小于3，
例如3，4，此时小明手中的卡牌编号可能有5，不满足小明手中的两张卡牌编号和为3，
故必要性不成立，
故甲是乙的充分条件但不是必要条件．
故选：A．
9．“ ”是函数 在 上是增函数的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为 在 上是增函数，可得 ，即 ，
显然“ ”能推出“ ”，反之则不成立，
所以“ ”是函数 在 上是增函数的充分不必要条件．
故选：A．
10．（2025·广东佛山·模拟预测）已知命题p： ， ，命题q：“ ”是“ ”的充
分不必要条件，则（ ）A． 假q假 B．p真 假 C．p假q真 D．p真q真
【答案】A
【解析】命题p：因为当 时， 成立，所以p为真命题， 为假命题．
命题q：“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，所以q为假命题．
故选：A．
11．（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．命题“若 ，则 ”为真命题
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．已知命题 “若 ，则方程 有实数根”，则命题 的否定为真命题
D．命题“若 ，则 且 ”为真命题
【答案】ABD
【解析】对于A， 时，则 ，故A正确；
对于B， 时， ；当 时， 或 ，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件，B正确；
对于C，方程 有实数根时， ，
时，必有 ，故命题 “若 ，则方程 有实数根”为真命题，
则命题 的否定为假命题，C错误；
对于D， 时， 且 ，
故命题“若 ，则 且 ”为真命题，D正确，
故选：ABD
12．（多选题）（24-25高三下·湖南·开学考试）设 ，则使得“ ”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由题意可得 ，函数 单调递增，故 ，
对于A， ，故“ ”是“ ”的充要条件，故A错误；
对于B，由 得 ，能推出 ，反之不成立，所以“ ”是“
”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，由 可得 ，故 ，反之不成立，故“ ”是“
”的充分不必要条件，故C正确；
对于D， 或 ，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故D正确，
故选：BCD．
13．（多选题）（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合 ，若“ ”是“
”的充分条件，则实数 的取值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】BC
【解析】由题意得 ，解得 ，则BC符合题意．
故选：BC．14．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．“ ”的一个充分不必要条件是“ ”
C．设 ，则方程 有两个不等的负实数根的充要条件是
D．“ ”是“ ”的既不充分又不必要条件
【答案】BC
【解析】对于A，由“ ”能得出“ ”，反之不成立，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故 A错误；
对于B，由 得 或 ，所以由“ ”能得出“ ”，反之不成立，
故“ ”的一个充分不必要条件是“ ”，故 B正确；
对于C，若方程 有两个负实数根，则 ，解得： ，故C正确；
对于D， 等价于 或 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故 D错误．
故选：BC．
15．若“关于 的方程 在 内都有解”是真命题，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为“关于 的方程 在 内都有解”是真命题，
所以 在 内都有解．
由 ，得 ，所以 ，所以 ，则 的取值范围是 ．
故答案为： ．
16．若命题“ ，使得 成立”是真命题，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由 ， ，当且仅当 ，即 时等号成立，
命题“ ，使得 成立”是真命题，所以 ，
所以 ，所以实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
17．（2024·上海长宁·一模）已知 ，若 是 的充分条件，则实数m的取值范围
是 ．
【答案】
【解析】设 ，
则 在 单调递增，又 ，
所以 ，即 ，故 ．
则 ．
由题意 是 的充分条件，则 ，
所以有 ，故实数m的取值范围是 ．
故答案为： ．18．（2024·西藏拉萨·一模）已知命题：“ ， ”为真命题，则 的取值为
．
【答案】
【解析】因为命题：“ ， ”为真命题，
即等式 恒成立，
则 ，
解得 ，
故答案为： ．
19．“三角形全等”是“三角形相似”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”）
【答案】充分不必要
【解析】由“三角形全等”可得“三角形相似”，故充分性成立；
由“三角形相似”不能推得“三角形全等”，
综上可得，“三角形全等”是“三角形相似”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
