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专题 02 平面向量
（三大考点，83 题）
考点分类 五年考情（2017-2026） 命题规律
1. 题型以选择题为主，整体难度偏
2020山东卷、2020海南卷、2018
低。2. 依托三角形、平行四边形等几
考点01 平面向量
全国Ⅰ卷、2017北京卷、2017全 何图形，考查向量加减、数乘的线性分
的线性运算
国Ⅱ卷 解。3. 结合向量共线、反向等性质，
综合考查充分、必要条件判断。
2026全国一卷、2026上海卷、
2026天津卷、2025全国一卷、 1. 选择题、填空题均有考查，填空题
2025上海卷、2024上海卷、2024 多为求值、求解参数范围类题型。
考点02 平面向量 天津卷、2023天津卷、2023上海 2. 核心考查平面向量基本定理、向量
的基本定理及坐标 坐标运算、向量共线的坐标判定。
卷、2022新高考全国Ⅰ卷、2022
表示 3. 常结合三角形、正方形以及实际生
天津卷、2021全国乙卷、2018全
活情境命题，兼顾参数求解与几何最值
国Ⅲ卷、2017山东卷、2017江苏 问题，题型灵活。
卷
2026全国二卷、2026上海卷、
2025北京卷、2025天津卷、2025
全国二卷、2025上海卷、2024新
课标Ⅰ卷、2024新课标Ⅱ卷、
2024全国甲卷、2024北京卷、
2023北京卷、2023全国甲卷、
2023全国乙卷、2023新课标Ⅰ
卷、2023新课标Ⅱ卷、2022新高 1. 本专题考查题量最大，选择题、填
考全国Ⅱ卷、2022全国甲卷、 空题为主要题型，是平面向量的核心重
2022全国乙卷、2022北京卷、 难点。
2. 重点考查数量积运算、向量模长、
考点03 平面向量 2022上海卷、2021新高考全国Ⅰ
夹角、垂直判定以及向量投影计算。
的数量积 卷、2021新高考全国Ⅱ卷、2021
3. 常结合三角形、多边形、平面动点
浙江卷、2021天津卷、2021北京
考查取值范围与最值，也会融合常用逻
卷、2021全国甲卷、2021全国乙 辑用语命题，综合性较强，区分度明
卷、2020山东卷、2020全国Ⅰ 显。
卷、2020全国Ⅱ卷、2020全国Ⅲ
卷、2020北京卷、2020浙江卷、
2019全国Ⅰ卷、2019全国Ⅱ卷、
2019全国Ⅲ卷、2019北京卷、
2019天津卷、2019上海卷、2018
全国Ⅱ卷、2018浙江卷、2018天
津卷、2018北京卷、2017全国Ⅰ卷、2017全国Ⅱ卷、2017全国Ⅲ
卷、2017浙江卷、2017天津卷、
2017山东卷、2017北京卷
考点01 平面向量的线性运算
1. （2020·山东·高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所示），设
， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2. （2020·海南·高考真题）在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A． B． C． D．
3. （2018·全国I卷·高考真题）在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
4. （2017·北京·高考真题）设m,n为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5. （2017·全国II卷·高考真题）设非零向量 ， 满足 ，则
A． ⊥ B．C． ∥ D．
考点02 平面向量的基本定理及坐标表示
1. （2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量 ， 不共线，且 ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
2. （2026·上海·高考真题）已知 ， ，若 ，则 ____________.
3. （2026·天津·高考真题）已知 ， ，记 ．当 时， __________，
当 时， 的取值范围为__________．
4. （2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在
航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船
行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的
对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度
代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
级数 名称 风速大小（单位：m/s)
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.4
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风5. （2025·上海·高考真题）已知 ，若 ，则 __________．
6. （2024·上海·高考真题）已知 ，且 ，则 的值为______．
7. （2024·天津·高考真题）已知正方形 的边长为1， 若 ，其中 为实
数，则 ______；设 是线段 上的动点， 为线段 的中点，则 的最小值为______．
8. （2023·天津·高考真题）在 中， ， ，记 ，
用 表示 _________；若 ，则 的最大值为_________．
9. （2023·上海·高考真题）已知向量 ，则 _______________．
10. （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
11. （2021·全国乙卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则 _________．
12. （2022·天津·高考真题）在 中，点D为AC的中点，点E满足 .记 ，用
表示 ___________，若 ，则 的最大值为____________
13. （2018·全国III卷·高考真题）已知向量 ， ， ．若 ，则
________．
14. （2017·山东·高考真题）已知向量a=（2,6）,b= ,若a∥b,则 ____________.
15. （2017·江苏·高考真题）如图，在同一个平面内，向量 的模分别为 与 的夹角
为 ，且 与 的夹角为 ，若 ，则 _________．考点03 平面向量的数量积
1. （2026·全国二卷·高考真题）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2. （2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系 中， ， .设 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3. （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
4. （2024·北京·高考真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5. （2024·全国甲卷·高考真题）设向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
6. （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）A． B． C． D．1
7. （2023·北京·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
8. （2023·全国乙卷·高考真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．5
9. （2023·全国甲卷·高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10. （2023·全国甲卷·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
11. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
12. （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．5 D．6
13. （2022·全国乙卷·高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14. （2022·全国乙卷·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）A． B． C．1 D．2
15. （2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
17. （2021·浙江·高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
18. （2020·山东·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
19. （2020·全国III卷·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （
）
A． B． C． D．
20. （2020·全国II卷·高考真题）已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂直的是
（ ）A． B． C． D．
21. （2019·全国II卷·高考真题）已知向量 ，则
A． B．2
C．5 D．50
22. （2019·全国I卷·高考真题）已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为
A． B． C． D．
23. （2019·全国II卷·高考真题）已知 =(2,3)， =(3，t)， =1，则 =
A．-3 B．-2
C．2 D．3
24. （2018·浙江·高考真题）已知 、 、 是平面向量， 是单位向量．若非零向量 与 的夹角为 ，向
量 满足 ，则 的最小值是
A． B． C．2 D．
25. （2018·全国II卷·高考真题）已知向量 满足 ， ，则
A．4 B．3 C．2 D．0
26. （2018·天津·高考真题）如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则 的最小值为A． B． C． D．
27. （2018·天津·高考真题）在如图的平面图形中，已知 ,
则 的值为
A． B．
C． D．0
28. （2017·浙江·高考真题）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与
BD交于点O，记 ， ， ，则
A．I <I <I B．I <I <I C．I <I <I D．I <I <I
１ ２ ３ １ ３ ２ ３ １ ２ ２ １ ３
29. （2017·全国II卷·高考真题）已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则
的最小值是A． B． C． D．
30. （2026·上海·高考真题）在 中， 、 在边 上，且 ， ， 与 所
成的夹角为 ，则 的最大值为____________.
31. （2025·天津·高考真题） 中，D为AB边中点， ，则 ______（用
， 表示），若 ， ，则 _______
32. （2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量 若 ，则 ___________
33. （2025·上海·高考真题）在平面中， 和 是互相垂直的单位向量，向量 满足 ，向量 满
足 ，求 在 方向上的数量投影的最大值__________．
34. （2023·上海·高考真题）已知 ， ，求 ________
35. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ______．
36. （2022·全国甲卷·高考真题）已知向量 ．若 ，则 ______________．
37. （2022·全国甲卷·高考真题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
_________．
38. （2022·上海·高考真题）在 ABC中， ， ，M为AC的中点，P在线段AB上，则
△
的最小值为________
39. （2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为
____________．
40. （2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量 ， ， ，
_______．
41. （2021·北京·高考真题）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长
为1，则
________； ________.
42. （2021·浙江·高考真题）已知平面向量 满足 .记向量 在
方向上的投影的数量分别为x，y， 在 方向上的投影的数量为z，则 的最小值为
___________.
43. （2021·全国乙卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则 __________．
44. （2021·全国甲卷·高考真题）若向量 满足 ，则 _________.
45. （2021·全国甲卷·高考真题）已知向量 ．若 ，则 ________．
46. （2020·北京·高考真题）已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则
_________； _________．
47. （2020·浙江·高考真题）设 ， 为单位向量，满足 ， ， ，设 ，的夹角为 ，则 的最小值为_______．
48. （2020·全国I卷·高考真题）设向量 ，若 ，则 ______________.
49. （2020·全国I卷·高考真题）设 为单位向量，且 ，则 ______________.
50. （2020·全国II卷·高考真题）已知单位向量 , 的夹角为45°， 与 垂直，则k=__________.
51. （2019·北京·高考真题）已知向量 =（－4，3）， =（6，m），且 ，则m=__________.
52. （2019·全国III卷·高考真题）已知向量 ，则 ___________.
53. （2019·全国III卷·高考真题）已知 为单位向量，且 =0，若 ，则
___________.
54. （2019·天津·高考真题） 在四边形 中， ， ， ， ，点 在
线段 的延长线上，且 ，则 __________.
55. （2019·上海·高考真题）在椭圆 上任意一点 ， 与 关于 轴对称，若有 ，则
与 的夹角范围为____________
56. （2018·北京·高考真题）设向量 =（1,0）， =（−1,m）,若 ，则m=_________.
57. （2017·全国I卷·高考真题）已知向量 与 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |= ______ .
58. （2017·天津·高考真题）在 中， ， ， . 若 ，
，且 ，则 的值为______________.
59. （2017·山东·高考真题）已知 ， 是互相垂直的单位向量，若 与 的夹角为60°，
λ
则实数 的值是__．
λ60. （2017·浙江·高考真题）已知向量 满足 ，则 的最小值是___________，最
大值是______．
61. （2017·全国III卷·高考真题）已知向量 ，且 ，则 _______.
62. （2017·全国I卷·高考真题）已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若 ，则
m=_________．
63. （2017·北京·高考真题）已知点 在圆 上，点 的坐标为 ， 为原点，则 的最
大值为_________．
