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第 28 讲 数列的概念与及其简单表示
1.数列的相关概念
(1)定义:把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置
上的数叫做这个数列的第1项，常用符号 表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用 表
示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用 表示.其中第1项也叫做首项.
(2)数列的一般形式是 ，简记为 ， 是数列的第n项.
2.数列与函数的关系
由于数列 中的每一项 与它的序号n有下面的对应关系，
所以数列 从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应
的函数值是数列的第n项 ，记为 .
3.数列的分类
(1)数列按项数的多少来分：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
(2)按前后项的大小来分：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一
项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列．
4.数列的通项公式
一般地，如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列
的通项公式．
5.数列的前n项和及前n项和公式
我们把数列 从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列 的前n项和，记作 ，即
.
如果数列 的前n项和 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个
数列的前n项和公式.
显然 ，而 ，于是我们有 .
6.常用结论
(1)累加法： 变形为 ，
要点：利用恒等式 求解；(2)累乘法： ，变形为 ，
要点：利用恒等式 求解.
考点一 和 关系法求数列通项
考点二 累加法求数列通项
考点三 累乘法求数列通项
考点一： 和 关系法求数列通项
例1．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．9 D．12
【答案】C
【分析】根据 与 的关系进行求解即可.
【详解】 .
故选：C
例2．“斐波那契数列” 由十三世纪意大利数学家列昂纳多 •斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为
例子而引入，故又称该数列为 “兔子数列”.斐波那契数列 满足:
，记其前 项和为 ，设 ( 为常数)，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据 的关系，把 转化为 ，结合递推关系可得答案.【详解】由题意可得， .
故选：A.
考点二：累加法求数列通项
例3．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，
第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列 ，即 ， ， ，…，
且满足 ，则第六层球的个数 为（ ）
A．28 B．21 C．15 D．10
【答案】B
【分析】利用递推公式进行累加法求解.
【详解】由题意得 ， ， ， ， ，
以上式子累加可得 ，
因为 ，所以 ，
故选:B.
例4．已知数列 ，若 ， ，则 （ ）
A．2500 B．2501 C．2502 D．2503
【答案】B
【分析】利用累加法结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案.
【详解】由 ， ，
可得
，故选：B
考点三：累乘法求数列通项
例5．若数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用累乘法求出数列 的通项公式，进而求出 .
【详解】解：由题意， ，
在数列 中， ，
∴ .
故选：A.
例6．已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题得 ，再利用累乘法求解.
【详解】解：由 ，得 ，
即 ，则 ， ， ，…， ，
由累乘法可得 ，所以 ，
又 ，符合上式，所以 .
故选：A．一、单选题
1．（2023·江西·统考模拟预测）已知 是数列 的前 项和，且满足首项为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得当 时， ，两式相减可得 ，可求出 ，即
可求出 的值.
【详解】由已知可得当 时， ，
所以 ，即 ，
且当 时， ，
所以 也满足上式，所以数列 是以首项为1，公比为5的等比数列.
所以 ，
所以 .
故选：D.
2．（2023·四川南充·统考二模）已知数列 的前n项和为 ，若 ， （ ），则 等
于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据数列递推式 （ ），可得 （ ），推出 ，（ ），结合等比数列的前n项和公式，即可求得答案.
【详解】因为 （ ），所以 （ ），
两式相减得 ，（ ），
由 （ ），得 ，故可知 ，
而 ，所以 ，（ ），
故 从第二项开始，为公比为4的等比数列，
故 ，
故选：A
3．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用 与 的关系求出通项公式，然后根据等比数列求和公式即得.
【详解】由条件 时， ，两式相减得 ，
，又 ，
所以 从第二项项开始为公比为2的等比数列， 时， ，
；
故选：B.
4．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据 与 的关系求解即可.
【详解】因为
所以 ， ，
所以 .
故选：A.
5．已知数列 的前n项和为 ，且 ，则数列 的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用 求出数列 的通项公式，进而可得数列 的通项公式，利用等比数列的求
和公式求解数列 的前n项和即可，注意验证 时的相关结果.
【详解】当 时， ，
又 时， ，
，
，
当 时，数列 的前n项和为 ，
又 符合上式，
故数列 的前n项和为 .
故选：C.6．如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第
（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成， ，依次类推，根据图案中点的排列规律，
第10个图形由多少个点组成（ ）
A．89 B．91 C．95 D．98
【答案】B
【解析】利用累加法求出数列的通项公式即可求解.
【详解】记此图案的点数为 ，
则 ，
，
，
，
，
将上式相加可得
，
所以 ，
所以 .
故选：B
7．数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】由题意，根据累加法，即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
因此 ， ， ，…， ，
以上各式相加得： ，
又 ，所以 .
故选：A.
8．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用累加法可求得 的值.
【详解】因为 ， ，
所以， ， ， ，
累加可得 ，解得 ．
故选：B.
9．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数列的递推公式可得 ，结合累加法，即可求解.
【详解】由题意可得 ，所以当 时， ， ， ， ，
上式累加可得，
，
又 ，所以 ，
当 时， 满足上式，
所以 .
故选：B.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据累加法求解即可.
【详解】由 ，且 ，根据累加法可得：
，
所以 ，则 .
故选：B
11．在数列 中，已知 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由数列的递推公式可得，数列是以4为周期的数列，可求数列中的项.
【详解】因 所以 ，
， ，， ，
且 的值以4为周期循环出现，所以数列 是以4为周期的数列，
.
故选：B
12．已知数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用累乘法即可求得 .
【详解】因为 ，
所以 ，
上述各式相乘得 ，
因为 ，所以 ，
经检验， 满足 ，
所以 .
故选：D.
13．已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用累乘法计算可得.【详解】解：因为 ，
所以 ， ， ， ， ， ，
所以 ，
即 ，又 ，所以 ；
故选：A
14．若数列 满足 ，则 （ ）
A．2 B．6 C．12 D．20
【答案】D
【分析】由已知条件变形可得 ，然后累乘法可得 ，即可求出
【详解】由 得 ，
，
.
故选：D
15．设 是首项为 的正项数列，且 （ ），则它的通项公式是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知化简可得数列 的递推公式，结合累乘法可得通项公式，进而得解.
【详解】 ，
，,
又 ， ，即 ，
，
即 ，
又 ， ，
，
故选：B．
二、解答题
16．已知等比数列 的前 项和为 ，且 .求数列 的通项公式；
【答案】
【分析】由 推出 ，得公比 ，在 中，令 ，得
，可得 .
【详解】∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
故等比数列 的公比q＝3，
令n＝1，得 ，
∴ ，∴ .
17．记 为数列 的前n项和，已知 ， ．
(1)求 ， ；
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1) ， .
(2)
【分析】(1)根据递推关系可求得 ， .(2)由 可求得通项公式.
【详解】（1）当 时， ，解得 或 (舍)
当 时， ，解得 或 (舍)
所以 ， .
（2）当 时， ①， ②，
由①-②得， ，因为 ，所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，
当 时，由(1)可知， 满足 ，故数列 的通项公式为
18．设数列 的前 项和为 ， ，且数列 是以 为公比的等比数列.
(1)求 ， 的值.
(2)求数列 的通项公式，并判定数列 是否是等比数列，并说明理由.
【答案】(1) ，(2) ，不是等比数列，理由见解析
【分析】（1）由已知可得 的通项公式，再利用特值法可得 与
（2）利用退一相减法可得数列 的通项公式，进而可判断数列是否为等比数列.
【详解】（1） ，且数列 是以 为公比的等比数列，
故 ，
当 时， ，故 ，
当 时， ，故 ；
（2）由（1）得 ，且 ，
当 时， ，
，
又 不满足上式，
故 ，
故 ，
所以数列 不是等比数列.
19．已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和.【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据 的关系求 的通项公式；
（2）应用裂项相消法求 的前 项和.
【详解】（1）当 时， ，故 ；
当 时， ，故 ，
故 ，则 ，又 满足 ，
∴ ， .
（2）由（1）可得： ，
故 .
