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解三角形及其应用
1.(2024·海南校考)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a=8❑√3
,b=6,A=60°,则sin B=( ).
A.2
3
B.
❑√6
3
C.
❑√2
2
D.3
8
【答案】D
【解析】由正弦定理得
a
sin A
=
b
sin B
,则8 ❑√3
sin 60°
=
6
sin B
,故sin B=6×sin 60°
8 ❑√3
=3 ❑√3
8 ❑√3
=3
8
.
2.(2024·四川模拟)在△ABC 中,已知A=7 π
12
,C=π
6
,AC=2❑√2,则AB 边的长为( ).
A.2❑√2
B.2 C.❑√2
D.❑√3
【答案】B
【解析】由A=7 π
12
,C=π
6
,可得B=π-A-C=π-7 π
12
-π
6
=π
4
,由正弦定理可得AC
sin B
= AB
sinC
,则
AB= AC sinC
sin B
=
2❑√2sin π
6
sin π
4
=2.
3.(2024·浙江检测)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若b2=a2+c2-ac,则B=( ).
A.π
6
B.π
3
C.3 π
4
D.2π
3
【答案】B
【解析】依题意得b2=a2+c2-ac,即a2+c2-b2=ac,由余弦定理得cos B=a
2+c
2-b
2
2ac
=1
2
,又
0<B<π,所以B=π
3
.
4.(2024·湖南模拟)在△ABC 中,BC=3,sin B+sin C=
❑√10
3
sin A,且△ABC 的面积为1
2
sin A,则A=(
).
A.π
6
B.π
4
C.π
3
D.2π
3
【答案】D
【解析】设△ABC 中角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,因为sin B+sin C=
❑√10
3
sin A,所以由正
弦定理可得b+c=
❑√10
3
a=❑√10,又S△ABC=1
2
bcsin A=1
2
sin A,解得bc=1,
所以由余弦定理可得cos A=b
2+c
2-a
2
2bc
=(b+c )
2-2bc -a
2
2bc
=10-2-9
2
=-1
2
.因为
A∈(0,π),所以A=2π
3
.
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5.(2024·黑龙江统考)爱立信球形体育馆位于瑞典斯德哥尔摩,其外形像一个大高尔夫球.某数学兴
趣小组为了测得爱立信体育馆的直径,在体育馆外围测得AB=40❑√6
m,CD=80
m,∠ACB=45°,∠ABC=∠ACD=60°(其中A,B,C,D 四点共面),据此可估计该体育馆的直径AD 为(
).(参考数据:❑√3
≈1.732,❑√7
≈2.646)
A.98 m
B.102 m C.106 m D.122 m
【答案】C
【解析】如图,连
接AC,AD,在△ABC 中,由正弦定理得
AC
sin ∠ABC
=
AB
sin ∠ACB
,
即
AC
❑√3
2
=
40 ❑√6
❑√2
2
,解得AC=120.
在△ACD 中,由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos∠ACD,即AD2=1202+802-2×120×80×1
2
=11200,所以AD=❑√11200
=40❑√7
≈106(m).
6.(2024·上海期中)在钝角△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=2,则最长边c 的取值
范围是( ).
A.(❑√6
,3) B.(2,❑√5
)
C.(❑√5
,2❑√2
)
D.(❑√5
,3)
【答案】D
【解析】因为△ABC 是钝角三角形,a=1,b=2,且c 是最长边,所以由余弦定理可得cos C=
a
2+b
2-c
2
2ab
<0,即c2>a2+b2=5,又c>0,所以c>❑√5.因为c<a+b=3,所以c 的取值范围是(❑√5,3).
7.(2024·山东统考)某数学兴趣小组欲测量校内旗杆顶部M 和教学楼顶部N 之间的距离,已知旗杆
AM 高15 m,教学楼BN 高21 m,在与A,B 同一水平面的C 处测得的旗杆顶部M 的仰角为30°,教
学楼顶部N 的仰角为60°,∠ACB=120°,则M,N 之间的距离为( ).
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A.❑√511
m
B.❑√1137
m
C.❑√1143
m
D.❑√1173
m
【答案】D
【解析】
如图,过点M 作MD⊥BN 于点D,则MD=AB.
在Rt△ACM 中,AM=15,∠ACM=30°,
AC=
∴
❑√3
AM=15❑√3
.在Rt△BCN 中,
BN=21,∠BCN=60°,
BC=
∴
BN
❑√3
=7❑√3.易知BD=AM=15,DN=BN-BD=6.
在△ABC 中,∠ACB=120°,
由余弦定理得AB=❑√A C
2+ BC
2-2 AC ·BC cos∠ACB
=❑√(15❑√3)
2+(7 ❑√3)
2-2×15❑√3×7 ❑√3cos∠120°
=❑√1137
,
DM=AB=
∴
❑√1137
.
在Rt△DMN 中,∠MDN=90°,得MN=❑√D M
2+ D N
2=❑√(❑√1137)
2+6
2=❑√1173
(m).
8.(2024·浙江模拟)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若B=π
3
,a=4,且该三角形有两解,则b
的取值范围是( ).
A.(2❑√3
,+∞)
B.(2❑√3
,4)
C.(0,4)
D.(3❑√3
,4)
【答案】B
【解析】由正弦定理得
a
sin A
=
b
sin B
,所以b=asin B
sin A
=4×sin π
3
sin A
= 2❑√3
sin A
.因为该三角形有
两解,所以π
3
=B<A<2π
3
,A≠π
2
,故sin A∈
❑√3
2
,1 ,即b∈(2❑√3,4).
【方法解读】解三角形之“三角形解的个数”问题
在△ABC 中,已知a,b 和A 时,解的情况如下:
A 为锐角
A 为钝角
或直角
图形
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关系
式
a=bsin A
bsin A
<a<b
a≥b
a>b
解的
个数
一解
两解
一解
一解
9.(2024·福建期中)(多选题)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,则下列说法不正确的是(
).
A.若A>B,则sin A>sin B
B.若sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC 是锐角三角形
C.若sin A-sin B=cos B-cos A,则△ABC 为等腰三角形
D.若a=3,b=2,A=60°,则符合条件的△ABC 有两个
【答案】BCD
【解析】对于选项A,由正弦定理得
a
sin A
=
b
sin B
=2R,即a=2Rsin A,b=2Rsin B,因为A>B,所
以a>b,所以2Rsin A>2Rsin B,得到sin A>sin B,所以选项A 正确;
对于选项B,sin2A+sin2B>sin2C,则由正弦定理得a2+b2>c2,即a2+b2-c2>0,又因为cos C=
a
2+b
2-c
2
2ab
,所以cos C>0,即C 为锐角,但无法判断A,B 的范围,所以选项B 错误;
对于选项C,由sin A-sin B=cos B-cos A,得sin A+cos A=sin B+cos B,则有❑√2sin A+π
4
=
❑√2sin B+π
4
,即A=B 或A+B=π
2
,所以选项C 错误;
对于选项D,因为a=3,b=2,A=60°,所以bsin A=2×
❑√3
2
=❑√3<a,又b<a,所以符合条件的△ABC
只有1 个,所以选项D 错误.故选BCD.
10.(2024·上海模拟)在△ABC 中,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则C= .
【答案】π
3
【解析】因为(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),变形得
a2+b2-c2=ab,所以cos C=a
2+b
2-c
2
2ab
=1
2
,又0<C<π,所以C=π
3
.
11.(2024·陕西模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且a2=b2+c2+❑√3
bc.已知a=❑√3
,S 为
△ABC 的面积,则S+3cos Bcos C 的最大值是 .
【答案】3
【解析】因为a2=b2+c2+❑√3bc,所以cos A=b
2+c
2-a
2
2bc
=-
❑√3
2
,因为0<A<π,所以A=5 π
6
.设
△ABC 外接圆的半径为R,则2R=
a
sin A
=
❑√3
sin 5 π
6
=2❑√3,所以b=2Rsin B=2❑√3sin B,c=2❑√3sin C,
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所以S+3cos Bcos C=1
2
bcsin A+3cos Bcos C=1
4
bc+3cos Bcos C=3sin Bsin C+3cos Bcos
C=3cos(B-C),所以当B-C=0,即B=C 时,S+3cos Bcos C 取得最大值,最大值为3.
12.(2024·山西统考)以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形
的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(称为拿破仑三角形)的顶点.在△ABC 中,已知A=90°,AC=2
❑√3
,BC=4❑√3
,现以AB,BC,CA 为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次记为D,E,F,则DE 的
长为( ).
A.4❑√2
B.2❑√7
C.3❑√3
D.2❑√5
【答案】B
【解析】
如图,在Rt△ABC 中,AB=❑√BC
2- A C
2=6,由题意可知BE=1
2
×
BC
sin 60°
=1
2
×
4 ❑√3
❑√3
2
=4,BD=1
2
×
AB
sin 60°
=1
2
×
6
❑√3
2
=2❑√3,且∠EBC=∠CBA=∠ABD=30°,所以∠EBD=90°,所以DE=❑√B E
2+ B D
2
=2❑√7
.
13.(2024·江苏期中)(多选题)下列结论正确的是( ).
A.在△ABC 中,若sin 2A=sin 2B,则△ABC 是等腰三角形
B.在△ABC 中,A>B 是sin A>sin B 的充要条件
C.将函数y=sin 2x 的图象向左平移π
4
个单位长度,得到函数y=cos 2x 的图象
D.在△ABC 中,若AB=❑√3,AC=1,B=30°,则△ABC 的面积为
❑√3
4
或
❑√3
2
【答案】BCD
【解析】A 选项中,因为sin 2A=sin 2B,所以2A=2B 或2A+2B=π,即A=B 或A+B=π
2
,所以
△ABC 为等腰三角形或直角三角形,所以A 错误;
B 选项中,由A>B,得a>b,则由正弦定理得sin A>sin B,反之亦成立,所以B 正确;
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C 选项中,将函数y=sin 2x 的图象向左平移π
4
个单位长度,得到y=sin 2 x+π
4
=sin 2x+π
2
=cos 2x 的图象,所以C 正确;
D 选项中,由正弦定理得AB
sinC
= AC
sin B
,即
❑√3
sinC
=
1
sin30°
,得sin C=
❑√3
2
,则C=60°或C=120°,
所以A=90°或A=30°,所以△ABC 的面积为S=1
2
×❑√3×1×sin 90°=
❑√3
2
或S=1
2
×❑√3×1×sin 30°=
❑√3
4
,所以D 正确.
14.(2024·湖北联考)(多选题)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若a=❑√3
,a2+b2-c2=2absin C,
tan A -tan B
tan A + tan B
=c -b
c
,则下列结论正确的是( ).
A.C=π
4
B.△ABC 外接圆的半径为1
C.c=❑√2
D.△ABC 的面积为3+ ❑√3
2
【答案】ABC
【解析】因为a2+b2-c2=2absin C,所以由余弦定理得cos C=a
2+b
2-c
2
2ab
=sin C,故tan C=1.
因为C 为△ABC 的内角,所以C=π
4
,故A 正确.
由tan A -tan B
tan A + tan B
=c -b
c
,得
sin A
cos A - sin B
cos B
sin A
cos A + sin B
cos B
=sinC -sin B
sinC
,则sin( A - B)
sin( A + B)
=
sin( A + B)-sin B
sin( A + B)
,整理得2sin Bcos A=sin B.因为B 为△ABC 的内角,所以sin B≠0,故cos A=
1
2
.因为A 为△ABC 的内角,所以A=π
3
.由正弦定理得2R=
a
sin A
,则△ABC 外接圆的半径为R=1
2
×
a
sin A
=1
2
×
❑√3
sin π
3
=1,故B 正确.
由正弦定理得c=asinC
sin A
=
❑√3×
❑√2
2
❑√3
2
=❑√2,故C 正确.
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因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=
❑√3
2
×
❑√2
2
+1
2
×
❑√2
2
=
❑√6+ ❑√2
4
,所以△ABC 的
面积S△ABC=1
2
acsin B=1
2
×❑√3×❑√2×
❑√6+ ❑√2
4
=3+ ❑√3
4
,故D 错误.故选ABC.
15.(原创)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=2,2sin B+❑√3bcos A-
❑√3
2
ab=0,△ABC 的
面积为❑√3
,则b+c=( ).
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】A
【解析】因为a=2,2sin B+❑√3
bcos A=❑√3
b,所以asin B+❑√3
bcos A=❑√3
b,由正弦定理可得
sin A·sin B+❑√3sin Bcos A=❑√3sin B,即2sin A+π
3
=❑√3,得sin A+π
3
=
❑√3
2
.因为π
3
<A+π
3
<
4 π
3
,所以A+π
3
=2π
3
,得A=π
3
,所以S△ABC=1
2
bcsin A=
❑√3
4
bc=❑√3,得bc=4.
由余弦定理知a2=4=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=(b+c)2-12,所以b+c=4.
16.(原创)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足
1
tan A
+
1
tan B
=
c
❑√3bcos A
,则a
2
bc
的
最小值为 .
【答案】1
【解析】由
1
tan A
+
1
tan B
=
c
❑√3bcos A
,得cos A
sin A
+cos B
sin B
=
sinC
❑√3sin Bcos A
,化简得
sin Bcos A +cos Bsin A
sin A sin B
=
sinC
sin A sin B
=
sinC
❑√3sin Bcos A
,解得tan A=❑√3,故A=π
3
.
由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c 时等号成立,所以a
2
bc
的
最小值为1.
17.(原创)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,写出同时满足条件“①acos A=bcos
B;②△ABC 不是等腰三角形”的∠A,∠B,则∠A= ,∠B= .
【答案】π
6
,π
3
(答案不唯一)
【解析】因为acos A=bcos B,所以由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B,则sin 2A=sin 2B,
则在△ABC 中,2A=2B 或2A+2B=π,即A=B 或A+B=π
2
.因为△ABC 不是等腰三角形,所以A+B=π
2
且
A≠B,故A=π
6
,B=π
3
符合题意(答案不唯一).
