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高考数学代数模块 49 个易混易错全归纳
内容导览
易混易错01 对集合表示方法的理解偏差致错.......................................................................................................................
易混易错02 忽视（漏）空集致错..............................................................................................................................................
易混易错03 充分、必要条件判断颠倒致错...........................................................................................................................
易混易错04 命题否定中量词与结论漏改致错.......................................................................................................................
易混易错05 忽略不等式性质成立的前提条件致错..............................................................................................................
易混易错06 一元二次不等式恒成立问题混淆范围致错.....................................................................................................
易混易错07 解含参不等式讨论不全致错................................................................................................................................
易混易错08 多变量不等式问题混淆主元致错.......................................................................................................................
易混易错09 基本不等式求最值忽略前提条件致错...........................................................................................................10
易混易错10 复合函数定义域的理解不当致错....................................................................................................................10
易混易错11 研究性质时忽略函数定义域致错.....................................................................................................................11
易混易错12 使用换元法时忽略新元的范围致错................................................................................................................12
易混易错13 混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错..............................................................................................12
易混易错14 忽略对参数取值范围讨论而致错....................................................................................................................13
易混易错15 对根式性质理解不到位出错..............................................................................................................................14
易混易错16 忽略底数对指数函数性质的影响致错...........................................................................................................15
易混易错17 忽视对数式成立的条件致错..............................................................................................................................15
易混易错18 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域致错.........................................................................................16
易混易错19 利用换元法求值域遗忘范围致错....................................................................................................................17
易混易错20 错判幂函数的性质致错.......................................................................................................................................18
易混易错21 忽视零点存在定理的条件或不可逆性而致错..............................................................................................19
易混易错22 二次函数零点分布问题考虑不全致错...........................................................................................................19
易混易错23 画函数图象时不准确致错..................................................................................................................................20
易混易错24 数学建模时忽视实际意义而致错....................................................................................................................21
易混易错25 错用函数的求导法则致错..................................................................................................................................23
易混易错26混淆“在某点”和“过某点”切线的区别致错..........................................................................................24
易混易错27 利用导数求函数单调区间忽略定义域致错..................................................................................................24
易混易错28淆极值点与导数等于零的点的区别致错........................................................................................................25
易混易错29已知单调性求参数时混淆条件致错.................................................................................................................26
易混易错30判断函数零点个数时画图致错..........................................................................................................................27
易混易错31 诱导公式认识不深导致变形致错....................................................................................................................28
易混易错32 三角求值不能深挖角的范围致错....................................................................................................................28
易混易错33 判断三角函数的单调性忽略系数 的符号致错........................................................................................29
易混易错34 混淆函数图象变换的规律而致错....................................................................................................................30
易混易错35 参数问题不能准确判断临界点致错................................................................................................................31
易混易错36 解三角形时错判解的个数致错.........................................................................................................................32
易混易错37 忽略边角互化条件致错.......................................................................................................................................33
易混易错38 忽略三角形中的隐含条件致错.......................................................................................................................34
易混易错39对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱...............................................................................................35
易混易错40 忽略平面向量夹角的范围与方向性致错.......................................................................................................36
易混易错41 忽略向量共线时的两种情况致错....................................................................................................................37
易混易错42 错用平面向量的运算律致错..............................................................................................................................38
易混易错43混淆复数的实部、虚部等基本概念致错........................................................................................................39
易混易错44 复数的几何意义应用陷阱..................................................................................................................................40
易混易错45忽略数列与一般函数的区别致错......................................................................................................................40
易混易错46 由Sn求an忽略n=1的讨论致错....................................................................................................................41
易混易错47 等比数列问题忽略公比q的讨论致错............................................................................................................41
易混易错48 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错....................................................................................42易混易错49 错位相减求和错判项数、公比或符号致错..................................................................................................43
易混易 错 01 对集合表示方法的理解偏差致错
辨析：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元
素类型（点集或者数集）及代表元素的含义．
【典例1】（25-26高三一上·上海普陀·月考）关于x，y的方程组 的解集是（ ）
A． B． C． D． 或
【典例2】（2025·湖北黄冈·二模）若集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】（25-26高三下·山西阳泉·开学考试）下列说法错误的是（ ）
A．集合 与集合 不是同一个集合
B．已知 ，满足条件的集合 的个数有7个
C．代数式 的值组成的集合是
D．函数 的零点为
易混易错 02 忽视（漏）空集致错
辨析：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往
容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．
【典例1】（25-26高三上·天津河北·月考）已知集合 ，集合 ，
若 为 的真子集，则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【典例2】（25-26高三上·山东聊城·月考）已知集合 ， ， ，则实数a
的取值构成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练】（25-26高一上·天津和平·期中）设集合 ，集合
，若 ，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
易混易错 03 充分、必要条件判断颠倒致错
辨析：在判断充分条件、必要条件、充要条件时，要特别注意哪一个是“条件”，哪一个是“结论”,否则
将犯“张冠李戴”的错误.需注意：若p是q的…,则p是条件，q是结论;若p的…条件是q,则p是结论,q是
条件.
【典例1】（25-26高三上·浙江宁波·阶段测试）命题“ ， ”为假命题的一个充分不
必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（24-25高三上·青海西宁·期中）已知 ， ，则使 成立的一个充分条件是
（ ）A． B．
C． D．
【跟踪训练1】（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A． 是 的充要条件
B．使不等式 成立的一个充分条件是
C．若“ ”的一个必要不充分条件是“ ”，则实数 的取值范围是
D．若关于x的不等式 在 上的解集是空集，则实数 的取值范围是
【跟踪训练2】（25-26高三上·广东东莞·阶段练习）已知集合
.
(1)是否存在实数 ，使得 是 成立的充要条件，若存在，求出实数 的值，若不存在，请说明理
由；
(2)若 是 成立的必要不充分条件，求出 的取值范围.
易混易错 04 命题否定中量词与结论漏改致错
辨析：在写出含有一个量词的命题的否定时，要注意“变量词，否结论”，常见错误是只变量词，或者只
否定结论.
【典例1】（25-26高三上·河北·期中）设命题 ， ，则 的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【典例2】（25-26高三上·广东梅州·期中）命题“ ”的否定是（ ）A． B．
C． D．
【跟踪训练1】（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）下列结论正确的有（ ）
A． ，
B．“ ， ”是假命题
C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题
D．“ ， ”的否定是“ ， ”
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·安徽合肥·月考）下列命题正确的是（ ）
A．命题“ ”的否定是“ ”
B．“至少有一个 ，使 成立”是全称量词命题
C．“ ”是真命题
D．“ ”的否定是真命题
易混易错 05 忽略不等式性质成立的前提条件致错
辨析：（1）利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次将不等式相加,否则容易扩大范围.可
以使用整体代换的思想或用待定系数法求解代数式的取值范围问题.
（2）一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，
一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
【典例1】（25-26高一上·江西南昌二中月考）已知 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．【典例2】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）若 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练1】（2026高三·全国·专题练习）设 ，则 的取值范围是________； 的
取值范围是________； 的取值范围是________； 的取值范围是________．
【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）已知 ，若 ， ，
且 ，则实数c的取值范围是 ．
易混易错 06 一元二次不等式恒成立问题混淆范围致错
辨析：对于一元二次型不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x
轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方，解决一元二次不等式中的
恒成立、能成立问题常常转化为求二次函数的最值或分离参数后求最值的方法解决问题．
【典例1】（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数 在 上恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在 ，使不等式 成立，则a的取
值范围是 ．
【跟踪训练1】（25-26高二上·云南昭通·期末）已知关于 的不等式 对任意 恒成立，
则 的取值范围是________．
【跟踪训练2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知对 ，关于 的不等式恒成立，则实数 的取值范围为_____.
易混易错 07 解含参不等式讨论不全致错
辨析：在求解过程紧抓三点就可以有效的避免失误：一是分析二次项系数是否需要讨论；而是分析方程根
的存在型是否需要讨论；三是根的大小关系是否需要讨论.
【典例1】（25-26高三上·宁夏中卫·月考）（1）关于 的不等式： ；
①当 时，解不等式；
②当 时，解不等式.
（2）已知函数 ，求函数 的值域.
【典例2】（2026高三·全国·专题练习）设 .
(1)若不等式 对于一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)解关于 的不等式 .
【跟踪训练1】(25-26高一上·天津东丽·月考）已知关于x的不等式 的解集为
.
(1)求实数a，b的值；
(2)若 ，求关于x的不等式 的解集.【跟踪训练2】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知幂函数 为偶函数．
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求 的取值范围；
(3)当 时，求不等式 的解集．
易混易错 08 多变量不等式问题混淆主元致错
辨析：关于不等式的恒成立问题，主元法是一个常用方法，所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中
一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用．
有些看似复杂的问题，如果选取适当的字母作为主元，往往可以起到化难为易的作用.
【典例1】（24-25齐鲁名校共同体联考）已知函数 是定义在 ， 上的奇函数，对于任意 ，
， ， 总有 且 （1） ．若对于任意 ， ，存在 ， ，使
成立，则实数 的取值范围是A． B． 或
C． 或 D． 或 或
【典例2】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知函数 ， ，若 ，
，使得 ，则实数 的取值范围是 .
【跟踪训练1】（2026·福建·一模）若实数 使得命题：“ ，使得 ，均有
”是假命题，则 的取值范围是___________．
【跟踪训练2】（25-26高三上·天津和平·月考）已知定义在 上的函数 满足 且
，其中 的解集为A.函数 ， ，若 ， 使得
，则实数a的取值范围是 .
易混易错 09 基本不等式求最值忽略前提条件致错
辨析：通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个
方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
【典例1】（24-25高三上·江苏·阶段练习）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．C． D．
【典例2】（24-25高三上·天津红桥·期中）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
【跟踪训练1】7．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知正实数 ，则ab的最大值为
________．
【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习） 的三边分别为 ，记 边上的中线长分别
为 ，则 的最小值是_____．
易混易错 10 复合函数定义域的理解不当致错
辨析：已知 的定义域求解 的定义域，或已知 的定义域求 的定义域，遵循两点
①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于实际问题中
函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
【典例1】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数 的定义域为 .记 的定义域为集
合 的定义域为集合 .则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域
为（ ）A． B． C． D．
【跟踪训练1】（25-26高三上·安徽马鞍山·期中）已知函数 的定义域是 ，则函数
的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】（25-26高三上·重庆·期中）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
易混易错 11 研究性质时忽略函数定义域致错
辨析：研究函数性质时，要注意建立“定义域优先”的解题原则.
【典例1】(2026四川广安期中)奇函数 是定义域为 上的增函数.且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． ， D．
【典例2】（2025高三·全国·专题练习）定义在 上的函数 ，则满足
的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【跟踪训练1】．（25-26高三上·河北石家庄·期末）已知定义在 上的函数 满足：对任意
均有 成立，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】（25-26高三上·河北承德·期末）已知定义在 上的函数 满足：当 时，
，且对任意的 且 ，均有 ．若 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
易混易错 12 使用换元法时忽略新元的范围致错
辨析：换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范
围被扩大了,则在求解之后要加以检验.
【典例1】（24-25高三上·吉林·阶段练习）已知 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（25-26高三上·云南·期末）已知函数 ，则函数 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练1】（25-26高一上·陕西榆林·月考）已知函数 ，则 的解析式为______.
【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）若 ，则函数 ______．
易混易错 13 混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错
辨析：单调区间是指一个函数的定义域中所有具有递增或递减性质的区间;在区间上单调是指函数在某一个
区间上单调,二者有本质区别,若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上具有相同的单调
性.
【典例】（25-26高三上·河北·期中）已知函数f(x)=|2x+a|.
(1)若f(x)的单调递增区间为[3,+∞),求实数a的值;
(2)若f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
【跟踪训练1】（多选）（25-26高三上·重庆璧山·期中）已知幂函数 是 上的偶
函数，且函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】(多选)（25-26高三上·浙江宁波·期中）已知函数 ，则下列选项正确的
是（ ）
A．若 的定义域为 ，则
B．若 的定义域为 ，则
C．若 的值域为 ，则D．若 在 上单调递增，则
易混易错 14 忽略对参数取值范围讨论而致错
辨析：对于含参的函数问题，要注意恰当讨论，对于含参的分段函数问题，除了要注意研究各段解析式的
性质，还要从整体上把握分段函数的性质.
【典例1】（2026安徽天一大联考）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数 ，若函数 在 上单调递
增，则实数 的取值范围是__________.
【跟踪训练1】（25-26高二上·云南保山·期末）函数 是 上的单调函数，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】（25-26高一上·贵州铜仁·期末）设函数 ，若对 ，都有
，则实数 的取值范围为______．
易混易错 15 对根式性质理解不到位出错辨析：(1)处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值范围
不同，如 中当 为奇数时, 为偶数时, ，另外根式的化简结果也不同；
(2)分数指数幂 中的 不能随便约分，要注意底数取值范围的改变．
【典例1】(多选题)（25-26高一上·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（多选）（25-26高一上·吉林·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练1】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练2】（多选）（25-26高一上·黑龙江绥化·月考）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（
）
A． B．
C． D．
易混易错 16 忽略底数对指数函数性质的影响 致错
辨析：若指数(型)函数的底数含参,则解题时要根据底数与1的大小关系进行分类讨论.【典例】(多选题)(2026山东泰安外国语学校月考)已知函数 ， 的值域
为 ，则 的取值范围是 ．
【跟踪训练1】（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数 ，若函数
满足：对于任意的 ，当 时，都有 ，则实数a的取值范围是______.
【跟踪训练2】（25-26高三·河北衡水·期末）已知函数 （ 且 ）在区间 上单调
递增，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
易混易错 17 忽视对数式成立的条件 致 错
辨析：基于对数式 ，其中对应的参数各自有其成立的条件，分别为底数a>0且a≠1,真数N>0，在
解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件,避免出现遗漏或多解.
【典例1】（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数 （ ， ）的图象经过点 ，
则不等式 的解集为 .
【典例2】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．【跟踪训练1】（25-26高三上·湖北武汉·期中）若 ： ， ： ，则 是 的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【跟踪训练2】（25-26高三上·山西忻州·期末）已知函数 ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
易混易错 18 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域致错
辨析：因为单调区间是定义域的子集，在解函数问题时，一定要树立“定义域优先”的意识.
【典例1】（25-26高三上·天津蓟州·月考）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在R上单调递增，则a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（25-26高三上·河北邯郸·月考）函数 ，其中 且 ，在 上是减
函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【跟踪训练2】（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A． 的定义域为 B． 在区间 上单调递增
C． 的值域为 D． 的图象关于原点对称
易混易错 19 利用换元法求值域遗忘范围致错
辨析：研究形如y=log f(x)(a>0且a≠1)的函数的性质,可转化为研究f(x)的性质,同时要注意f(x)>0这一隐含
a
条件.
【典例1】（2026江西南昌五中月考）若函数 值域为R且在区间 上单调递
增，则实数 的取值范围是 .
【典例2】（25-26高三上·广东湛江·月考） 的值域为 ，则a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练1】 (多选)（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数 ，则下列说法正
确的是（ ）
A．定义域为R
B．值域为
C．在 上单调递增D．在 上单调递减
【跟踪训练2】（多选）（25-26高一上·天津河西·月考）已知 的值域
为 ，则 ，函数 ，在区间 上是减函数，则实数 的取
值范围为 ．
易混易错 20 错判幂函数的性质致错
辨析：对于幂函数 ，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都
有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视.
【典例1】（多选）（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数 （m， ，m，n互
质），下列关于 的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数 是奇函数
B．m是奇数，n是偶数时，幂函数 是偶函数
C．m是偶数，n是奇数时，幂函数 是偶函数
D． 时，幂函数 在 上是增函数
【典例2】（多选）（25-26高一上·四川成都·期末）已知幂函数 的图象经过点 ，则下列说法
正确的是（ ）
A．函数 的定义域为B．函数 为偶函数
C．令函数 ，则不等式 的解集为
D．若函数 ， ， ，则
【跟踪训练1】（25-26高三上·江苏淮安·期末）已知幂函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 是奇函数 D． 的值域为
【跟踪训练2】（多选）（河北省邢台市2025-2026学年高三上期末）已知幂函数 在
上单调递增，函数 ．若 ， ， ，则 的值可能是
（ ）
A．8 B．18 C．24 D．27
易混易错 21 忽视零点存在定理的条件或不可逆性而致错
辨析：利用零点存在性定理解题时要牢记：必须满足闭区间连续、端点函数值异号，才能判定有零点；定
理不可逆，有零点不能反推端点异号；
【典例】（2026广东广雅中学月考)已知函数 图象是连续不断的，并且是 上的增函数，有如下
的对应值表
x 1 2 3 4
y 1.21 3.79 10.28
以下说法中错误的是（ ）
A． B．当 时，C．函数 有且仅有一个零点 D．函数 可能无零点
【跟踪训练1】（25-26高三上·上海·期中）已知 ，且函数 有且仅有
一个零点.若方程 无解，则实数 的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【跟踪训练2】（25-26高三上·江西南昌·期末）已知函数 的零点为 ，若
，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
易混易错 22 二次函数零点分布问题考虑不全致错
研究二次函数零点的分布，一般从以下三个方面考虑：
(1)一元二次方程根的判别式；
(2)对应二次函数区间端点函数值的正负；
(3)对应二次函数图象，即抛物线的对称轴x＝－与区间端点的位置关系．
【典例1】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）函数 的两个不同的零点均大于1的一
个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（25-26高一上·江苏扬州·期末）设 为实数，若关于 的方程 有两根 ，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或【跟踪训练1】（25-26高二上·云南昆明·期中）已知 是函数 的零点，
则 的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．5
【跟踪训练2】（2026·陕西延安·一模）设函数 ,若 有四个不同的零点
，且满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
易混易错 23 画函数图象时不准确 致 错
辨析：常利用图象法研究函数的零点问题，此时要特别注意函数的定义域、图象的渐近线等，尤其是在
换元后要注意新元的取值范围.
【典例1】（多选题）(2026·河北衡水中学月考)已知函数 函数 有四
个不同的零点 ，且 ，则（ ）
A． 的取值范围是 B．
C． 的最小值是 D． 越大， 的值越大
【典例2】（25-26高三下·辽宁·开学考试）设函数 ，若方程 有且仅
有三个解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【跟踪训练1】(2026·陕西西安·模拟预测）已知函数 ， ．若
函数 有3个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．(0，1) C． D．
【跟踪训练2】（25-26高三上·北京西城·期末）函数 ， 和 ， 的图象如
图所示，其中 ，则（ ）
A．方程 恰有一个解 B．方程 恰有两个解
C．方程 恰有三个解 D．方程 恰有四个解
易混易错 24 数学建模时忽视实际意义而致错
辨析：建模前先明确变量实际意义，严格确定定义域；列式后检验是否符合现实约束，验证结果合理性；
不忘单位统一，确保函数与情境匹配，杜绝纯代数思维.
【典例】（25-26高一上·四川南充·期中）如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形 的下底
是 的直径，上底 的端点在圆周上，记线段 的长度为 ，梯形 的周长为 ．(1)写出 与 的函数关系式，并求出它的定义域；
(2)当梯形 的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，直线 ： 与下底 交
于 .记梯形 位于直线 左侧的图形的面积为 ，求函数 的解析式；
(3)在（2）的条件下，当 时，求 的长．
【跟踪训练】（25-26高三上·黑龙江·期中）如图，在 中， ， ，直线 与边
， 分别交于 ， 两点，且 的面积是 面积的一半.设 ， ，记
，则 的定义域为 ， 的最小值与最大值之和为 .易混易错 25 错用函数的求导法则 致错
辨析：（1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即
；
（2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式
形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函
数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.
【典例1】（2025高三·全国·专题练习）函数 的导数为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（25-26高三上·江苏·月考）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 ，
都为偶函数，则 （ ）
A．440.5 B．441.5 C．442.5 D．443.5
【跟踪训练1】(多选）（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【跟踪训练2】（25-26高二下·山东滨州·开学考试）下列选项正确的是（ ）A． B．
C． D．
易混易错 2 6 混淆“在某点”和“过某点”切线的区别 致错
辨析：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
（3）曲线 “在”点 处的切线与“过”点 的切线的区别：曲线 在点
处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为 ，是唯一的一条切线；曲线
过点 的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可
能有多条．
【典例1】（24-25高三上·上海·开学考试）经过点 可以作与曲线 相切的不同直线共
有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线 是曲线 的一条切线，则 .
【跟踪训练1】（25-26高二上·安徽·期末）已知函数 ，过点 作曲线 的切线，则此
切线与 轴和直线 所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【跟踪训练2】（26-27高二上·重庆·期末）过 作函数 的切线恰好能作两条，则实数 的取值
范围为（ ）A． B． C． D．
易混易错 27 利用导数求函数单调区间忽略定义域 致错
辨析：（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函
数的单调区间；（2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等
于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内.
【典例】（24-25高二下·福建泉州·月考）函数 的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（2025·四川·模拟预测）已知函数 ，则 的单调递增区间为（
）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】（多选题）（2026·湖北武汉·模拟预测）对于函数 ，则（ ）
A．函数 的单调递减区间为
B．
C．若方程 有6个不等实数根，则
D．对任意正实数 ，且 ，若 ，则
易混易错 2 8 淆极值点与导数等于零的点的区别 致错辨析：导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导
数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反.
【典例1】（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）若 是函数 的
极小值点，则 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数 ，若 为 的极小值点，则实
数 的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．1或3
【跟踪训练1】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数 在 处取得极大值，则
（ ）
A．9或1 B．3 C．2 D．1
【跟踪训练2】（多选）（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数 有两个
极值点 ，则（ ）
A．
B．当 时， 有三个零点
C．当 时， 仅有一个零点
D．易混易错 2 9 已知单调性求参数时混淆条件 致错
辨析：已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：（1）熟悉基本函数的单调性。
（2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D.
注意：其中 .
（3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数
的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来.
【典例1】（24-25高三上·山东临沂·期中）若函数 的单调递减区间恰为 ，
则实数a的值为 ．
【典例2】（25-26高二上·北京·期中）如果 在区间 上不单调，那么实数a的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（25-26高三下·海南·月考）已知函数 在 上单调递增，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】（2026高二下·福建福州·专题练习）若函数 存在单调递减区间，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
易混易错 3 0 判 断函数零点个数时画图 致错利用导数研究函数的图象变化时一定要区分图象趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数.
【典例1】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知 ，若 有两个零点，则
实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2026·江西新余·一模）已知 在 上有两个不同零点，则 的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练1】（2026·安徽合肥·一模）已知函数 有且仅有三个零点，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】（2026·安徽安庆·一模）已知 ，若函数 恰有1个零点，则
（ ）
A．e B． C．1 D．3
易混易错 31 诱导公式认识不深导致变形 致错辨析：正确应用诱导公式的前提条件有两个：一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给
角与特殊角或条件角与待求角之间的关系，看看它们的和或差是否为 的整数倍；二是要记牢诱导公式，
做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心.
【典例1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·北京·高考真题）已知 ，且 ， .
写出满足条件的一组 的值 ， ．
【跟踪训练1】（2026·陕西商洛·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】（25-26高一上·四川成都·期末）已知 ，且 ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
易混易错 32 三角求值不能深挖角的范围 致错辨析：应用三角变换公式求值求角时，要特别注意根据角的范围判断符号，而求角的范围除去利用给出的
范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围.
【典例1】（24-25高三上·江苏常州·期中）已知 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【典例 2】（25-26 高三上·山东菏泽·期末）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知 、 ，且 ， ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】（24-25高一下·江苏南京·月考）若 ，且 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
易混易错 33 判断三角函数的单调性忽略系数 的符号 致错辨析：求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为 y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋
φ)、y＝tan (ωx＋φ)的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解，如对于函数
y=Asin(ωx+ϕ)来
说 ， 当 时 ， 由 于 内 层 函 数 是 单 调 递 增 的 ， 所 以 函 数
y=Asin(ωx+ϕ)的单调性与函数y=sinx的单调性相同，故可完全按照函数y=sinx的单调性来解决；
但当 时，内层函数 是单调递减的，所以函数
y=Asin(ωx+ϕ)的单调性与函数
y=sinx的单调性正好相反，就不能按照函数y=sinx的单调性来解决.一般来说，应根据诱导公式将
的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决.
【典例1】（2026高三·全国·专题练习）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（25-26高三上·河南驻马店·阶段练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练1】（2004·天津·高考真题）函数 ， 的增区间是（ ）
A． B．
C． D．【跟踪训练2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数 ．
(1)求 ;
(2)设函数 ，求 的值域和单调区间．
易混易错 34 混淆函数图象变换的规律而致错
辨析：在进行图象变换时要注意两点：（1）化简解析式：即将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)（或
y=Acos(ωx+φ)）形式；（2）统一名称：即分析变换前后的三角函数是否同名，不同名时用诱导公式化为
同名形式；（3）变换：提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目
中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量 而言的，即图象变换要
看“变量 ”发生多大变化，而不是“角 ”变化多少．
【典例 1】（25-26 高三上·河南南阳·期末）想要得到函数 的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向右平移 个单位
B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向左平移 个单位
C．各点横坐标变为原来的 倍，再把图象向右平移 个单位
D．各点横坐标变为原来的 倍，再把图象向右平移 个单位
【典例2】（25-26高三上·山西临汾·期末）为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【跟踪训练1】（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数 的一个零点是 ，为了得到函
数 的图象，只需将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【跟踪训练2】（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知函数 ，则下
列结论正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 ，且图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 中心对称，且在区间 上单调递增
C．将 的图象向左平移 个单位长度后，所得函数图象关于直线 对称
D．函数 在区间 上有且仅有 个零点，且这两个零点之和为
易混易错 35 参数问题不能准确判断临界点 致错
辨析：这类问题的基本解题思路是：先将函数的解析式化简为 的形式；根据题设给出
限制条件（如单调性、对称轴的个数、零点个数或最值个数等）判断周期满足的条件，求出 的大致范围；在求出 的取值范围，分析左（或右）端点的大致位置，再确定另一个端点位置；找出临界点，列出
不等式求解.
【典例1】（25-26高三上·广东·阶段练习）将函数 的图象向右平移 个单位长度，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象.若 在 上
单调递增，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·北京·高考真题）设函数 ，若 恒成立，且
在 上存在零点，则 的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【跟踪训练1】（2026·福建龙岩·一模）已知函数 的图象关于直线 对称，
且在区间 上单调递减，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．4
【跟踪训练2】（25-26高三下·浙江·开学考试）已知函数 在区间 上单调
递增，则 取值范围为（ ）
A． B． C． D．
易混易错 36 解三角形时错判解的个数 致错辨析：两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间 内不单调，此时三角形
解的情况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的个
数.
【典例1】（25-26高三上·河南洛阳·期末）在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A． 或 B． C． D． 或
【典例2】（25-26高三上·海南·月考）在 中， , ，则“ ”是“ 有两
解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【跟踪训练1】（2025·陕西咸阳·一模）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的
是（ ）．
A．若 ， ， ，则 有两解
B．若 ，则
C．若 ，则 为锐角三角形
D．若 ，则 为等腰三角形
【跟踪训练2】(多选) (25-26高三上·河南安阳·期末）下列说法错误的有（ ）
A．命题 的否定是
B．若 ，则 ， 的夹角为锐角
C．若方程 有两个不等的正实数根，则
D．在 中，若角 ，则 有两解易混易错 37 忽略边角互化条件 致错
辨析：若等式中每一项的边或者三角的正弦 的个数相同，可以考虑直接改成对应
角的正弦或者对应角的边，否则就得利用 进行等量代换.
【典例1】（2026·湖北·模拟预测）记 内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且外接圆直径为 ，求 的取值范围.
【典例2】（2025·天津·高考真题）在 中，角 的对边分别为 ．已知 ，
， ．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求 的值．
【跟踪训练1】（2025·上海·高考真题）在 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ．
(1)若 ，求a；
(2)若 ，求 的面积的最大值．【跟踪训练2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．
易混易错 38 忽略三角形中的隐含条件致错
辨析：处理三角形中的三角函数问题时一定深挖三角形中的隐含条件，如三角形是锐角三角形时，则三角
形的三个内角都是锐角，而三角形是钝角三角形时，只需要三角形最大的内角是钝角.
【典例】（24-25高三上·河北·期中）已知 是锐角三角形，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
为 的面积， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（2026高三上·四川眉山·专题练习）已知 的面积记为 . 内角 ， ， 的对
边分别为 ， ， ， .
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 为锐角三角形， ，求 的取值范围.【跟踪训练2】（25-26高三上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形 中，角 、 、 的对边分别为 、
、 ，且满足 ， .
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围；
(3)若 ，求三角形 面积的取值范围．
易混易错 3 9 对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱
辨析：(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0；(2)单位向量有无数个，它们的模相
等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，
因此在解题时要注意它们的特殊性；(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上；（5）向量平行与向量
共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可以重合；
但直线平行不包含直线重合的情况．
【典例1】（25-26高三上·湖南益阳·开学考试）关于向量 下列说法中，正确的是（ ）
A．若 ，则B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【典例2】（24-25高一下·广东汕头·期中）关于平面向量，下列正确的是（ ）
A．若 是单位向量， 零向量，则
B．若向量 与 不共线，则存在一对实数 ，使
C．海拔、温度、角度都是向量
D．若 ，则四边形ABCD是菱形
【跟踪训练1】(多选) （2025高三·全国·专题练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 与 都是单位向量，则
B．直角坐标平面上的 轴、 轴都是向量
C．若用有向线段表示的向量 与 不相等，则点 与 不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·四川成都·期中）关于非零向量 ， ，下列命题中，正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ，则
易混易错 40 忽略平面向量夹角的范围与方向性 致错
辨析：（1）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角；（2）向量的夹角是指向量方向的夹角；
（3）向量的夹角范围是 ，这一点是与直线的夹角范围是不同的，要注意区分.
【典例1】（24-25高三上·广东·月考）已知向量 ， ，则“ ”是“ 与 的夹角
为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【跟踪训练1】（25-26高三上·北京顺义·期中）设点 ， ， 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是
“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【跟踪训练2】（多选）25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知平面向量 ，则下
列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 与 的夹角为锐角，则实数 的范围为
D．当 时， 在 上的投影向量的坐标为
易混易错 41 忽略向量共线时的两种情况 致错辨析：处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求
解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情
况
【典例1】（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知单位向量 与向量 共线，则向量 的坐标是
．
【典例2】（25-26高三上·广东梅州·期末）已知向量 不共线，且 ， ，若 与
同向共线，则实数 的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或
【跟踪训练1】（24-25高三上·湖北随州·期末）下列命题正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若 都为非零向量，则使 成立的条件是 与 反向共线
D．若 则
【跟踪训练2】(多选)（25-26高一上·广东广州·期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．若 共线，则
C．若 且 ，则
D．若向量 满足 ，且 在 上的投影向量为单位向量，则
易混易错 42 错用平面向量的运算律 致错辨析：（1）在实数中：若 ，且 ，则 ，但在向量的数量积中，若 ，且 ，不
能推出 ．
（2）已知实数 ，且ab=bc，则a=c，但在向量的数量积中没有 ．
（3）在实数中有 ，但是在向量 数的量积中 ，这是因为左边
是与 共线的向量，而右边是与 共线的向量．
【典例1】(24-25高二上·山东青岛·期中）已知 ，下列关系一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
∥
【典例2】（多选）（24-25高三·河北石家庄期末）已知 均为非零向量，则下列结论中正确的有（
）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ， ，且 ，则 的最大值与最小值之和为
【跟踪训练1】(多选)（25-26高三上·福建福州·期中）已知 、 、 是任意的非零向量，则下列结论正确
的是（ ）
A．非零向量 、 ，满足 且 与 同向，则
B．C．若 ，则 不与 垂直
D．
【跟踪训练2】（多选）（2026·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 与 共线且模长相等，则
C．若 且 与 方向相同，则
D． 恒成立
易混易错 4 3 混淆复数的实部、虚部等基本概念致错
辨析：求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式 z＝a＋bi(a，b R)，则该复数的实部为
a，虚部为b. ∈
【典例1】（2025·全国一卷·高考真题） 的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【典例2】（25-26高二上·云南大理·期末）已知复数 （其中 为虚数单位），则 的虚部是
（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（2025·云南·模拟预测）复数 的实部为__________.
【跟踪训练2】（25-26高三上·天津河西·月考）复数 （i是虚数单位），则复数 的虚部为_____.
易混易错 44 复数的几何意义应用 陷阱辨析：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.
【典例1】（25-26浙江绍兴统考）设复数 满足 ，且 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【典例2】（2026·上海·高考真题）已知 ，对于所有满足 的复数 ，都有 的最小值与
的最小值相同，则 .
【跟踪训练1】（25-26高三上·江苏常州·期末）已知复数 的模长 ，则 的
取值范围为___________．
【跟踪训练2】（25-26高二上·上海·月考）已知复数 满足 ，若复数
（ 是虚数单位），记 ，则 的最小值是___________．
易混易错 4 5 忽略数列与一般函数的区别致错
辨析：在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的.
【典例】（25-26高三上·安徽部分重点中学期中）已知数列 满足 ， ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知数列 满足 ，若对于任意的
都有 成立，则正整数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【跟踪训练2】（25-26高三上·天津南开·期末）设数列 的通项公式为 ，若数列 是单
调递减数列，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
易混易错 46 由 Sn 求 an 忽略 n= 1 的讨论 致错
辨析：利用S 与a 的关系求a ，作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关系是
n n n
否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式.
【典例】（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的
通项公式 .
【跟踪训练1】（25-26高二上·天津红桥·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，
则数列的通项公式为 .
【跟踪训练2】（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知 是数列 的前 项和， ， ，
则 的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．易混易错 47 等比数列问题忽略公比 q 的讨论 致错
辨析：注意等比数列的求和公式是分段表示的： ，所以在利用等比数列求和公式求和
时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知在等比数列 中， ，前三项之和 ，则公比 的
值是（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或
【典例2】（24-25高三上·浙江绍兴·期中）已知等比数列 ，首项为 ，公比为 ，前 项和为 ，若
数列 是等比数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练1】（2026·辽宁大连·模拟预测） 是正项等比数列，记 为数列 的前 项和，且满足
，则数列 的公比为___________．
【跟踪训练2】（25-26高二上·重庆·期末）在等比数列 中， ， ，
则 ______．
易混易错 48 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错辨析：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一
项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩
余的正数项，则后面剩余的是负数项.
【典例】（25-26高三上·湖南长沙期末） 已知等差数列 满足： ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若等差数列 的公差不为零，且数列 满足： ，求数列 的前99项和 .
【跟踪训练1】（25-26高二下·全国·单元测试）已知在数列 中， 且 ，设
， ，则数列 前 项和 ________．
【跟踪训练2】（2026·广东湛江·一模）在数列 中， ，令 ，则数列
的前15项的和为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
易混易错 49 错位相减求和错判项数、公比或符号 致错
辨析：利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；三是利用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用n=1代入检验结果是否成
立.
【典例】（25-26高三上·新疆喀什·月考）记 为数列 的前n项和，已知 ， 是公差为 的等
差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求数列 的前n项和 .
【跟踪训练1】（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知数列 是以2为首项，2为公比的等比
数列，且 ，数列 的前n项和为 ，则 _________．
【跟踪训练2】（25-26高三上·河南新乡·期末）过三棱柱 的棱 的中点M且与底面ABC平
行的平面内的一动点O满足： 对任意 都成立，且 ，则数
列 的前n项和 ．
