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高考数学概率统计模块 19 个易混易错全归纳
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易混易错01混淆两个计数原理致错..........................................................................................................................................
易混易错02 分步“有序”致错..................................................................................................................................................
易混易错03 分步不合理导致重复或遗漏致错.......................................................................................................................
易混易错04忽视排列数组合数公式的隐含条件致错...........................................................................................................
易混易错05 分组问题混淆“均分”与“非均分”致错.....................................................................................................
易混易错06 计数时混淆有序与定序而掉入陷阱..................................................................................................................
易混易错07 混淆“系数”与“二项式系数”而致错.........................................................................................................
易混易错08 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错.........................................................................................................
易混易错09 混淆“有放回”与“不放回”致错................................................................................................................10
易混易错10 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错..............................................................................................10
易混易错11 对条件概率理解不透彻致错..............................................................................................................................11
易混易错12 求分布列时忽视了概率之和为1而致错.......................................................................................................12
易混易错13 混淆二项分布与超几何分布致错....................................................................................................................13
易混易错14 求中位数、百分位数时忽略数据顺序致错..................................................................................................16
易混易错15 混淆总体与总体容量、样本与样本容量致错..............................................................................................17
易混易错16 对频率分布直方图中的数据特征理解不透致错.........................................................................................17
易混易错17 混淆函数关系和相关关系而致错....................................................................................................................19
易混易错18 忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错....................................................................................20
易混易错19 求解独立性检验问题对 的值理解不准确致错......................................................................................23
易混易错 0 1 混淆 两个计 数原理致错
辨析：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择
分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理；
分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理.
在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的
应用.
【典例1】（2025·上海高考真题）有一四边形 ，对于其四边 ，按顺序分别抛掷
一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿
着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高二下·广东清远·期末)如图，要让电路从 处到 处只有一条支路接通，则不同的路径
有( )A．5种 B．6种 C．7种 D．9种
【跟踪训练1】（2025·高二·重庆·期中）某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是 ，
为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为
偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能
用一天，则不同的用车方案种数是（ ）
A．24 B．27 C．30 D．33
【跟踪训练2】（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知集合 ， 是 的函数，且满
足 ，则这样的函数 的个数为____________．
易混易错 0 2 分步“有序” 致错
辨析：主要错是混淆有序抽取（排列）与无序抽取（组合），把一次性取件按分步有顺序计算，误用
分步乘法，与实际无序抽取不符，造成计数重复偏大.针对这种错误，应对策略是认真审题，分清是排
列问题还是组合问题，其中对于“至少”“至多”类型的问题，可从两个方面处理：一是从正面进行
处理，可以根据要求进行合理分类，利用分类加法计数原理求解；二是求解该事件的对立事件，即利
用排除法求解，其实质还是先进行分类．求解时要根据具体情况选取类别较少的一种方法进行解答．
【典例】（24-25高二上·福建泉州·阶段训练）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这
20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ）
A． 560 B． 2735 C． 1136 D． 480
【跟踪训练1】（25-26高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的 人中选出 人分别担任班长、
团支书、学习委员，则甲、乙至多有 人被选中的不同选法有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）多个平台公布了“2023年十大流行语”，其中有相同的
也有不同的，现从中共选取12个流行语，包括“i人/e人”“显眼包”“特种兵式旅游”“遥遥领
先”“多巴胺××”“情绪价值”“双向奔赴”“村BA”“主打一个××”“搭子”“命运的齿轮开始转动”
“质疑××，理解××，成为”，其中“显眼包”“特种兵式旅游”“多巴胺××”“遥遥领先”在多个平台
公布的“2023年十大流行语”中出现，被称为“最热流行语”．从这12个流行语中选择4个不同的
流行语，则至多包含2个“最热流行语”的选法共有（ ）
A．482种 B．462种 C．392种 D．270种
易混易错 0 3 分步不合理导致重复或遗漏 致错
辨析：对分步计数理解不清，忽略每步需满足颜色不冲突，随意按区域顺序涂色，未考虑相邻限制，
导致步骤间矛盾，结果出错.
【典例】（25-26高三上·湖北省直辖县级单位·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边
界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）
A．384种 B．168种 C．108种 D．192种
【跟踪训练1】（24-25高二下·广东深圳·期中）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4
种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（ ）
B
A C E
DA．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有 种不同涂法
B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法
C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法
D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法
【跟踪训练2】（25-26高二下·全国·课后作业）将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条
棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（ ）
A．80 B．100 C．110 D．120
易混易错 0 4 忽视排列数组合数公式的隐含条件致 错
辨析：在排列组合数的计算中，要注意上标和下标的限制条件，从而根据条件正确计算，或列出相应
的方程、不等式（组）求解参数的值.
【典例1】（25-26高三上·上海宝山·统考）已知关于正整数 的方程 ，则该方程的解为
.
【典例2】（24-25高二下·吉林·期末）若 ，则 _________.
【跟踪训练】（24-25高二下·江苏无锡·月考）（1）求值： ；
（2）解方程： ；
（3）解不等式： .易混易错 0 5 分组问题混淆“均分”与“非均分” 致错
辨析：（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
【典例】将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)(非均匀分组)-堆一本，一堆两本，一堆三本；
(2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
(3)（不定向分配）-人得一本，一人得二本，一人得三本；
(4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人；
(5)（平均分组）平均分成三堆．【跟踪训练1】（25-26高二下·江西赣州·开学考试）诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的
喜爱．现有甲、乙、丙等6人前往江西上犹“阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，
已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹
“阳明湖”旅游的概率为________．
【跟踪训练2】（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个
社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人．
(1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？
(2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？
(3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？
易混易错 0 6 计数时混淆有序与定序而掉入陷阱
辨析：1.一般地，对于某些元素的顺序固定型问题，解决时有两种方法：
(1)倍缩法：先不考虑限制条件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列；
(2)空位(或占位)法：在总位置中，安排非定序元素的位置，然后对定序元素进行排列时，只有1
种排法．如已知n个不同的元素进行排列，要求其中m(m≤n，n N*，m N*)个元素相对顺序固定不变，
有种不同的方法，或从n个位置中排m个元素之外的n－m个元∈素，再放∈这定序的m个元素，共有A
种不同的方法．
对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m
个，则排列数为.2.相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干
隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之
为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1
块板．
【典例1】（25-26高三上·全国·专题训练）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位
数有（ ）
A．8个 B．12个 C．18个 D．24个
【典例2】（25-26高三上·郑州·模拟）某班2026年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前
又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为( )
A．2 B．11
C．36 D．42
【跟踪训练1】（25-26高三上·河南商丘·月考）甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、
从高到低的固定顺序，共有排法（ ）
A．144种 B．108种 C．120种 D．360种
【跟踪训练2】（25-26高三上·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现
要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．8400 B．11760 C．13440 D．20160
易混易错 0 7 混淆“系数”与“二项式系数”而 致 错
辨析：处理二项展开式的系数问题要区分“二项式系数”与“项的系数”的区别：二项展开式中各项
的二项式系数为 ( ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.【典例】（25-26高三·上海·随堂练习）已知 的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，
系数最大的项为b，则 ．
【跟踪训练1】（25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展
开式中的常数项是_______ .
【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）已知 ，二项式 展开式的前三项的系数
成等差数列，则展开式中二项式系数的最大值为______，系数最大值为______．
易混易错 0 8 混淆互斥、对立、独立事件的概念 致错
辨析: (1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，
若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
(2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系；
②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生
与否对另一个事件发生的概率没有影响.
【典例】 (多选)（2026广东广州一中期中）现有 ， 两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其
他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球 ， ，再将两箱子混合后取出一个小
球 ，事件 ：“小球 为红色”，事件 ：“小球 为白色”，事件 ：“已知 颜色的前提一下，
小球 为红色”，则下列说法错误的有（ ）A． 发生的概率为 B． 与 互斥
C． 与 相互独立 D． 发生的概率为
【跟踪训练1】(多选)（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知随机事件 满足
，且事件 与 相互独立，则下列说法正确的是（ ）
A．若 与 相互独立，则
B．若 ，则 与 相互独立
C．若 与 互斥，且 与 也相互独立，则
D．若 与 相互独立，且 与 也相互独立，则
【跟踪训练2】（25-26高三上·四川达州·期末）如图，一个电路中有 四个电器元件，每个元
件可能正常，也可能失效．记 “电路是通路”， “电路是断路”， “至少三个元件正
常”， “恰有三个元件正常”，则（ ）
A． 与 互斥，但不对立
B． 与 互斥，但不对立C．
D．
易混易错 0 9 混淆“有放回”与“不放回”致错
辨析：在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取
时每一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即
总体个数要变，概率也变.
【典例1】（25-26高三·上海·课堂例题）已知向量 ， ，从6张大小相同分别标有号
码 的卡片中，有放回地抽取两张， 、 分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，
则满足 的概率是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依
次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）不透明的盒子中装有大小质地相同的2个红球、2
个白球、4个黄球，若采取不放回的方式每次从盒子中随机摸出一个小球，当三种颜色的球都被摸到
时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量 ，则 ______．
【跟踪训练2】（25-26高三下·四川成都·开学考试）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于325的共有___________个；若从这10个数字中每次有放回地随机抽取
一个数字称为一次试验，抽中数字7则试验停止，若要使随机事件“在前N次试验内停止试验”的概
率大于0.523，N的最小值为___________．
（参考数据： ， ）
易混易错 1 0 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏 致错
辨析：在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征.随后，关键在于构建样本空
间，这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的
样本空间；二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否
可以重复出现.明确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点
数量，最后利用古典概型的概率计算公式，得出所求事件的概率.
【典例】（多选）（2026湖南衡阳三中月考）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得
6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，
选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会
做，以下说法正确的是（ ）
A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为
B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为
C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高
D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同
【跟踪训练1】(2024全国甲文科高考)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的
概率是( )1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 3
【跟踪训练2】（25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，观察向
上的点数，则点数之差的最大值为4的概率是________．
易混易错 1 1 对条件概率理解不透彻致错
辨析：解决条件概率问题的步骤
第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概
率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概
率．若为条件概率，则进行第二步．
第二步，计算概率，这里有两种思路：
缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，
思路一
AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算
直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利
思路二
用公式P(A|B)＝计算
【典例】（25-26高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对
400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有 的学生每天饮用碳酸
饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为 ，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为 .
若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ）
A． B． C． D．【跟踪训练1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）盒中有 个白球、 个黑球（这些球除颜色外没
有其他差异）.随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入 个与取出的球同色的球，再次从盒
中随机取出一个球.则第二次取出的球是白球的概率为________；在第一次取出白球的条件下，第二次
取出的球是白球的概率为________.
【跟踪训练2】（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出 两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提
供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了 套餐，则第2天选择 套餐的概率为 ；若他前1
天选择了 套餐，则第2天选择了 套餐的概率为 ．已知他开学第1天中午选择 套餐的概率为 ，
在该同学第3天选择了 套餐的条件下，他第2天选择 套餐的概率为___________．
易混易错 1 2 求分布列时忽视了概率之和为 1 而致错
辨析：1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值.
2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特
定事件的概率.
3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 0.36则常数 ．
【跟踪训练1】（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）离散型随机变量 的分布列为
为常数，则 ______.
【跟踪训练2】（24-25高二下·陕西西安·月考）设 是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则
__________．
易混易错 1 3 混淆二项分布与超几何分布致错
辨析：“二项分布”与“超几何分布”的区别
(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要.(2)有放回抽取问题对应二项分布，不放
回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.
【典例1】（25-26高三上·辽宁朝阳·期末）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，
整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽
取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童
降世2》的样本观测数据整理如下：
没看过 合计
看过
青年组 30 20 50
非青年组 15 35 50
合计 45 55 100
记 表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为 表示“抽取到的市民为
非青年组”，其概率为 ．
(1)给出 的估计值；
(2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个
小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔
童降世2》的人数 的分布列和数学期望．
【典例2】（25-26高三上·安徽宣城·期末）某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参
赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者
第一轮基础知识作答成功的概率为 ，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为 ；若他第一轮基础知识作答失败时，第
二轮拓展知识比拼成功的概率为 ，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功.
(1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率；
(2)记 为参赛居民中闯关成功的人数，求 的数学期望与方差.
【跟踪训练1】（25-26高三下·天津红桥·开学考试）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若
一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分
别为 和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜
的概率为________；若3次活动中，甲获胜的次数记为 ，则随机变量 的期望为________.
【跟踪训练2】（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购
物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．
若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现
金20元．
(1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望；
(2)顾客B消费了1000元．
①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少?②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?
（备注：不能同时参加抽奖和打折活动）
易混易错 1 4 求中位数、百分位数时忽略数据顺序 致错
辨析：在求数据的中位数、百分数时，一定要先把数据从小到大排列，然后再根据中位数、百分数的
定义进行求解.
【典例】（25-26高三上·湖北襄阳·月考）一组从小到大排列的数据： ， ， ， ， ， ， ， ，
， 若它们的 百分位数是中位数的两倍，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（2026·河北衡水·模拟预测）某中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的
演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为
，17，18，若该组数据的中位数是极差的 ，则m的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12【跟踪训练2】(多选)（2026·河北·一模）某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万
元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份
B．这10个月营业额的平均数为32.5万元
C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差
D．这10个月营业额数据的第70百分位数为43
易混易错 1 5 混淆总体与总体容量、样本与样本容量 致错
辨析：(1) 总体是指考察对象的全体，而总体容量是指总体的个数；
(2)样本是指从总体中抽取的若干个个体组成的集合，而样本容量是指样本个体的数目，要注意二者的
区别．
【典例】（25-26高二上·安徽·月考）某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中
200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（ ）
A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体
C．200名学生的视力是总体的一个样本D．1200名学生是总体
【跟踪训练】(多选)（24-25高一下·广东揭阳·期中）从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学
生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩B．样本是指1000名学生的数学成绩
C．样本量指的是1000名学生
D．个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩
易混易错 1 6 对频率分布直方图中的数据特征理解不透 致错
辨析：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直
方图中：
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方
形底边中点的横坐标之和.
【典例】（多选）（25-26高三上·江西上饶·期末）上饶市某学校从高一的800名男生中随机抽取50
名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组
，第二组 ，⋯，第八组 .下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一
部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.以下说法正确的是（ ）
A．第二组的频率为0.016
B．第七组的频率为0.06C．估计该校高一800名男生的身高的中位数约为
D．估计该校高一800名男生的身高的平均数约为
【跟踪训练1】（25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试）午子山景区，又称“午子山风景名胜区”，简
称“午子山”，亦名“武子山”或“母子山”，是国家AAAA级旅游景区，位于陕西省汉中市西乡县
堰口镇堰口社区，总面积约27平方千米，始建于西汉．午子山景区是集自然山水风光、珍稀植物、
茶园、果园、田园风光、堰上古镇、宗教文化活动等于一体的旅游风景名胜区，为道教活动圣地和陕
南道教活动中心，素有“汉南胜景区、陕南小华山、陕南小武当”之美称，是观光旅游、宗教朝拜的
圣地．为更好地提升旅游品质，午子山景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分，
根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．判断下列说法正确的是（ ）
A．
B．工作人员所选取的100人中在 的人数为3人
C．工作人员采用按分层抽样的方法从评分在 的两组中共抽取6人，则在 中
抽取2人，在 中抽取4人
D．按分层抽样的方法从评分在 的两组中抽取的6人中再抽两人，则选取的2人评分
分别在 和 内各1人的概率为【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·浙江宁波·期末）海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产
量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，乙试验区选择第二种养殖方法.收获时，从两个试验区各随机
抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：千克），其频率分布直方图如下图所示.
记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到 的估计值为0.70，则（ ）
A．乙试验区产量频率分布直方图中 ，
B．甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数
C．甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数
D．甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数
易混易错 1 7 混淆函数关系和相关关系而 致 错
辨析：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系，
而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
【典例】（24-25高三上·江西南昌·训练）对两变量间的关系，下列论述正确的是（ ）
A．任何两个变量都具有相关关系
B．正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系
C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系
【跟踪训练】（多选）（2025高二·全国·专题练习）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单
位：cm）具有线性相关关系.根据一组样本数据 ，用最小二乘法建立的经验回归方
程为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．经验回归直线一定经过点
C．若该大学某女生身高增加2cm，则其体重约增加1.7kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可以判断其体重必为58.79kg
易混易错 1 8 忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系 致错
辨析：在求回归曲线方程时一定要先判断回归曲线类型，若是非直线方程，就要转化为回归直线方程
求解，在计算过程中要注意求回归系数的两个公式之间的相互转化.
常见的非线性回归模型：
（1）指数函数型 （ 且 ， ）
两边取自然对数， ，即 ，
令 ，原方程变为 ，然后按线性回归模型求出 ， ．
（2）对数函数型令 ，原方程变为 ，然后按线性回归模型求出 ， ．
（3）幂函数型
两边取常用对数， ，即 ，
令 ，原方程变为 ，然后按线性回归模型求出 ， ．
（4）二次函数型
令 ，原方程变为 ，然后按线性回归模型求出 ， ．
（5）反比例函数型 型
令 ，原方程变为 ，然后按线性回归模型求出 ， ．
【典例1】（25-26高二上·全国·期末）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，
其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数 （个）和温度 （ ）的8组观测数据，制成
图1所示的散点图.现用两种模型① ，② 分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并
进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如下值：
2.
25 646 168 422688 50.4 70308
9
表中 ； ； ；
(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？
(2)根据（1）中所选择的模型，求出 关于 的回归方程．
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别
为， ，
【典例2】（2025高二·全国·专题练习）根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设 ，利用最小二乘法，得到线性回归方程为 ，则下列说法中正
确的是（ ）
A．变量y关于x的非线性回归曲线是轴对称图形
B．变量y关于x的非线性回归曲线是中心对称图形
C．当 时，变量y的估计值取到最小值e
D．当 时，变量y的估计值取到最大值
【跟踪训练】（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对
环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某
地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
购买量
0.40 0.70 1.10 1.50 1.80
（万辆）
(1)计算 与 的相关系数 （保留三位小数）；
(2)求 关于 的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量．
参考公式： ．
参考数值： ．易混易错 1 9 求解独立性检验问题对 的值理解不准确 致错
辨析：在实际问题中,独立性检验的结论仅是一种数学关系表述,得到的结论有一定的概率出错．在利
用2×2列联表计算 的值之前,先假设两个分类变量是无关的,最后再利用 的值的大小对二者关系进
行含概率的判断．
【典例1】（25-26高二·全国·假期作业）随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线
城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．
非一 一 总
线 线 计
愿生 45 20 65
不愿
13 22 35
生
总计 58 42 100
附表
0.025 0.010 0.001
5.024 6.635 10.828
由 算得， ，参照附表，得到的正确结
论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
【典例2】（多选）（25-26·陕西汉中·一模）某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，
该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（ ）
周平均使用时间
年龄
超过4小时 不超过4小时 总计
不超过40岁 54 b 72
40岁以上 c d
总计 72 120
附： ， ．
（1）当 时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
（2）当 时，有90%的把握判断变量A，B有关联；
（3）当 时，有99%的把握判断变量A，B有关联；
（4）当 时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联．
A．
B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为
C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关
【跟踪训练1】（2025·湖南·一模）随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为
各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法
正确的是（ ）
A．甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次 关于年龄 的经验回归方程为
，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2
B．乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数 ，可以推断
两个变量正线性相关，且相关程度很强
C．丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值 的 独立性检验，计算得
到 ，可以认为不同性别的AI使用频次有差异
D．丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数 来比较模型的拟合效果，经验回归方程①
和②的 分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多
【跟踪训练2】（2026·辽宁大连·模拟预测）为研究事件 与事件 的关系，某机构进行了一次随机抽
样调查，共回收有效问卷 份，调查结果按是否满足事件 和事件 分类统计，得到如下列联表（表
中数字对应相应情况的人数），用频率估计概率．
是否满足事件
满足事件
不满足事件 合计
是否满足事件满足事件
不满足事件
合计
(1)如果事件 与事件 无关，证明： ；
(2)已知 ：
（i）填写表格剩余内容；
（ii）已知依据小概率值 的独立性检验，可以判断事件 与事件 有关，求有效问卷数 的
最小值．
附： ， ．
