高考数学方法技巧全归纳
（集合、逻辑、不等式、向量、复数、统计与概率）
目录
方法技巧01 集合的概念................................................................................................................................................................1
方法技巧02 集合间的基本关系..................................................................................................................................................1
方法技巧03 集合的运算................................................................................................................................................................2
方法技巧04 Venn图的应用及创新性问题...............................................................................................................................3
方法技巧05 充分、必要条件的判定.........................................................................................................................................4
方法技巧06 充分、必要条件的探求.........................................................................................................................................5
方法技巧07 充分、必要条件的应用.........................................................................................................................................5
方法技巧08 含量词命题的否定..................................................................................................................................................7
方法技巧09 含量词命题的真假判断.........................................................................................................................................8
方法技巧10 含量词命题的应用..................................................................................................................................................9
方法技巧11 数(式)的大小比较....................................................................................................................................................9
方法技巧12 不等式的性质.........................................................................................................................................................10
方法技巧13 不等式性质的应用................................................................................................................................................12
方法技巧14 直接用基本不等式求和或积的最值................................................................................................................13
方法技巧15 配凑法求最值.........................................................................................................................................................14
方法技巧16 常数代换法求最值................................................................................................................................................15
方法技巧17 消元法求最值.........................................................................................................................................................16
方法技巧18 不等式法求最值....................................................................................................................................................17
方法技巧19 多次运用基本不等式...........................................................................................................................................19
方法技巧20 利用基本不等式求参数的值或范围................................................................................................................20
方法技巧21 基本不等式的实际应用.......................................................................................................................................21
方法技巧22 不含参的不等式的解法.......................................................................................................................................23
方法技巧23 含参数的一元二次不等式的解法....................................................................................................................25
方法技巧24 根据一元二次不等式的解集求参数................................................................................................................26
方法技巧25 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数.........................................................................................27
方法技巧26 一元二次不等式恒成立问题..............................................................................................................................29
方法技巧27 一元二次方程根的分布问题..............................................................................................................................30
方法技巧28 平面向量的概念....................................................................................................................................................34
方法技巧29 平面向量的线性运算...........................................................................................................................................35
方法技巧30 向量共线定理的应用...........................................................................................................................................37
方法技巧31 平面向量基本定理的应用..................................................................................................................................39
方法技巧32 平面向量的坐标运算...........................................................................................................................................40
方法技巧33 向量共线的坐标表示...........................................................................................................................................42
方法技巧34 平面向量数量积的运算.......................................................................................................................................43
方法技巧35 平面向量数量积的应用.......................................................................................................................................45
方法技巧36 平面向量的应用....................................................................................................................................................47
方法技巧37 极化恒等式求数量积...........................................................................................................................................48
方法技巧38 极化恒等式求数量积的最值..............................................................................................................................49方法技巧39 复数的有关概念....................................................................................................................................................51
方法技巧40 复数的四则运算....................................................................................................................................................52
方法技巧41 复数的几何意义....................................................................................................................................................53
方法技巧42 两个计数原理及综合应用..................................................................................................................................54
方法技巧43 排列、组合问题....................................................................................................................................................56
方法技巧44 分组、分配问题....................................................................................................................................................57
方法技巧45 二项展开式的通项公式的应用.........................................................................................................................58
方法技巧46 二项式系数和与系数和.......................................................................................................................................60
方法技巧47 二项式系数与系数最值.......................................................................................................................................62
方法技巧48 二项式定理的应用................................................................................................................................................63
方法技巧49 随机事件与样本空间...........................................................................................................................................64
方法技巧50 随机事件的频率与概率.......................................................................................................................................65
方法技巧51 古典概型..................................................................................................................................................................67
方法技巧52 事件的相互独立性................................................................................................................................................68
方法技巧53 条件概率..................................................................................................................................................................71
方法技巧54 全概率公式的应用................................................................................................................................................72
方法技巧55 离散型随机变量分布列的性质.........................................................................................................................73
方法技巧56 离散型随机变量的分布列及数字特征...........................................................................................................75
方法技巧57 离散型随机变量数字特征在决策中的应用..................................................................................................79
方法技巧58 二项分布的期望....................................................................................................................................................82
方法技巧59 二项分布的性质....................................................................................................................................................84
方法技巧60 超几何分布..............................................................................................................................................................88
方法技巧61 正态分布..................................................................................................................................................................91
方法技巧62 二项分布与超几何分布的区别.........................................................................................................................94
方法技巧63 简单随机抽样.........................................................................................................................................................96
方法技巧64 分层随机抽样.........................................................................................................................................................97
方法技巧65 分层随机抽样的均值与方差..............................................................................................................................98
方法技巧66 统计图表..................................................................................................................................................................99
方法技巧67 总体百分位数的估计.........................................................................................................................................103
方法技巧68 总体集中趋势的估计.........................................................................................................................................104
方法技巧69 总体离散程度的估计.........................................................................................................................................107
方法技巧70 成对数据的相关性.............................................................................................................................................109
方法技巧71 一元线性回归模型.............................................................................................................................................110
方法技巧72 非线性回归模型..................................................................................................................................................113
方法技巧73 独立性检验...........................................................................................................................................................117
方法技巧74 以统计图表为载体的概率、统计问题.........................................................................................................119
方法技巧75 概率、统计与数列的综合问题.......................................................................................................................123
方法技巧76 概率、统计与函数的交汇问题.......................................................................................................................127方法技巧 0 1 集合的概念
解决集合含义问题的注意点
一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构
造关系式解决相应问题．
【典例1】(2025·广东深圳中学模拟)设集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，若4∈A，则a的值为(
)
A．－1，2 B．－3
C．－1，－3，2 D．－3，2
【典例 2】(2024·江苏南京二模)已知集合 A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－
y∈A}，则集合B的元素个数为________．
方法技巧 0 2 集合间的基本关系
已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化
为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程，特别注意端点值
的取舍，“＝”加不加．
提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成
漏解．
{ | 1 } { | k }
【典例1】(2024·江苏南通三模)已知集合M＝ x x=k+ ，k∈Z ，N＝ x x= +1，k∈Z
2 2
，则( )
A．M N B．N M
C．M＝N D．M∩N＝∅
⊆ ⊆
【典例2】已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B A，则实数m的取值
范围是________．
⊆
方法技巧 0 3 集合的运算
解决集合运算问题的注意点
(1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值．
(2)对集合进行化简，即解不等式，解方程，求定义域、值域等，通过化简可以使问题变得简
单明了．(3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．
(4)端点值验证．
【典例1】(2025·八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{0，1} D．{－1，0，1，4}
【典例2】(2024·全国甲卷)集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|❑√x∈A}，则
∁A
(A∩B)＝(
)
A．{1，4，9} B．{3，4，9}
C．{1，2，3} D．{2，3，5}
【典例 3】全集 U＝{x|x<10，x∈N*}，A U，B U，(∁U B)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，
(∁U A)∩(∁U B)＝{4，6，7}，则A∪B＝____
⊆
____．
⊆
方法技巧 0 4 Venn 图的应用及创新性问题
Venn图具有形象直观的特征，应用Venn图可以解决两大类问题：一是处理部分有限集合的
元素个数的计数问题；二是解决抽象集合的运算问题或判断集合间的关系问题．
【典例1】定义两集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x∉N}，已知集合A＝{2，3，5}，B
＝{3，5，8}，则A－(A-B)的子集个数为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
【典例2】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，
已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6
人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
方法技巧 0 5 充分、必要条件的判定
判断充要条件的三种方法
(1) 定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2) 集合法：利用集合的包含关系判断．小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必
要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系．
(3) 传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p ⇒p ⇒…⇒p ，可得p ⇒p ；充要条
1 2 n 1 n
件也有传递性．【典例1】(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例2】(2025·江苏扬州模拟)已知集合A＝{0，a2}，B＝{1，a＋1，a－1}，则“a＝1”是
“A B”的( )
A．必要不充分条件
⊆
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
方法技巧 0 6 充分、必要条件的探求
探求充分条件、必要条件的方法
（1）寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p，即p⊆q；
（2）寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，即q⊆p；
（3）寻求q的充要条件p，即寻求使q成立的条件p（p⇒q），同时又要寻求以q为条件可推出p成立
（q⇒p），即p＝q.
【典例1】“ln (x＋1)<0”的一个必要不充分条件是( )
1
A．－1<x<－ B．x>0
e
C．－1<x<0 D．x<0
【典例2】(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是( )
A．a＝－1 B．a＝b
C．b＝1 D．ab＝1
方法技巧 0 7 充分、必要条件的应用
用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
(3)充分必要条件与集合包含之间的关系．
【典例1】(多选)(2024·山西太原模拟)已知关于x的方程x2＋ax＋a＋3＝0，则( )
A．当a＝2时，方程有两个不相等的实数根B．方程无实数根的一个充分条件是－2<a<4
C．方程有两个不相等的负根的充要条件是a>6
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<－4
【典例2】已知条件 ，条件 ，且 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
方法技巧 0 8 含量词命题的否定
对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法
（1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
（2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.
【典例1】命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，则命题p为( )
A．∀x<0，x＋2>2x
B．∃x≥0，使得x＋2>2x
C．∀x<0，x＋2≤2x
D．∃x≥0，使得x＋2≤2x
【典例2】（2024·四川达州·统考二模）命题p： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【典例3】已知命题 ： ，使得 且 ，则 为（ ）
A． ，使得 且 B． ，使得 或
C． ，使得 或 D． ，使得 且
方法技巧 0 9 含量词命题的真假判断
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
（1）全称量词命题：①要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合 M中的一个特殊值x＝x ，使p（x ）
0 0
不成立即可.
（2）存在量词命题：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合 M中，找到一个x＝x ，使p
0
（x）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题.
0
【典例1】(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(
)
A．p和q都是真命题
B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题
D．¬p和¬q都是真命题
【典例2】（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题中为真命题的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ， 是整数
真
选项 原因
假
A 假 举反例，例如 ，但 ．
B 假 因为对于任意实数 ， ，所以 ，恒大于0.
C 假 举反例，当 时， ，不满足 ．
对于任意的整数 ， 一定是整数， 也一定是整数，
D 真
所以 ， 是整数．
方法技巧 1 0 含量词命题的应用
由命题的真假求参数的策略
（1）巧用三个转化：①全称量词命题可转化为恒成立问题；②存在量词命题可转化为存在性问题；③全
称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真.
（2）准确计算：通过解方程或不等式（组）求出参数的值或范围.
【典例1】若命题p：“∃x∈R，x2－mx－m≤0”为假命题，则实数m的取值范围是________．
【典例2】若命题“∃x∈[1，4]，使λx2＋x－2>0成立”的否定是真命题，则实数 λ的取值范
围是________．方法技巧 1 1 数 ( 式 ) 的大小比较
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③判断商与1的大小关系；④得
出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
(4)找中间量比较大小(如1，－1，0，2，…)．
ln3 ln4 ln5
【典例1】若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则( )
3 4 5
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．b<a<c
【典例2】已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为________．
方法技巧 1 2 不等式的性质
判断不等式正误的常用方法
(1)利用不等式的性质进行验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用
性质的条件．
(2)利用特殊值法排除错误不等式．
(3)利用函数的单调性，当利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、
幂函数等函数的单调性来比较．
【典例1】(多选)(2024·安徽淮北一模)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是( )
A．若a>b>c，则a＋b>c
B．若a>b>|c|，则a2>b2>c2
c c
C．若a<b<c<0，则 >
a b
b b+c
D．若a>b>c>0，则 <
a a+c
【典例2】(多选)已知实数a，b，c满足0<a<b<c，则下列说法正确的是( )
1 1 b b+c
A． > B． >
c-a b-a a a+c1 1
C． > D．ab＋c2>ac＋bc
a(c-a) b(c-a)
方法技巧 1 3 不等式性质的应用
求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得代数式的
取值范围．
提醒：在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，如“a＜b，c＜d a＋c＜b
＋d”，反之不成立．
⇒
【典例1】(多选)(2025·湖南长沙模拟)已知实数x，y满足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，则(
)
A．x的取值范围为(－1，2)
B．y的取值范围为(－2，1)
C．x＋y的取值范围为(－3，3)
D．x－y的取值范围为(－1，3)
a2
【典例2】已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则 的取值范围为( )
b
(4 9)
A．(1，3) B． ，
3 4
(2 3) (1 )
C． ， D． ，1
3 4 2
【典例3】已知－1＜2s＋t＜2，3＜s－t＜4，则5s＋t的取值范围为________．
方法技巧 1 4 直接用基本不等式求和或积的最值
利用基本不等式求最值的原则及注意点
(1)原则：积定和最小，和定积最大；
(2)注意点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值
时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备．
【典例1】(2025·湖北武汉模拟)已知正数a，b满足a＋2b＝1，则( )
1 1
A．ab≥ B．ab>
8 8
1 1
C．0<ab≤ D．0<ab<
8 84 1
【典例2】(2025·浙江台州模拟)已知a，b为正实数， + ＝1，则( )
a2 b2
A．ab的最小值为4 B．ab的最大值为4
C．ab的最小值为2 D．ab的最大值为2
【典例3】已知0<x<2，则x2(4-x2)的最大值为( )
A．8 B．16
C．2 D．4
方法技巧 1 5 配凑法求最值
常见的配凑法求最值模型
n √ n
(1)模型一：mx＋ ≥2❑√mn(m>0，n>0，x＞0)，当且仅当x＝❑ 时等号成立；
x m
n n
(2)模型二：mx＋ ＝m(x－a)＋ ＋ma≥2❑√mn＋ma(m>0，n>0，x＞a)，当且仅当x－a
x-a x-a
√ n
＝❑ 时等号成立．
m
2 9
【典例1】若x< ，则函数f (x)＝3x＋1＋ 有( )
3 3x-2
A．最大值0 B．最小值9
C．最大值－3 D．最小值－3
❑√2
【典例2】已知0＜x＜ ，则x❑√1-2x2的最大值为________．
2
x
【典例3】(2024·河北唐山一模)已知函数f (x)＝ ，则f (x)的最小值为( )
❑√x-2
A．0 B．2
C．2❑√2 D．3
3 y x x
【典例4】(2025·湖南长沙模拟)若实数x>2y>0，则 + 的最小值为________，此时 ＝
x-2y y y
________．
方法技巧 1 6 常数代换法求最值
“1”的妙用
(1)乘“1”法是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形后达到运用基a b
本不等式的条件，即积为定值．主要解决形如“已知 x＋y＝t(t为非零常数)，求 + 的最
x y
a b (a b) x+ y
值”的问题，先将 + 转化为 + · ，再用基本不等式求最值．
x y x y t
my nx
(2)常数“1”的代换，即把求解目标中的常数代数化，化为形如求“ + 的最值”问题，
x y
进而可以使用基本不等式达到解题的目的．
【典例1】（2024春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）已知 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
1 2
【典例2】(2025·咸阳模拟)已知a>0，b>0，且 ＋ ＝1，则a＋b的最小值为 .
a＋1 b＋1
1 2
【典例3】已知正数a，b满足a＋2b＝3，则 + 的最小值为________．
a+1 b
方法技巧 1 7 消元法求最值
消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一
个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式
求解．注意所保留变量的取值范围
【典例1】已知实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y的最小值是( )
❑√2 2❑√2
A. B. C.2❑√2 D.3❑√2
3 3
【典例2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】(2024·浙江嘉兴二模)若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是( )
❑√6
A．❑√6 B．
2
C．2❑√2 D．2
方法技巧 1 8 不等式法求最值
当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关
于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.【典例1】(多选)(2025·青岛模拟)若实数a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是( )
A.a＋b≤8 B.ab≥16
1 4 4
C.a＋3b≥4＋6❑√3 D. ＋ ≥
a-1 b-1 3
【典例2】（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）已知x，y均为正数， ，则 的最小值是
（ ）
A．4 B．5 C．7 D．
【典例3】（2025·云南昆明·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
方法技巧 1 9 多次运用基本不等式
在求解某些复杂一些的最值问题时，可能会需要连续多次使用基本不等式进行放缩.此时，我们需要注意两
点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致，即多次放大或者多次
缩小，一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件，只有多个等号能够同
时成立时方可.
【典例1】（2024·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若 ， ，则 的最小值
为（ ）
A． B．2 C． D．4
【典例2】（2022·天津·一模）设 ，那么 的最小值是 .
方法技巧 2 0 利用基本不等式求参数的值或范围
对于不等式恒(能)成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值．
(1) x∈M，使得f (x)≥a，等价于f (x) ≥a；
max
(2) x∈M，使得f (x)≤a，等价于f (x) ≤a；
∃ min
(3) x∈M，使得f (x)≥a，等价于f (x) ≥a；
∃ min
∀(4) x∈M，使得f (x)≤a，等价于f (x) ≤a．
max
【典例1】(2025·山东滨州模拟)若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则实数a的
∀
取值范围是( )
A．[0，4] B．(-∞，4]
( 13]
C． -∞， D．(-∞，5]
3
4 1 3
【典例2】若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式 + <m2＋ m有解，则实数m的取值范
x+1 y 2
围是________．
方法技巧 2 1 基本不等式的实际应用
利用基本不等式解决实际问题的注意点
(1)设变量时，一般把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)解题时，一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用 f (x)
a
＝x＋ (a＞0)的单调性．
x
(4)在实际问题中利用基本不等式求最值时，必须指明等号成立的条件．
【典例1】某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如
图所示．每个育苗池的底面面积为200 m2，深度为2 m，育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路
设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20)，甬路的面积为S m2．
(1)求S与x之间的函数关系式；
(2)已知育苗池四壁的造价为 200元/m2，池底的造价为600元/m2，甬路的造价为100元/m2，
若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低总造价．
【典例2】(2025·湖南长沙模拟)快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心．假
定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中
心到货运枢纽的距离成正比．经测算，如果在距离货运枢纽 10 km处配建分拣中心，则每月
的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元．要使得两项成本之和最小，分拣中
心和货运枢纽的距离应设置为( )
A．5 km B．6 kmC．7 km D．8 km
方法技巧 2 2 不含参的不等式的解法
1.解一元二次不等式的方法和步骤
2.一元高次不等式的解法，数轴穿根法：先因式分解再用穿根法，依据：从左至右，从上至下，依次穿根，
奇过偶不过，注意x系数为正．
如(x－1)2(x－2)(x－3)>0在数轴上标根穿线，点1处的线过而不穿．
3.简单分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)
⇔
4.绝对值不等式：
⇔
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
5.简单的指数与对数不等式的解法
(1)若a>1，af(x)>ag(x) f(x)>g(x)；
若0<a<1，af(x)>ag(x) f(x)<g(x)．
⇔
(2)若a>1，log f(x)>log g(x) f(x)>g(x)>0；
a ⇔a
若0<a<1，log f(x)>log g(x) 0<f(x)<g(x)．
a a ⇔
【典例1】(多选)下列选项 ⇔ 中，正确的是( )
A.不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|x<－2或x>1}
2x＋1
B.不等式 ≤1的解集为{x|－3≤x<2}
x-2
C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
x＋4
D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“ <0”的充分不必要条件
x-5【典例2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列不等式的解集：
(1)
(2)
(3) ．
方法技巧 2 3 含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式的步骤
【典例1】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
【典例2】解关于x的不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)．
方法技巧 2 4 根据一元二次不等式的解集求参数
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应
的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
【典例1】(多选)(2025·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则
下列结论正确的是( )
A.a>0
B.a＋b＋c>0
{ | 5 }
C.bx＋c>0的解集是 x x>
6{ | 1 }
D.cx2－bx＋a<0的解集是 x x>- 或x<-1
5
【典例2】(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x ，x )，则下列结论正确的是(
1 2
)
A.x ＋x ＝2 B.x x <－3
1 2 1 2
C.－1<x <x <3 D.x －x >4
1 2 2 1
方法技巧 2 5 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数
1.定开口与判别式
先确定二次项系数符号，判断抛物线开口方向；计算判别式，确定不等式有解的前提，保证解集为连续区
间。
2.求根并标区间
解出对应一元二次方程的两根 x ,x ，结合不等号写出解集区间 (x ,x ) 或 (-∞,x )∪(x ,+∞)，
1 2 1 2 1 2
只关注有限连续区间内的整数。
3.画数轴锁定整数
在数轴上标出区间端点，根据题目“整数解个数”，圈出所有符合条件的整数，确定端点必须夹在哪两个
整数之间。
4.列不等式组求参数
根据区间端点与整数的位置关系，列出关于参数的不等式组，注意等号能否取到（端点是否包含整数），
解出参数范围。
【典例1】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）不等式 的解集中恰有三个整数，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
【典例2】关于x的不等式 的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
方法技巧 2 6 一元二次不等式恒成立问题恒成立问题求参数的取值范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不
能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
(3)特别注意对二次项系数为0的讨论，因为不等式不一定为一元二次不等式．
【典例1】若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范
围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，－2)
C．(－2，2) D．(－2，2]
【典例2】若不等式ax2－x＋a>0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为
________．
【典例 3】若∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0 恒成立，则实数 x 的取值范围为
________．
方法技巧 2 7 一元二次方程根的分布问题
解决—元二次方程实根分布问题,需结合二次函数图像与性质分析。核心步骤：
（1）明确根的范围：用具体取值条件描述根的分布(如 "两根都大于 2"，"一根小于 1,一根大于 3"等)。
（2）转化为函数条件：设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ,根据根的范围列不等式组：
①开口方向( a 的符号)；
②判别式 (Δ≥0 ,保证有实根) ;
③ 端点函数值符号(如根大于 k 时, f(k) 的符号结合开口方向判断)；
④ 对称轴位置
（3）联立求解：解不等式组得参数范围,验证边界情况。
通过图像直观分析,将根的分布转化为函数在特定取值下的符号及对称轴条件,可高效求解。
【典例1】若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x ，x ，且x <1<x ，则a的取值
1 2 1 2
范围是( )
2 2 2
A.－ <a< B.a>
7 5 5
2 2
C.a<－ D.－ <a<0
7 11【典例2】已知方程 ，在下列条件下，分别求 的范围．
(1)有两个不同的正根；
(2)有两个不同的负根；
(3)一个根在 内，另一个根在 内；
(4)两个不同的根都大于 ；
(5)两个不同的根都小于1；
(6)一个根大于1，一个根小于1；
(7)两个不同的根都在 内；
(8)有两个不同的根，有且仅有一个根在 内；
(9)一个根小于2，一个根大于4；
(10)一个根在 内，另一个根在 内；
(11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大；
(12)在 内无实根．
方法技巧 2 8 平面向量的概念
向量有关概念的四个关注点
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的．
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量不可以比较大小，但向量的模可以比较大小．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
a
(4) 是与非零向量a同方向的单位向量．
|a|
【典例1】(多选)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论正确的是( )
A．⃗EF＝⃗CDB．⃗AB与⃗DE共线
C．⃗BD与⃗CD是相反向量
1
D．⃗AE＝ |⃗AC|
2
【典例2】(2025·江苏扬州模拟)下列命题中，正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若a＝b，则a∥b
C．若a≠b，则a与b不是共线向量
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λb
方法技巧 2 9 平面向量的线性运算
平面向量线性运算的求解策略
(1)共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用向量减法的几何意义，求首尾相连向量的和
用三角形法则．
(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的线性运算将目标向量表示出来，再进
行比较，求参数的值．
【典例1】若|⃗AB|＝7，|⃗AC|＝4，则|⃗BC|的取值范围是( )
A．[3，7] B．(3，7)
C．[3，11] D．(3，11)
【典例2】如图，O是▱ABCD两条对角线的交点，则下列等式成立的是( )
A．⃗OA+⃗OB＝⃗AB B．⃗OA+⃗OB＝⃗BA
C．⃗AO-⃗OB＝⃗AB D．⃗OA-⃗OB＝⃗CD
2
【典例3】(2024·山东济南二模)在△ABC中，E为边AB的中点，⃗BD＝ ⃗BC，则⃗DE＝( )
3
1 2 5 1
A．－ ⃗AB+ ⃗AC B． ⃗AB+ ⃗AC
6 3 6 3
1 2 1 2
C． ⃗AB+ ⃗AC D． ⃗AB- ⃗AC
6 3 6 3
【典例4】在△ABC中，D为BC的中点，M为AD的中点，⃗BM＝m⃗AB＋n⃗AC，则m＋n＝(
)1 1
A．－ B． C．1 D．－1
2 2
1 1
【典例5】(2025·广东中山模拟)在平行四边形ABCD中，⃗BE＝ ⃗BC，⃗AF＝ ⃗AE．若⃗AB＝m
2 3
⃗DF＋n⃗AE，则m＋n＝( )
1 3
A． B．
2 4
5 4
C． D．
6 3
方法技巧 3 0 向量共线定理的应用
利用向量共线定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量是否共线的主要依据．
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔⃗AB，⃗AC共线．
⇔
【典例1】(2025·浙江杭州模拟)已知向量e ，e 是平面上两个不共线的单位向量，且⃗AB＝e
1 2 1
＋2e ，⃗BC＝－3e ＋2e ，⃗DA＝3e －6e ，则( )
2 1 2 1 2
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
【典例2】(2024·广东广州二模)已知向量a与b不共线，若a＋kb与(k+1)a＋b共线(k∈R)，
则k的值是________．
【典例3】如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与边AB，AC交于M，N
1 1
两点，设⃗AM＝x⃗AB，⃗AN＝y⃗AC，则 + 的值为( )
x y
A．3 B．4
C．5 D．6
1 1
【典例4】在△ABC中，M是AC边上一点，且⃗AM＝ ⃗MC，N是BM上一点，若⃗AN＝ ⃗AC
2 9
＋m⃗BC，则实数m的值为( )
1 1
A．－ B．－
3 6
1 1
C． D．
6 3方法技巧 3 1 平面向量基本定理的应用
平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解
决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何
的一些性质定理．
【典例1】(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记⃗CA＝m，⃗CD＝
n，则⃗CB＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
1 1
【典例2】如图，在△ABO中，已知⃗OA＝a，⃗OB＝b，⃗OM＝ a，⃗ON＝ b，AN与BM交于点
3 2
P，则⃗OP＝________(用向量a，b表示)．
【典例3】(2024·上海浦东新区三模)给定平面上的一组不共线向量e ，e ，则以下四组向量中
1 2
不能构成平面向量的基底的是( )
A．2e ＋e 和e －e
1 2 1 2
B．e ＋3e 和e ＋3e
1 2 2 1
C．3e －e 和2e －6e
1 2 2 1
D．e 和e ＋e
1 1 2
方法技巧 3 2 平面向量的坐标运算
平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则(或运算律)进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，
则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
(3)在特殊的平面图形中恰当建立直角坐标系，把向量的有关运算转化为坐标运算，有时更简
单．【典例1】在平行四边形 ABCD 中，⃗AD＝(3，7)，⃗AB＝(－2，3)，对角线 AC 与BD交于点
O，则⃗CO的坐标为( )
( 1 ) (1 )
A． - ，5 B． ，5
2 2
( 1 ) (1 )
C． - ，-5 D． ，-5
2 2
【典例2】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，
若⃗CA＝λ⃗CE＋μ⃗DB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
【典例3】在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB＝BC＝CD，若⃗AC＝λ⃗AB＋μ⃗AD，
则λ＋μ＝( )
4
A． B．❑√2
3
3
C． D．2
2
方法技巧 3 3 向量共线的坐标表示
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x y ＝x y ．
1 1 2 2 1 2 2 1
(2)在求与一个已知向量a(a≠0)共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
【典例1】 (2024·贵州贵阳二模)已知向量a＝(1，-2)，b＝(2，x)，若(3a-b)∥(a+2b)，则实
数x＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－4
【典例2】(多选)已知向量⃗OA＝(1，－3)，⃗OB＝(2，－1)，⃗OC＝(m＋1，m－2)，若连接AB，
BC，AC能构成三角形，则实数m可以是( )
1
A．－2 B．
2
C．1 D．－1
【典例3】已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
【典例4】在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点
D的坐标为________．
方法技巧 3 4 平面向量数量积的运算
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a·b＝x x ＋y y ．
1 1 2 2 1 2 1 2
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
【典例1】(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
【典例2】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则⃗DE·⃗CB的值为________，
⃗DE·⃗DC的最大值为________
【典例3】在平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝4，∠BAD＝60°，⃗CE＝2⃗ED，⃗BC＝2⃗BF，则
⃗AE·⃗EF＝( )
32 28
A．4 B． C． D．3
9 9
方法技巧 3 5 平面向量数量积的应用
1．求平面向量模的方法
(1)若a＝(x，y)，利用公式|a|＝❑√x2+ y2．
(2)利用|a|＝❑√a2．
2．求平面向量的夹角的方法
a·b
(1)定义法：cos θ＝ ，θ的取值范围为[0，π]．
|a||b|
x x + y y
1 2 1 2
(2)坐标法：若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则cos θ＝ ．
1 1 2 2 ❑√x2+ y2·❑√x2+ y2
1 1 2 2
(3)解三角形法：把两向量放到同一三角形中．
【典例1】(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝()
1 ❑√2
A． B．
2 2
❑√3
C． D．1
2
π
【典例2】若e ，e 是夹角为 的两个单位向量，则a＝2e ＋e 与b＝－3e ＋2e 的夹角为( )
1 2 3 1 2 1 2
π π
A． B．
6 3
2π 5π
C． D．
3 6
【典例3】若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的
取值范围是________．
【典例4】(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【典例5】(2024·浙江温州一模)已知向量a＝(0，4)，b＝(-3，-3)，则a在b上的投影向量
的坐标是( )
A．(-2，-2) B．(2，2)
C．(0，-3) D．(0，3)
【典例6】(多选)已知向量a＝(2，m)，b＝(－1，3)，则下列说法中正确的是( )
A．若|a＋b|＝❑√10，则m＝4
2
B．若|a＋b|＝|a－b|，则m＝
3
C．若a∥b，则m＝－6
( 2)
D．若向量a，b的夹角为钝角，则m的取值范围是 -∞，
3
方法技巧 3 6 平面向量的应用
1．用向量方法解决平面几何问题的步骤
设向量 计算 还原
平面几何问题 向量问题 解决向量问题 解决几何问
→ → →
题．
2．用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤【典例1】(多选)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是( )
A．若⃗PA·⃗PB＝⃗PB·⃗PC＝⃗PC·⃗PA，则P是△ABC的垂心
( ⃗AB ⃗AC )
B．若⃗AP＝λ + ，则直线AP必过△ABC的外心
|⃗AB| |⃗AC|
C．若|⃗OA|＝|⃗OB|＝|⃗OC|，则O为△ABC的外心
D．若⃗NA+⃗NB+⃗NC＝0，则N是△ABC的重心
【典例2】在四边形ABCD中，⃗AC＝(1，2)，⃗BD＝(－4，2)，则四边形ABCD的面积S＝(
)
5
A． B．5
2
C．10 D．20
方法技巧 3 7 极化恒等式求数量积
1
1.极化恒等式：a·b＝ [(a＋b)2－(a－b)2]．
4
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差
1
对角线”平方差的 ．
4
在平行四边形ABDC中，O是对角线的交点，则
1
(1)平行四边形模式：⃗AB·⃗AC＝ (|⃗AD|2－|⃗BC|2)；
4
1
(2)三角形模式： ⃗AB·⃗AC＝|⃗AO|2－ |⃗BC|2．
4
2.利用极化恒等式求数量积的步骤
(1)取第三边的中点；
(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边边长的一半的平方差；
(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．
【典例1】设向量a，b满足|a＋b|＝❑√10，|a－b|＝❑√6，则a·b＝( )A．1 B．2 C．3 D．5
【典例2】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，⃗BA·⃗CA＝
4，⃗BF·⃗CF＝－1，则⃗BE·⃗CE的值为________．
【典例3】如图，在平面四边形 ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若⃗AB·⃗AD
＝－7，则⃗BC·⃗DC＝________．
方法技巧 3 8 极化恒等式求数量积的最值
利用极化恒等式求数量积的最值(范围)的关键在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或
用点到直线的距离等求解．
【典例1】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则⃗PA·(⃗PB+⃗PC)的最
小值是( )
3
A．－2 B．－
2
4
C．－ D．－1
3
【典例2】(2022·北京高考)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内
的动点，且PC＝1，则⃗PA·⃗PB的取值范围是( )
A．[－5，3] B．[－3，5]
C．[－6，4] D．[－4，6]
方法技巧 3 9 复数的有关概念
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只
需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【典例1】(2024·山东菏泽一模)已知复数z满足z(1＋i)＝i2 024，其中i为虚数单位，则z的虚部为( )
1 1
A．－ B．
2 2
1 ❑√2
C．－ i D．
2 2
-1+i
【典例2】(多选)(2024·广东惠州调研)已知复数z＝ ，则下列结论正确的是( )
i
A．z的虚部为1
B．|z|＝2
C．z2为纯虚数
D．z在复平面内对应的点位于第一象限
【典例3】(多选)已知z ，z 是两个虚数，则下列结论中正确的是( )
1 2
A．若z ＝z ，则z ＋z 与z z 均为实数
1 2 1 2 1 2
B．若z ＋z 与z z 均为实数，则z ＝z
1 2 1 2 1 2
z
C．若z ，z 均为纯虚数，则 1为实数
1 2 z
2
z
D．若 1为实数，则z ，z 均为纯虚数
z 1 2
2
方法技巧 4 0 复数的四则运算
(1)复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子、分母同乘以分母的
共轭复数．
z
【典例1】(2024·新高考Ⅰ卷)若 ＝1＋i，则z＝( )
z-1
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
z
【典例2】(2022·全国甲卷)若z＝－1＋❑√3i，则 ＝( )
zz-1
A．－1＋❑√3i B．－1－❑√3i
1 ❑√3 1 ❑√3
C．－ + i D．－ - i
3 3 3 3
【典例3】(多选)若z ，z 是方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两个虚数根，则( )
1 2
A．a的取值范围为[－2，2]
B．z 的共轭复数是z
1 2C．z z ＝1
1 2
a
D．z ＋ 为纯虚数
1 2
方法技巧 4 1 复数的几何意义
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一
起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
z
【典例1】(2024·山西晋城一模)设z在复平面内对应的点为(1，－2)，则 在复平面内对应
z+i
的点为( )
( 1 3) (1 3)
A． - ， B． ，-
4 4 4 4
( 1 3) ( 1 3)
C． - ， D． - ，-
2 2 2 2
【典例2】复平面内复数z满足|z－2|－|z＋2|＝2，则|z－i|的最小值为( )
❑√3 ❑√5
A． B． C．❑√3 D．❑√5
2 2
【典例3】复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，则实数a的取值范围
为( )
A．(－∞，－2) B．(－3，－2)
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－3)
方法技巧 4 2 两个计数原理及综合应用
利用两个基本计数原理解决问题的步骤
提醒：涂色问题的两种常用解题方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计
数原理分析；以颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析．【典例1】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公
寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
【典例2】(2025·重庆模拟)用四种不同的颜色给如图所示的六块区域 A，B，C，D，E，F涂
色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是( )
A．120 B．72
C．48 D．24
【典例3】如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一
个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
________．
方法技巧 4 3 排列、组合问题
求解排列、组合应用问题的六种常用方法
提醒：先选后排，先组合后排列，恰当的分类，合理的分步．分类标准要明确，做到不重不
漏；分步要步步独立，步骤完整．【典例1】(2025·山东济南模拟)由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意
两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为( )
A．60 B．108
C．132 D．144
【典例2】(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从
这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有
________种(用数字作答)．
【典例3】7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙
不相邻，则不同排法的种数是( )
A．60 B．120
C．240 D．360
方法技巧 4 4 分组、分配问题
分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
(1)相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
(2)不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
(3)有限制条件的分配问题，采用分类求解．
提醒：对于部分均分问题，若有m组元素个数相等，则分组时应除以Am．
m
【典例1】(2024·浙江杭州二模)将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去
一个社区，每个社区至少1名志愿者，则不同的分配方法数是( )
A．300 B．240
C．150 D．50
【典例2】(2024·河北衡水中学模拟)将5本不同的书(2本文学书、2本科学书和1本体育书)
分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、
乙中的一人，则不同的分配方法数为( )
A．78 B．92
C．100 D．122
【典例3】甲、乙等4名志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去
一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有( )
A．12种 B．18种
C．24种 D．36种【典例4】把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法种数为( )
A．41 B．56 C．156 D．252
方法技巧 4 5 二项展开式的通项公式的应用
几种求展开式特定项的解法
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数
为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合
思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决或从组合角度求特定项．
( 1 ) 5
【典例1】 3x- y 的展开式中x2y3的系数是( )
3
10 10
A．－ B．
3 3
C．－30 D．30
【典例2】(多选)已知
( x2- 1 ) n
的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论
❑√x
成立的是( )
A．n＝10
B．展开式中的常数项为45
C．含x5的项的系数为210
D．展开式中的有理项有5项
( y)
【典例3】(2022·新高考Ⅰ卷) 1- (x＋y)8的展开式中x2y6的系数为_______．(用数字作答)
x
【典例4】(2025·河北沧州模拟)在(x－2y＋3z)6的展开式中，xy2z3项的系数为( )
A．6 480 B．2 160
C．60 D．－2 160
【典例5】(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数为________．
方法技巧 4 6 二项式系数和与系数和
赋值法的应用
(1)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝C0＋C1x＋C2x2＋…＋Ckxk＋…＋Cnxn．
n n n n n(2)若f (x)＝a ＋a x＋a x2＋…＋a xn，则
0 1 2 n
①a ＋a ＋a ＋…＋a ＝f (1)．
0 1 2 n
f (1)+f (-1)
②奇数项系数之和为a ＋a ＋a ＋…＝ ．
0 2 4 2
f (1)-f (-1)
③偶数项系数之和为a ＋a ＋a ＋…＝ ．
1 3 5 2
【典例1】(多选)已知(1－2x)2 024＝a ＋a x＋a x2＋…＋a x2 024，下列命题正确的是( )
0 1 2 2 024
A．展开式中所有项的二项式系数和为22 024
32 024 +1
B．展开式中所有偶数项系数的和为
2
32 024 +1
C．展开式中所有奇数项系数的和为
2
a a a a
D． 1+ 2+ 3+…+ 2 024＝－1
2 22 23 22 024
【典例2】若(x＋2＋m)9＝a ＋a (x＋1)＋a (x＋1)2＋…＋a (x＋1)9，且(a ＋a ＋…＋a )2－(a ＋a
0 1 2 9 0 2 8 1 3
＋…＋a )2＝39，则实数m的值为________．
9
【典例3】(2024·湖南长沙模拟)若(1－2x)5＝a ＋a (x－1)＋a (x－1)2＋a (x－1)3＋a (x－1)4＋
0 1 2 3 4
a (x－1)5，则下列结论中正确的是( )
5
A．a ＝1
0
B．a ＝80
4
C．|a |+|a|+|a |+|a |+|a |+|a |＝35
0 1 2 3 4 5
1-310
D．(a +a +a )(a +a +a )＝
0 2 4 1 3 5 4
【典例4】在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为 128，则展开式的中间项
的系数为( )
A．－960 B．960
C．1 120 D．1 680
方法技巧 4 7 二项式系数与系数最值
1、二项式系数先增后减中间项最大
（1）如果二项式的幂指数 是偶数，则中间一项 的二项式系数 最大；（2）如果二项式的幂指数 是奇数，则中间两项 ， 的二项式系数 ， 相等且最
大．
2.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项
系数分别为A ，A ，…，A ，且第k项系数最大，应用 从而解出k来，即得．
1 2 n＋1
(1 ) 10
【典例1】(2024·全国甲卷) +x 的展开式中，各项系数中的最大值为________．
3
( 1 ) n
【典例2】已知 x+ 的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系
2❑√x
数最大的项是( )
1
35 7
A． x2 B．
7x2
8
35
C． x2 D．7x2
8
方法技巧 4 8 二项式定理的应用
二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有
除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx．
【典例1】设a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1
C．11 D．12
【典例2】1.026的近似值(精确到0.01)为( )
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.20
方法技巧 4 9 随机事件与样本空间
1．求样本空间中样本点个数的方法：
(1)列举法；(2)树状图法；(3)排列组合法．
2．互斥事件与对立事件的关系
对立事件是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件．
3．判断事件关系时，一可以紧扣定义，二可以将所有试验结果列出，三可以借助Venn图．【典例1】同时投掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记事件A为“所得点数之和小
于5”，则事件A包含的样本点的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【典例2】从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个
事件的是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
【典例3】(多选)口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个
球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出
的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一
个白球”．下列判断正确的是( )
A．A与D为对立事件
B．B与C是互斥事件
C．C与E是对立事件
D．P(C∪E)＝1
方法技巧 5 0 随机事件的频率与概率
计算简单随机事件的频率或概率的步骤
提醒：互斥事件的概率加法公式的适用条件是事件必须是互斥事件．重视利用对立事件的概
率和等于1，用间接法求概率，即“正难则反”的思想，常用此方法求“至少”“至多”型
事件的概率．
【典例1】如图，A地到火车站共有两条路径L 和L ，现随机抽取100位从A地到达火车站的
1 2
人进行调查，调查结果如下：
所用时 10～ 20～ 30～ 40～ 50～50
间(分钟) 20 30 40 60
选择L 的人数 6 12 18 12 12
1
选择L 的人数 0 4 16 16 4
2
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L 和L 所用时间落在上表中各时间段内的频率；
1 2
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时
间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
所用时间
10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
(分钟)
L 的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
1
L 的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
2
【典例2】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市
购物的100位顾客的相关数据，如表所示．
一次购 1至 5至 9至 13至 17件及
物量 4件 8件 12件 16件 以上
顾客
x 30 25 y 10
数/人
结算时
1 1.5 2 2.5 3
间/(min/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．
方法技巧 5 1 古典概型
利用公式法求解古典概型问题的步骤提醒：若样本点个数不多，要列出样本空间，若样本点个数多，用排列组合方法求．
【典例1】(2025·江苏常州模拟)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽
取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为( )
1 1
A． B．
5 3
2 2
C． D．
5 3
【典例2】(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的
概率是( )
1 1
A． B．
4 3
1 2
C． D．
2 3
方法技巧 5 2 事件的相互独立性
1．两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件．
2．求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．
(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
【典例1】(2024·广东湛江一模)在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确
选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选
取两个选项．设事件M＝ “甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件N＝ “甲、乙两人所
选选项完全不同”，事件X＝“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y＝ “甲、乙两人均
未选择B选项”，则( )
A．事件M与事件N相互独立
B．事件X与事件Y相互独立
C．事件M与事件Y相互独立
D．事件N与事件Y相互独立
【典例2】(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件
“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件
“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【典例3】(2024·山东临沂模拟)甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两
场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行
下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，
直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的
2 1
概率均为 ，乙胜丙的概率为 ，各场比赛的结果相互独立．经抽签，第一场比赛甲轮空．
3 2
①求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；
②求只需四场比赛就决出冠军的概率．
方法技巧 5 3 条件概率
求条件概率的两种方法
P(AB)
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝ ，这是求条件概率的通法．
P(A)
(2)缩小样本空间法，借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再求事件A
n(AB)
与事件B的积事件包含的样本点数n(AB)，得P(B|A)＝ ．
n(A)
【典例1】(2022·天津高考)现有52张扑克牌(去掉大小王)，每次取一张，取后不放回，则两
次都抽到 A 的概率为 ________；已知第一次抽到的是 A，则第二次抽取 A 的概率为
________．
【典例2】(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，
70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，
则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
方法技巧 5 4 全概率公式的应用
“化整为零”求多事件的全概率问题
(1)如图，P(B)＝3
∑ P(A )P(B|A )．
i i
i＝1
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形A(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种
i
可能情形A 发生的可能性与已知在A 发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．
i i
【典例1】(2024·河北保定一模)已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，
二级运动员6人，三级运动员10人．现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动
员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率
为( )
A．0.62 B．0.58
C．0.46 D．0.42
【典例2】某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统
计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30．若该保险公司的被
保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占
30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是( )
A．0.155 B．0.175
C．0.016 D．0.096
方法技巧 5 5 离散型随机变量分布列的性质
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范
围内的概率．
【典例1】(多选)设离散型随机变量X的分布列为
X －1 0 1 2 3
1 1 1 1 2
P
10 5 10 5 5
则下列各式正确的是( )
9
A．P(X＝1.5)＝0 B．P(X＞－1)＝
10C．P(2＜X＜4)＝1 D．P(X＜0)＝0
【典例2】设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
1
P 1－q q－q2
2
则q＝________．
【典例3】(多选)已知随机变量X，Y，且Y＝3X＋1，X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
1 1 3
P m n
10 5 10
若E(Y)＝10，则( )
3 1
A．m＝ B．n＝
10 5
7
C．E(X)＝3 D．D(Y)＝
3
方法技巧 5 6 离散型随机变量的分布列及数字特征
离散型随机变量分布列的求解步骤
【典例1】(2024·九省联考)盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小
球．
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
X 1 2 39 2 1
P
14 7 14
【典例2】某项考核，设有一个问题，能正确回答该问题者则考核过关，否则即被淘汰．已知
1 2
甲、乙、丙三人参与考核，考核结果互不影响，甲过关的概率为 ，乙过关的概率为 ，丙过
2 3
3
关的概率为 ．
4
①若三人中有两人过关，求丙过关的概率；
②记甲、乙、丙三人中过关的人数为X，求X的分布列与数学期望．
X 0 1 2 3
1 1 11 1
P
24 4 24 4
【典例3】在一次班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有
红球、黄球、白球、黑球各 1个，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出 1个球，
若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个
节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．
(1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率；
(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差．
X 0 1 2 3 4
1 1 1 1 1
P
4 6 6 6 4
【典例4】已知A ，A 为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试通过的概
1 2
1
率均为 ，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试．设该同学通过考
2
试的高校的个数为随机变量X，则D(X)等于( )
3 5
A． B．
16 4
25 19
C． D．
64 64
1
【典例5】随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝ ，则D(3X－2)＝( )
3
X －1 0 11
P a b
6
5 5
A． B． C．5 D．7
9 3
【典例6】(2025·广东八校联考)已知随机变量X的分布列如表所示：
X －1 0 1
1
P m n
3
1
若P(X≤0)＝ ，且2X＋Y＝1，则D(Y)＝( )
2
29 47
A． B．
18 18
29 38
C． D．
9 9
方法技巧 5 7 离散型随机变量数字特征在决策中的应用
利用均值、方差进行决策的方法
随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要
理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
【典例1】(2024·新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛
具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，
比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投
篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投
中与否相互独立．
(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设0<p<q．
(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【典例2】某口罩加工厂加工口罩由A，B，C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A，B，C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤
等级；A，B，C工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为 100等级(表示最低过滤效率为
99.97%)；C工序的加工质量层次为高，A，B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等
级为99等级(表示最低过滤效率为 99%)；其余均为95级(表示最低过滤效率为 95%)．现从
A，B，C三道工序的流水线上分别随机抽取 100个口罩进行检测，其中A工序加工质量层次
为高的个数为 50，B工序加工质量层次高的个数为 75，C工序加工质量层次为高的个数为
80．加工一个口罩的利润如下表所示：
口罩等级 100等级 99等级 95等级
利润/元 2 1 0.5
(1)用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；
(2)X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望；
(3)用频率估计概率，由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检
测环节对A工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了 0.2元时，相应的A工
序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了 b．试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润
的期望有所提高，写出一个满足条件的b的值．
X 2 1 0.5
P 0.3 0.5 0.2
【典例3】(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参
加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学
比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该
同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问
题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回
答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
方法技巧 5 8 二项分布的期望二项分布问题的解题关键
①在每一次试验中，事件发生的概率相同．
定型 ②各次试验中的事件是相互独立的．
③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生
确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件
定参
发生的概率
提醒：下列问题能转化为二项分布
①条件不变，重复进行试验，一般取球后再放回；②该地区人数多或不知总体，从中抽取几
个；③某产品服从正态分布，若干个产品服从二项分布；④用频率表示概率，有时转化为二
项分布．
【典例1】(2024·湘豫名校联考)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜
2
者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局．根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为 ，每
3
局比赛的结果互不影响．
(1)经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望；
(2)若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．
X 0 1 2 3
1 2 4 8
P
27 9 9 27
【典例2】小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛．规定每一局比赛中获胜方
记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛小明获
2
胜的概率都是 ．
3
(1)求比赛结束时恰好打了7局的概率；
(2)若现在是小明以6∶2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及期望．
X 2 3 4 5
4 8 13 8
P
9 27 81 81
方法技巧 5 9 二项分布的性质由二项分布的分布列P(X=k)=Ck pk (1−p) n−k,k=0,1,2,⋅¿⋅n可以看出，其共有3个参数n,k,p，
n
k,p n,k
故涉及二项分布的概率最值问题主要有以下三个考查方向：（1）给定n,p（2）给定 （3）给定
n,p
f(k)=Ckpk (1−p) n−k,k=0,1,2,⋅¿⋅n
（1）给定 ，可得到函数 n ，这个可转化为数列的最值问题,
p Cnpk(1−p)n−k (n−k+1)p k(1−p)+(n+1)p−k (n+1)p−k
k = k = = =1+
p Ck−1pk−1(1−p)n−k+1 k(1−p) k(1−p) k(1−p)
k−1 n
当k<(n+1)p时， p >p ， p 随k值的增加而增加；当k>(n+1)p时， p <p ， p 随k值的增
k k−1 k k k−1 k
加而减少.如果(n+1)p为正整数，当k=(n+1)p时， p =p ，此时这两项概率均为最大值.如果
k k−1
(n+1)p为非整数，而k取(n+1)p的整数部分，则 p 是唯一的最大值.
k
k,p f(n)=Ck pk (1−p) n−k,k=0,1,2,⋅¿⋅n
（2）当 给定时，可得到函数 n ，这个可转化为数列的最值问题,
f(n+1) Ck pk (1−p) n+1−k (n+1)(1−p) k−p(n+1) k
= n+1 = =1+ n< −1
f(n) Ck pk (1−p) n−k n+1−k (n+1−k) ,当 p 时， f (n+1)>f (n) ,f (n)
n1
k k
n> −1 m=[ ]
随着 值的增大而增大；当 p 时，f (n+1)<f (n),f (n)随着 值的增大而减小.记 p ，则
n n
f (n) =f (m)
max .
n,k f(p)=Ckpk (1−p) n−k,p∈(0,1)
（3）当 给定时，可得到函数 n ，这个可转化为函数的最值问题，并利
f' (p)=Ck[kpk−1 (1−p) n−k −pk (n−k)(1−p) n−k−1]
用导数进行求解， n=Ckpk−1 (1−p) n−k−1[k(1−p)−(n−k)p]=Ckpk−1 (1−p) n−k−1 (k−np). k=1,2,⋯,n−1
n n 当 时，由于当
k k k
p< p> p=
n 时，f '(p)>0，f (p)单调递增，当 n 时，f '(p)<0，f (p)单调递减，故当 n 时，
k
f (p) =f ( )
f (p)取得最大值， max n .又当p→0,f (p)→1，当 p→1 时，f (p)→0，从而f (p)无最
小值.
【典例1】(2024·河北唐山一模)某项测试共有8道题，每道题答对得5分，不答或答错得0分．
1
某人答对每道题的概率都是 ，每道试题答对或答错互不影响，设某人答对题目的个数为X．
4
(1)求此人得分的期望；
(2)指出此人答对几道题的可能性最大，并说明理由．
( 1)
【典例2】若X～B 100， ，则当k＝0，1，2，…，100时( )
3
A．P(X＝k)≤P(X＝50)
B．P(X＝k)≤P(X＝32)
C．P(X＝k)≤P(X＝33)
D．P(X＝k)≤P(X＝49)
3
【典例3】经检测一批产品中每件产品的合格率为 ，现从这批产品中任取5件，设取得合格
5
产品的件数为X，则以下说法正确的是( )
A．X的可能取值为1，2，3，4，5
B．P(X＝2)＝C2(3) 3 (2) 2
5 5 5
C．X＝3的概率最大
D．X服从超几何分布
【典例4】为了提高广大青少年的法律意识，我市开展青少年“学宪法、讲宪法”知识竞赛活
动，团员小明每天自觉登录“青少年普法”软件，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛．每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得 20分，第1个达到100分
的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束．每天的四人赛共有 20局，前2局是有
效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第 1局获得第1名的得3分，
获得第2，3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2，3，4
名的得1分；后18局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分．经统计，小明每
1 1 1
天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为 ， ， ，在第2局四人赛中获得2
4 2 4
1 3
分、1分的概率分别为 ， ．
4 4
(1)设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；
1
(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为 ，
4
每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？
X 5 4 3 2
1 5 7 3
P
16 16 16 16
方法技巧 6 0 超几何分布
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．
(2)超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X的
概率分布．
(3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
【典例1】 (2024·山东青岛一模)为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学
生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年
级共1 000名学生的假期日均阅读时间(单位：分钟)，得到了如图所示的频率分布直方图，若
前两个小矩形的高度分别为0.007 5，0.012 5，后三个小矩形的高度比为3∶2∶1．(1)根据频率分布直方图，估计高一年级 1 000名学生假期日均阅读时间的平均值(同一组中的
数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层随机抽样的方式，抽
取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于
[80，100)的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．
ξ 0 1 2
1 3 1
P
5 5 5
【典例2】某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱 10个．
在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验．若其中没有次品，则直接购买
该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件．
(1)若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；
(2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检验时次品的个数为
X，求X的分布列及期望．
X 0 1 2
7 7 1
P
15 15 15
【典例3】(2025·重庆模拟)已知一个袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球．
(1)若从袋中一次任取3个球，设取到的3个球中有X个黑球，求X的分布列及数学期望；
(2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续 2次
取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求P(Y =5)．
X 0 1 2
1 3 3
P
10 5 10
方法技巧 6 1 正态分布解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴x＝μ； (2)标准差σ； (3)分布区间．
利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化
为3σ特殊区间，从而求出所求概率；μ决定正态曲线位置，σ的大小决定正态曲线的稳定与
波动大小，即高矮与胖瘦；注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0．
【典例1】(2024·河南信阳一模)对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企
员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中 A地员工的上班迟到时间为X(单位：min)，X～N
( 1)
(2，4)，对应的曲线为C ，B地员工的上班迟到时间为Y(单位：min)，Y～N 3， ，对应的
1 9
曲线为C ，则下列图象正确的是( )
2
A B
C D
【典例2】(多选)(2025·广东八校开学考试)随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X≥1)＝
P(X≤3)，则( )
1
A．μ＝2 B．P(X>2)＝
2
1
C．P(X≥2)> D．P(X≥σ)>P(X≥σ2)
2
【典例3】设随机变量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c的值为________，P(－
4≤X≤8)＝________．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5)
【典例4】(2024·新高考Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推
动茶叶出口，为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推
动出口后亩收入的样本均值x＝2．1，样本方差s2＝0．01，已知该种植区以往的亩收入X服
从正态分布N(1．8，0．12)，假设推动出口后的亩收入 Y服从正态分布N(x，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0．841 3)( )
A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5
C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8
【典例5】已知X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标ξ(单
位：mm)服从正态分布N(5.40，0.052)，现从中随机抽取M个，这M个零件中恰有K个的质
量指标ξ位于区间[5.35，5.55]．若K＝45，试以使得P(K＝45)最大的M值作为M的估计值，
则M为( )
A．45 B．53
C．54 D．90
方法技巧 6 2 二项分布与超几何分布的区别
超几何分布 二项分布
描述的是不放回抽样问题(总体 描述的是有放回抽样问题(总体不改变)，
在变化)，一次性取 一个一个的取
区别
考察对象分为两类
每一次试验是伯努利试验
已知各类对象的个数
联系 (当总体容量很大时)超几何分布可近似看作二项分布
【典例1】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40件产
品作为样本称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，
(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图(如图)．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505 g的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505 g的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505 g的产品数量，求Y的分布列．
X 0 1 2
63 28 11
P
130 65 130
Y 0 1 2
49 21 9
P
100 50 100
【典例2】(多选)(2025·辽宁鞍山模拟)甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3
个黑球，则下列说法中正确的是( )
3
A．若从甲盒中一次性取出2个球，记X表示取出白球的个数，则P(X＝1)＝
10
13
B．若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为
25
C．若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，则恰好得到2个白球的概
54
率为
125
D．若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记B：从乙盒中取出的1球为白
13
球，则P(B)＝
30
方法技巧 6 3 简单随机抽样
简单随机抽样的适用范围
简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的
情况)．
【典例1】对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和
分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p ，p ，p ，则
1 2 3
( )
A．p ＝p <p B．p ＝p <p
1 2 3 2 3 1
C．p ＝p <p D．p ＝p ＝p
1 3 2 1 2 3
【典例2】某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表
选取5位同学组建“文明校园督查组”．选取方法是从随机数表的第1行的第5列和第6列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5位同学的编号为( )
41792 71635 86089 32157 95620 92109 29145
74955 82835 98378 83513 47870 20799 32122
A．08 B．21
C．09 D．14
方法技巧 6 4 分层随机抽样
样本容量n 该层抽取的个体数
抽样比＝ ＝ ．
总样本量N 该层的个体数
【典例1】 (2024·河南驻马店二模)已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人
200人，青少年80人，为加大对该社区反电信诈骗的宣传力度，按年龄进行分层随机抽样，
共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多( )
A．6人 B．9人
C．12人 D．18人
【典例2】某高中学校为了促进学生个体的全面发展，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪
纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社
团，各年级参加社团的人数情况如表：
社团 高一年级 高二年级 高三年级
泥塑 a b c
剪纸 x y z
3
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 ．为了了解学生对两
5
个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的
学生中应抽取________人．
方法技巧 6 5 分层随机抽样的均值与方差
在 分 层 随 机 抽 样 中 ， 如 果 第 一 层 的 样 本 量 为 m ， 平 均 数 为
mx+n y
x；第二层的样本量为n，平均数为y，则样本的平均数为 ．
m+n
【典例1】(多选)(2025·湖北武汉模拟)某市教育局为了解该市高中各年级学生的文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个容量为 100的样本．其中，
从高三年级抽取容量为20的样本，平均数为4，方差为9；从高二年级抽取容量为40的样本，
平均数为7，方差为15；从高一年级抽取容量为40的样本，平均数为9，方差为21，据此估
计，三个年级的学生文学经典名著的年阅读量的( )
A．均值为6.2 B．均值为7.2
C．方差为19.56 D．方差为20.56
【典例2】为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，现抽
取初中生800人，其每天睡眠时间的平均数为 9小时，方差为1，抽取高中生1 200人，其每
天睡眠时间的平均数为 8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为(
)
A．0.94 B．0.96
C．0.75 D．0.78
【典例3】(2025·湖南开学考试)某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，现希望
获得全体学生的身高信息，按照分层随机抽样的方法抽取了容量为50的样本．经计算得到男
生身高样本均值为170 cm，方差为17 cm2，女生身高样本均值为160 cm，方差为30 cm2．则
每个女生被抽入到样本的概率均为________，所有样本的方差为________cm2．
方法技巧 6 6 统计图表
几种统计图表的特点及使用方法
(1)通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．
(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例设置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相
等时间间隔下数据的趋势．
(3)频率分布直方图的数据特点：
①频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误认为纵轴上的数据
是各组的频率，不要和条形图混淆；
②频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图
估计总体分布．
【典例1】(多选)为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司
进行调查统计，得到了这两个行业从业者年龄分布的扇形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%
B．芯片、软件行业中，从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%
C．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多
【典例2】下图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程(单位：公里)及运营线路条数的
统计图，下列判断正确的是( )
A．这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多
B．这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里
C．这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4
D．这10个城市地铁运营线路条数的极差是12
【典例3】(多选)(2025·湖南名校联盟联考)某快递公司2020－2024年的快递业务量及其增长
率如图所示，则( )A．该公司2020－2024年快递业务量逐年上升
B．该公司2020－2024年快递业务量的极差为68.5亿件
C．该公司2020－2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9%
D．该公司2020－2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58%
【典例4】(2024·天津模拟)为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体
重数据(单位：kg)进行分组，区间为[50，55)，[55，60)，[60，65)，[65，70)，[70，75]，将
其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，画出频率分布直方图(如图所
示)．已知第一组，第二组和第三组的频率之比为 1∶2∶3，且第一组的频数为 6，则报考飞
行员的学生人数是( )
A．48 B．50
C．54 D．60
【典例5】(2025·重庆长寿模拟)近几年，我国新能源汽车行业呈现一片生机勃勃的景象．电
动汽车因其智能性与操控感越来越被人们接受与认可，尤其是其辅助驾驶功能．某品牌电动
汽车公司为了更好地了解车主使用辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了 100
位车主进行抽样分析，分析100位车主在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数，得到如
下频率分布直方图(60次以上的称为经常使用辅助驾驶功能)，则下列结论错误的是( )A．b＝0.005
B．估计车主在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的平均数低于70
3
C．从这100位车主中随机选取一位车主，则这位车主经常使用辅助驾驶功能的概率约为
4
D．按照“经常使用辅助驾驶功能”的人与“不经常使用辅助驾驶功能”的人进行分层随机
抽样，从这100人中抽取12人，则在经常使用辅助驾驶功能的人中应抽取8人
方法技巧 6 7 总体百分位数的估计
1．计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤
2．频率分布直方图中第p百分位数的计算
(1)确定百分位数所在的区间[a，b)．
p%-f %
(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为f %，f %，则第p百分位数为a＋ a
a b f %-f %
b a
×(b－a)．
【典例1】(2025·湖北武汉模拟)有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，
24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是( )
A．11 B．13
C．16 D．17
【典例2】已知由小到大排列的4个数据1，3，5，a，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是( )
A．7 B．6
C．5 D．4
【典例3】2024年4月30日，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学
生对航天的热爱．某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生的成绩，
其频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的第75百分位数为x，众数为y，则( )
A．x＝88，y＝90 B．x＝83，y＝90
C．x＝83，y＝85 D．x＝88，y＝85
方法技巧 6 8 总体集中趋势的估计
频率分布直方图的数字特征
(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．
(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．
【典例1】(多选)已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，
13，则这组数据的( )
A．众数为12 B．平均数为14
C．中位数为14.5 D．第85百分位数为16
【典例2】(2025·陕西西安模拟)某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机
抽取了100名学生进行中国传统文化知识考试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分
布直方图．根据此频率分布直方图(分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，
90)，[90，100]六组)，下列结论中不正确的是( )A．图中的a＝0.012
B．若从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]内的学生中采用分层随机抽样方法抽取10名学
生，则成绩在[80，90)内的有3人
C．这100名学生成绩的中位数约为65
D．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.2
【典例3】(多选)(2024·广东汕头一模)某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年
级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高
分学生的成绩分布情况，计算得到这 100名学生中，成绩位于[80，90)内的学生成绩方差为
12，成绩位于[90，100]内的学生成绩方差为10，则( )
A．a＝0.004
B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14
C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
3 1
对于D，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为 [12＋(87.5－85)2]＋ [10＋
4 4
(87.5－95)2]＝30.25，D正确．故选BCD．
方法技巧 6 9 总体离散程度的估计
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散
程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．
【典例1】(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行
10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶
产品的伸缩率分别记为x，y(i＝1，2，…，10)，试验结果如下：
i i
试验
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
序号i
伸缩
545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
率x
i
伸缩
536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
率y
i
记z＝x－y(i＝1，2，…，10)，z ，z ，…，z 的样本平均数为z，样本方差为s2．
i i i 1 2 10
(1)求z，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提
√ s2
高．(如果z≥2❑ ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品
10
的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)
试验
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
序号i
z 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12
i
【典例2】(多选)(2025·湖南衡阳开学考试)有一组样本数据x ，x ，…，x ，由这组样本得到
1 2 n
新样本数据y ，y ，…，y ，其中y＝ax＋b，则( )
1 2 n i i
A．x ，x ，…，x 的中位数为m ，则y ，y ，…，y 的中位数为am ＋b
1 2 n 1 1 2 n 1
B．x ，x ，…，x 的平均数为m ，则y ，y ，…，y 的平均数为am ＋b
1 2 n 2 1 2 n 2
C．x ，x ，…，x 的方差为m ，则y ，y ，…，y 的方差为am
1 2 n 3 1 2 n 3
D．x ，x ，…，x 的极差为m ，则y ，y ，…，y 的极差为am
1 2 n 4 1 2 n 4
【典例3】(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x ，x ，…，x ，其中x 是最小值，x 是最大值，
1 2 6 1 6
则( )
A．x ，x ，x ，x 的平均数等于x ，x ，…，x 的平均数
2 3 4 5 1 2 6
B．x ，x ，x ，x 的中位数等于x ，x ，…，x 的中位数
2 3 4 5 1 2 6
C．x ，x ，x ，x 的标准差不小于x ，x ，…，x 的标准差
2 3 4 5 1 2 6
D．x ，x ，x ，x 的极差不大于x ，x ，…，x 的极差
2 3 4 5 1 2 6
方法技巧 7 0 成对数据的相关性判定两个变量正、负相关的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，
两个变量负相关．
(2)样本相关系数：r＞0时，正相关；r＜0时，负相关．
(3)经验回归方程^y＝b^x＋a^中：b^>0时，正相关；b^<0时，负相关．
【典例1】调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示．其中样本相关系数r＝0.824
5，下列说法正确的是( )
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是0.824 5
【典例 2】(2024·重庆模拟)已知成对样本数据(x ，y )，(x ，y )，…，(x ，y )(n≥2)中
1 1 2 2 n n
3
x ，x ，…，x 不全相等，且所有样本点(x，y )(i=1，2，…，n)都在直线y＝－ x＋1上，
1 2 n i i 4
则这组成对样本数据的样本相关系数r＝________，其决定系数R2＝________．
方法技巧 7 1 一元线性回归模型
回归分析问题的类型及解题方法
(1)求经验回归方程的步骤
①根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关．
②利用公式，求出回归系数b^．
③利用经验回归直线过样本点的中心求系数a^．
(2)利用经验回归方程进行预测，把经验回归方程看作一次函数，求函数值．
(3)利用经验回归方程判断正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数b^．
(4)经验回归方程的拟合效果，可以利用样本相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关程度越强．
【典例1】据统计，某城市居民年收入(所有居民在一年内收入的总和，单位：亿元)与某类商
品销售额(单位：亿元)的10年数据如表所示：
第n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年
居民
年收 32.2 31.1 32.9 35.7 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0
入x
商品
销售 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0
额y
依据表格数据，得到下面一些统计量的值．
10 10 10 10 10
∑ x ∑ y ∑(x -x) 2 ∑(y - y) 2 ∑(x -x)·(y－y)
i i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
379.6 391 246.904 568.9 m
(1)根据表中数据，得到样本相关系数r≈0.95．以此推断，y与x的线性相关程度是否很强？
(2)根据统计量的值与样本相关系数 r≈0.95，建立 y 关于 x 的经验回归方程。(系数精确到
0.01)
❑√2.304
附：样本(x，y)(i＝1，2，…，n)的相关系数r＝ ≈1.518，
i i
【典例2】按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改
革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是 2017－2021年
五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比(y %)：
i
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份
1 2 3 4 5
代码x
i
y 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
i
(1)求2017—2021年年份代码x 与y 的样本相关系数(精确到0．01)；
i i(2)请用样本相关系数说明该组数据中 y与x之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并
求出y关于x的经验回归方程；
(3)预测2025年的酸雨区面积占国土面积的百分比．
附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，
a^= y-b^x
，样本相关系数
x－x －2 －1 0 1 2
i
y－y 1.3 0.4 －0.1 －0.3 －1.3
i
方法技巧 7 2 非线性回归模型
非线性问题处理策略要通过换元、取对数等手段把非线性问题转化为线性问题．
【典例1】(2025·湖南衡阳模拟)为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加
大高科技研发投入．下图1是该公司2015年至2024年的年份代码x和年研发投入y(单位：亿
元)的散点图，其中年份代码1～10分别对应年份2015～2024．
根据散点图，分别用模型①^y＝b^x＋a^，②^y＝c^＋d^❑√x作为年研发投入y(单位：亿元)关于年份
代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得
到如下表所示的一些统计量的值：10
1
表中t ＝❑√x，t＝ ∑t .
i i 10 i
i=1
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y(单位：亿元)关于年份代
码x的经验回归方程模型？并说明理由；
(2)①根据(1)中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；
②设该科技公司的年利润L(单位：亿元)和年研发投入y(单位：亿元)满足L＝(111.225- y)❑√x
(x∈N*且x∈[1，20])，问该科技公司哪一年的年利润最大？
附：对于一组数据(x ，y )，(x ，y )，…，(x ，y )，其经验回归直线^y＝a^＋b^x的斜率和截
1 1 2 2 n n
a^ y b^x
距的最小二乘估计分别为 ＝ － ．
【典例2】一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技
术创新投入x(单位：千万元)对每件产品成本y(单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投
入x 和每件产品成本y(i＝1，2，3，…，10)的数据进行分析，得到如图所示的散点图，并计
i i
算得：x＝6.8，y＝70，
10 1 10 1 10 y
∑ ＝3，∑ ＝1.6，∑ i＝350．
x x2 x
i=1 i i=1 i i=1 i
^β
(1)根据散点图可知，可用函数模型^y＝ ＋α^拟合y与x的关系，试建立y关于x的非线性
x
经验回归方程；
(2)已知该产品的年销售额 m(单位：千万元)与每件产品成本 y(单位：元)的关系为 m＝－
y2 2y 200
+ + ＋100．该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本 10千
500 25 y-10万元，根据(1)的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润M的预报值最大？
(注：年利润＝年销售额－年投入成本)
参考公式：对于一组数据(u ，v )，(u ，v )，…，(u ，v )，其经验回归直线v^＝α^＋^βu的斜率
1 1 2 2 n n
α^ v ^βu
和截距的最小二乘估计公式分别为 ， ＝ － ．
【典例3】某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，
为了解年研发资金投入额x(单位：亿元)对年盈利额y(单位：亿元)的影响，通过对“十二五”
和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额x 和年盈利额y(i＝1，2，…，10)数据进
i i
行分析，建立了两个函数模型：y＝α＋βx2；y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对
数的底数，令u＝x2，v＝ln y(i＝1，2，…，10)，经计算得如下数据：
i i i i
x＝26 y＝215 u＝680 v＝5.36
10 10 10
∑(x -x) 2 ∑(u -u) 2 10 ∑(y - y) 2
i=1
i
i=1
i ∑(u
i
-u)(y
i
－y)＝260
i=1
i
i=1
＝100 ＝22 500 ＝4
10 10
∑(v -v) 2 ∑(x -x)(v
i i i
i=1 i=1
＝4 －v)＝18
①请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？
②根据①的选择及表中数据，建立y关于x的非线性经验回归方程．
附：样本相关系数
^y b^ a^ b^ a^ y b^x
经验回归方程 ＝ x＋ 中： ＝ ＝ － ．
方法技巧 7 3 独立性检验
独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据完成2×2列联表．n(ad-bc) 2
(2)根据公式χ2＝ 计算．
(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)
(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断．
【典例1】(2023·全国甲卷改编)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40只小白鼠，
随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度
臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：
g)．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数；
(2)①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数
据的个数，完成如下列联表：
单位：只
小白鼠体重的增加量
组别 合计
<m ≥m
对照组
试验组
合计
②根据①中的列联表，依据小概率值 α＝0.05的独立性检验，能否以此推断小白鼠在高浓度
臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
n(ad-bc) 2
附：χ2＝ ．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.1 0.05 0.01
x 2.706 3.841 6.635
α
小白鼠体重的增加量
组别 合计
<m ≥m
对照组 6 14 20
试验组 14 6 20
合计 20 20 40【典例2】(2024·浙江嘉兴二模)为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗．某市防疫部
门从辖区居民中随机抽取了1 000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流
感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感．医学研究表明，流感的检测结果是有错检
的可能，已知患有流感的人其检测结果有 95%呈阳性(感染)，而没有患流感的人其检测结果
有99%呈阴性(未感染)．
①估计该市流感感染率是多少？
②根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为注射流感疫苗与预防流感有关；
③已知某人的流感检测结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率．(精确到0．001)
n(ad-bc) 2
附：χ2＝ ，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
流感情况
疫苗情况 合计
患有流感 不患有流感
打疫苗 220 580 800
不打疫苗 80 120 200
合计 300 700 1 000
方法技巧 7 4 以统计图表为载体的概率、统计问题
该类问题常常借助图形或表格，将文字、图表、数据等融为一体，考查考生的直观想象能力
和数学建模素养，求解的关键是立足题干提取信息，结合统计的相关知识进行数据分析或结
合概率模型求解相应概率．
【典例1】AI技术驱动的自然语言处理工具引领了人工智能的新一轮创新浪潮．某数学兴趣小
组为了解使用此类工具人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群
中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数：
(2)将年龄不超过(1)中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民．
①完成下列2×2列联表，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为年龄与是否喜欢该
程序有关联？
单位：人
年龄
对该程序的态度 合计
青年 非青年
喜欢 20
不喜欢 60
合计 200
②按照等比例分配分层随机抽样的方式从样本中随机抽取8名居民．若从选定的这8名居民
中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率．
n(ad-bc) 2
参考公式：χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考数据：
α 0.1 0.05 0.01
x 2.706 3.841 6.635
α
年龄
对该程序的态度 合计
青年 非青年
喜欢 90 20 110
不喜欢 60 30 90
合计 150 50 200
【典例2】某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随
机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：
天数 [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25) [25，30]
人数 4 15 33 31 11 6
(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数 X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且σ＝6.1，若全校有3 000名学生，求参加
“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1)；
(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[15，30]的学生中有30名男生，天
数在[0，15)的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动不低于15天的
学生授予“运动达人”称号．请填写下面列联表：
单位：人
活动天数
性别 合计
[0，15) [15，30]
男生
女生
合计
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联．
如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
n(ad-bc) 2
附：χ2＝ ，n＝a＋b＋c＋d．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.05 0.01 0.001
x 3.841 6.635 10.828
α
活动天数
性别 合计
[0，15) [15，30]
男生 20 30 50
女生 32 18 50
合计 52 48 100
方法技巧 7 5 概率、统计与数列的综合问题
解答此类问题的关键是借助概率知识(如相互独立事件的概率公式、条件概率的公式等)建立
P 与P 的递推关系，然后利用数列知识(一般是构造法)求解．
n＋1 n
【典例1】(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则
此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、
乙的概率各为0.5．求：
(1)第2次投篮的人是乙的概率；
(2)第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量X 服从两点分布，且P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝q，i＝1，2，…，n，则
i i i i
＝ ．记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．
【典例2】甲、乙两位乒乓球爱好者进行一次对抗赛，第一个球的发球权通过掷硬币确定，从
3
第二个球开始，上一个球谁赢谁发球．由以往数据可知，甲发球甲赢的概率为 ，乙发球甲
4
1
赢的概率为 ．
5
(1)求第1个球甲赢的概率p ；
1
(2)求第n个球甲赢的概率p ；
n
(3)定义第n个球甲赢的期望E ＝np ，求
n n
【典例3】(2019·全国Ⅰ卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更
有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于
两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮
试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4只时，就停止试验，并认为治愈
只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施
以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠
未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药
的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4分，p(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，
i
最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p ＝0，p ＝1，p＝ap ＋bp＋cp (i＝1，2，…，
0 8 i i－1 i i＋1
7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0．5，β＝0．8．
①证明：{p －p}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；
i＋1 i
②求p ，并根据p 的值解释这种试验方案的合理性．
4 4
X －1 0 1
P (1-α)β αβ＋(1-α)(1-β) α(1-β)方法技巧 7 6 概率、统计与函数的交汇问题
该类问题常以实际生活中的概率、统计知识为背景，将概率、统计与函数建模融合在一起，
充分借助函数的性质研究相关问题的最值，可能涉及函数的单调性、导数等知识，求解时注
意合理转化．
【典例1】(2024·郑州调研)某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏，每个小
组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在
每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于 3的称为“神投小组”，已知甲、
乙两名队员投进篮球的概率分别为p ，p ．
1 2
1 2
(1)若p ＝ ，p ＝ ，求他们在第一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率；
1 2 2 3
6
(2)已知p ＋p ＝ ，则
1 2 5
①p ，p 取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？
1 2
并求出此时的最大概率；
②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得 297次“神投小组”的称号，则他们平均
要进行多少轮游戏？
【典例2】(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种
微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代
繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，
P(X＝i)＝p(i＝0，1，2，3)．
i
(1)已知p ＝0.4，p ＝0.3，p ＝0.2，p ＝0.1，求E(X)；
0 1 2 3
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p ＋p x＋p x2＋
0 1 2
p x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1；
3
(3)根据你的理解说明第(2)问结论的实际含义．
