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三年专题05 立体几何（选择题、填空题）
（理科专用）
1．【2022 年新高考1 卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.
已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km
2；水位为海拔157．5m时，相应水
面的面积为180．0km
2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m
上升到157．5m时，增加的水量约为（√7≈2.65）（ ）
A．1.0×10
9m
3
B．1.2×10
9m
3
C．1.4×10
9m
3
D．1.6×10
9m
3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】
依题意可知棱台的高为MN =157.5−148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．
棱台上底面积S =140.0k m
2=140×10
6m
2，下底面积S
' =180.0k m
2=180×10
6m
2，
∴V = 1
3 ℎ(S+ S
' +√S S
')= 1
3 ×9×(140×10
6+180×10
6+√140×180×10
12)
=3×(320+60√7)×10
6≈(96+18×2.65)×10
7=1.437×10
9≈1.4×10
9(m
3)．
故选：C．
2．【2022 年新高考1 卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 π，且
3≤l≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．[18, 81
4 ]
B．[
27
4 , 81
4 ]
C．[
27
4 , 64
3 ]
D．[18,27]
【答案】C
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【解析】
【分析】
设正四棱锥的高为ℎ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体
积的取值范围.
【详解】
∵ 球的体积为36 π，所以球的半径R =3,
设正四棱锥的底面边长为2a，高为ℎ，
则l
2=2a
2+ℎ
2，3
2=2a
2+(3−ℎ)
2,
所以6ℎ=l
2，2a
2=l
2−ℎ
2
所以正四棱锥的体积V = 1
3 Sℎ= 1
3 ×4 a
2×ℎ= 2
3 ×(l
2−l
4
36 )× l
2
6 = 1
9(l
4−l
6
36)，
所以V
' = 1
9(4l
3−l
5
6)= 1
9 l
3(
24−l
2
6 )，
当3≤l≤2√6时，V
'>0，当2√6<l≤3√3时，V
'<0，
所以当l =2√6时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为64
3 ，
又l =3时，V = 27
4 ，l =3√3时，V = 81
4 ,
所以正四棱锥的体积V 的最小值为27
4 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是[
27
4 ，64
3 ].
故选：C.
3．【2022 年新高考2 卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3√3和4√3，其顶点都在同一球
面上，则该球的表面积为（ ）
A．100 π
B．128 π
C．144 π
D．192π
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径r1,r2，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的
关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
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【详解】
设正三棱台上下底面所在圆面的半径r1,r2，所以2r1= 3√3
sin 60
∘,2r2= 4√3
sin 60
∘，即r1=3,r2= 4，设球心到
上下底面的距离分别为d1,d2，球的半径为R，所以d1=√R
2−9，d2=√R
2−16，故|d1−d2|=1或
d1+d2=1，即|√R
2−9−√R
2−16|=1或√R
2−9+√R
2−16=1，解得R
2=25符合题意，所以球的表面积
为S = 4 π R
2=100 π．
故选：A．
4．【2021 年甲卷理科】2020 年12 月8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：
m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C 三
点，且A，B，C 在同一水平面上的投影
满足
，
．由C 点测得B 点的仰
角为
，
与
的差为100；由B 点测得A 点的仰角为
，则A，C 两点到水平面
的高度差
约为（
）（ ）
A．346
B．373
C．446
D．473
【答案】B
【解析】
【分析】
通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得
，进而得到答案．
【详解】
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过
作
，过
作
，
故
，
由题，易知
为等腰直角三角形，所以
．
所以
．
因为
，所以
在
中，由正弦定理得：
，
而
，
所以
所以
．
故选：B．
【点睛】
本题关键点在于如何正确将
的长度通过作辅助线的方式转化为
．
5．【2021 年甲卷理科】已如A，B，C 是半径为1 的球O 的球面上的三个点，且
，
则三棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
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【分析】
由题可得
为等腰直角三角形，得出
外接圆的半径，则可求得
到平面
的距离，进而求得
体积.
【详解】
，
为等腰直角三角形，
，
则
外接圆的半径为
，又球的半径为1，
设
到平面
的距离为
，
则
，
所以
.
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾
股关系求解.
6．【2021 年新高考1 卷】已知圆锥的底面半径为
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.
【详解】
设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则
，解得
.
故选：B.
7．【2021 年新高考2 卷】正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（
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）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
【详解】
作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高
，
下底面面积
，上底面面积
，
所以该棱台的体积
.
故选：D.
8．【2020 年新课标1 卷理科】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，
以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与
底面正方形的边长的比值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设
，利用
得到关于
的方程，解方程即可得到答案.
【详解】
如图，设
，则
，
由题意
，即
，化简得
，
解得
（负值舍去）.
故选：C.
【点晴】
本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
9．【2020 年新课标1 卷理科】已知
为球
的球面上的三个点，⊙
为
的外接圆，若⊙
的
面积为
，
，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【解析】
【分析】
由已知可得等边
的外接圆半径，进而求出其边长，得出
的值，根据球的截面性质，求出球的半
径，即可得出结论.
【详解】
设圆
半径为，球的半径为
，依题意，
得
，
为等边三角形，
由正弦定理可得
，
，根据球的截面性质
平面
，
，
球
的表面积
.
故选：A
【点睛】
本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
10．【2020 年新课标2 卷理科】如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对
应的点为
，在俯视图中对应的点为
，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得
点在侧视图中对应的点.
【详解】
根据三视图，画出多面体立体图形，
上的点在正视图中都对应点M,直线
上的点在俯视图中对应的点为N,
∴在正视图中对应
,在俯视图中对应
的点是
,线段
,上的所有点在侧试图中都对应
,∴点
在
侧视图中对应的点为
.
故选：A
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【点睛】
本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图
形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.
11．【2020 年新课标2 卷理科】已知△ABC 是面积为
的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球
O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据球
的表面积和
的面积可求得球
的半径
和
外接圆半径，由球的性质可知所求距离
.
【详解】
设球
的半径为
，则
，解得：
.
设
外接圆半径为，边长为
，
是面积为
的等边三角形，
，解得：
，
，
球心
到平面
的距离
.
故选：C.
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【点睛】
本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性
质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
12．【2020 年新课标3 卷理科】下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A．6+4
B．4+4
C．6+2
D．4+2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.
【详解】
根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
根据立体图形可得：
根据勾股定理可得：
是边长为
的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
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该几何体的表面积是：
.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了
分析能力和空间想象能力，属于基础题.
13．【2020 年新高考1 卷（山东卷）】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射
到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在
平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在
平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）
A．20°
B．40°
C．50°
D．90°
【答案】B
【解析】
【分析】
画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定
有关截线的关系，根据点
处的纬度，计算出晷针与点
处的水平面所成角.
【详解】
画出截面图如下图所示，其中
是赤道所在平面的截线；是点
处的水平面的截线，依题意可知
；
是晷针所在直线.
是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知
、根据线面垂直的定义可得
..
由于
，所以
，
由于
，
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所以
，也即晷针与点
处的水平面所成角为
.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.
14．【2022 年新高考1 卷】已知正方体ABCD−A1B1C1 D1，则（ ）
A．直线BC1与D A1所成的角为90°
B．直线BC1与C A1所成的角为90°
C．直线BC1与平面B B1 D1 D所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD 所成的角为45°
【答案】ABD
【解析】
【分析】
数形结合，依次对所给选项进行判断即可.
【详解】
如图，连接B1C、BC1，因为D A1// B1C，所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与D A1所成的
角，
因为四边形B B1C1C为正方形，则B1C ⊥ BC1，故直线BC1与D A1所成的角为90°，A 正确；
连接A1C，因为A1B1⊥平面B B1C1C，BC1⊂平面B B1C1C，则A1B1⊥BC1，
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因为B1C ⊥ BC1，A1B1∩B1C = B1，所以BC1⊥平面A1B1C，
又A1C ⊂平面A1B1C，所以BC1⊥C A1，故B 正确；
连接A1C1，设A1C1∩B1 D1=O，连接BO，
因为B B1⊥平面A1B1C1 D1，C1O⊂平面A1B1C1 D1，则C1O⊥B1B，
因为C1O⊥B1 D1，B1 D1∩B1B = B1，所以C1O⊥平面B B1 D1 D，
所以∠C1BO为直线BC1与平面B B1 D1 D所成的角，
设正方体棱长为1，则C1O = √2
2 ，BC1=√2，sin ∠C1BO = C1O
BC1
= 1
2，
所以，直线BC1与平面B B1 D1 D所成的角为30
∘，故C 错误；
因为C1C ⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠C1BC = 45
∘，故D 正
确.
故选：ABD
15．【2022 年新高考2 卷】如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，
FB∥ED , AB = ED =2 FB，记三棱锥E−ACD，F −ABC，F −ACE的体积分别为V 1,V 2,V 3，则
（ ）
A．V 3=2V 2
B．V 3=V 1
C．V 3=V 1+V 2
D．2V 3=3V 1
【答案】CD
【解析】
【分析】
直接由体积公式计算V 1,V 2，连接BD交AC于点M，连接EM , FM，由V 3=V A −EFM +V C −EFM计算出V 3，
依次判断选项即可.
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【详解】
设AB = ED =2 FB =2a，因为ED⊥平面ABCD，FB∥ED，则
V 1= 1
3 ⋅ED⋅S△ACD= 1
3 ⋅2a⋅1
2 ⋅(2a)
2= 4
3 a
3，
V 2= 1
3 ⋅FB⋅S△ABC = 1
3 ⋅a⋅1
2 ⋅(2a)
2= 2
3 a
3，连接BD交AC于点M，连接EM , FM，易得BD⊥AC，
又ED⊥平面ABCD，AC ⊂平面ABCD，则ED⊥AC，又ED∩BD = D，ED ,BD⊂平面BDEF，则
AC ⊥平面BDEF，
又BM = DM = 1
2 BD =√2a，过F作FG⊥DE于G，易得四边形BDGF为矩形，则
FG = BD =2√2a, EG =a，
则EM =√(2a)
2+(√2a)
2=√6a, FM =√a
2+(√2a)
2=√3a，EF =√a
2+(2√2a)
2=3a，
E M
2+ F M
2= E F
2，则EM ⊥FM，S△EFM = 1
2 EM ⋅FM = 3√2
2
a
2，AC =2√2a，
则V 3=V A −EFM +V C −EFM = 1
3 AC ⋅S△EFM =2a
3，则2V 3=3V 1，V 3=3V 2，V 3=V 1+V 2，故A、B 错误；
C、D 正确.
故选：CD.
16．【2021 年新高考1 卷】在正三棱柱
中，
，点
满足
，其中
，
，则（ ）
A．当
时，
的周长为定值
B．当
时，三棱锥
的体积为定值
C．当
时，有且仅有一个点
，使得
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D．当
时，有且仅有一个点
，使得
平面
【答案】BD
【解析】
【分析】
对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于B，将
点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C，考虑借助向量的平移将
点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解
点的个数；
对于D，考虑借助向量的平移将
点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解
点的个数．
【详解】
易知，点
在矩形
内部（含边界）．
对于A，当
时，
，即此时
线段
，
周长不是定值，故A 错误；
对于B，当
时，
，故此时
点轨迹为线段
，而
，
平面
，则有
到平面
的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．
对于C，当
时，
，取
，
中点分别为
，
，则
，所以
点
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轨迹为线段
，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，
，
，
，则
，
，
，所以
或
．故
均满足，故
C 错误；
对于D，当
时，
，取
，
中点为
．
，所以
点轨迹为
线段
．设
，因为
，所以
，
，所以
，此时
与
重合，故D 正确．
故选：BD．
【点睛】
本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．
17．【2021 年新高考2 卷】如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N 为正方体的
顶点．则满足
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
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根据线面垂直的判定定理可得BC 的正误，平移直线
构造所考虑的线线角后可判断AD 的正误.
【详解】
设正方体的棱长为
，
对于A，如图（1）所示，连接
，则
，
故
（或其补角）为异面直线
所成的角，
在直角三角形
，
，
，故
，
故
不成立，故A 错误.
对于B，如图（2）所示，取
的中点为
，连接
，
，则
，
，
由正方体
可得
平面
，而
平面
，
故
，而
，故
平面
，
又
平面
，
，而
，
所以
平面
，而
平面
，故
，故B 正确.
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对于C，如图（3），连接
，则
，由B 的判断可得
，
故
，故C 正确.
对于D，如图（4），取
的中点
，
的中点
，连接
，
则
，
因为
，故
，故
，
所以
或其补角为异面直线
所成的角，
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因为正方体的棱长为2，故
，
，
，
，故
不是直角，
故
不垂直，故D 错误.
故选：BC.
18．【2020 年新课标3 卷理科】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积
为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
【详解】
易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中
，且点M 为BC 边上的中点，
设内切圆的圆心为
，
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由于
，故
，
设内切圆半径为，则：
，
解得：
，其体积：
.
故答案为：
.
【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确
定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方
体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
19．【2020 年新高考1 卷（山东卷）】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以
为
球心，
为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
【答案】
.
【解析】
【分析】
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根据已知条件易得
，
侧面
，可得侧面
与球面的交线上的点到
的距离为
，
可得侧面
与球面的交线是扇形
的弧
，再根据弧长公式可求得结果.
【详解】
如图：
取
的中点为
，
的中点为
，
的中点为
，
因为
60°，直四棱柱
的棱长均为2，所以△
为等边三角形，所以
，
，
又四棱柱
为直四棱柱，所以
平面
A1B1C1D1，所以
，
因为
，所以
侧面
，
设
为侧面
与球面的交线上的点，则
，
因为球的半径为
，
，所以
，
所以侧面
与球面的交线上的点到
的距离为
，
因为
，所以侧面
与球面的交线是扇形
的弧
，
因为
，所以
，
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所以根据弧长公式可得
.
故答案为：
.
【点睛】
本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇
形中的弧长公式，属于中档题.
20．【2020 年新高考2 卷（海南卷）】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N 分别为BB1、AB 的
中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________
【答案】
【解析】
【分析】
利用
计算即可.
【详解】
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N 分别为BB1、AB 的中点
所以
故答案为：
【点睛】
在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.
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