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三年专题06 立体几何（解答题）
（理科专用）
1．【2022 年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面
ABCD ,CD∥AB , AD = DC =CB =1, AB =2, DP =√3．
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD 与平面PAB所成的角的正弦值．
2．【2022 年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD , AD =CD ,∠ADB =∠BDC，E 为AC的中
点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB = BD =2,∠ACB =60°，点F 在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的
正弦值．
3．【2022 年新高考1 卷】如图，直三棱柱ABC −A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2√2．
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(1)求A 到平面A1BC的距离；
(2)设D 为A1C的中点，A A1= AB，平面A1BC ⊥平面AB B1 A1，求二面角A −BD−C的正弦值．
4．【2022 年新高考2 卷】如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA = PB，AB⊥AC，E 是PB的中点．
(1)证明：OE //平面PAC；
(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO =3，PA =5，求二面角C −AE−B的正弦值．
5．【2021 年甲卷理科】已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，E，F 分别
为
和
的中点，D 为棱
上的点．
（1）证明：
；
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（2）当
为何值时，面
与面
所成的二面角的正弦值最小?
6．【2021 年乙卷理科】如图，四棱锥
的底面是矩形，
底面
，
，
为
的中点，且
．
（1）求
；
（2）求二面角
的正弦值．
7．【2021 年新高考1 卷】如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
为
的中
点.
（1）证明：
；
（2）若
是边长为1 的等边三角形，点
在棱
上，
，且二面角
的大小为
，
求三棱锥
的体积.
8．【2021 年新高考2 卷】在四棱锥
中，底面
是正方形，若
．
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（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的平面角的余弦值．
9．【2020 年新课标1 卷理科】如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，
为底面直径，
．
是底面的内接正三角形，
为
上一点，
．
（1）证明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值．
10．【2020 年新课标2 卷理科】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C 是矩形，
M，N 分别为BC，B1C1的中点，P 为AM 上一点，过B1C1和P 的平面交AB 于E，交AC 于F.
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（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）设O 为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E 与平面A1AMN 所成角的正弦
值.
11．【2020 年新课标3 卷理科】如图，在长方体
中，点
分别在棱
上，且
，
．
（1）证明：点
在平面
内；
（2）若
，
，
，求二面角
的正弦值．
12．【2020 年新高考1 卷（山东卷）】如图，四棱锥P-ABCD 的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面
PAD 与平面PBC 的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．
13．【2020 年新高考2 卷（海南卷）】如图，四棱锥P-ABCD 的底面为正方形，PD
底面ABCD．设平面
PAD 与平面PBC 的交线为．
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（1）证明：
平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q 为上的点，QB=
，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值．
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