资料来源：微信公众号 智慧学库
专题03 空间几何（解答题10 种考法）
资料来源：微信公众号 智慧学库
资料来源：微信公众号 智慧学库
考法一 平行
【例1-1】（2023 春·河北邯郸 ）如图，在三棱柱
中，G，O，H，M 分别为DE，DF，AC，BC
的中点，N 为GC 的中点.
(1)证明：
平面ABED.
(2)证明：平面
平面BCFE.
【答案】证明见解析
【解析】（1）证明：如图，连接BG.
∵M 为BC 的中点，N 为GC 的中点，∴
.
∵
平面ABED，
平面ABED，∴
平面ABED.
资料来源：微信公众号 智慧学库
（2）∵G，O 分别为DE，DF 的中点，∴
.
∵
平面BCFE，
平面BCFE，∴
平面BCFE.
∵
且
，∴四边形OFCH 是平行四边形，∴
.
∵
平面BCFE，
平面BCFE，∴
平面BCFE.
又
，∴平面
平面BCFE
【例1-2】（2023 秋·云南）如图，四棱锥
的底面为平行四边形．设平面
与平面
的交线
为l，M、N、Q 分别为PC、CD、AB 的中点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求证：
．
【答案】证明见解析
【解析】（1）因为
、
、
分别为
、
、
的中点，底面
为平行四边形，
所以
，
，
又
平面
，
平面
，
则
平面
，
同理
平面
，
平面
，
可得
平面
，
又
，
平面
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以平面
平面
.
（2）因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，平面
平面
，
所以
.
【例1-3】（2023·青海）如图，在四棱锥A-BCDE 中，底面BCDE 为矩形，M 为CD 中点，连接BM，CE
交于点F，G 为△ABE 的重心，证明：
平面ABC
【答案】证明见解析
【解析】延长EG 交AB 于N，连接NC,
因为G 为△ABE 的重心，所以点N 为AB 的中点，且
,
因为
,故
,所以
,故
，故
,
而
平面ABC，
平面ABC,故
平面ABC；
资料来源：微信公众号 智慧学库
【例1-4】（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱
中，
．点
分别在棱
,
上，
，证明：
【答案】证明见解析；
【解析】以
为坐标原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如图，
则
，
，
，
又
不在同一条直线上，
资料来源：微信公众号 智慧学库
.
【例1-5】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥
中，
，
，
为点
在平
面
上的射影，
为
的中点．证明：
平面
.
【答案】证明见解析
【解析】在平面
内，过点
作
于点
，连接
，
，
∵
，则
，
又∵
平面
，
平面
，∴
平面
．
又∵
平面
，
平面
，
平面
，
∴
，
，
又∵
，
为公共边，∴
，
∴
，又∵
为公共边，∴
，
∴
，
为
的中点，
又∵
为
的中点，∴
为
的中位线，
，
又∵
平面
，
平面
，∴
平面
．
又∵
，
平面
，
平面
，
∴平面
平面
，
又∵
平面
，∴
平面
．
【变式】
1．（2023 春·浙江金华）在正方体
中，
分别是
和
的中点，求证
资料来源：微信公众号 智慧学库
(1)
(2)
平面
．
(3)平面
平面
．
【答案】证明过程见解析
【解析】（1）连接
，因为底面
是正方形，且点
是
中点，
所以
，即点
也是
中点，
又因为点
是
中点，所以由三角形中位线定理可得
；
（2）由（1）
，因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
（3）连接
，因为
分别是
和
的中点，所以由正方体的性质可知：
，
所以四边形
是平行四边形，所以有
，而
，
所以
，因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，而
平面
，所以平面
平面
.
2．（2023 春·新疆省直辖县级单位 ）如图，已知
平面ACD，
平面ACD，
为等边三角形，
资料来源：微信公众号 智慧学库
，F 为CD 的中点，求证：
∥平面BCE.
【答案】证明见详解
【解析】因为
平面ACD，
平面ACD，则
∥
，
取
的中点
，连接
，
因为
分别为
的中点，则
∥
，且
，
由题意可得：
∥
，且
，
则
∥
，且
，则
为平行四边形，
可得
∥
，
且
平面BCE，
平面BCE，
所以
∥平面BCE.
3．（2022 春·浙江温州 ）已知三棱锥
中，
，
，
为
中点，
为
中点，
在
上，
，求证：
平面
资料来源：微信公众号 智慧学库
【答案】证明见解析
【解析】连接
并延长，交
于点
，取
的中点
，连接
，
因为
为
中点，所以
，
，所以
，
所以
，又
为
中点，所以
，
所以
，因为
，所以
，
所以
，可得
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
4．（2022 秋·吉林长春）如图，在正三棱柱
中，
，点
在
上，且
，
为
中点，证明：
平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图所示，分别延长
和
交于点
，设
，
设
，因为
，可得
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
由
，可得
，即
，解得
，
又因为
为
的中点，可得
，所以
，所以
，
又由
，所以四边形
为平行四边形，所以
为
的中点，
设
，因为四边形
为矩形，所以
为
的中点，
在
中，由三角形的中位线定理，可得
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
考法二 垂直
【例2-1】（2023 秋·海南海口 ）已知三棱锥
中，
底面
，
，
分别为
，
的中点，
于
．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】（1）∵
底面
，
底面
，∴
；
又
，
为
的中点，
∴
，
又∵
平面
，
，
∴
平面
，
平面
，
∴
，又
，
平面
，
，
∴
平面
；
（2）由
平面
知，
；又
分别为
的中点，
资料来源：微信公众号 智慧学库
∴
是
的中位线，∴
，∴
，即
，
由
平面
可知，
，
，
为平面
与平面
的二面角，又
，
∴平面
平面
．
【例2-2】（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，点
为
的中点，且
平面
，求证：
平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：取
的中点
，连接
、
，
、
分别为
、
的中点，则
且
，
又因为
，
，所以，
且
，
则四边形
为平行四边形，所以
．
又
平面
，所以，
平面
，
平面
，
，
又
，
，所以
平面
．
【例2-3】（2023 北京）在平行四边形
中
过
点作
的垂线交
的延长线于点
，
.连接
交
于点
，如图1，将
沿
折起，使得点
到达点
的位置.如图2.证明：
直线
平面
.
资料来源：微信公众号 智慧学库
【答案】证明见解析
【解析】证明：图1 中，在
中，
所以
.所以
也是直角三角形，
，
在图2 中，
所以
平面
.
【例2-4】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥
中，
，
均为等边三角形，
，
O 为AB 中点，点D 在AC 上，满足
，且面
面ABC．证明：
面POD．
【答案】证明见解析
【解析】证明：由条件
、
为等边三角形，
为
的中点，
则
，
，
，
由余弦定理得
从而在
中，
，
得
为直角三角形，且
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
又面
面
，面
面
，且
，
面
，
则由面面垂直的性质定理可得
面
由
面
,所以
因此由
，
，
，
平面
，
所以
平面
，
即
面POD.
【变式】
1.（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥
中，
，
，E 为BC
的中点，证明：
；
【答案】证明见解析；
【解析】连接
，因为E 为BC 中点，
，所以
①，
因为
，
，所以
与
均为等边三角形，
，从而
②，由①②，
，
平面
，
所以，
平面
，而
平面
，所以
．
2．（2023 秋·山东）如图所示，在正方体
中，
为棱
的中点，N 为棱
上的点，且
，求证：
.
资料来源：微信公众号 智慧学库
【答案】证明见解析
【解析】连接
，设
，则
，
，
，又
，∴
.
∴
，又
，
∴
，即
，
又
平面
，
平面
，所以
，
平面
，所以
平面
，
平面
，∴
.
3．（2023·湖南）如图，在四棱台
中，平面
平面ABCD，底面
为正方形，
，
.求证：
平面
.
资料来源：微信公众号 智慧学库
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为平面
平面
，平面
平面
，
，
平
面
，
则
平面
.
又
平面
，则
；
在等腰梯形
，如下图，作
，
由题可知
，
，
又
，则
，结合
，得
.
因
，则
.
又
平面
，
平面
，
，
则
平面
.
4.（2023 湖北）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱
中，
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
是线段
的中点，
是线段
靠近点
的四等分点，点
在线段
上，求证：
【答案】证明见解析
【解析】由题意，在直三棱柱
中，
，
不妨设
，则
，
由余弦定理可得
，因为
，可得
，
又由
是线段
的中点，所以
，且
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
又因为
，且
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
,
在直角
中，
，
因为
是线段
靠近点
的四等分点，可得
，
所以
,可得
，
又由
且
平面
，所以
平面
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
因为
平面
，所以
.
考法三 空间角之向量法
【例3-1】（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱
中，
，
D 为
的中点，E 为
的中点，F 为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(3)
【解析】（1）证明：在直三棱柱
中，
平面
，且
，则
以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
资料来源：微信公众号 智慧学库
则
、
、
、
、
、
、
、
、
，
则
，
易知平面
的一个法向量为
，则
，故
，
平面
，故
平面
.
（2）解：
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，可得
，
.
因此，直线
与平面
夹角的正弦值为
.
（3）解：
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，可得
，则
，
因此，平面
与平面
夹角的余弦值为
.
【例3-2】（2023·广东茂名·统考一模）如图所示，三棱锥
，BC 为圆O 的直径，A 是弧
上异于
B、C 的点.点D 在直线AC 上，
平面PAB，E 为PC 的中点.
资料来源：微信公众号 智慧学库
(1)求证：
平面PAB；
(2)若
，求平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【解析】（1）因为
平面PAB，平面
平面
，
平面CAB
所以
.
又O 为BC 中点，所以D 为AC 中点.
又E 为PC 中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）
如图1，取
的中点F，连结PF、AF.
由已知底面
在半圆O 上，BC 为圆O 的直径，可得
.
因为
所以
，
所以
.
资料来源：微信公众号 智慧学库
又
，则有
，
所以
，
.
则有
，
，
，
所以
，
，
，
又
，
平面
，
平面
.
所以
平面
.
法一：如图2 建立如图所示的空间直角坐标系.
由
，
，可得
.
，
，
，
，
，
.
所以
，
，
.
设
为平面PAB 的一个法向量，
则
，
令
，则
，
，则
.
设
为平面PBC 的一个法向量，
则
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
令
，则
，
，则
.
设平面PAB 与平面PBC 的夹角为
，则
.
法二：如图3，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为
，
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
.
设
为平面PAB 的一个法向量，
则
，
令
，则
，
，则
.
设
为平面PBC 的一个法向量，
则
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
令
，则
，
，则
.
设平面PAB 与平面PBC 的夹角为
，则
.
【变式】
1．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
，
为
的中点．
(1)证明：
；
(2)求二面角
的平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【解析】（1）在四边形
中，
，取
中点
，连接
，
由
，得
，则四边形
是平行四边形，又
，
因此
是矩形，即有
，有
，
，
从而
，即
，而
平面
，
平面
，则
，
又
平面
，于是
平面
，而
平面
，
所以
.
资料来源：微信公众号 智慧学库
（2）由（1）知
两两垂直，以点
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标
系，
依题意，
，
，
设平面
的一个法向量
，则
，令
，得
，
设平面
的一个法向量
，则
，令
，得
，
因此
，显然二面角
的平面角为钝角，
所以二面角
的平面角的余弦值为
.
2.（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥
中，
，
，
，E 为BC 的中点．
(1)证明：
；
(2)点F 满足
，求二面角
的正弦值．
资料来源：微信公众号 智慧学库
【答案】(1)证明见解析；(2)
．
【解析】（1）连接
，因为E 为BC 中点，
，所以
①，
因为
，
，所以
与
均为等边三角形，
，从而
②，由①②，
，
平面
，
所以，
平面
，而
平面
，所以
．
（2）不妨设
，
，
．
，
，又
，
平面
平面
．
以点
为原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设
，
设平面
与平面
的一个法向量分别为
，
二面角
平面角为
,而
，
因为
，所以
，即有
，
，取
，所以
；
，取
，所以
，
所以，
，从而
．
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以二面角
的正弦值为
．
3（2022·全国·统考高考真题）如图，
是三棱锥
的高，
，
，E 是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，
，
，求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：连接
并延长交
于点
，连接
、
，
因为
是三棱锥
的高，所以
平面
，
平面
，
所以
、
，
又
，所以
，即
，所以
，
又
，即
，所以
，
，
所以
所以
，即
，所以
为
的中点，又
为
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
（2）解：过点
作
，如图建立空间直角坐标系，
因为
，
，所以
，
又
，所以
，则
，
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以
，所以
，
，
，
，
所以
，
则
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，则
，
，所以
；
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，
，所以
；
所以
.
设二面角
的大小为
，则
，
所以
，即二面角
的正弦值为
.
考法四 空间角之几何法
【例4-1】（2023 秋·四川遂宁 ）如图，多面体
中，四边形
为平行四边形，
，
，四边形
为梯形，
，
，
，
，
平面
资料来源：微信公众号 智慧学库
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【解析】（1）由四边形
是平行四边形，得
，而
平面
，
平面
，则
平面
，
由
，
平面
，
平面
，得
平面
，
又
，
平面
，因此平面
平面
，而
平面
，
所以
平面
.
（2）由
平面
，
平面
，得
，连接
，则
，
在平面
内过
作
于
，连接
，显然
，而
平面
，
于是
平面
，则
为直线
与平面
所成的角，
又
，则
，因此
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
资料来源：微信公众号 智慧学库
【例4-2】（2023 春·河南商丘 ）如图，四边形
是正方形，
平面
，且
. 求：
(1)求二面角
的大小．
(2)求二面角
的大小.
(3)求二面角
的大小的正弦值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）∵
平面
，
面
,
∴
,
,∴
为二面角
的平面角，
又∵四边形
是正方形，∴
，
即二面角
的大小为
；
（2）作
的中点
,
的中点
,连接
,
,
,
∵
平面
，
面
,∴
,
∵
，∴
为等腰直角三角形，
∵
为
的中点，∴
,
又∵
,
,
平面
,且
,
资料来源：微信公众号 智慧学库
∴
平面
,∴
,
∵
分别为
和
的中点，∴
,
∴
为二面角
的平面角，
∵
,∴
平面
,∴
,∴
,
即二面角
的大小为
；
（3）连接
,
∵
,
,∴
,
∴
,∴
二面角
的大小的平面角，
又∵
,
,
平面
,且
,
∴
平面
,∴
,
∵
,∴
,∴
,
∴
,
即二面角
的大小的正弦值
.
【变式】
1．（2023 春·福建宁德 ）四棱锥
中，底面
为平行四边形，侧面
底面
，已知
，
，
，
．
资料来源：微信公众号 智慧学库
(1)证明：
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）作
，垂足为
，连接
，
由侧面
底面
，
侧面
,且侧面
底面
，
得
底面
．
因为
，所以
，
又
，故
为等腰直角三角形，
，
且
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，
所以
,即
.
（2）证明：由（1）知
，
依题
，
故
，由
，
，
，
又
，
作
，垂足为
，
侧面
底面
，
平面
,且侧面
底面
，
得
平面
，
连接
,
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以
为直线
与平面
所成的角，
所以
，
即直线
与平面
所成角的正弦值为
．
2．（2023 秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）如图所示，在四棱锥
中，底面
是矩形，且
，
，
平面
，
，
分别是线段
，
的中点.
(1)证明：
；
(2)若
与平面
所成的角为
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【解析】（1）连接AF，则
，又
，
，
∴
，∴
，
∵
平面ABCD，
平面ABCD，
∴
，
又
平面PAF，
∴
平面PAF，又
平面PAF，
资料来源：微信公众号 智慧学库
∴
；
（2）
平面
，
是
与平面
所成的角，
且
．
，
∵
平面PAF，∴
，
，
∴
为平面PFD 与平面CFD 所成锐角，
∴
，
故二面角
的余弦值为
.
考法五 空间距离之向量法
【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体
中，四边形
是边长为4 的正方形，
，△ABC 是正三角形．
(1)若
为AB 的中点，求证：直线
平面
；
(2)若点
在棱
上且
，求点C 到平面
的距离．
【答案】(1)证明见详解
资料来源：微信公众号 智慧学库
(2)
【解析】（1）连接
，设
，由题意可得
为
的中点，连接
，
因为
分别为
的中点，则
//
，
平面
，
平面
，
所以直线
平面
.
（2）由题意可得：
，
，
平面
，
所以
平面
，
取
的中点
，连接
，
因为△ABC 是正三角形，则
，
又因为
平面
，
平面
，则
，
，
平面
，
所以
平面
，
如图，以
为坐标原点，
为
轴，轴，建立空间直角坐标系，
则
，
可得
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，即
，
所以点C 到平面
的距离
.
【变式】
1．（2023·天津北辰·校考模拟预测）在四棱锥
中，
底面
，且
，四边形
是直角梯形，且
，
，
，
，
为
中点，
在线段
上，且
.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线PB 与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
到PD 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
资料来源：微信公众号 智慧学库
(3)
【解析】（1）如图，取
中点
，连接
因为
为
中点，
，
，
，所以
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
为
中点，
为
中点，则
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
，
又
平面
，故
平面
．
（2）
根据题意，分别以
所在直线为
轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得，
，
则
，
设平面
的法向量为
，
则
，解得
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
取
，则
，所以平面
的一个法向量为
，
设直线PB 与平面
所成角为
，
则
.
所以直线PB 与平面
所成角的正弦值为
.
（3）由（2）可知，
，
所以点
到PD 的距离为
.
2．（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形
中，
，
，现以
为折痕把
折起，使点
到达点
的位置，且
.
(1)证明：面
面
；
(2)若
为
上的一点，点
到面
的距离为
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）在梯形
中，取
中点
，连接
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
，
，
四边形
为平行四边形，
，
，
；
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
平面
.
（2）分别取
中点
，连接
，
，
为
中点，
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
，
分别为
中点，
，
平面
，
则以
为坐标原点，
正方向为
轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，
则
，
设平面
的法向量
，
则
，令
，解得：
，
，
；
点
到平面
的距离
，解得：
，
；
资料来源：微信公众号 智慧学库
平面
轴，
平面
的一个法向量
，
，又二面角
为锐二面角，
二面角
的余弦值为
.
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）三棱台
中，
平面
，
，且
，
，
是
的中点．
(1)求三角形
重心
到直线
的距离；
(2)求二面角
的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，所以
，
，
在平面
内过点
作
，建立如图所示空间直角坐标系
，则
资料来源：微信公众号 智慧学库
，
，
，
，
，
过点
作
，设
，
.
则
.
因为
，
所以
，解得
，
所以
，
．
即三角形
重心
到直线
的距离为
.
（2）
，
，
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
设平面
的法向量
，则
，
取
，则
设平面
的法向量
，则
，
取
，则
所以，
由图可知，二面角
为锐角，所以，二面角
的余弦值为
．
考法六 空间距离之几何法
【例6】（2023·天津·统考高考真题）三棱台
中，若
面
，
分别是
中点.
(1)求证：
//平面
；
(2)求平面
与平面
所成夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
资料来源：微信公众号 智慧学库
(2)
(3)
【解析】（1）
连接
.由
分别是
的中点，根据中位线性质，
//
，且
，
由棱台性质，
//
，于是
//
，由
可知，四边形
是平行四边形，则
//
，
又
平面
，
平面
，于是
//平面
.
（2）过
作
，垂足为
，过
作
，垂足为
,连接
.
由
面
，
面
，故
，又
，
，
平面
，
则
平面
.
由
平面
，故
，又
，
，
平面
，于是
平
面
，
由
平面
，故
.于是平面
与平面
所成角即
.
又
，
，则
，故
，在
中，
资料来源：微信公众号 智慧学库
，则
，
于是
（3）[方法一：几何法]
过
作
，垂足为
，作
，垂足为
，连接
，过
作
，垂足为
.
由题干数据可得，
，
，根据勾股定理，
，
由
平面
，
平面
，则
，又
，
，
平面
，于是
平面
.
又
平面
，则
，又
，
，
平面
，故
平面
.
资料来源：微信公众号 智慧学库
在
中，
，
又
，故点
到平面
的距离是
到平面
的距离的两倍，
即点
到平面
的距离是
.
[方法二：等体积法]
辅助线同方法一.
设点
到平面
的距离为.
，
.
由
，即
.
【变式】
1．（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形ABCD 中，
，
，现以
AC 为折痕把
折起，使点B 到达点P 的位置，且
.
(1)证明：平面
平面
；
资料来源：微信公众号 智慧学库
(2)若M 为PD 的中点，求点P 到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）在梯形ABCD 中取AD 得中点N，连接CN，
则由BC 平行且等于AN，可知ABCN 为平行四边形，
所以
，由
可得C 点在以AD 为直径的圆上，
所以
.又
，
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）取AC 得中点O，连接PO，OD，由
得
，
由（1）知，平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，又M 为PD 的中点，
所以
，因为
平面
，
平面
，所以
，
，
又M 为PD 的中点，所以
，则
，
所以
，
，
，所以
，
由余弦定理得
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以
，
所以
，
所以
，因为
平面
，
所以点
到平面
的距离CD 是点
到平面
距离的2 倍，
即点M 到平面PAC 的距离为1，
，
设点P 到平面
的距离为，
因为
，所以
，解得
.
2．（2023·新疆·统考三模）如图，在四棱锥
中，底面
是长方形，
，
，点
为线段
的中点，点
在线段
上，且
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：因为
，所以
．
又
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以平面
平面
．
资料来源：微信公众号 智慧学库
（2）如图，作
于
于
，连接
，
因为
平面
平面
，所以
．
因为
平面
，
所以
平面
；
因为
平面
，所以
；
因为
平面
，
所以
平面
平面
，所以
．
设棱锥
的高为，
因为底面
是长方形，
，点
为线段
的中点，且
．
所以
所以
，
因为
，即
，
得
，所以棱锥
的高
3．（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形ABCD 中，
，
，现以
AC 为折痕把
折起，使点B 到达点P 的位置，且
.
资料来源：微信公众号 智慧学库
(1)证明：平面
平面
；
(2)若M 为PD 的中点，求点P 到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）在梯形ABCD 中取AD 得中点N，连接CN，
则由BC 平行且等于AN，可知ABCN 为平行四边形，
所以
，由
可得C 点在以AD 为直径的圆上，
所以
.又
，
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）取AC 得中点O，连接PO，OD，由
得
，
由（1）知，平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，又M 为PD 的中点，
所以
，因为
平面
，
平面
，所以
，
，
又M 为PD 的中点，所以
，则
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以
，
，
，所以
，
由余弦定理得
，
所以
，
所以
，
所以
，因为
平面
，
所以点
到平面
的距离CD 是点
到平面
距离的2 倍，
即点M 到平面PAC 的距离为1，
，
设点P 到平面
的距离为，
因为
，所以
，解得
.
考法七 折叠问题
【例7】（2023 秋·山东泰安 ）如图1，四边形
为矩形，
，E 为
的中点，将
、
分别沿
、
折起得图2，使得平面
平面
，平面
平面
．
(1)求证：
平面
；
(2)若F 为线段
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
资料来源：微信公众号 智慧学库
(2)
【解析】（1）在图2 中，取
、
的中点M、N，连接
、
、
，
在图1 中，
，且E 为AB 的中点，则
，所以
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，同理，
平面
，所以
.
又因为
，所以四边形
为平行四边形，所以
，
而
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）在图1 中，
，
，
.
以点E 为坐标原点，
，
所在的直线分别为
轴，
轴建立空间直角坐标系，
设
，则
，
向量
，
设平面
的法向量为
由
，得
，令
，
得平面
的一个法向量为
，
又
，
设直线
与平面
所成角为
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知
中，
，
，
，
，
将
沿
折起，使点A 到点
处，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：因为
，
，可得
，
又因为
，所以
， 即
，
又
，且
平面
，则
平面
，
因为
平面
，所以
，
又因为
，即
，
因为
，且
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，故平面
平面
．
（2）解：以
为坐标原点，以DE，DB 所在直线为x 轴、y 轴，以垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间
直角坐标系，如图所示，
则
，
，
，
，
在直角三角形
中，
，
，则
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
由（1）知
平面
，则
为平面
的法向量，且
，
设直线CD 与平面
所成角的角为
，
则
，
故直线CD 与平面
所成角的余弦值为
．
2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）长方形
中，
，点
为
中点（如图
1），将点
绕
旋转至点
处，使平面
平面
（如图2）．
(1)求证：
；
(2)点
在线段
上，当二面角
大小为
时，求四棱锥
的体积．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【解析】（1）证明：在长方形
中，
，
为
中点，
，
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
，又
，
平面
，
平面
，
，
平面
，
平面
，
.
（2）
如图，取
的中点
，
的中点
，连接
，
由题意可得
两两互相垂直，
以
为坐标原点，以
，
，
分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
设
，则
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
，
令
，得
，
，
又
平面
，
是平面
的一个法向量，
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
令
，解得
或
（舍）.
即
为
的靠近
的三等分点时，二面角
的平面角为
，
平面
，且
，
到平面
的距离为
，又四边形
的面积为3，
四棱锥
的体积
考法八 动点
【例8-1】（2023 春·山西运城·高一统考期中）如图，正三棱柱
中，E、F、G 分别为棱
、
、
的中点．
(1)证明：
∥平面
；
(2)在线段
是否存在一点
，使得平面
∥平面
？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；N 为
的中点，证明见解析
【解析】（1）证明：取
的中点
，连接
，
，
在
中，因为E、M 分别为
、
的中点
所以
且
．
又
为
的中点，
，所以
且
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
即
且
，
故四边形
为平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）当N 为
的中点时，平面
平面
．
证明：连接
，
．
因为N，F 分别是
和
的中点，所以
．
因为
平面
，
平面
，所以
平面
．
因为
，
，所以
．
因为
平面
，
平面
，所以
平面
．
又因为
平面
，
平面
，
，
所以平面
平面
．
【例8-2】（2023 秋·湖南长沙 ）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧面
是正三
资料来源：微信公众号 智慧学库
角形，侧面
底面
，M 是
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)在棱
上是否存在点N 使平面
平面
成立？如果存在，求出
；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，
.
【解析】（1）由侧面
是正三角形，M 是
的中点，得
，
由正方形
，得
，而平面
平面
，平面
平面
，
且
平面
，则
平面
，又
平面
，于是
，
而
平面
，
所以
平面
.
（2）取
的中点
，
的中点
，连接
，连接
，连接
，连接
，
于是
，由正方形
，得
，则
，令
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
显然
是正
的中心，
，
，
又平面
平面
，平面
平面
，则
平面
，
平面
，即有
，而
平面
，
则
平面
，
平面
，在平面
内过
作
交
于
，
显然
，而
平面
，因此
平面
，
连接
并延长交
于
，连接
，于是平面
平面
，
过
作
，则有
，
，
，
，
，则
，又
，
，
从而点
是线段
的中点，
，过
作
交
于
，
于是
，即
，显然
，因此
，
所以在棱
上存在点N 使平面
平面
成立，
.
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱
中，
．点
分别在棱
,
上，
．
(1)证明：
；
资料来源：微信公众号 智慧学库
(2)点
在棱
上，当二面角
为
时，求
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1
【解析】（1）以
为坐标原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如图，
则
，
，
，
又
不在同一条直线上，
.
（2）设
，
则
，
设平面
的法向量
，
则
，
令
，得
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
，
设平面
的法向量
，
则
，
令
，得
，
，
，
化简可得，
，
解得
或
，
或
，
.
2．（2023 春·浙江嘉兴）如图，四棱锥
的底面
为矩形，
平面
，且
，
分别为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)在线段
上是否存在一点
，使得平面
平面
，若存在，请找出该点，并给出证明；若不
存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点
为
的中点，证明见解析
【解析】（1）证明：因为
平面
，
平面
，所以
，
矩形
中，
，
，
平面
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以
平面
；
（2）存在满足条件的点
，为
的中点．
证明：在
中，
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
．
又因为
分别是
的中点，而
，
，所以
，
，
所以四边形
是平行四边形．
所以
，而
平面
，
平面
，
所以
平面
．
又因为
，
平面
，
所以平面
平面
．
3．（2023·北京）如图，在四棱锥
中，侧棱
底面
，底面
是直角梯形，
，
，且
，
，
是
的中点．在线段
上是否存在一点
，使
得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，
【解析】存在点
，使得
平面
，此时
，证明如下：
资料来源：微信公众号 智慧学库
连接
，
为
中点，连接
，
直角梯形
中，
，
，
，
，
则
，
，四边形
为平行四边形，有
，则
，
所以
，
又
底面
，
底面
，则
，
则
，
，
则
，得
，
又
，
，
，
由余弦定理得，
，
则
，
，
又
，
是
的中点，则
，
，
平面
，则
平面
，
故存在点
，使得
平面
，此时
．
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）如图，在四棱台
中，底面
是
菱形，
，
，
平面
.
资料来源：微信公众号 智慧学库
(1)证明：BD
CC1；
(2)棱
上是否存在一点
，使得二面角
的余弦值为
若存在，求线段
的长；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】（1）证明:如图所示，连接
,
因为
为棱台，所以
四点共面，
又因为四边形
为菱形，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
又因为
且
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
（2）解：取
中点
，连接
，
因为底面
是菱形，且
，所以
是正三角形，所以
，即
，
由于
平面
，以
为原点，分别以
为
轴、
轴和轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，
则
假设点
存在，设点
的坐标为
，其中
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
可得
设平面
的法向量
，则
，
取
，可得
，所以
.
又由平面
的法向量为
，
所以
，解得
由于二面角
为锐角，则点
在线段
上，所以
，即
故
上存在点
，当
时，二面角
的余弦值为
.
考点九 外接球
【例9】（2023 湖南）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
.
（1）求证：
平面
；
资料来源：微信公众号 智慧学库
（2）若直线
与底面
所成的角的余弦值为
，求三棱锥
的外接球表面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】（1）在四边形
中，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，即
，
平面
平面
，
，平面
平面
，
平面
，又
平面
，
，
，
平面
，
平面
.
（2）
平面
，
平面
，
，
，
又
，
，
，即
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
即
，
均为直角三角形，且公共斜边为
，
中点到三棱锥
四个顶点的距离相等，
三棱锥
的外接球半径
；
平面
，
为直线
与底面
所成的角，
，又
，
，
三棱锥
的外接球表面积
.
【变式】
1．（2023·全国·模拟预测）如图，球O 是正三棱锥
和
的外接球，M 为
的外心，直
线AM 与线段BC 交于点D，D 为BC 的中点，两三棱锥的高之比为
，E 为PA 上一点，且
．
资料来源：微信公众号 智慧学库
(1)证明：
；
(2)求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【解析】（1）过M 作
，交AB 于
，易证MA，MP，
两两垂直，建立如图所示的空间直
角坐标系
．
设
，球O 的半径为R，
则在
中，有
，解得
．
则
，
，
，
∵
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
∴
，
，所以
∴
，
∴
．
（2）因为
，
平面
，
所以
平面PAD，又
平面PAD，
∴
．
由（1）得
，又
，
平面
，
∴
平面
，
所以平面
的一个法向量为
．
又∵
，
，
，
∴
，
．
设平面
的法向量为
，
则
令
，则
，
，
∴
为平面
的一个法向量．
设二面角
的平面角为
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
∴
，又
，
∴
．
故二面角
的正弦值为
．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图矩形
中，
，沿对角线
将
折起，使点A 折到点
P 位置，若
，三棱锥
的外接球表面积为
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)M 为
的中点，点N 在
边界及内部运动，若直线
与直线
与平面
所成角相等，求点
N 轨迹的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）证明：设O 为矩形
对角线
的中点，
∴
．
即
．
∴O 为三棱锥
外接球的球心．
又∵三棱锥
外接球表面积为
，
∴外接球半径为2．
即
．
资料来源：微信公众号 智慧学库
过P 点作
，垂足为E，过点C 作
，垂足为F，
则
，
，
，
，
∴
而
，
在
中，满足
∴
为直角三角形，
∵
，
，
∴
平面
．
又∵
平面
，
∴平面
平面
．
（2）以E 为坐标原点，
所在直线分别为x 轴、z 轴，以平面
内过E 且垂直于
的直线为y
轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
可知：
且
设平面
的法向量为
，
得
，取
，则
，
设平面
的法向量为
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
得
，取
，则
设平面
与平面
夹角为
，
则
所以平面
与平面
夹角余弦值为是
．
（3）由（2）中空间直角坐标系可设N 为
，
，
，
，
取平面
法向量为
．
∵直线
与直线
与平面
所成角相等，
∴
得：
整理得：
，即
∵N 点在
边及其内部，
∴N 的轨迹为圆落在
边及内部的部分．
∴轨迹长度为半径为1 的圆周长为
．
得
∴N 点轨迹长度为
．
考法十 最值
资料来源：微信公众号 智慧学库
【例10】．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，三棱锥
中，
，
，
，平面
平面
.
(1)求三棱锥
的体积的最大值；
(2)求二面角
的正弦值的最小值.
【答案】(1)
(2)
.
【解析】（1）取
的中点
，连接
，
因为
，所以
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
，
，
，所以
，
，
所以三棱锥
的体积为
因为
，所以
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故三棱锥
的体积的最大值为
.
（2）解法一：由（1）可知
平面
，又
平面
，所以
，
过
作
于
，连接
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
因为
平面
，
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，所以
为二面角
的平面角，
在
中，
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为2.
此时
取得最小值
，
故二面角
的正弦值的最小值为
.
解法二：由（1）可知
平面
，
以
为坐标原点，向量
，
为
轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
设
，则
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，则
，
又取平面
的法向量为
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
设二面角
的大小为
，
，
所以
，
因为
，所以
，
令
，则
，整理可得
，
所以
，解得
，
所以当
，即
，
时，
取得最大值
，此时
取得最小值
，
故二面角
的正弦值的最小值为
.
【变式】
1．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）如图，在正四棱台
中，
，
，
，
为棱
，
的中点，棱
上存在一点
，使得
平面
．
(1)求
；
(2)当正四棱台
的体积最大时，求
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
资料来源：微信公众号 智慧学库
【解析】（1）作
交
于
，再作
交
于
，连接
．
因为
平面
，所以
平面
．
又平面
平面
，所以
．
又因为
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，即
为棱
的四等分点，
故
也为棱
的四等分点，所以
．
（2）由（1）易知
为
的四等分点，所以点
在点
的正上方，
所以
底面
．
设
，则
，所以
，
所以该四棱台的体积
，
而
．
当且仅当
，即
时取等号，此时
，
．
以
为原点，
，
分别为
轴、轴，
过
平行于
的直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以
，
，
．
设平面
的法向量为
，
由
得
令
，则
．
设
与平面
所成角为
，
则
，
故
与平面
所成角的正弦值为
．
2．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）如图，圆锥
中，
为底面圆
的直径，
，
为
底面圆
的内接正三角形，圆锥的高
，点
为线段
上一个动点.
(1)当
时，证明：
平面
；
(2)当
点在什么位置时，直线PE 和平面
所成角的正弦值最大.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
点在距离
点
处
【解析】（1）因为
，
，所以
是正三角形，则
，
又
底面圆
，
底面圆
，所以
，
在
中，
，所以
，
因为
是正三角形，所以
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
，
，
所以
，
，
同理可证
，
又
，
，
平面
，所以
平面
.
（2）如图，建立以
为原点的空间直角坐标系
.
设
，（
），所以
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，
，故
，
设直线
和平面
所成的角为
，
则
，
当且仅当
，即
时，直线
和平面
所成角的正弦值最大，
故
点在距离
点
处.
资料来源：微信公众号 智慧学库
3．（2023·四川内江·校考模拟预测）在直角梯形
中，
，
，
，
直角梯形
绕直角边
旋转一周得到如下图的圆台
，已知点
分别在线段
上，二面
角
的大小为
．
(1)若
，
，
，证明：
平面
；
(2)若
，点
为
上的动点，点
为
的中点，求
与平面
所成最大角的正切值，并求
此时二面角
的余弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
，
【解析】（1）
如图所示，过Q 作QE∥AB 交AC 于E，连接PE，过C1作C1F∥A1A，交AC 于F，
∵
，结合圆台的特征知
，
又∵
，解三角形得
，
故
，即
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
∵
， 由题意易知四边形
为直角梯形，
∴
，
，故
，
∵
面
，
面
，∴QE∥面
，
同理PE∥面
，
又
面PQE，∴面
∥面
，
面
，∴
平面
，得证；
（2）
如图，结合圆台的特征，当
时，此时
两两垂直，
故以A 为中心，以AB、AC、AA1所在的直线分别为
轴、
轴、轴，
则
，
设
，则
，
，
易知
轴⊥面
，不妨取
作为面
的一个法向量，
设
与平面
所成角为
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
则
，
即当
时，
取得最大值，此时
为最大角，
，
设此时面APQ 的一个法向量为
，
易得
，则
，
令
，则
，即
，
由图可知该二面角的平面角为锐角，设其为
，故
，
故
与平面
所成最大角的正切值为
，此时二面角
的余弦值为
.
