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技巧01 单选与多选题型的答题策略与技巧
目录
01 考情透视·目标导航...................................................................................................2
02 知识导图·思维引航...................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破...............................................................................................13
题型一：直接法
13
题型二：特殊法
15
题型三：赋值法
19
题型四：排除法
22
题型五：构造法
27
题型六：中间值比较法
31
题型七：坐标法
34
题型八：归纳法
41
题型九：正难则反法
44
1
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题型十：换元法
48
高考的单选题和多选题绝大部分属于中档题目，通常按照由易到难的顺序排列，每道题目一般是多个
知识点的小型综合，其中不乏渗透各种数学的思想和方法，基本上能够做到充分考查灵活应用基础知识解
决数学问题的能力．
（1）基本策略：单选题和多选题属于“小灵通”题，其解题过程可以说是“不讲道理”，所以其解
题的基本策略是充分利用题干所提供的信息作出判断和分析，先定性后定量，先特殊后一般，先间接后直
接，尤其是对选择题可以先进行排除，缩小选项数量后再验证求解．
（2）常用方法：单选题和多选题也属“小”题，解题的原则是“小”题巧解，“小”题快解，
“小”题解准．求解的方法主要分为直接法和间接法两大类，具体有：直接法，特值法，图解法，构造法，
估算法，对选择题还有排除法（筛选法）等．
2
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3
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1、排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的
手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论．
2、特殊值法：从题干（或选项）出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件
的特殊函数或图形位置，进行判断．特值法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，
特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等．
3、图解法：对于一些含有几何背景的题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对
图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率
和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等．
4、构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，
把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法
5、估算法：由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的
计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往
可以减少运算量．
6、检验法：将选项分别代人题设中或将题设代人选项中逐一检验，确定正确选项．
4
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1．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【解析】因为直线
，即
，令
，
则
，所以直线过定点
，设
，
将圆
化为标准式为
，
所以圆心
，半径
，
当
时，
的最小，
此时
.
故选：C
2．（2024 年北京高考数学真题）已知
是平面直角坐标系中的
点集.设
是
中两点间距离的最大值，是
表示的图形的面积，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】对任意给定
，则
，且
，
可知
，即
，
5
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再结合x 的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域
，
如图阴影部分所示，其中
，
可知任意两点间距离最大值
，
阴影部分面积
.
故选：C.
3．（2024 年北京高考数学真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如
，则
，
6
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可得
，即
，故D 错误；
对于选项C：例如
，则
，
可得
，即
，故C 错误，
故选：B.
4．（2024 年北京高考数学真题）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4 的正方形，
，
，该棱锥的高为（ ）.
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，底面
为正方形，
当相邻的棱长相等时，不妨设
，
分别取
的中点
，连接
，
则
，且
，
平面
，
可知
平面
，且
平面
，
所以平面
平面
，
过
作
的垂线，垂足为
，即
，
7
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由平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
由题意可得：
，则
，即
，
则
，可得
，
所以四棱锥的高为
.
故选：D.
5．（2024 年北京高考数学真题）设函数
.已知
，
，且
的最
小值为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由题意可知：
为
的最小值点，
为
的最大值点，
则
，即
，
且
，所以
.
故选：B.
6．（2024 年北京高考数学真题）在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
的二项展开式为
，
令
，解得
，
故所求即为
.
故选：A.
8
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7．（2024 年北京高考数学真题）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得
.
故选：C.
8．（多选题）（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
【答案】AD
【解析】A 选项，
，由于
，
故
时
，故
在
上单调递增，
时，
，
单调递减，
则
在
处取到极大值，在
处取到极小值，
由
，
，则
，
根据零点存在定理
在
上有一个零点，
又
，
，则
，
则
在
上各有一个零点，于是
时，
有三个零点，A 选项正确；
B 选项，
，
时，
，
单调递减，
时
，
单调递增，
9
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此时
在
处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，
即存在这样的
使得
，
即
，
根据二项式定理，等式右边
展开式含有
的项为
，
于是等式左右两边
的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的
，使得
为
的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的
，使得
为
的对称中心，
则
，事实上，
，
于是
即
，解得
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，
，
，
由
，于是该三次函数的对称中心为
，
由题意
也是对称中心，故
，
即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
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9．（多选题）（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C：
的准线为l，P 为C 上的动点，过P
作
的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l 与
相切
B．当P，A，B 三点共线时，
C．当
时，
D．满足
的点
有且仅有2 个
【答案】ABD
【解析】A 选项，抛物线
的准线为
，
的圆心
到直线
的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和
相切，A 选项正确；
B 选项，
三点共线时，即
，则
的纵坐标
，
由
，得到
，故
，
此时切线长
，B 选项正确；
C 选项，当
时，
，此时
，故
或
，
当
时，
，
，
，
不满足
；
当
时，
，
，
，
不满足
；
于是
不成立，C 选项错误；
D 选项，方法一：利用抛物线定义转化
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根据抛物线的定义，
，这里
，
于是
时
点的存在性问题转化成
时
点的存在性问题，
，
中点
，
中垂线的斜率为
，
于是
的中垂线方程为：
，与抛物线
联立可得
，
，即
的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个
点，使得
，D 选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设
，由
可得
，又
，又
，
根据两点间的距离公式，
，整理得
，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的
点，D 选项正确.
故选：ABD
10．（多选题）（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
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【答案】ACD
【解析】对A，因为函数
的定义域为R，而
，
易知当
时，
，当
或
时，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，故
是函数
的极小
值点，正确；
对B，当
时，
，所以
，
而由上可知，函数
在
上单调递增，所以
，错误；
对C，当
时，
，而由上可知，函数
在
上单调递减，
所以
，即
，正确；
对D，当
时，
，
所以
，正确；
故选：ACD.
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题型一：直接法
【典例1-1 】集合
，
，若
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
集合
，
，
，
当
时，
，解得
，
当
时，
，解得
综上，实数a 的取值范围是
故本题选
【典例1-2】若不等式
的解集为
，则不等式
的解集为
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】D
【解析】
的解集为
，
，4 是
的两根，
14
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，
不等式
为
，
或
故选
【变式1-1】设a，b 为实数，且
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．
C．
D．8
【答案】B
【解析】因为
，
，
根据基本不等式的性质有
，
又由
，
则
，当且仅当
，即
时等号成立，
故
的最小值为
故选
【变式1-2】复数
满足
为纯虚数，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
故选
15
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1．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40 的中位数为（ ）
A．14
B．16
C．18
D．20
【答案】B
【解析】把数据从小到大排列为10，12，14，14，16，20，24，30，40，
中位数为
2．过点
作圆C：
的切线l，直线m：
与直线l 平行，则直线l
与m 的距离为
A．4
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知，切线斜率存在且不为0，
因为P 为圆上一点，则有
而
，
所以直线
直线
即
与m 的距离为
故选
16
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题型二：特殊法
【典例2-1】函数
在
的图象大致为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
在
上为奇函数，排除A 选项；
当
时，
，排除B、C；
故选
【典例2-2 】等比数列
的公比为q ，前n 项和为
设甲：
，乙：
是递增数列，则
（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
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【解析】
，
时，
是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；
若
是递增数列，则
，可以推出
，故甲是乙的必要条件．
故选：
【变式2-1】若
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，但
不一定大于1，故
不一定成立，故A 错误；
B．
是R 上的增函数，
当
时，
，故B 错误；
C．
在R 上是增函数，且
，
，故C 正确；
D 由
不一定得到
，如
，
故D 错误．
故选
【变式2-2】右图是下列四个函数中的某个函数在区间
的大致图像，则该函数是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于B，当
时，
，与图象不符，故B 不正确．
对于C，当
时，
，与图象不符，故C 不正确．
对于D，当
时，
，与图象不符，故D 不正确．
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故综合分析A 选项符合题意．
1．（多选题）已知
，
，则下列说法不正确的有
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．
【答案】ABC
【解析】
对于A，若
，则
，
则
，故选项A 说法不正确；
对于B，若
则满足
，
而
，不满足
，故选项B 说法不正确；
对于C，若
，满足
，
而
不满足
，故选项C 说法不正确；
对于D，已知
，
，
则
，
当
时，等号成立，故选项D 成立．
故选
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2．（多选题）设抛物线C：
的焦点为F，过抛物线C 上不同的两点A，B 分别作C 的切线，两条切
线的交点为P，AB 的中点为Q，则
A．
轴
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】
抛物线 C：
的焦点为 F，过抛物线 C 上不同的两点
，
分别作 C 的切线，切线
的斜率分别为
，
，
则切线方程联立
，解得
，即两条切线的交点为
，
由 AB 的中点为 Q，即
，P，Q 的横坐标相同，所以
轴 ，故A 正确；
，依题意有
，可得
，而
不恒成立，所以
不成立，故B 错误；
，
，
，
故
，
所以
，即
，故C 正确；
，
，
20
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不妨设
，则
，
，所以
不成立，故D 错误．
题型三：赋值法
【典例3-1】设函数
的定义域为R，且
为偶函数，
为奇函数，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
为偶函数，所以
关于
对称①，
因为
为奇函数，所以
②，
在②中，令
，可得
，
由①可得
，
再在②中，令
，得
故选
【典例3-2】若函数
的定义域为R，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【解析】令
得
故
，
，
消去
和
得到
，故
周期为
令
，
得
，
21
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，
，
，
，
，
故
即
【变式3-1】已知定义域为R 的函数
满足：
，
，
，且
，则
A．
B．
C．
是奇函数
D．
，
【答案】D
【解析】对于A，令
，
，代入
，
可得：
，
由
，则
，即
，所以
，故A 错误；
对于B，令
，
，代入
，
可得：
，因为
，所以
，
解得
，故B 错误；
22
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对于C，令
，代入
，
可得：
，
又
，所以
，
令
，即
当
时，
，
不满足奇函数的定义，所以
不是奇函数，故C 错误；
对于D，由C 选项所得结论：
，
可得
对
恒成立，故D 正确．
故选：
【变式3-2】已知
，则
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】B
【解析】令
，得
，
令
，得
，
则
故选：
1 ．已知函数
的定义域均是R ，
满足
，
，
，则下列结论中正确的是
A．
为奇函数
B．
为偶函数
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C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，因为
，所以令
，得
，
即
，
，所以
是偶函数，故A 错误；
对于B，由
，令
，得
，所以
，
由
，令
，
，得
，
所以
，所以
不是偶函数，故B 错误；
对于C，令
，则
，令
，则
，
所以
，
，所以
，所以
，
令
，得
．
化简得
，用x 替换y，得
，故C 错误；
对于D，令
，得
，从而可知
，
而
，故D 正确．
故选
2．若
的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中
的系数是
（ ）
A．32
B．64
C．80
D．160
【答案】C
【解析】由题意，根据二项式系数和为32，得
，解得
，
令
得各项系数和为
，解得
，
24
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的展开式的通项公式为：
，
令
，解得
，
故展开式中含
项的系数为
故选：
题型四：排除法
【典例4-1】（多选题）若无穷数列
，存在正整数
，对任意
N
，均有
，则称数列
是“弱增数列”，下列说法正确的是
A．公差大于0 的等差数列一定是“弱增数列”
B．公比大于1 的等比数列不一定是“弱增数列”
C．若
，则数列
不是“弱增数列”
D．若
，则数列
是“弱增数列”
【答案】ABD
【解析】
对于A，设等差数列
的公差为
，正整数
，
则
，即
，故A 正确；
对于B，由于等比数列的项有正负之分，所以公比大于1 的等比数列不一定是“弱增数列”，比如等比数
列
，其中从首项开始分别
，
，
，
，……，这个等比数列就是公比大于1 的，但是很明显
数列的每一项都比前一项小，故B 选项正确；
对于C，
，
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令
，
，则
，则
在
单调递增，
令
，解得
，故C 错误；
对于D，
，
对任意
恒成立，因为k 为正整数，
即k
恒成立，
当
时，
恒成立，
所以
是“弱增数列”，故 D 正确．
故选：
【典例4-2】（多选题）已知函数
，则
A．当
时，
是增函数
B．当
时，
的值域为
C．当
时，曲线
关于点
对称
D．当
时，
，
，则
【答案】ACD
【解析】
对于A：
，
当
时，根据复合函数单调性可知函数是R 上的增函数，故A 正确；
26
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对于B：
，
当
时，
，
，故 B 错误；
对于C：当
时，
，故C 正确；
对于D：当
时，
的图象是由
图象向右平移2 个单位得到，
可知
图象的对称中心为
，且
是R 上增函数，
，可得
，
即得
，
根据函数单调性可得
，
即
恒成立，
所以
，即
，故D 正确．
故选：
【变式4-1 】（多选题）已知函数
满足：对于任意实数
，都有
，且
，则
A．
是奇函数
B．
是周期函数
C．
D．
在
上是增函数
【答案】AB
【解析】
对A，由
，
27
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令
，得
，
，
，
为奇函数，故A 正确；
对B，令
，得
，
，
，
，
是周期函数，故B 正确；
对C，当
时，符合题意，但是
，故C 错误；
对D，当
时，符合题意，但是
在
上是减函数，故D 错误．
故选
【变式4-2】（多选题）已知a，b 为正数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】
对于A，
，
，
，
，故A 正确，
对于B，当
，
时，
，故B 错误，
28
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对于C，
，故C 正确，
对于D，当
，
，
，故D 错误．
故选：
1．（多选题）若
为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】
因为
为第二象限角，则
，
，
，
所以
，
，故A，B 正确，D 错误，
当
时，
，故C 错误，
故选：
2．（多选题）已知函数
满足
，
，则
A．
B．
C．
的定义域为R D．
的周期为4
【答案】ABD
【解析】
令
，
则有
，解得
，
故A 正确；
令
，则
，
29
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则
，
故B 正确；
令
，则
无意义，
C 错误；
，
，
，
故D 正确．
故选
题型五：构造法
【典例5-1】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为
，且
，
则该正四棱锥体积的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】方法
设正四棱锥
的高为
，底面边长为a，球心为O，由已知易得球半径为
，
所以
，
30
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因为
，
故所以
，求导
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
，
故该正四棱锥体积的取值范围是
方法
由方法
中知
，
，求导
，所以
在
上单调递
增，在
上单调递减，所以
，
，故该正四棱
锥体积的取值范围是
【典例5-2】若直线
与曲线
相切，则
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设切点为
，
，
由
，得
，
，
，
令
，则
31
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当x
，
时，
，
单调递增；
当x
时，
，
单调递减，
又
，所以
有最大值e，
取值范围是
，
【变式5-1】已知正方体
的棱长为2，P 为线段
上的动点，则三棱锥
外接球
半径的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，连接AC，交BD 于点E，易知E 为
的外心．
连接
，
，交于点F，易知
平面BCD，
三棱锥
的外接球球心O 在EF 上．
设
的外接圆圆心为
，
平面PCD，且
设
的外接圆半径为r，三棱锥
的外接球半径为R，
设
，
，
，
32
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又
，
设
，
，
设
，则
又
，
易知
，
，故选
【变式5-2 】已知函数
的定义域为R ，对任意
，有
，则“
” 是“
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件
D．充要条件
【答案】A
【解析】因为
，则
，
令
，则
，所以
在R 上单调递增．
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件．
故选：
33
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1．设函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
在
上单调递减，
则
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
设
，则
，
所以
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以
，
则实数a 的取值范围是
故选：
2．过点
可作函数
，
的三条切线，则下列结论可能成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设切点为
，
，
则在
处的切线方程为
34
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因为切线过点
，
所以
，即
设
，
，
由题意可得
有3 个根．
，
若
，令
，得
，只有一个极值点，
则
不可能有3 个根．
所以
且
当
时，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减．
又
，
，
①当
，即
，即
时，
，即
，即
②当
，即
时，
，即
，即
同理可得当
时也有
故选：
35
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题型六：中间值比较法
【典例6-1】已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
与
比大小，
若比较5 与
的大小，则先比较
与
的大小，
，
与
比大小
若比较8 与
的大小，则先比较
与
的大小，
，
，
，
，
即
，
故选：
【典例6-2】若
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
36
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【解析】
，
又
，
，
，
，
故选：
【变式6-1】已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
，
则a，b，c 的大小关系
，
故选
【变式6-2】已知
，设
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
37
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【解析】
，
，
，
；
；
综上所述，
即
故选
1．已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，即
又
，即
，又
，
所以
，所以
因为
，所以
，所以
，
38
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所以
，
所以
故选：
2．设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，
且
，
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
故选：
题型七：坐标法
【典例7-1】已知
是边长为2 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则
的最小值是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】以BC 中点O 为坐标原点，以BC 为x 轴，以OA 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
39
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则
，
，
，
设
，则
，
，
，
则
，
当
，
时，
取得最小值，
其最小值为
，
故本题选
【典例7-2】在矩形ABCD 中，
，
，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若
，则
的最大值为
A．3
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】如图：以A 为原点，以AB，AD 所在的直线为x，y 轴，建立如图所示的坐标系，
40
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则
，
，
，
，
动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，
设圆的半径为r，
，
，
，
，
圆的方程为
，
设点P 的坐标为
，
，
，
，
，
，其中
，
，
，
故
的最大值为3，
故选
【变式7-1】如图，已知正四面体
所有棱长均相等的三棱锥，P，Q，R 分别为AB，BC，CA 上
41
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的点，
，
分别记二面角
，
，
的平面角为
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示，过点D 作平面ABC 的投影O，设
，
过点O 作垂线：
，
，
，垂足分别为E，F，G，
连接DE，DF，DG，
因为二面角
，
，
的平面角为
，
，
，
所以
，
42
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设
，则
，
同理可得：
，
，
由已知
，
，可得：
，
，
，
，
为锐角，
故选
【变式7-2】在
中，
，
，
为
所在平面内的动点，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】法一：建立如图所示坐标系，
由题易知，设
，
，
，
，
设
，
43
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法二：注意：
，
，
，且
，
，
，
，
其中，
，
1．在等腰直角
中，
，M 是
所在平面内的一点，满足
，
则
的最小值为
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】以C 为原点，CA，CB 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，
44
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则
，
，
，设
，
则
，
则
，
即
，
所以点M 的轨迹是以点
为圆心，1 为半径的圆，
则
，
故选
2．向量
与
在单位向量
上的投影向量均为
，且
，当
与
的夹角最大时，
A．8
B．5
C．
D．
【答案】D
【解析】设
为x 轴正半轴上的单位向量，
可令
，
，
，
如图所示，
45
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易知
，若
，
故
，
而
，
即
，
所以
，
又
，
所以
，
要
与
的夹角最大，即
最大，即
最小，
由
，
当且仅当
时取等号，
所以当
与
的夹角最大时，
故选：
46
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题型八：归纳法
【典例8-1】数列
，
，
，
，…的通项公式可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】数列
，
，
，
，…
则有
，
，
，
，
则数列的通项公式可以为
；
故本题选
【典例8-2】已知数列1，
，
，
，3，…，
，…，则该数列的第25 项是
A．7
B．
C．
D．5
【答案】A
【解析】由已知数列1，
，
，
，3，…，
，…，
即
，
，
，
，
，…，
，…，
则数列的第n 项为
，
47
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第25 项为
，
故选：
【变式8-1】如图是瑞典数学家科赫在1904 年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正
三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反
复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形图①的边长为1，把图①，图②，图③，
图④中图形的周长依次记为
，
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，得下一个图形的边长是上一个图形边长的
，边数是上一个图形的4 倍，
则周长之间的关系为
，
所以
是公比为
的等比数列，
而首项
，所以
，
当
时，图④中“雪花”状多边形的周长为
故选
【变式8-2】数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边
形数，那么第11 个六边形数为（ ）
48
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A．153
B．190
C．231
D．276
【答案】C
【解析】因为：1，
，
，
，
；
即这些六边形数是由首项为1，公差为4 的等差数列的和组成的；
所以
；
第11 个六边形数为
故本题选
1．如表，定义函数
：
x
1
2
3
4
5
5
4
3
1
2
对于数列
，
，
，
，3，4，…，则
（ ）
A．1
B．2
C．5
D．4
【答案】C
【解析】由题意，
，
，所以
，
，
，
，
，
，…，则数列
49
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是以4 为周期的周期数列，所以
，故选
2．设数列
满足
，
，数列
的前n 项之积为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【解析】数列
满足
，
，解得
，
，
，…，
所以数列
是周期数列，周期为3，
，
，
所以
故选：
题型九：正难则反法
【典例9-1】（多选题）从甲袋中摸出一个红球的概率是
，从乙袋中摸出一个红球的概率是
，从两袋
各摸出一个球，下列结论正确的是
A．2 个球都是红球的概率为
B．2 个球中恰有1 个红球的概率为
C．至少有1 个红球的概率为
D．2 个球不都是红球的概率为
【答案】ABC
【解析】根据题意，从甲袋中摸出1 个红球的概率为
，
则摸出的球不是红球的概率为
，从乙袋中摸出1 个红球的概率为
，
50
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则摸出的球不是红球的概率为
所以对于A、2 个球都是红球，即从甲袋中摸出的球是红球与从乙袋中摸出的球是红球同时发生，则其概
率为
，故A 正确；
对于D，“2 个球不都是红球事件”是“2 个球都是红球事件”的对立事件，
所以所求概率为
，故D 错误；
对于C，至少有1 个红球与两球都不是红球为对立事件，
因为两球都不是红球的概率为
，
所以所求概率为
，故C 正确；
对于B，由两球都不是红球的概率为
，
由A 可得2 个球都是红球的概率为
，
则2 个球中恰有1 个红球的概率为
，故B 正确．
故选
【典例9-2】（多选题）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件
A､
存在如下关系：
某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅
就餐的概率分别为
和
如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为
；如果第一天去乙
餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为
，则王同学
A．第二天去甲餐厅的概率为
51
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B．第二天去乙餐厅的概率为
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
【答案】AC
【解析】
设
第一天去甲餐厅，
第二天去甲餐厅，
第一天去乙餐厅，
第二天去乙餐厅，
所以
，
，
，
因为
，
所以
，
所以有
，
因此选项A 正确，
，因此选项B 不正确；
因为
，所以选项C 正确；
，所以选项D 不正确．
【变式9-1】（多选题）有甲、乙、丙等5 名同学聚会，下列说法正确的有
A．5 名同学每两人握手1 次，共握手20 次
B．5 名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片20 张
C．5 名同学围成一圈做游戏，有120 种排法
D．5 名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有40 种排法
【答案】BD
【解析】
52
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对于A，5 名同学每两人握手1 次，共握手
次，故A 错误；
对于B，5 名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片
张，故B 正确；
对于C，5 名同学围成一圈做游戏，有
种排法，故C 错误；
对于D，5 名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，
采用间接法，甲乙捆绑和其他人当做四个大元素排列，共有
种方法，
其中丙在中间，甲乙在丙的两边的选择，另一边拍好其余两人，共有
种方法，
故总的方法共有
种排法，故D 正确．
故选：
【变式9-2】（多选题）有13 名医生，其中女医生6 人，现从中抽调5 名医生组成医疗小组前往湖北疫区．
若医疗小组至少有2 名男医生，同时至多有3 名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列能表示N 的
算式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】
13 名医生，其中女医生6 人，男医生7 人．
利用直接法，2 男3 女：
；3 男2 女：
；4 男1 女：
；5 男：
，
所以
；
利用间接法：13 名医生，任取5 人，减去有4 名女医生，有5 名女医生的情况，即
；
所以能成为N 的算式是
故选
1．（多选题）在100 件产品中，有98 件合格品，2 件不合格品，从这100 件产品中任意抽出3 件，则（
53
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）
A．恰好有1 件是不合格品的抽取方法有
种
B．恰好有2 件是不合格品的抽取方法有
种
C．至少有1 件是不合格品的抽取方法有
种
D．至少有1 件是不合格品的抽取方法有
种
【答案】ACD
【解析】
对于A，在100 件产品中，有98 件合格品，2 件不合格品，从中任取3 件产品，其中恰好有1 件不合格即
为1 件不合格，2 件合格，所以抽取方法有
种，故A 正确；
对于B，恰好有2 件是不合格品即为1 件合格，2 件不合格，所以抽取方法有
，故B 错误；
对于C，因为产品中只有两件不合格品，所以至少有1 件是不合格品包含“1 件不合格2 件合格”和“2 件
不合格1 件合格”两种情况，所以不同抽法种数为
种，故C 正确；
对于D，因为产品中只有两件不合格品，所以至少有1 件是不合格品的对立情况为：抽出的3 件产品均为
合格品，所以抽出的3 件中至少有1 件是不合格品的抽法有
种，故D 正确．
故选
2．（多选题）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E 五家医院进行核酸检测指导，
每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则
A．所有可能的安排方法有125 种
B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61 种
C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16 种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10 种
【答案】AB
【解析】
对于 A，每名专家有5 种选择，则所有可能的安排方法有
种，A 正确；
54
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对于B，由选项A 知，所有可能的方法有
种，A 医院没有专家去的方法有
种，所以A 医院必须有专家
去的不同的安排方法有
种，B 正确；
对于C，专家甲必须去A 医院，则专家乙、丙的安排方法有
种，C 错误；
对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有
种，D 错误．
故本题选
题型十：换元法
【典例10-1】在三棱锥
中，
，
，
，
，且
，
则二面角
的余弦值的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，又椭圆的定义得P 点轨迹
，
，有双曲线的定义得C 点轨迹
双曲线的一支，
过P 作
，
，
，PH、
面PHC，
则
面PHC，设O 为AB 中点．
则二面角
为
，不妨设
，
55
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，
，
令
，
，
，
，
在
时取最大值
，
56
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，
【典例10-2】函数
，试判断函数的奇偶性及最大值
A．奇函数，最大值为2
B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为
D．偶函数，最大值为
【答案】D
【解析】函数
，定义域为R，
，
，即函数
是偶函数；
当
时，
，令
，
，
故
，
当
时，函数取得最大值，为
；
故选：
【变式10-1】已知
则函数
的值域是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，则
，
因为
在
上单调递增，且
，所以
57
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又
在
上单调递减，所以
即
的值域是
故选：
【变式10-2】已知函数
，
，若总存在两条不同的直线与函数
，
图象均相切，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
与
公切线的切点坐标分别为
，
，
，
，
由
，
，
得
，
，
公切线方程为：
，即
，
，即
，
所以
，
，
两式联立得，
，
代入
中得
，
显然
不是方程
的解，
所以
，
令
，
，
58
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令
，
，则
，
所以当
或
时，
，
为减函数，当
，
，
为增函数，
，
则
的大致图象如图所示：
因为有两切线，所以直线
与函数
的图象有两个交点，
所以
，解得
，
故选
1．定义在R 上的偶函数
和奇函数
满足
，若函数
的最小值为
，则
A．1
B．3
C．
D．
【答案】C
【解析】
①，故
，
因为
为R 上的偶函数，
为R 上的奇函数，
故
，所以
②，
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式子①和②联立得
，
，
，
其中
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
在
上的最小值为
，
由于
的对称轴为
，
故当
时，
在
上单调递增，
故
，解得
，不合要求，舍去；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，解得
，负值舍去，
综上可得，
故选：C
2．若不等式
对任意正实数x 恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
，
不等式
，即为
，
即
，即
可设
，则上式即为
，
，
在R 上递增，
由
在R 上递增，可得
，由
，得
，
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令
，则
因此若不等式
对任意正实数x 恒成立，
则
对任意正实数t 恒成立，
令
，
，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取得最大值
所以
故选：
61
