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圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练
考点目录
定点问题
定值问题
定直线问题
考点一 定点问题
1
例1．（25-26 高二上·北京·期末）已知椭圆
的长轴长为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆
经过椭圆的两个焦点，点
分别是椭圆C 的左、右顶点．
(1)求圆
和椭圆C 的方程；
(2)已知
分别是椭圆C 和圆
上的动点（
位于
轴两侧），且直线
与
轴平行，直线
，
分别
与
轴交于点
，
．求证：
为定值．
【答案】(1)
，
；
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意
，得
，
，
所以圆方程
，椭圆
方程
．
（2）
设
，
，
则
，
，
，
所以
方程
，令
时，
，即
，
考点二 定值问题
2
方程为
，令
时，
，即
，
则
，
所以
，
即
，所以
，
故
为定值
．
例2．（25-26 高三上·重庆·月考）在平面直角坐标系
中，已知动点
到点
的距离和E 到直线
的距离之比是常数
.
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)过点
的动直线(斜率
存在)与曲线C 交于
，
两点，在x 轴上存在点
，使得
,试
问
是否为定值，若是，求出
的值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是，
.
【详解】（1）因为动点
到点
的距离和E 到直线
的距离之比是常数
，
所以
，
两边平方得到
；
化简得到动点E 的轨迹C 的方程是
.
（2）法一：设过点
的直线方程为
，
3
联立方程
，整理得到
，
设
，则
；
因为
，所以
；
又因为
，所以
；
由角平分线逆定理得到，
轴为
的角平分线，
所以
，即
，
化简得到
，即
；
将
代入上式得
；
化简得到
即
因为
，所以
.
即
；
整理得到
；
即
，解得
.
因此
是定值4.
4
法二：因为
，
所以
，即
，所以
．
显然过点
的动直线不与
轴重合，故设直线方程为
，
设
，
联立
，可得
，
，即
时，
由韦达定理得
，
因为
，所以
，
即
，
整理得
，
所以
，
化简得
，
即
。
例3．（25-26 高三上·上海奉贤·月考）已知双曲线
，
的离心率为
，长轴长为
．
5
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)设点是双曲线
上的动点，
是圆
上的动点，且直线
与圆
相切，求
的最小值；
(3)如图，
、
是双曲线
上两点，点
也在双曲线上，直线
、
与
轴分别交于点
、
，点
在
直线
上．若
、
关于原点对称，且
，证明：存在点
，使得
为定值．
【答案】(1)
(2)
(3)当
为
的中点
时，
，证明见解析
【详解】（1）
双曲线
的离心率为
，长轴长为
，
，解得
，
，
，
，
双曲线
的方程为：
.
（2）如图所示：
圆
的方程为：
，
圆心
，半径
，
∵点是双曲线
上的动点，
是圆
上的动点，直线
与圆
相切，
∴
，
，
，
设
，因为点是双曲线
上的动点，
6
，去分母得
，即
，
，
当
时，
取得最小值，且
，
.
（3）如图所示：
由题意知，直线
的斜率存在，设
，
，
设直线
的方程为
，
联立得：
，整理得
，
则
且
，
则
，
，
直线
的方程为
，
令
，可得
，即
，
同理可得
，
为
的中点，
，
7
即
，
则
，
可得
，
整理得
，
所以
或
，
若
，即
，
则直线方程为
，即
，
此时直线
过点
，不合题意；
若
时，则直线方程为
，恒过定点
，
所以
为定值，
又
为直角三角形，且
为斜边，
当
为
的中点
时，
.
例4．（25-26 高三上·山东德州·期末）已知双曲线
的左右顶点为
，
，且
，双
曲线
的一条渐近线的斜率为
，过点
的直线交双曲线
于
，
两点（其中
在第一象限，且
，
异于
点），
为坐标原点．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)过
分别作
，
的垂线，垂足分别为
，
，记
，
的面积为
，
，若
，求
的最大值；
(3)设圆
上一点
处的切线
．若
与双曲线左右两支分别交于
，
，问
是否为定值，若是，
求出此定值；若不是，说明理由．
8
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)是，定值为
，理由见解析.
【详解】（1）
双曲线左右顶点为
，
，且
，
，解得
，
双曲线
的一条渐近线的斜率为
，即
，解得
，
双曲线
的方程为
．
（2）
设直线
，联立双曲线方程得
，整理得
，
设
，则
，
，设
，则
，
，
，
是
在
上的投影，
，
的方程为
，
9
，故
，同理
，
，令
，
，当且仅当
时等号成立，
，即
的最大值为
．
（3）设点
，则
，
由切线的性质可知
，设直线的斜率为
，
，
，
直线的方程为：
，
整理得
，即
，
联立双曲线得
，
设
，由韦达定理得
，
，即
，
10
，
，
是定值．
变式1．（2026·四川遂宁·一模）已知双曲线
分别是
的左、右焦点．
在直线
上，且
到其中一条渐近线的距离为
.抛物线
：
上的一个动点
到
的距
离与点
到
的准线的距离之和的最小值为
.
(1)求
的方程和
的方程；
(2)若过
的直线与
的左、右两支分别交于
两点，与
交于
两点.问是否存在常数
，使得
为定值？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
，
(2)存在，
【详解】（1）因为直线
与
轴的交点为
，所以点
的坐标为
，半焦距
，
又双曲线
的渐近线方程为
，即
，由点到直线的距离公式得到点
到其中一条渐
近线的距离为
，所以
，则
，又
，所以双曲线
的方程为
11
又设
为抛物线
的焦点，则
，如图，已知
，
为
到准线的距离且
为垂足，则
，
当且仅当
三点共线且
在
之间时等号成立，所以
，解得
，因为
，所以
，故抛物线
的方程为
（2）假设存在常数
满足条件，由（1）知
，
设直线
，
联立方程得
，消去
，整理可得
，
所以
，
，
．
因为直线过点
且与
的左、右两支分别交于
，
两点，所以
两点在
轴同侧，所以
．
此时
，即
，所以
．
12
设
，将
代入抛物线方程
，得
，
则
，
所以
．
所以
．
故当
时，
为定值
，所以，当
时，
为定值
变式2．（25-26 高三上·安徽·期末）已知椭圆
的离心率为
，其左、右顶点分别为
，
，
，过点
的直线交椭圆
于另外一点
，点
是直线
上不同于
的一点，且满足
，
为坐标
原点．
(1)求
的方程；
(2)若
，求直线的方程；
(3)若直线
的斜率不为0，直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，问
是否为定值？如果是，求出定
值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
13
(2)
(3)
【详解】（1）因为A，B 分别为椭圆的左右顶点，所以
，所以
，
又离心率为
，所以
，所以
，
所以
，因此椭圆的方程为
.
（2）由（1）知
，设直线的方程为
，
，
，
由
，得
，因为
与
不同，所以
，
所以
，
，
所以
，
因为
，所以
，
得
，又
，
由
，得
，即
，
化简得
，所以
，解得
，
所以直线的方程为
（3）由（2）知
，
由
，得
，
14
所以
，
，
所以
，又
，
所以
，
，
所以
，
，
所以
.
所以
，为定值.
变式3．（25-26 高三上·天津河西·期末）已知椭圆
的左、右顶点分别为
、
，上顶点为
B，离心率
，
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点D 是椭圆C 上非顶点的一动点，直线
交x 轴于点P，直线
交直线
于点Q，
是否是定值？
若是，求出这个值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，为12
15
【详解】（1）因为离心率
所以
，
，
，
因为
，所以
，
所以椭圆的标准方程为
.
（2）因为
，
，
因为点D 是椭圆C 上非顶点的一动点，所以直线
的斜率一定存在且不为0，设为k
所以直线
的方程为
，交x 轴于点
,
所以联立
得
,
因为
，所以
，所以
，
直线
的斜率
,
直线
的方程为
,
因为直线
的方程为
,
联立得
,
所以
,
所以
为定值12.
16
变式4．（24-25 高二下·贵州遵义·月考）以直线：
和直线
：
为渐近线的双曲线C 过点
．
(1)求双曲线C 的标准方程．
(2)
，
是C 的两个顶点，P 是C 上的动点，过点P 且垂直于
的直线与C 交于另一点Q，设直线
和
相交于点H．
①求点H 的轨迹
的方程；
②在①的条件下，设
，
，直线
与
相交于点R，直线
与
相交于点T，且
，
．求证：
为定值．
【答案】(1)
(2)①
；②
，证明见解析.
【详解】（1）根据题意可设双曲线方程为：
，
代入点
，可得：
，
即
，
故双曲线C 的标准方程为
；
（2）
①设
，且
，则
，由（1）可得
17
则直线
方程为：
，
直线
方程为：
，
上面两式相乘，可得
的轨迹方程：
，且
因为点
在双曲线
上，则
，
即可得
的轨迹方程为：
，
故点H 的轨迹
的方程为
；
②设
，由
，
，则直线
方程为：
，
由直线
方程与椭圆方程
联立，消
可得：
，
设
，则
，
同理可得直线
方程为：
，
由直线
方程与椭圆方程
联立，消
可得：
，
设
，则
，
再由
可得：
，
18
由
可得：
，
则
，
再代入
可得：
，
又因为点
满足椭圆方程
，所以
，
即
,
故
为定值
.
19
例1．（25-26 高二上·四川眉山·期末）已知椭圆
的离心率为
，左右焦点分别为
，
，
M 是椭圆上一点，
，
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
的直线与椭圆
交于P，Q 两点，R 为线段
中点.
（ⅰ）求点R 的轨迹方程；
（ⅱ）点O 为坐标原点，射线
与椭圆交于点S，点G 为直线
上一动点，且
，求证：点G 在
定直线上.
【答案】(1)
；
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【详解】（1）因为椭圆的离心率为
，所以
，解得
.
因为
，
，
.
在
中，由余弦定理得
，
即
，又
，所以
，解得
，
所以
，则
，故椭圆的方程为
；
（2）（i）当
的斜率不存在时，因为
为
的中点，此时
为定点
；
当
的斜率为0 时，直线
的方程为
，
与椭圆方程联立，得交点坐标为
和
，
考点三 定直线问题
20
因为
为
的中点，此时
为定点
.
当直线
的斜率存在且不为0 时，不妨设直线
的方程为
，
联立
，得
.
因
在椭圆内，所以直线
必与椭圆相交.
设
，由韦达定理得
，
所以
.
设R 的坐标为
，因为
为线段
中点，
所以
，所以
，得
，
将
代入
，得
，
整理得
，即
，
所以
的轨迹方程为
.
当直线
的斜率为0 或斜率不存在时，点
也满足上式，所以
的轨迹方程为
.
21
（ii）由（i）知，
的方程为
，
联立
，得
，则
.
不妨设
，所以
，
.
不妨设
，由
得
，
即
.
因为
，
，
所以
.
∵
，所以
，即
，
则
点在定直线
上.
当直线
斜率为0 时，
轴，此时
,
.
因为
，所以
，则
，
故
点在定直线
上；
当直线
斜率不存在时，此时直线
方程为
，易知
轴，
所以点
在
轴上，则
.
∵
，所以
，即
，
则
点在定直线
上.
综上可得：
点在定直线
上.
22
例2．（25-26 高三上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，椭圆
的左、右顶点分别为
，
上、下顶点分别为
是椭圆C 在第一象限上的动点．已知椭圆C 过点
且
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线
分别与x 轴和y 轴交于点
．记
的面积分别为
，求
的值；
(3)直线
与直线
交于点D，过D 且与
平行的直线交直线
于点E．证明：点E 在定直线上，并求出
该直线方程．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得
，所以
，
又
，联立求得
，
所以椭圆C 的方程为
.
（2）由（1）得
，设
，
则
，所以
，
令
，得
，
同理
，所以
，
令
，得
，
23
则
，
，
所以
，
由
，代入化简可得
.
（3）证明：由（1）得
，
所以
，则
，
由（2）得
，
联立
，解得
，即
，
又
，所以过D 且与
平行的直线方程为
，
由（2）得
，
联立
，
24
得
，
整理得
，
由
，代入化简可得交点E 的横坐标
，
则交点E 的纵坐标
，
所以点E 在定直线
上.
例3．（25-26 高三上·福建厦门·月考）已知A，B 分别是双曲线
的左、右顶点，P 是C 上
异于A，B 的一点，直线
，
的斜率分别为
，且
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知过点
的直线
，交C 的左，右两支于D，E 两点（异于A，B）．
（i）求m 的取值范围；
（ii）设直线
与直线
交于点Q，求证：点Q 在定直线上．
【答案】(1)
(2)（i）
或
；（ii）证明见解析
25
【详解】（1）
由题意可知
，因为
，所以
.
设
，则
，所以
，
又
，所以
.
所以双曲线C 的方程为
.
（2）（i）由题意知直线l 的方程为
.
联立
，化简得
，
因为直线l 与双曲线左右两支相交，所以
，
即
满足：
，解得
或
；
26
（ii）由（i）
，
直线
的方程为
直线
的方程为
．
联立直线
与
的方程，得
，
所以
，
所以
，
所以
.
所以点Q 的横坐标始终为1，故点Q 在定直线
上.
例4．（25-26 高三上·浙江宁波·月考）已知
，
分别是双曲线
：
的上顶点，
下焦点．
(1)求
的标准方程；
(2)过
的直线与
的上、下支分别交于
两点（
异于
），直线
平分线段
与
的下支交于点
，证
明：直线
与直线
的交点在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意，
，
，
所以
，
27
所以C 的方程为
．
（2）证明：由题意，直线
的斜率存在，
设直线
方程为：
，
，
．
联立
，消去
，得
，
由于
，
同号，所以
，
，
，
所以
，
联立
，解得
，
所以
，
所以直线
的方程为
，即
，
联立
，解得
，
28
所以直线
与直线
的交点在定直线
上．
变式1．（24-25 高二下·广东惠州·月考）已知抛物线
的焦点
关于直线
的对称点为
．
(1)求
的方程；
(2)若
为坐标原点，过焦点
且斜率为1 的直线交
于
两点，求
；
(3)过点
的动直线交
于不同的
两点，
为线段
上一点，且满足
，证明：点
在某定直线上，并求出该定直线的方程．
【答案】(1)
；
(2)8；
(3)证明见解析，
【详解】（1）抛物线
的焦点
关于直线
的对称点为
，于是
，
解得：
，
所以抛物线
的方程为
．
（2）由（1）知
，直线的方程为
，设
，
由
消去
得：
，
则
，
所以
．
（3）由题意可得直线的斜率存在．设直线的方程为
，
代人抛物线方程，整理得
或
．
29
设
，则
，
由
，
得
，
化简得
，
当
时，因
，化简得
，与直线的斜率存在矛盾，不合题意；
当
时，
化简得
．
即
化简得
，
又
，所以
，
化简得
，
所以点
在直线
上．
变式2．（25-26 高二上·辽宁大连·期末）已知
和
是椭圆
的左、右顶点，椭
圆
上的点到其焦点距离的最大值为5，直线与椭圆
相交于
两点，直线不经过坐标原点
，且不与坐标
轴平行.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设点
，若
，求实数
的取值范围；
(3)直线OM 与椭圆
的另外一个交点为S，直线
与直线
相交于点
，直线OP 与直线相交于点
，证明：
点
在一条定直线上，并求出该定直线的方程.
30
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，
【详解】（1）由题可得
，解得
，
所以
，
则椭圆
的方程为
；
（2）设
，若
，所以
，则
，
由于点
、
在椭圆
上，则
，
即
，
消去
得，
，
由于
且
，则可得
因为
，所以
，
结合
且
，可得
或
，
故实数
的取值范围是
.
31
（3）证明：设直线的方程为：
，
由
得
，
则
，
设
，由
三点共线，得
，
由
三点共线，得
，
则
.
所以直线OP 的斜率为
，
则直线OP 的方程为
，
联立直线OP 与直线的方程，可得
，解得
，
点
在一条定直线
上.
变式3．（25-26 高三上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：
（
）的右焦点为
，点
在C
32
上，直线l 经过F 且与C 交于
两点（不在x 轴上）.
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 的斜率为
，求
；
(3)设
分别为C 的左，右顶点，直线
与
交于点T.证明：点T 在定直线上.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【详解】（1）点
在C 上得：
，
右焦点为
得：
，联立解得：
，
所以椭圆方程为
；
（2）直线l 经过F 且斜率为
，则直线方程为
，与椭圆
联立，
消
得：
，
设交点
，则
，
由弦长公式可得：
；
（3）
设直线l 方程为
，与椭圆
联立，
33
消
得：
，
设交点
，则
，
由
分别为C 的左，右顶点，则
，
所以直线
方程为：
，直线
方程为：
，
两式消
得：
，
整理得：
由
可得：
，
所以有
，
即点T 在定直线
上.
变式4．（25-26 高三上·湖北·开学考试）已知椭圆
，左右焦点分别为
，左右顶点为
，离心率为
，点
在椭圆
上．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
与椭圆
交于
两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于x 轴．
（i）设直线
和
的斜率分别为
，用
表示
；
（ii）设
点关于原点的对称点为点，直线
与直线
交于
点，直线
与直线交于
点，其中
为坐标
原点，证明：点
在一条定直线上．
【答案】(1)
；
34
(2)（i）
；（ii）证明见解析.
【详解】（1）由椭圆
的离心率为
，得
，解得
，
由椭圆
过点
，得
，解得
，
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）（i）由
消去
得
，设点
，
则
，而
，依题意
，
所以
.
（ii）法一：设
，由
点关于原点的对称点为点，
为
中点，得
，
直线
的斜率
，
，
，
由（i）得
，解得
，则直线
方程为：
，
由
，消去
得
，而
不恒为0，解得
，
所以点
在定直线
上.
法二：由（i）得
，
设
，由
点关于原点的对称点为点，得
，
35
由
三点共线，得
，由
三点共线，得
，
则
，
解得
，因此直线
方程为：
，
由
，消去
得
，而
不恒为0，解得
，
所以点
在定直线
上.
36
