文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
微专题01 平面向量
【秒杀总结】
结论1：极化恒等式
1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设
，
，则
，
（1）
（2）
（1）（2）两式相加得：
2、极化恒等式：
上面两式相减，得：
————极化恒等式
（1）平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”
平方差的
．
（2）三角形模式：
（M 为BD 的中点）
结论2：矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等．
已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：
．
【证明】（坐标法）设
，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，
则
，设
，则
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
结论3：三点共线的充要条件
设
、
、
是三个不共线向量，则A、B、P 共线
存在
使
．
特别地，当P 为线段AB 的中点时，
．
结论4：等和线
【基本定理】
（一）平面向量共线定理
已知
，若
，则
三点共线；反之亦然．
（二）等和线
平面内一组基底
及任一向量
，
，若点
在直线
上或者在平行
于
的直线上，则
（定值），反之也成立，我们把直线
以及与直线
平行的直线称为等和
线．
（1）当等和线恰为直线
时，
；
（2）当等和线在
点和直线
之间时，
；
（3）当直线
在点
和等和线之间时，
；
（4）当等和线过
点时，
；
（5）若两等和线关于
点对称，则定值
互为相反数；
l
A
Q
B
O
A1
B1
P
结论5：奔驰定理
【奔驰定理】若O 为
内任一点，且
，则
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【典型例题】
例1．在
中，
是
的中点，
，则
____．
．
例2．（2024·江西新余·高三统考期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一
个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容
是：已知M 是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若
，则M 为
的重心
B．若M 为
的内心，则
C．若M 为
的垂心，
，则
D．若
，
，M 为
的外心，则
例3．正三角形内接于半径为2 的圆O，点P 是圆O 上的一个动点，则
的取值范围是 ．
例4．已知圆
与
，定点
，A、B 分别在圆
和圆
上，满足
，则线段AB 的取值范围是 ．
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
的轨迹是以
为圆心，半径为
的圆，
，
．
例5．给定两个长度为1 的平面向量
和
，它们的夹角为
，点
在以
为圆心的圆弧
上
变动．若
，其中
，则
的最大值是__________．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·山东·高三山东省实验中学校联考开学考试）已知向量
满足
，
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·北京西城·高三北京师大附中校考开学考试）如图，圆
为
的外接圆，
，
为边
的中点，则
（ ）
A．10
B．13
C．18
D．26
3．（2024·云南保山·高三统考期末）如图，已知正方形
的边长为4，若动点
在以
为直径的半
圆上（正方形
内部，含边界），则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
4．（2024·全国·校联考模拟预测）在等腰
中，角A，B，C 所对应的边为a，b，c，
，
，P 是
外接圆上一点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·北京通州·高三统考期末）在菱形
中，
是
的中点，
是
上
一点（不与
，
重合），
与
交于
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·全国·校联考模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知
，
，动点P 满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．P 的轨迹为圆
B．P 到原点最短距离为1
C．P 点轨迹是一个菱形
D．点P 的轨迹所围成的图形面积为4
7．（2024·全国·统考模拟预测）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机
物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知
与
为全等的正六边形，且
，点
为该图形边界（包括顶点）上的一点，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）在
中，
，D 为AB 的中点，
，P 为CD
上一点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．（2024·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）已知直线
，圆
，且
圆
过点
，直线与圆
交于
两点，下列结论中正确的是（ ）
A．圆
的半径为2
B．直线过定点
C．
的最小值是
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
D．
的最大值是0
12．（2024·贵州·校联考模拟预测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，则下列说法正
确的是（ ）
A．若
，且
，则
为直角三角形
B．若
，
，
，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
C．若
平面内有一点
满足：
，且
，则
为等边三角形
D．若
，则
为钝角三角形
13．（2024·安徽淮北·统考一模）如图，边长为2 的正六边形
，点
是
内部（包括边界）
的动点，
，
，
.（ ）
A．
B．存在点
，使
C．若
，则点
的轨迹长度为2
D．
的最小值为
14．（2024·黑龙江·高三校联考期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一
个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：
已知
是
内一点，
的面积分别为
，且
.以下命题正确的有（ ）
A．若
，则
为
的重心
B．若
为
的内心，则
C．若
，
为
的外心，则
D．若
为
的垂心，
，则
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
15．（2024·山东菏泽·高三统考期末）如图，顺次连接正五边形
的不相邻的顶点，得到五角星形状，
则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2024·全国·校联考模拟预测）已知平面向量
满足
，
，且对任意的实数，都有
恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．
与
垂直
B．
C．
的最小值为
D．
的最大值为
三、填空题
17．（2024·天津红桥·统考一模）如图所示，在
中，点
为
边上一点，且
，过点
的
直线
与直线
相交于
点，与直线
相交于
点（
，
交两点不重合）.若
，则
，若
，
，则
的最小值为 .
18．（2024·天津·高三校联考期末）在梯形
中，
分
别为线段
和线段
上的动点，且
，则
的取值范围为 ．
19．（2024·全国·校联考一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．
在2022 年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿
望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形
的边长为
，中心为
，四个半圆的圆心均在正方形
各边的中点（如右图）．若点
在四个
半圆的圆弧上运动，则
的取值范围是 .
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
20．（2024·四川·高三校联考期末）过圆
外一点
作圆
的两条切线，切点为
，则
的最小值为 ，此时，
．
21．（2024·河南驻马店·高三统考期末）已知
是边长为3 的等边三角形，
为
上一点，
为
的中心，
为
内一点（包括边界），且
，则
的最大值为 .
22．（2024·天津宁河·高三统考期末）在平行四边形
中，
，
是
的中点，
，
若设
，则
可用
，
表示为 ；若
的面积为
，则
的最小值为
．
23．（2024·广东惠州·统考一模）已知
为函数
图象上一动点，则
的最大值为
．
8
