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解题技巧专题：勾股定理与面积问题
——全方位求面积，一网搜罗
类型一 三角形中利用面积法求高
1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高线的长为( )
A.cm B．13cm C.cm D.cm
2．(2017·乐山中考)点A、B、C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则
点C 到线段AB 所在直线的距离是________．
类型二 结合乘法公式巧求面积或长度
3．已知Rt△ABC 中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC 的面积是( )
A．48cm2 B．24cm2 C．16cm2 D．11cm2
4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是( )
A．7cm B．10cm
C．(5＋)cm D．12cm
5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数
学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个
大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面
积为13，则小正方形的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
类型三 巧妙利用割补法求面积
6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD 的面积．
7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD 的面积．【方法6】
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类型四 利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形
的边长为9cm，则正方形A，B，C，D 的面积之和为________cm2.
9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字
记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角
形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC＝
90°，AB＝3，AC＝4，则D，E，F，G，H，I 都在长方形KLMJ 的边上，那么长方形KLMJ 的面积
为________．
参考答案与解析
1．D
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2.
解析：如图，连接AC，BC，设点C 到线段AB 所在直线的距离是h.∵S△ABC＝3×3
－×2×1－×2×1－×3×3－1＝9－1－1－－1＝，AB＝＝，∴×h＝，∴h＝.故答案为.
3．D 4.D 5.C
6．解：连接AC，过点C 作CE⊥AD 交AD 于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在Rt△ABC
中，由勾股定理得AC＝＝＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD.∵CE⊥AD，∴AE＝AD＝×10＝5.在
Rt△ACE 中，由勾股定理得CE＝＝＝12.∴S 四边形ABCD＝S△ABC＋S△CAD＝AB·BC＋AD·CE＝
×5×12＋×10×12＝90.
7．解：延长AD，BC 交于点E.∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°.∴AE＝2AB＝8.在
Rt△ABE 中，由勾股定理得BE＝＝＝4.∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°，∴CE＝2CD＝4.在
Rt△CDE 中，由勾股定理得DE＝＝＝2.∴S 四边形ABCD＝S△ABE－S△CDE＝AB·BE－CD·DE＝
×4×4－×2×2＝6.
8．81
9．110 解析：如图，延长AB 交KF 于点O，延长AC 交GM 于点P，易证四边形AOLP 是
矩形，OK＝BE＝3.∵∠CBF＝90°，∴∠ABC＋∠OBF＝90°.又∵∠ABC＋∠ACB＝90°，
∴∠OBF ＝∠ACB. 在△ACB 和△OBF 中，∴△ACB≌△OBF(AAS) ．同理：
△ACB≌△PGC≌△LFG≌△OBF，∴KO＝OF＝LG＝3，FL＝PG＝PM＝4，∴KL＝3＋3＋4
＝10，LM＝3＋4＋4＝11，∴S 矩形KLMJ＝KL·ML＝10×11＝110.
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