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微专题12 导数解答题之证明不等式问题
【秒杀总结】
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式
（或
）转化为证明
（或
），进而构造辅助函数
；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
【典型例题】
例1．（2024·高三·北京·开学考试）已知
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)设
，求
的单调区间；
(3)求证：当
时，
.
【解析】（1）当
时，
，
故
在
处的切线斜率为
，而
，
所以
在
处的切线方程为
，即
.
（2）由题意得
，则
，
令
，即
，
令
，即
，
时，单调递减区间为
,单调递增区间为
.
（3）证明：由（2）可知，当
时，
在
上单调递增，而
，
即
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
设
，则
，
因为
，则
，故
，
所以
在
上单调递增，而
，
则
，即
，而
，
故
，即
.
1
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例2．（2024·广东湛江·一模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两个根
，
，求实数a 的取值范围，并证明：
．
【解析】（1）由题意可得
，所以
，
的定义域为
，
又
，由
，得
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
（2）由
，得
，设
，
，由
，得
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
又
，
，且当
趋近于正无穷，
趋近于，
的图象如下图，
所以当
时，方程
有两个根，
证明：不妨设
，则
，
，
设
，
，所以
在
上单调递增，
2
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又
，所以
，即
，
又
，所以
，
又
，
，
在
上单调递减，所以
，
故
.
例3．（2024·高三·北京·阶段练习）设函数
，曲线
在原点处的切线为x 轴，
(1)求a 的值；
(2)求方程
的解；
(3)证明：
【解析】（1）因为
，所以
，
因为曲线
在原点处的切线为
轴，所以
，即
.
（2）由（1）知
所以方程
可化为
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，又
，所以
在
上有唯一零点
，
所以方程
有唯一解
.
（3）要证
，即证
，即证
下证
，
由（2）中
单调递增且
，得
，
所以
；
故可得证
.
3
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例4．（2024·广西柳州·三模）已知函数
．
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若
为
的导函数，设
．证明：对任意
，
．
【解析】（1）
，
，
函数
在点
处的切线方程为：
.
（2）函数
的定义域为
，
令
，
当
时，
，故
在
单调递减，
，
当
时，
单调递增,
当
时，
单调递减,
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（3）
，
令
，
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减，
，
令
，
当
时，
单调递增，故
，
，，
.
4
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例5．（2024·云南贵州·二模）已知函数
.
(1)若
，求证：当
时，
(2)若
有两个不同的极值点
且
.
（i）求
的取值范围；
（ii）求证：
.
【解析】（1）
时，
则
，故
在
单调递减，
故
，故
时，
，
（2）（i）
，
由于
有两个不同的极值点
且
，
故
是
的两个不相等的正实数根，
故
，解得
，
故
（ii）由于
，所以
，故
，
由于
，故
，
，
令
，
故
，
当
时，
，故
在
单调递增，
故
，
由于
故
，
5
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因此
，
故
.
例6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，证明：
．
【解析】（1）当
时，
，则
，
又
，所以
，即
，
所以在点
处的切线方程为
，即
；
（2）证明：设
（
），则
，
，
设
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
，
恒成立，
由
可知
，
所以
（
），
设
（
），则
，
，
所以当
时，
，
单调递增，
，
所以
单调递增，
，
所以
．
例7．（2024·高三·山东潍坊·阶段练习）已知函数
．
(1)若
在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
6
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(2)当
时，证明：
，
．
【解析】（1）
由函数
，可得
，
因为
在R 上单调递增，可得
在R 上恒成立，
即
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
令
，可得
，
当
时，
，
在
单调递减；
当
时，
，
在
单调递增，
所以当
时，函数
取得极大值，最大值
，所以
，
即实数a 的取值范围为
.
（2）当
时，
，可得
可得
，要使得
，只需使得
，
当
时，令
，可得
，
所以
在
上单调递增，
又由
，所以
，所以
在
上单调递增，
所以
；
当
时，可得
且
，所以
，满足
；
当
时，可得
，因为
且
，
所以
，所以
，
综上可得，对于
，都有
.
例8．（2024·高三·青海海南·开学考试）已知函数
(1)讨论
的单调性;
(2)证明:当
时，
【解析】（1）
，
，
当
时，易知
，所以函数
在R 上单调递减，
当
时，令
，解得
，
令
，解得
，即
在
上单调递增，
7
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令
，得
，即
在
上单调递减，
综上，当
时，函数
在R 上单调递减，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）令
，
，
，令
，
，
则
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，又
，
有
，
，即
单调递减，
，
，即
单调递增，
所以
，而此时
，
所以当
时，
成立；
当
时，可得
，
，
所以
又
，
所以存在
，使得
，即
，
，
，
，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，由
可得，
，
下面证明
，
，
令
，
8
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，
所以
在
上单调递增，
，
即
得证，即
成立，
综上，当
时，
成立.
例9．（2024·四川广安·二模）已知函数
.
(1)若
存在极值，求
的取值范围；
(2)若
，
，证明：
.
【解析】（1）由
，
，得
，
当
时，
，则
单调递增，
不存在极值；
当
时，令
，则
，
当
，则
，即
在
上单调递减，
当
，则
，即
在
上单调递增.
所以
是
的极小值点，
所以当
时，
存在极值，
综上所述，
存在极值时，
的取值范围是
.
（2）欲证不等式
在
时恒成立，
只需证明
在
时恒成立.
设
，
，
则
，
令
，
，
则
.
当
时
，
，所以
，
所以
即
在
上单调递增，
所以
，
因为
，所以
，
9
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故
，所以
在
上单调递增，
所以
，
即当
，
时，不等式
恒成立.
【过关测试】
1．（2024·高三·山东·开学考试）已知函数
是
的导函数，
.
(1)求
的单调区间；
(2)若
有唯一零点.
①求实数
的取值范围；
②当
时，证明：
.
【解析】（1）
的定义域为
，
，
当
时，
恒成立，此时
的单调递增区间是
，无单调递减区间，
当
时，令
得
；令
得
；
此时
单调递减区间为
；单调递增区间为
，
综上，当
时，
的单调递增区间是
，无单调递减区间，
当
时，
单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）①法一；
当
时，
没有零点，不符合题意；
当
时，由（1）知函数
在
单调递增，
因为
，
取
，则
，
又
，故存在唯一
，使得
，符合题意；
当
时，由（1）可知，
有唯一零点只需
，
即
，解得
，
综上，
的取值范围为
.
法二：
10
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当
时，
没有零点，不符合题意；
由
，得到
，
令
，则
，
当
时，
，则
在区间
单调递增，
当
时，
，则
在区间
单调递减，
又
，
，
所以
或
，
即
或
，
综上，
的取值范围为
.
②由①得出
，
令
，则
，
令
，则
恒成立，
所以
单调递增，又
，
故当
时，
，则
在区间
上单调递减，
当
时，
，则
在区间
上单调递增；
故
，所以
，
要证
，只需证明
，
即证
，
由
，
所以
成立，故不等式得证.
2．（2024·江西上饶·一模）已知函数
，若
为实数，且方程
有两个不同的实数根
．
(1)求
的取值范围：
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(2)①证明：对任意的
都有
；
②求证：
．
【解析】（1）
，
，
，
，
在
上为增函数，在
上为减函数
，
，当
时，
，且
时，
．
故函数
的图象如下：
因为方程
有两个不同的实数根
，
所以
；
（2）（ⅰ）记
，
，
则
，
，设
，
则
，
在
上为减函数，
，
，
存在
，使得
，
时，
；
时，
，
在
上为增函数，在
上为减函数，
又
，
，
；
（ⅱ）不妨设
，则
，
12
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由（1）知
，又
，
，
.
要证
，
只要证
，
记
，
，
，
在
上为增函数，
，
成立，
成立.
3．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）已知
为函数
的导函数．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，证明：当
时，
．
【解析】（1）
，
令
，则
，
若
，则
，从而
，所以
即
在定义域内单调递增，
若
，则当
时，
，
即
单调递减，
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当
时，
，
即
单调递增，
综上所述，若
，
在定义域内是增函数，若
，
在
上是减函数，在
上是增函数.
（2）不妨设
，
则
，
由（1）可知若
，则
在
上是减函数，在
上是增函数.
从而
，
即
在
上是增函数，
从而
，也就是说当
时，
.
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
的反函数为
，令
(1)求曲线
在
处的切线的方程；
(2)证明：
.
【解析】（1）由函数
的反函数为
，
则
，可得
，
所以
，
所以曲线
在
处的切线的方程为
，
即
．
（2）证明：由（1）可知
，显然
为
上的增函数．
因为
，
所以存在唯一的
，使
．
可得
，即
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
，
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当且仅当
时，等号成立，而
，
所以
．
5．（2024·广东广州·一模）已知函数
，
.
(1)求
的单调区间和极小值；
(2)证明：当
时，
.
【解析】（1）函数
，
，求导得
，
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减，
所以
的递增区间为
；递减区间为
，
的极小值为
.
（2）证明：当
时，令
，
求导得
，
令
，求导得
，
函数
在
上单调递增，则
，
在
上单调递增，
因此
，所以
.
6．（2024·安徽合肥·一模）已知函数
，当
时，
有极大值
.
(1)求实数
的值；
(2)当
时，证明：
.
【解析】（1）函数
的定义域为
，且
，
因为
时，
有极大值
，
所以
，解得
，
经检验，当
时，
在
时有极大值
，
所以
；
（2）由（1）知，
，
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当
时，要证
，即证
，即证：
.
设
，则
，
因为
，所以
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，即
，
故当
时，
.
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，证明：
．
【解析】（1）
当
时，
，求导得
，则
，而
，
所以所求切线方程为
，即
．
（2）当
时，显然
，不等式
，
令函数
，求导得
，
显然函数
在
上单调递增，
，
因此函数
在
上单调递增，于是
，即
，
所以当
时，不等式
成立．
8．（2024·高三·浙江·开学考试）设
.
(1)若
，求
；
(2)证明：
；
(3)若
，求实数
的取值范围.
【解析】（1）由二倍角公式及同角三角函数的商数关系可知：
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（2）证明：先证当
时，
.
令
，则
在
时恒成立，
在
上单调递增，
，
即当
时，
.
要证
，只需证明
，即证
令
，
，
则
.
（或
，当且仅当
时等号成立，）
而
，则
，
，
在
在
上单调递增，
，
即
当
时，
.
（3）令
，
，则
，
，
令
，则在
上单调递减，
，
，
而
，
在
上递减，
在
上递增
的值域为
（i）当
，即
时，
恒成立，所以
在
递增，
，
符合题意；
（ii）当
，即
时，
，
17
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存在
使得
当
时，
，
递减，此时
，不符题意.
综上知，
.
9．（2024·高三·山东青岛·期末）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，证明：
．
【解析】（1）当
时，
，则
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
（2）（法一）当
时，
由（1）可知
，即
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
因此，
（当且仅当
时取得等号）
（法二）当
时，
令
，可知
于是
在
单调递减，在
单调递增，
因此，
（当且仅当
时取得等号）．
令
，则由（1）知：故
在
单调递增，
因此
．所以
．
10．（2024·高三·安徽合肥·期末）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间
18
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(2)讨论
的单调性；
(3)当
时，证明
.
【解析】（1）当
时，
，
的定义域为
，
则
，
故当
时，
；当
时，
.
故
在
单调递增，在
单调递减；
（2）
的定义域为
，
．
若
，则当
时，
，故
在
单调递增，
若
，则当
时，
；当
时，
.
故
在
单调递增，在
单调递减；
（3）由（1）知，当
时，
在
取得最大值，最大值为
，
所以
等价于
，即
，
设
，则
，当
时，
，当
时，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
故当
时，
取得最大值，最大值为
，所以当
时，
，
从而当
时，
，即
.
11．（2024·高三·广东深圳·期末）已知定义在
上的函数
.
(1)若
为单调递增函数，求实数
的取值范围；
(2)当
时，证明：
.
【解析】（1）
，
为单调递增函数，
19
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当
时，
恒成立，即
恒成立，
令
，则
，
在
上单调递减，
，
，即实数
的取值范围为
；
（2）只需证明：当
时，
恒成立，
即证当
时，
恒成立，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，
为单调递增函数，
当
时，
，
即当
时，
，
为单调递增函数，
当
时，
，
即当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
即当
时，
.
12．（2024·高三·山东潍坊·期末）已知函数
，
的导函数为
.
(1)当
时，解不等式
；
(2)判断
的零点个数；
(3)证明：
.
20
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【解析】（1）当
时，
，
所以
，所以
，
所以不等式的解集为
.
（2）函数
的定义域为
，
.
令
，则
，
所以
在区间
上单调递增.
又因为
，
，
所以存在
使得
，
所以
在区间
上有且只有一个零点
.
（3）证明：由（2）知，当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
.
因为
，所以
，
.
所以
，
所以
.
13．（2024·广西来宾·一模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：
.
【解析】（1）
21
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因为
，所以
，
当
时，
，函数
在R 上单调递增；
当
时，由
，得
，函数
在区间
上单调递增，
由
，得
，函数
在区间
上单调递减.
综上，当
时，
在R 上单调递增；
当
时，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
（2）要证
，即证
，
，
即证
，
，
设
，
，
故
在
上单调递增，又
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
①当
时，因为
，
，所以
；
②当
时，
，
令
，则
，
设
，则
，
因为
时，
单调递增，所以
，
所以
即
在
上单调递增，
所以
，所以
在
上单调递增，
所以
，
.
综上可知，当
时，
，
即
.
14．（2024·天津河东·一模）已知函数
．
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的最小值；
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(3)函数
，证明：
．
【解析】（1）
，
，切线斜率为
故切线方程为
，即
.
（2）
，令
，可得
，
当
，
；
，
，
故
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
故函数
的最小值
.
（3）
，由
①
欲证明
，只需要
，
令
，
令
在区间
上单调递增，则
，故
；
则
在区间
上单调递增，只需证明
，
由①可知
，
由（2）可知
，
只需证明
，
化简为：
成立即可，令
，
则
在区间
上单调递增，
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故
，所以
得证.
15．（2024·北京石景山·一模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
在区间
上的最大值与最小值；
(3)当
时，求证：
．
【解析】（1）
，
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
；
（2）
，
当
时，
在区间
上恒成立，
在区间
上单调递增，
所以函数
的最小值为
，最大值为
，
当
时，
，得
，
在区间
小于0，函数
单调递减，
在区间
大于0，函数
单调递增，
所以函数
的最小值为
，
，
，显然
，所以函数
的最大值为
，
综上可知，当
时，函数
的最小值为
，最大值为
，
当
时，函数
的最小值为
，最大值为
；
（3）当
时，
，即证明不等式
，
设
，
，
，
设
，
，
，
所以
在
单调递增，并且
，
，
所以函数
在
上存在唯一零点
，使
，
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即
，则在区间
，
，
单调递减，
在区间
，
，
单调递增，
所以
的最小值为
，
由
，得
，且
，
所以
，
所以
，即
.
16．（2024·四川·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的最小值；
(2)当
，
时，求证：
．
【解析】（1）
，
，
在
上单调递减，
的最小值为
.
（2）令
，则
.
在
上单调递减，
，
又
，
，
，
又由（1）知，
，
.
25
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17．（2024·吉林·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间和最小值；
(2)若
，证明：
．
【解析】（1）由于
，则
，
令
，则
；令
，则
；
故
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
则
；
（2）证明：由题意知
，则
，故
，
当且仅当
，即
时取等号，由于
，而
，
故等号取不到，
，故
，
要证明
，只需证
，
令
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递减，
故
，即
；
故只需证明
，即证
，
令
，
，
由（1）知
，故
，
即
在
上单调递增，则
，
故
，即
成立，故原命题得证.
18．（2024·湖南·模拟预测）已知函数
是自然对数的底数，
.
(1)当
时，求函数
的零点个数；
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(2)当
时，证明：
；
(3)证明：若
，则
.
【解析】（1）因为
定义域为
，所以
，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增，
所以
，
又
，
由零点存在性定理可知
在区间
和
上各存在一个零点，
所以
有两个不同零点.
（2）当
时，
，由
，得
，
令
，则
，
当
时，
在
上为减函数，当
时，
在
上为增函数，
所以
，而
，且
，
所以
，即
.
（3）由已知
，即
，
因为
，令
为开口向上的二次函数，对称轴为
，
令
，所以
，
当
时，
，函数
单调递增；当
时，
，函数
单调递减，所以
，
即
，故
在区间
上单调递增，
所以
，
从而只需证明
即可，即证
，
令
，则
，
令
，则
，
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所以函数
单调递减，且
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，即
，从而不等式
得证.
19．（2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不
等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数
，在
时，有不等式
成立；在
时，有不等式
成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当
时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知
是大于
的实数（全部同号），证明
【解析】（1）猜想：伯努利不等式等号成立的充要条件是
，或
．
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，其他值均不能保证等号成立，
猜想，伯努利不等式等号成立的充要条件是
，或
；
（2）当
时，我们需证
，
设
，注意到
，
，令
得
，
即
，
是
的一个极值点．
令
，则
，
所以
单调递增．
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增．
所以在
处
取得极小值
，
即
恒成立，
．
伯努利不等式对
得证．
（3）当
时，原不等式即
，显然成立．
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当
时，构造数列
：
，
则
，
若
，由上式易得
，即
；
若
，则
，所以
，
故
，
即此时
也成立．
所以
是一个单调递增的数列（
），
由于
，所以
，
故原不等式成立．
20．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)求证：
；
(3)若
且
，求证：
．
【解析】（1）
的定义域为
，
，
记
，
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减，
所以
，即
，
所以
在区间
上单调递减．
（2）法一：先证
，记
，
则
，
记
，则
，所以
时，
递增；
时，
递减．
所以
，所以
，又
，所以
，故
．
再证
，即证
，记
，
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则
，
记
，则
，所以
在
递增，
所以
，所以
，即
，
所以
.
法二：构造函数
，
当
时，
单调递增，
，所以
，
构造函数
，
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减．
所以
，即
，即
成立．
所以
，
所以
，
则只需证明
，即
，而
显然成立，
所以
．
（3）法一：由（2）知
的最大值为0．
因为
且
，则
之中至少有一个大于1，
不妨设
，则
，由（1）可知
为减函数，所以
，
所以
，
因为
，
记
，则
，
因为
，所以
，所以
，所以
．
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法二：先证
，记
，
则
，
记
，则
，所以
时，
递增；
时，
递减．
所以
，所以
，又
，所以
，故
．
所以
，
因为
且
，
所以
，
所以
，所以
，则
．
21．（2024·江苏·模拟预测）若
时，函数
取得极大值或极小值，则称
为函数
的极值点.已
知函数
，其中
为正实数.
(1)若函数
有极值点，求
的取值范围；
(2)当
和
的几何平均数为
，算术平均数为
.
①判断
与
和
的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
②当
时，证明：
.
【解析】（1）
在
上有变号零点，
即
在
上有变号零点.
①若
，即
时，只需
矛盾，
②若
，即
时，只需
故
的取值范围为
.
（2）①
，
先证右边，
证
，令
证：
，令
，
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在
上单调递增，
再证左边
证：
，令
证
令
在
上单调递减，
，证毕!
②
时，
关于
单调递减
，
设
，
当
时，
，
；
当
时，
，
，
在
上单调递增，
上单调递减，
，
所以当
时，
.
22．（2024·广西南宁·一模）已知函数
．
(1)若
，求
的值；
(2)当
时，证明：
．
【解析】（1）由题意知
，
当
时，
，
在
上单调递增，
而
，当
时，
，与题意不符；
当
时，
，
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由
可得
，
在
上单调递增，
此时
，不符合题意；
当
时，由
可得
，
在
上单调递增，
由
可得
，
在
上单调递减，
故对于任意的
恒成立，符合题意；
当
时，
，
由
可得
，
在
上单调递减，
此时
，不符合题意；
综合上述，
；
（2）证明：要证
，即证
；
即
，
则
，
令
，则
，
则
，即
在
上单调递增，
又
，
，
故
，使得
，即
，
则
，
则当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增，
故
，
令
，
则
，
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当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
由于
，故
时，
，
故
，即
，
即当
时，
成立.
34
