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微专题14 导数解答题之函数型数列不等式问题
【秒杀总结】
1、分析通项法：由于左边是一个求和(积)形式的表达式，右边是一个简单的式子，为了使得两者能够
明显地显现出大小特征，有必要将两者统一成同一种形式，此处有两条路可走，一种是将左边的和式收拢，
一种是将右边的式子分解.很明显，左边是无法收找的，因此需要将右边进行拆分，而拆分的原则就是和左
边配对.假设右边
，这样一来，相当于已知一个数列的前
项之和，求
，利用数列
的知识可知
.所以，接下来只需要证明
即可.
2、几种常见的数列放缩方法：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
1
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；
（11）
；
（12）
；
（13）
.
3、根据不等式的信息，利用题目的结论，得出不等式，然后对变量取合适的数据，再用数列求和法
而得解.
【典型例题】
例1．（2024·河南·一模）已知函数
，
，
.
(1)判断
是否对
恒成立，并给出理由；
(2)证明：
①当
时，
；
②当
，
时，
.
例2．（2024·天津·一模）意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那
么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦
函数
的图象，定义双曲正弦函数
，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数
和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：
，②倍元关系：
.
(1)求曲线
在
处的切线斜率；
(2)若对任意
，都有
恒成立，求实数
的取值范围：
(3)（i）证明：当
时，
；
2
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（ii）证明：
.
例3．（2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当
在
处的
阶导数都存在时，
．注：
表示
的2 阶导数，即为
的导数，
表示
的
阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
(1)根据该公式估算
的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：
．当
时，试比较
与
的大小，并给出证明；
(3)设
，证明：
．
例4．（2024·天津·一模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，若在
的图象上有一点列
，若直线
的斜率为
，
（ⅰ）求证：
；
（ⅱ）求证：
．
3
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例5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函数
．
(1)判断函数
的单调性
(2)证明：①当
时，
；
②
.
例6．（2024·广东佛山·二模）已知数列
满足
，
，且
．
(1)证明
为等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)设
，且数列
的前
项和为
，证明：当
时，
．
例7．（2024·陕西西安·一模）已知函数
.
(1)若函数
的图像在
处的切线与直线
垂直，求
的值并求函数
的极值；
(2)若
恒成立，求证：对任意正整数
，都有
.
例8．（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括
向量和矩阵.对于平面向量
，其模定义为
.类似地，对于
行
列的矩阵
，其模可由向量模拓展为
（其中
为矩阵中第行第
列的数，
为求和符号），记作
，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵
4
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，其矩阵模
.弗罗贝尼乌斯范数在机器学
习等前沿领域有重要的应用.
(1)
，
，矩阵
，求使
的
的最小值.
(2)
，
，，矩阵
求
.
(3)矩阵
，证明：
，
，
.
例9．（2024·山东潍坊·一模）已知函数
（
）．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：
（
，
）；
(3)若函数
有三个不同的零点，求
的取值范围．
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【过关测试】
1．（2024·山东济宁·一模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，证明：对任意
，存在唯一的实数
，使得
成立；
(3)设
，
，数列
的前
项和为
．证明：
．
2．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数
(1)讨论
的单调性.
(2)证明:当
时,
(3)证明:
3．（2024·云南昆明·一模）已知函数
．
(1)若
，求实数
的值；
(2)证明：当
时，
；
(3)证明：
．
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数
．
6
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(1)若
恒成立，求实数
的值；
(2)证明：
．
5．（2024·高三·重庆·开学考试）如果函数
的导数
，可记为
．若
，则
表示曲线
，直线
以及
轴围成的“曲边梯形”的
面积．
(1)若
，且
，求
；
(2)已知
，证明：
，并解释其几何意义；
(3)证明：
，
．
6．（2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不
等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数
，在
时，有不等式
成立；在
时，有不等式
成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当
时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知
是大于
的实数（全部同号），证明
7．（2024·四川德阳·模拟预测）
（
）.
7
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(1)当
时，证明：
；
(2)证明：
.
8．（2024·高三·浙江·开学考试）已知函数
，且曲线
在点
处的切
线斜率为1.
(1)求
的表达式；
(2)若
恒成立，求
的值.
(3)求证：
.
9．（2024·高三·安徽·阶段练习）（1）已知
，证明：
；
（2）证明：
．
10．（2024·高三·安徽合肥·期末）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：对于任意正整数n，都有
．
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数
，
．
8
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(1)若
恒成立，求a 的取值集合；
(2)证明：
．
12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)证明：
．
13．（2024·湖南长沙·一模）已知函数
.
(1)若
有且仅有一个零点，求实数
的取值范围：
(2)证明：
.
14．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知函数
，
.
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，
，求
的取值范围；
(3)证明：
，
且
.
15．（2024·高三·山西·期末）已知函数
.
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(1)若当
时，
，求实数
的取值范围；
(2)求证：
.
16．（2024·高三·全国·专题练习）已知实数
，
，
．
(1)求
的值；
(2)若
对
恒成立，求a 的最小值；
(3)当正整数
时，求证：
．
17．（2024·天津红桥·一模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程：
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)证明：
（
，
）.
18．（2024·高三·山东烟台·期末）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)求证：
.
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19．（2024·高二·浙江温州·期末）设函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线方程为
，求a，b 的值；
(2)若当
时，恒有
，求实数a 的取值范围；
(3)设
时，求证：
．
20．（2024·高三·广东汕头·期末）已知函数
，
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)当
时，证明：
.
21．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
，求实数
的取值范围；
(3)设
，求证：
．
22．（2024·全国·模拟预测）已知实数
，
，
．
(1)求
的值；
(2)若
对
恒成立，求a 的最小值；
(3)当正整数
时，求证：
．
11
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23．（2024·高三·上海宝山·期末）已知数列
满足
.
(1)若
，求最小正数
的值，使数列
为等差数列；
(2)若
，求证：
；
(3)对于（2）中的数列
，求证：
12
