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微专题16 利用导数研究双变量问题讲义
微专题教学内容
破解双参数不等式的方法:
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含
单参数的不等式:
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值;
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
典例精讲
【典例1】
设函数
．
(1)求
图象上点
处的切线方程；
(2)若
在
时恒成立，求的值；
(3)若
，证明
．
【答案】(1)
(2)2
(3)证明过程见解析
【分析】（1）直接使用导数的几何意义；
（2）先由题设条件得到
，再证明
时条件满足；
（3）先确定
的单调性，再对
分类讨论.
【详解】（1）由于
，故
.
所以
，
，所以所求的切线经过
，且斜率为，故其方程为
.
1
（2）设
，则
，从而当
时
，当
时
.
所以
在
上递减，在
上递增，这就说明
，即
，且等号成立当且
仅当
.
设
，则
.
当
时，
的取值范围是
，所以命题等价于对任意
，都有
.
一方面，若对任意
，都有
，则对
有
，
取
，得
，故
.
再取
，得
，所以
.
另一方面，若
，则对任意
都有
，满足条件.
综合以上两个方面，知的值是2.
（3）先证明一个结论：对
，有
.
证明：前面已经证明不等式
，故
，
且
，
所以
，即
.
2
由
，可知当
时
，当
时
.
所以
在
上递减，在
上递增.
不妨设
，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当
时，有
，
结论成立；
情况二：当
时，有
.
对任意的
，设
，则
.
由于
单调递增，且有
，
且当
，
时，由
可知
.
所以
在
上存在零点
，再结合
单调递增，即知
时
，
时
.
故
在
上递减，在
上递增.
①当
时，有
；
②当
时，由于
，故我们可以取
.
3
从而当
时，由
，可得
.
再根据
在
上递减，即知对
都有
；
综合①②可知对任意
，都有
，即
.
根据
和
的任意性，取
，
，就得到
.
所以
.
情况三：当
时，根据情况一和情况二的讨论，可得
，
.
而根据
的单调性，知
或
.
故一定有
成立.
综上，结论成立.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3 小问中，需要结合
的单调性进行分类讨论.
会一题通一类
1.已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，讨论函数
在
上的单调性；
(3)证明：对任意的
，有
．
4
【答案】(1)
(2)
在
上单调递增.
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（3）令
，
，即证
，由第二问结论可知
在[0,+∞）上
单调递增，即得证.
【详解】（1）解：因为
，所以
，
即切点坐标为
，
又
，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为
，
所以
，
令
，
则
，
∴
在
上单调递增，
∴
∴
在
上恒成立，
∴
在
上单调递增.
（3）解：原不等式等价于
，
5
令
，
，
即证
，
∵
，
，
由（2）知
在
上单调递增，
∴
，
∴
∴
在
上单调递增，又因为
，
∴
，所以命题得证.
2.已知
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)设
，求
的单调区间；
(3)求证：当
时，
.
【答案】(1)
；
(2)
时，单调递减区间为
，单调递增区间为
;
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案;
（2）求出函数
的导数，讨论k 的取值范围，确定导数的正负，即可求得
的单
调区间；
6
（3）由于不等式
可变为
，所以可构造函数
，利用（2）的结论可证明故该函数为
上的增函数，利用函数的单
调性，即可证明结论.
【详解】（1）当
时，
，
故
在
处的切线斜率为
，而
，
所以
在
处的切线方程为
，即
.
（2）由题意得
，则
，
令
，即
，
令
，即
，
时，单调递减区间为
,单调递增区间为
.
（3）证明：由（2）可知，当
时，
在
上单调递增，而
，
即
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
设
，则
，
因为
，则
，故
，
所以
在
上单调递增，而
，
则
，即
，而
，
故
，即
.
7
【点睛】关键点点睛：证明不等式
时，关键是构造函数，利用函数的
单调性进行证明；因为
可变形为
，由此可构造
函数
，从而利用（2）的结论证明该函数为递增函数，从而利用函数的单
调性证明不等式.
【典例2】
已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)设m，n 是两个不相等的正数，且
，证明：
.
【答案】(1)
在
上单调递增，
在
上单调递减
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）首先求导函数的零点，再根据导数与函数单调性的关系，即可求解函数的单调区间；
（2）法一：由不等式化简得
在
上恒成立，再构造函数
，
利用导数求函数的最小值，再讨论
，即可求解；法二：由不等式恒成立，转化为
在
上恒成立，再变形为
在
上恒成立，通过构造函数
，利用导数求函数的最小值，再讨论
，即可求解；
（3）由分析法，转化为证明
，再由已知条件构造函数
，再根据函数
的图象，结
合函数的图象和性质，转化为证明
，再代入后转化为构造函数
，
利用导数求函数的最小值.
8
【详解】（1）
的定义域为
由
，解得
所以当
及
时，
，故
在
上单调递减；
当
时，
，故
在
上单调递增
（2）法一：由题知不等式
在
上恒成立，
等价于不等式
在
上恒成立
设
，
则
，解得
，
当
，
，
单调递减，当
，
，
单调递增，
所以
在
上有最小值
①当
时，因为
，所以不等式恒成立：
②当
时，因为
，而
，此时不满足
恒成立；
综上所述，
法二：由题知不等式
在
上恒成立，
等价于不等式
在
上恒成立
即
在
上恒成立．
设
，则
，解得
，
当
，
，
单调递减，当
，
，
单调递增，
所以
在
上有最小值
．
因为
，所以
，即
9
①当
时，因为
，所以不等式恒成立；
②当
时，因为
，而
，此时不满足
恒成立；
综上所述，
（3）证明：要证
，只需证：
由
，只需证：
不妨设
，则有：
；
两边取指数得
，化简得
设
，则
由（1）得
在
上单调递减，在
上单调递增（如图所示），
要使
且
，
则
，即
，从而
．
要证
，只需证：
由于
在
上单调递增，只需证：
，
又
，只需证：
只需证：
．
设
，则
设
，则
在
上单调递增．
10
所以
，从而
所以
在
上单调递减，从而
，则
，
所以
会一题通一类
1．已知函数
(1)求
的单调区间；
(2)若
对
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，其中
，证明：
．
【答案】(1)
的递增区间为
，递减区间为
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间；
（2）依题意可得
对
恒成立，令
，
，求出函数
的导函数，分
、
两种情况说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围；
（3）依题意可得
，即
，由（1）不妨设
，即可得到
，令
， 利用导数说明单调性，即可证明
，再令
，
利用导数说明单调性，即可证明
，从而得证.
【详解】（1）函数
的定义域为
．
又
，
11
当
时，
；当
时
；当
时，
．
故
在区间
内为增函数，在区间
内为减函数，
即
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）因为
对
恒成立，
即
对
恒成立，
即
对
恒成立，
即
对
恒成立，
令
，
，注意到
，
又
，
当
时
，所以
在
上单调递增，则当
时
，
即对
，
恒成立，不符合题意；
当
时，则当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
，即
时，
在
上单调递减，则当
时
，符合题意；
当
，即
时，
在
上单调递增，则当
时
，不符合
题意；
综上可得实数
的取值范围为
；
（3）因为
，其中
，
12
则
，即
．
由
，得
．
由（1）不妨设
，则
，从而
，得
，
令
，
则
，
当
时，
，
在区间
内为减函数，
，
从而
，所以
，
由（1）得
即
．①
令
，则
，
当
时，
，
在区间
内为增函数，
，
从而
，所以
．
又由
，可得
，
所以
．②
由①②得
．
2．已知函数
．
(1)若对任意的
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)设
、
是两个不相等的实数，且
．求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
13
【分析】（1）分析可知，
，然后利用导数分析函数
的单调性，求出
的最大值，可得出关
于实数
的不等式，即可解得实数
的取值范围；
（2）由已知可得
，构造函数
，可知存在不相等的两个实数
、
，使得
，
分析函数
的单调性，设
，构造函数
，利用导数分析函数
的
单调性，可得出
在区间
上恒成立，由已知条件得出
，再结合
函数
的单调性可证得结论成立.
【详解】（1）当
时，
，
因为
，所以
，即
，不符合题意；
当
时，
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
所以
，由
恒成立可知
，所以
．
又因为
，所以
的取值范围为
．
（2）因为
，所以
，即
．
令
，由题意可知，存在不相等的两个实数
、
，使得
．
由（1）可知，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
不妨设
，则
，设
，
14
则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
即
在区间
上恒成立．
因为
，所以
．
因为
，所以
．
又因为
，
，且
在区间
上单调递增，
所以
，即
.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式
（或
）转化为证明
（或
），进而构造辅助函数
；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
学后测评
1．已知函数
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
存在两个极值点
，
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
15
【答案】(1)
在R 上单调递增；
(2)（i）
；证明见解析.
【分析】（1）由题可得
，然后由题意结合基本不等式可得
的单调区间；
（2）（i）由题可得
，令
，可得方程
有两个相异正根
，据此可
得答案；（ii）由（i）可得，要证
，即证
，然后通过研究
的单调性可完成证明.
【详解】（1）当
时，
，
则
，当且仅当
时取等号.
故此时
在R 上单调递增；
（2）（i）因
存在两个极值点
，
则
.
令
，则方程
有两个相异正根
.
注意到
，因其有两个相异正根，
则
；
（ii）证明：由（i）可得
，
设
，结合
，则
.
16
则
，
则要证
，.即证
，其中
.
令
，则
.
令
，则
，
则
在
上单调递增，得
.
则
，得
在
上单调递增，
则当
时，即
.
【点睛】关键点睛：对于极值问题，常转化为函数导函数的变号零点问题；对于双变量或多变量问题，问
题关键为消元，所以要从题目信息中找到变量间的数量关系.
2．已知
，
，其中是自然对数的底数．
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，
．存在
，
，使得
成立，试求实数
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）先求导，然后对a 分类讨论，判断
符号的正负，从而可得单调区间；
（2）转化为
，
，进而可得a 的取值范围.
【详解】（1）由题
，
.
17
当
，则
，则此时
在
上单调递减；
当
，则
.
若
，即
时，令
得
，令
得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增；
若
，即
时，此时
在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）
时，由（1）可得
；
又
，则
，得
在
上单调递增，
则
.
又注意到存在
，
，使得
，
等价于
时，
，
则
，又
，
则
.
3．已知
.
18
(1)求
的单调区间；
(2)设
，
是两个不相等的正数，证明：
【答案】(1)单调递增区间为
，无单调递减区间；
(2)证明见解析
【分析】（1）二次求导，利用导数分析函数的单调性；
（2）设
，
，分析可得
，
设
，
，利用导数分析其单调性，进而求证即可.
【详解】（1）由
，
，得
，
设
，
，
则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
所以
，
所以
的单调递增区间为
，无递减区间.
（2）证明：不妨设
，因为
，
又
，
19
所以
，
设
，则
.
设
，
，
因为
，
设
，
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
，即
.
4．已知
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)设
，求
的单调区间；
(3)求证：当
时，
.
【答案】(1)
；
(2)
时，单调递减区间为
，单调递增区间为
;
(3)证明见解析.
20
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案;
（2）求出函数
的导数，讨论k 的取值范围，确定导数的正负，即可求得
的单调区间；
（3）由于不等式
可变为
，所以可构造函数
，利用（2）的结论可证明故该函数为
上的增函数，利用函数的单调性，即可
证明结论.
【详解】（1）当
时，
，
故
在
处的切线斜率为
，而
，
所以
在
处的切线方程为
，即
.
（2）由题意得
，则
，
令
，即
，
令
，即
，
时，单调递减区间为
,单调递增区间为
.
（3）证明：由（2）可知，当
时，
在
上单调递增，而
，
即
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
设
，则
，
因为
，则
，故
，
所以
在
上单调递增，而
，
则
，即
，而
，
故
，即
.
21
【点睛】关键点点睛：证明不等式
时，关键是构造函数，利用函数的单调性进
行证明；因为
可变形为
，由此可构造函数
，从而利用（2）的结论证明该函数为递增函数，从而利用函数的单调性证明不等式.
5．已知函数
．
(1)若函数
在
处有极值，且关于
的方程
有3 个不同的实根，求实数的取值范
围；
(2)记
.若对任意
且
时，均有
成立，求实数
的
取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据极值点的定义求
，并利用函数的导数，判断函数的单调性，求函数的极值，结合
函数有3 个零点求参数的取值范围；
（2）首先根据函数的
的单调性去绝对值，再变形不等式，转化为函数
在
递减；
在
递增，再利用函数的导数和单调性的关系，转化为参变分离，求最值问题，即可求解.
【详解】（1）函数
在
处有极值，
可得
，解得
，经检验，满足题意，
所以
当
时，
在
单调递减；
当
或
时，
在
上单调递增，
22
可得
在
处取得极小值，且为0，
在
处取得极大值，且为
，
方程
有3 个不同的实根，等价为
，
即有
的取值范围是
.
（2）
在
递减，可得
时，
，
，即为
，
即
即为
即
对任意
且
时恒成立.
所以
在
递减；
在
递增.
当
在
恒成立时，可得
，即
在
恒成立，
在
上单调递增，即
，则
.
当
在
恒成立时，可得
，即
在
恒成立，
，当
时等号成立，则
，则
.
综上可得
的取值范围是
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是第2 问，变形不等式，转化为两个函数的单调性问题，结合导数，即
可求解.
6．已知函数
．
23
(1)若
，求函数
的最大值；
(2)若函数
有两个不同的零点m，n
．
（ⅰ）求实数k 的取值范围；
（ⅱ）若不等式
恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)-1
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，根据单调性求出最大值即可.
（2）（ⅰ）求导，分
和
讨论单调性，结合
有两个不同的零点，可得
，继而可
求解；
（ii）由题意可得
，令
，即
，
成立，令
，利用导数分
、
及
讨论单调性即可求解.
【详解】（1）
，
,
由
得
，由
得
,
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，则
．
（2）（ⅰ）令
，则
．
当
时，
，
单调递增，
所以
在
上至多有一个零点，不符合题意；
当
时，
在
上单调递减，
24
令
，得
．
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，则
，
易知当
且趋向于0 时，
；当
时，
，
因为
有两个不同的零点，
所以
，解得
．
所以
的取值范围是
.
（ii）
，
，
由
得
，
即
，
令
，则只需
，
即
，
．
令
，
则
，令
，则
．
因为
，
当
时，
，则
单调递减，
，
从而
单调递增，故
，不符合要求；
25
当
时，
在
单调递减，
，
从而
单调递增，故
，不符合要求．
当
时，
，则
单调递增，
，
从而
单调递减，故
，符合要求．
综上所述
．
【点睛】方法点睛：破解双变量不等式的方法：
①转化，即由条件入手，寻找双变量满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式；
②巧构函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求其最值；
7．已知函数
．
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若
，
，求
的取值范围；
(3)若
、
，讨论
与
的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
，理由见解析
【分析】（1）求出
的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）令
，对实数
的取值进行分类讨论，利用导数分析函数
在
上的单
调性，验证
能否恒成立，即可求出实数
的取值范围；
26
（3）不妨设
，分析可知，函数
在区间
上的单调性，构造函数
，利用导数
分析函数
在区间
上的单调性，可得出
与
的大小，再结合不等式的性质可得
出
与
的大小关系.
【详解】（1）因为
，则
，所以
，
所以
在
处的切线方程为
，即
.
（2）令
，其中
，则
，
由
，可得
.
当
时，即当
时，对任意的
，
，
此时，函数
在
上单调递增，则
，合乎题意；
当
时，即当
时，由
可得
，由
可得
，
所以，函数
在区间
上单调递减，
故
，不合乎题意.
综上所述，实数
的取值范围是
.
（3）不妨设
，且当
时，
，故函数
在
上单调递增，
先比较
与
的大小，即比较
与
的大小关系，
令
，其中
，所以
，
故函数
在
上单调递增，
因为
，所以
，即
，
27
即
，故
，
因为
，故
，所以
，
故
.
8．已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，对于任意
，
，都有
恒成立，求m 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数
求导后进行因式分解可得
，令
，解得
或
.根据两根大小分
，
和
三种情况讨论，分别令
可求得函数
的单调
递增区间，令
可求得函数
的单调递减区间；
（2）由（1）知：当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，进而可得
，
.由题可知
，化简变形可得
恒成立，∴
.设
，
，对函数
求导，研究其单调性
求出最大值即可求解.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
.
令
，解得
或
.
当
，令
得
或
；令
得
，
28
∴函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
，
恒成立，∴函数
在
上单调递增；
当
，令
得
或
；令
得
，
∴函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
，函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
，函数
在
上单调递增；
当
，函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由（1）知：当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
∴
.
又
，
，∴
.
∴对任意
，
，
.
∵对于任意
，
，都有
恒成立，
∴
恒成立，即
恒成立，即
恒成立，∴
.
设
，
，则
.
∵
，
，∴当
时，
；当
时，
，
∴函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴当
时，函数
取得最大值
，
∴
.
29
9．已知函数
(1)求
在区间
的最大值和最小值；
(2)讨论函数
的单调区间与极值；
(3)若
，对任意
，总存在
，使得不等式
成立，试求实数m 的取值
范围．
【答案】(1)答案见解析过程
(2)答案见解析过程
(3)
【分析】（1）根据函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，根据函数的单调性与最值的关系进行
求解即可；
（2）根据函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，再结合函数的极值定义进行求解即可；
（3）根据任意性和存在性的定义，结合（1）（2）的结论，分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）由
，
当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
单调递减，
所以
，
因为
，所以
，
在区间
的最大值和最小值分别是
；
（2）由
，函数
的定义域为全体正实数集，
当
时，
，函数
是正实数集上的增函数，没有极值；
当
时，当
时，
在
上单调递增，
30
当
时，
上在单调递减，
该函数有极大值
，无极小值，
综上所述：当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间，无极值；
当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，无极小值，有极大值
；
（3）问题对任意
，总存在
，使得不等式
成立，等价于
在
上的最小值与
在
上的最小值的差大于，
当
时，则有
，由（2）可知
在
上的最小值为
，
由（1）可知
在
上的最小值为
，
所以有
；
当
时，则有
，由（2）可知：
在
上的最小值是
中最小的数，因为
，
所以当
时，
，
此时有
；
当
时，
，
则有
，
综上所述：实数m 的取值范围为
.
10．设函数
．
31
(1)讨论
的单调性；
(2)若对任意
，
恒成立，求
的取值范围；
(3)当
时，若
，且
，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导后分
、
及
讨论即可得；
（2）由题意可得
，构造函数后利用导数研究函数单调性，则可得该函数最小值，即可得解；
（3）法一：通过讨论
的正负可得
，
，结合（2）中所得可得
，则可得
，
再得到
即可得证；法二：由题意可得
，则可得
，
，又
，则可得
，计算可得
，
，即可得证.
【详解】（1）
，令
，解得
或
，
若
，则
，则
在
上单调递增；
若
，则当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
32
当
时，
，
在
上单调递增；
若
，则当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增.
（2）当
时，由
，得
，即
，
令
，则
，
令
，则
，故
在
上单调递增，
又
，
则当
时，
，即
，则
在
上单调递减；
当
时，
，即
，则
在
上单调递增；
所以
，
所以
，即
的取值范围为
.
（3）（证法一）当
时，
，因
，
若
，
，则
，
，与
矛盾，
，
，
由（2）可知
，则
，则
，
所以
，
又
，
33
所以
.
（证法二）当
时，
．由
，得
，
显然
，
不同时为负数，由
可得
，
都为正数，
因为
，
所以
，所以
，
又
，
所以
.
11．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)已知
存在两个极值点
，若
，且
，求
的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据方程
根的情况，结合导数的性质、函数的定义域分类讨论进行求解即可；
（2）根据极值点的定义，结合（1）的结论，通过构造新函数，利用导数判断新函数的单调性进行求解即
可.
【详解】（1）由函数的解析式可知
，
，
①若
，则
恒成立，
在
上单调递增，
34
②若
，则由
，得
或
；
由
，得
．
在
上单调递减，在
和
上单调递增，
③若
，则由
，得
；
由
，得
．
在
上单调递减，在
上单调递增，
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，
在
和
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）
是方程
的两个根，
，
，且
，所以
，
，
令
，则
．
35
在
上单调递减，
，
的最小值为
.
12．已知函数
，其中
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
，
时，证明：
.
【答案】(1)
有极大值
，极小值
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，再判断函数的单调性，求函数的极值；
（2）首先不等式变形为
，再利用导数变形为
，再转化为证明
，证法1，不等式变形为
，再构造函数
，利用导数判断函数的单调性，
即可证明；证法2，不等式变形为
，再利用换元构造函数
，利用
导数判断函数的单调性，根据最值，即可证明不等式.
【详解】（1）由题意，
，
，
所以当
时，
，
，
36
由
解得：
或
，由
解得：
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
故
有极大值
，极小值
.
（2）由题意，
，
，
要证
，只需证
，
而
，
，
所以只需证
，
即证
①，下面给出两种证明不等式①的方法：
证法1：要证
，只需证
，
即证
，令
，
则
，所以
在
上单调递增，
显然
，所以当
时，
，
因为
，所以
，即
，
故
.
37
证法2：要证
，只需证
，即证
，
令
，则
，所以只需证当
时，
，即证
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，又
，所以
成立，即
，
故
【点睛】思路点睛：第二问的思路首先是变形不等式，根据不等式构造函数，利用函数的单调性，结合最
值，即可证明.
13．设函数
．
(1)
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有两个极值点
且
，证明：
．
【答案】(1)
(2)答案见解析.
(3)证明见解析
【分析】（1）当
时，求出切线斜率，然后得到切线方程；
（2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性；
（3）利用函数的极值点以及函数的单调性，转化证明即可．
【详解】（1）
的定义域为
．
所以
，
，
因此曲线
在点
处的切线方程为
，
38
取
得
．
（2）
．
（i）
时，
在
单调递增．
（ii）
时，令
，则
，
，
．
则
单调递增．
单调递减．
综上所得，
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
（3）由（2）知
，因为
是方程
的两根，所以
．可得
.
等价于
．
其中
．
因此待证式等价于
，两侧同时加
，得
，
即证
，等价于
，
由
且
得
，
记
，则
，
记
，则
，所以
单调递减，
39
所以
，则
，所以
单调递减，所以
，证毕．
40
