微专题8 极化恒等式与等和线
一、基础知识
1.极化恒等式:a·b=1
4
[(a+b)2-(a-b)2].
(1)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平
行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1
4
.
(2)模式:在平行四边形ABCD 中,O 是对角线交点,则:
①⃗AB·⃗AD=1
4
(|⃗AC|2-|⃗BD|2)(平行四边形模式);
②⃗AB·⃗AD=|⃗AO|2-1
4
|⃗BD|2(三角形模式).
2.平面向量共线定理
已知平面内一组基向量⃗OA,⃗OB 及任一向量⃗OP,且⃗OP
=λ⃗OA+μ⃗OB(λ,μ∈R),若λ+μ=1,则A,B,P 三点共线;反之亦然.
3.平面向量等和线定理
平面内一组基底⃗OA,⃗OB 及任一向量⃗OP,且⃗OP=λ⃗OA
+μ⃗OB(λ,μ∈R),若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上,
且k=|OP|
|OF |
=|O B1|
|OB|
=|O A1|
|OA |
,则λ+μ=k(定值),反之也成
立,我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为平面向量基
本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB 时,k=1;
(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时,k∈(0,1);
(3)当直线AB 在O 点和等和线之间时,k∈(1,+∞);
(4)当等和线过O 点时,k=0.
二．典型例题
1.利用极化恒等式求向量的数量积
例1 (1)(2023·全国乙卷)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为AB
的中点,则⃗EC·⃗ED= .
(2)(2025·宁波调研)在平面直角坐标系中,A(-12,0),B(0,6),点P
在圆O:x2+y2=50 上.若⃗PA·⃗PB≤20,则点P 横坐标的取值范围
是 .
训练1 (1)(2025·武汉质检)已知△ABC 是边长为4 的等边三角形,
P 为△ABC 所在平面内一点,则⃗PA·(⃗PB+⃗PC)的最小值为
.
(2)(2025·重庆诊断)如图,在平面四边形ABCD 中,O 为BD 的中
点,且OA=3,OC=5.若⃗AB·⃗AD=-7,则⃗BC·⃗DC= .
1
2.利用等和线求基底系数和的值
例2 (1)如图,在平行四边形ABCD 中,AC,BD 相交于点O,E 为
线段AO 的中点.若⃗BE=λ⃗BA+μ⃗BD(λ,μ∈R),则λ+μ=( )
A.1
B.3
4
C.2
3
D.1
2
(2)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=1
2
AB,BE=2
3
BC.若⃗DE=λ1⃗AB+λ2⃗AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为
.
训练2 在△ABC 中,M 为边BC 上任意一点,N 为AM 的中点,⃗
AN=λ⃗AB+μ⃗AC,则λ+μ 的值为( )
A.1
2
B.1
3
C.1
4
D.1
2
【精准强化练】
一、单选题
1.设向量a,b 满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a·b=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图,在四边形MNPQ 中,若⃗NO=⃗OQ,|⃗OM|=6,|⃗OP|=10,⃗
MN ·⃗MQ=-28,则⃗NP·⃗QP=( )
A.64
B.42
C.36
D.28
3.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O,点E 是线段
OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F,若⃗AC=a,⃗BD=b,且⃗
AF=λa+μb,则λ+μ=( )
A.1
B.3
4
C.2
3
D.1
2
4.(2025·泉州质检)已知半径为2 的圆O 上有三点A,B,C,满足⃗
OA+⃗AB+⃗AC=0,点P 是圆内一点,则⃗PA·⃗PO+⃗PB·⃗PC的
取值范围是( )
A.[-4,14)
B.(-4,14]
C.[-4,4)
D.(-4,4]
5.(2025·沧州模拟)如图,△BCD 与△ABC 的面积之比为2,点P
是区域ABDC 内(含边界)任意一点,且⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC
(λ,μ∈R),则λ+μ 的取值范围是( )
A.[0,1]
B.[0,2]
C.[0,3]
D.[0,4]
6.AB 为☉C:(x-2)2+(y-4)2=25 的一条弦,|AB|=6,若点P 为☉C 上
一动点,则⃗PA·⃗PB的取值范围是( )
A.[0,100]
B.[-12,48]
C.[-9,64]
D.[-8,72]
7.(2025·广州调研)如图,在边长为2 的正六边形ABCDEF 中,动
圆Q 的半径为1,圆心Q 在线段CD(含端点)上运动,P 是圆Q 上
及内部的动点.若向量⃗AP=m⃗AB+n⃗AF(m,n∈R),则m+n 的取
值范围是( )
A.(1,2]
B.[5,6]
C.[2,5]
D.[3,5]
二、多选题
8.在△ABC 中,A=30°,BC=2,则⃗AB·⃗AC的值可能是( )
A.0
B.2
C.4
D.13
9.阅读以下材料,解决本题:我们知道①(a+b)2=a2+2a·b+b2;②(a-
b)2=a2-2a·b+b2.由①-②得(a+b)2-(a-b)2=4a·b⇔a·b=
(a+b)
2−(a−b)
2
4
,我们把最后推出的式子称为“极化恒等
式”,它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化
为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD 中,BD=8,⃗AB·⃗AD
=48,E 为BD 中点,且⃗EC=2⃗AE,则( )
A.AE=8
B.AE=4
C.⃗CB·⃗CD=240
D.⃗CB·⃗CD=120
三、填空题
10.给定两个长度为1 的平面向量⃗OA和⃗OB,它们的夹角为
2π
3 ,如图所示,点C 在以O 为圆心的弧´AB上运动,若⃗OC=x⃗
OA+y⃗OB(x,y∈R),则x+y 的最大值是 .
3
11.(2025·长沙模拟)已知点C 为扇形AOB 的弧´AB上任意一点,
且∠AOB=60°,若⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB(λ,μ∈R),则λ+μ 的取值范
围是 .
12.(2025·安庆调研)四边形ABCD 中,点E,F 分别是AB,CD 的
中点,AB=2,CD=2√2,EF=1,点P 满足⃗PA·⃗PB=0,则⃗PC·⃗
PD的最大值为 .
4
