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重难点培优03 解三角形中三角形的面积、周长、边（角）
的最值与范围问题
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................4
题型一 面积的最值（范围）问题（★★★★★）....................................................................................4
题型二 周长的最值（范围）问题（★★★★★）..................................................................................10
题型三 与边有关的最值（范围）问题（★★★★★）..........................................................................15
题型四 与角有关的最值（范围）问题（★★★★）..............................................................................21
题型五 其他式子的最值（范围）问题（★★★★）..............................................................................28
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................35
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................35
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................54
一、正余弦定理和面积公式
1、正余弦定理：在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
.
常见变形
(1)
，
，
；
(2)
，
，
；
；
；
.
2、面积公式：
（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
二、公式的相关应用
1、正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
2、
内角和定理：
①
②
；
③在
中，内角
成等差数列
.
【常用结论】
（1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，
要选择“边化角”或“角化边”
（2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到
.
三、三角形面积和周长的最值、范围问题
（1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化
周长
（2）面积公式：
（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
（3）求周长的模型：
（4）基本不等式
①
②
ab≤( a+b
2
)2
(当且仅当
时取“=”号)
（5）利用三角恒等变换转化为内角
有关的三角函数。
①和差角公式：
，
②辅助角公式：asinα+bcosα=√a2+b2sin(α+ϕ)
（其中
sinϕ=
b
√a2+b2 ，cosϕ=
a
√a2+b2 ，tanϕ=b
a ）．
（6）解题思路步骤
①利用基本不等式：
，再利用
及
，求出
的取值范围或者利用
②利用三角函数思想：
，结合辅助角公式及三角函
数求最值
四、解三角形中最值或范围问题常用处理思路
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，
通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
题型一 面积的最值（范围）问题
【技巧通法·提分快招】
1、面积公式：
（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
2、解三角形中最值(范围)问题的解题策略（以下通用）
（1）利用基本不等式求最值时，要构造不等式成立的条件，即出现“b2＋c2”与“bc”，“b＋c”与“bc”之
间的关系.
（2）如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围.
（3）利用正、余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性
求解；也可利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
1．（23-24 高三上·广东东莞·月考）在
中，角
所对的边分别为
，
，，已知
(1)求A；
(2)若
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和
得到
，由辅助角公式得到
，求出
；
（2）由基本不等式求出
，得到面积的最大值.
【详解】（1）
，由正弦定理得
，
其中
，
故
，
故
，
因为
，所以
，故
，
由辅助角公式得
，即
，
因为
，所以
，
所以
，解得
；
（2）
，
，
由余弦定理得
，即
，
由基本不等式得
，当且仅当
时，等号成立，
故
，解得
，仅当
时取等，
故
的面积
，最大值为
.
2．在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，满足
.
(1)求角
；
(2)若点D 在AB 上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理边角化即可求解，
（2）由面积公式以及基本不等式即可求解.
【详解】（1）由
可得：
，
由余弦定理知，
，
又
，因此
.-
（2）∵
，即
，
∴
≥
∴ab≥
，当且仅当b=2a，即a=
，b=
取等号
∴
=
≥
∴△ABC 面积的最小值为
3．（24-25 高三下·广东深圳·月考）记锐角
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
.
(1)求
；
(2)若
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出
的值，结合角
的取值范围可得出角
的值；
（2）根据
是锐角三角形求出角
的取值范围，利用正弦定理三角恒等变换可得出
关于角
的
三角关系式，利用正弦型函数的基本性质可求出
的取值范围.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得
因为
，则
，所以
，
又因为
，
所以
，则
，
因为
，则
，即
，所以
.
（2）因为
是锐角
的内角，又因为
，所以，
，得
，
由正弦定理，得
，
所以
，
，
所以
，
由
，得
，所以
，
即
，
所以
面积的取值范围是
.
4．已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期及其单调递增区间，
(2)若
为锐角
的内角，且
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为
；单调递增区间为
(2)
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，再根据正弦型函数的性质即可得到最
小正周期及单调递增区间.
（2）由题意求得
的值，再由正弦定理表示出三角形面积，根据三角函数化简即可求得取值范围.
【详解】（1）函数
，
所以函数
的最小正周期为
，
由
，可得
，
即有函数
的单调递增区间为
.
（2）若
为锐角
的内角，且
，
可得
，由
，可得
，
则
，即
.
由正弦定理得，
，
所以
，
所以
面积
又因为
为锐角三角形，则
，即
，解得
，
所以
，所以
，所以
.
故
面积的取值范围是
.
5．（2025·新疆喀什·模拟预测）
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，边化角结合二倍角公式求出
，得解；
（2）根据三角形面积公式，正弦定理可得
，结合
，进而求出
面积的
取值范围.
【详解】（1）因为
，则
，又
，
所以
，则
，
又
，所以
，
因为
，解得
．
（2）因为
是锐角三角形，又
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，则
，
从而
，
故
面积的取值范围是
.
6．（24-25 高三上·福建福州·开学考试）已知
的三个内角
的对边分别为
，
．
(1)求a；
(2)若
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得
，结合三角形内角和的性质，
即可求解；
（2）由（1）得到
，作
为边
上的高，设
，根据题意，求得
，得
到
的面积为
，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
，
又因为
，可得
，所以
，
因为
，可得
，所以
.
（2）由（1）知
，即
，
如图所示，
为边
上的高，不妨设
为锐角，
设
，
当
为锐角时，则
，故
，
当
为钝角时，则
，故
，
因为
，所以
，整理得
，
所以
的面积为
，
因为
，可得
，
当
时，
取得最大值，最大值为，且
，
所以
的面积的取值范围为
.
题型二 周长的最值（范围）问题
1．（23-24 高三上·江苏盐城·月考）已知
的内角
的对边分别为
，
且
的面积为
(1)求
；
(2)求
周长的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知条件结合余弦定理求出
，得角
；
（2）由
的面积求出
，余弦定理得
，由基本不等式求
周长的最小值.
【详解】（1）由
，得
，
即
，则
，
由
，得
.
（2）
，得
，
由余弦定理，有
，得
，
周长
，
当且仅当
时取等号，所以
周长的最小值为
.
2．（2024·四川南充·模拟预测）在
中，
.
(1)求
；
(2)若
，求
周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出
的最大值，即可得解.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
即
，
由余弦定理
，
，
.
（2）因为
，
即
，
，当且仅当
时取等号，
，即
，
又
，所以
，当且仅当
时取等号，
周长
，
即
周长的最大值为
3．已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求C 的大小;
(2)若
，且
，求
周长的最小值.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】
（1）已知等式利用正弦定理化简得
，可得C 的大小；
（2）由余弦定理把b，c 边用a 表示，利用基本不等式求
周长的最小值.
【详解】（1）
因为
，由正弦定理
.
由
，得
，所以
，即
.
又
，所以
.
（2）
由（1）知
，则
.
因为
，所以
，则
.
的周长为
.
因为
，所以
，当且仅当
时，等号成立.
故
周长的最小值为
.
4．（2024·广西·模拟预测）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c 为边长的三
个正三角形的面积依次为
，
，
.已知
.
(1)证明：
；
(2)若
，求
周长的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)9
【分析】（1）结合面积公式，要证
，即证
，由余弦定理得到证明；
（2）在（1）的基础上，利用基本不等式求出最大值.
【详解】（1）根据面积公式，可得
，
，
，
要证
，即证
.
由
可得
，
由余弦定理可得
，
整理可得
，原式得证.
（2）因为
，由（1）知
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
故
，
所以
，
的最大值为6.
故
周长的最大值为
.
5．（2025·广东·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
.
(1)求A；
(2)若
，求
周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式求出
，即可得解；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出
的取值范围，即可得解.
【详解】（1）因为
，所以
，
即
，解得
，
又
，所以
.
（2）由余弦定理
，
即
，
故
，当且仅当
时取等号，
又
，故
，即
周长的取值范围是
.
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知
分别为锐角
三个内角
的对边，且
.
(1)求
；
(2)若
；求
周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角变形已知等式，再结合两角和的正弦，辅助角公式和诱导公式可得；
（2）由正弦定理边化角和两角差的正弦得到
，再结合锐角范围和三角函数值域可得.
【详解】（1）
.
由正弦定理得
在
中，
代入上式化简得：
因为
，所以
，即
为锐角，
.
（2）由正弦定理得
所以
，
是锐角三角形，
，
，
即
，
所以
周长的取值范围为
.
7．（2025·湖南益阳·三模）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，且
．
(1)若
，求A；
(2)若
是锐角三角形，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件通过三角函数公式得出角之间的关系，求出角
（2）利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，然后化简表达式，最后根据角的范围求出边的和的范围，
进而得到三角形周长的范围.
【详解】（1）由
，可得
，即
，
∴
，则
或
（舍），
∴
，
当
，由
，可得
.
（2）由正弦定理可得
∴
，
易知
，可得
，因此
，
易知
在
上单调递增，所以
，
可得周长范围为
.
题型三 与边有关的最值（范围）问题
1．（23-24 高三上·北京大兴·期中）在
中，
，且满足该条件的
有两个，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可知，画出
和边长
，以
为圆心，
为半径作圆与
边有两个交点时即可求出
的取值范围.
【详解】根据题意如下图所示：
易知当
时，
，若
满足条件的三角形只有一个；
由题可知以
为圆心，
为半径的圆与
边有两个交点时，即图中
两点满足题意；
所以可得
，即
；
即
的取值范围是
.
故选：C
2．（24-25 高三上·重庆·期末）在锐角
中，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由余弦定理可，结合
为锐角三角形可得答案.
【详解】由余弦定理可知：
，
在锐角三角形中又有
，
即
故答案为：C．
3．在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，为
的面积，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，利用三角形面积公式与余弦定理，可得
，再根据同角三角
函数的平方关系可得
，
，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得
，结合条件可得
取值范围，进而求得
的取值范围.
【详解】在
中，由余弦定理得
，且
的面积
，
由
，得
，化简得
，
又
，
，联立解得
，
，
所以
，
为锐角三角形，有
，
，得
，
则有
，可得
，所以
.
故选：C
4．已知
是锐角三角形，内角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c．若
，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到
，结合
为锐角三角形，
得到
，故
，再利用正弦定理得到
，求出取值范围即可.
【详解】因为
，得
．
由余弦定理得
，
所以
，即
．
由正弦定理得
，
因为
，则
，
所以
，即
．
因为
是锐角三角形，所以
，
，所以
．
又
在
上单调递增，所以
，则
．
因为
是锐角三角形，所以
，
，
，
所以
，
由正弦定理得
，
令
，因为
，所以
．
在
上单调递增，
当
时，
，当
时，
，
故
故选：C．
5．在锐角三角形
中，角
、
、
的对边分别为
、
、、，若
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理结合辅助角公式和正弦函数的性质可求
的取值范围.
【详解】因为
，故
，
由正弦定理可得
，而
为三角形内角，故
，
故
，而
为三角形内角，故
为锐角，
故
，故
，故
即
，
故
（
为外接圆半径），故
，
因为
，
，所以
，则
.
故
，
其中
，且
，
由锐角三角形
可得
，故
，
故
，
因为
，且
，故
，则
，
，
所以
时，
，
取得最大值.
当
时，
，
当
时，
，
故
，
故选：C.
6．（24-25 高三下·河北沧州·月考）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）先由诱导公式和两角和的正弦公式转化条件等式，再结合正弦定理角化边和余弦定理即可
求解角B；
（2）由正弦定理进行边化角得到
，再利用
结合两角差的正弦公式和
余弦函数性质即可求解.
【详解】（1）在
中，有
，
所以
，
由正弦定理得
，
由余弦定理得
，所以
，
因为
，所以
．
（2）由正弦定理得
，
所以
，
因为
，所以
，故
的取值范围为
．
7．（24-25 高三下·江西·月考）在非等腰
中，角
的对边分别为
，已知
，
．
(1)求
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理与三角函数的二倍角公式可得三角形的形状，利用正弦定理以及三角函数恒等
变换可得三角函数，根据三角函数的性质，可得答案；
（2）由正弦定理整理函数解析式，利用换元法化简函数，根据单调性可得答案.
【详解】（1）因为
，所以
，即
．
因为
，所以
，从而
，则
的外接圆直径为．
由
，得
，
，
得
．
因为
且
，所以
且
，
所以
，即
的取值范围为
．
（2）
．
设
，则
，所以
．
又
是
上的增函数，从而
在
上单调递增，所以
，
所以
，所以
的取值范围为
．
8．（24-25 高三上·湖北·期末）记锐角
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
(1)求
(2)已知边
，求
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）根据已知等式和正弦定理，化简即可求解.
（2）利用正弦定理得
，又
为锐角三角形，解得
，从而得到
的取值范围，从而得解.
【详解】（1）由
，
可得
，
即
，
所以
，即
，
因为
，所以
，又
，所以
；
（2）由正弦定理可得
，
，
因为
为锐角三角形，则
，解得
，
，
所以
的取值范围是
题型四 与角有关的最值（范围）问题
1．在
中，角
所对的边分别是
，若
，
边上的高为
，则角
的
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由余弦定理得
，结合三角形面积公式得
，由余弦定理结合基本不等式可得
，进一步可得
，进而求出
范围得解.
【详解】因为
边上的高为
，
所以
，即
，
，当且仅当
取等号，
，即
，即
，
，则
，
，故角
的最大值为
.
故选：B.
2．若
的角
，
，
所对边
，
，，且满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式及正弦定理，同角三角函数的基本关系式将
化简得
，再将
用
和
来表示，最后利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
，即
，
由正弦定理得，
，
，即
，
，①
当
时，
，
，
，
此时
，不满足题意，
，
①式两边同时除以
得，
，
不妨设
，则
，
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
的最大值为
.
故选：B.
3．已知点
为
外接圆的圆心，角
所对的边分别为
，且
，若
，则当角
取到最大值时
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
的中点为
，运用向量的线性运算和向量的数量积运算律表示
，求得，再由余弦
定理和余弦函数的性质可求得答案.
【详解】如下图所示：设
的中点为
，
，
因为
，所以
，由
知，角
为锐角，
所以
，当且仅当
，即
时，
取得最小
值
，
因为
在
上是减函数，
所以此时，角
取得最大值，此时恰有
，
此时三角形
是直角三角形，所以
.
故选：A.
4．在
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
，求得
，在
中，由余弦定理，求得
，再由
，得到
，得出
，结合基本不等式，求得
，即可得到答案.
【详解】由
，可得
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，
又由
，
则
，
所以
，
令
，可得
，则
，
因为
，当且仅当
时，即
时，即
时，等号成立，
则
，所以
，所以
，
即
的最大值为
.
故选：B.
5．若
的内角
满足
，则当角
取最大值时，角
的大小为 ．
【答案】
【分析】首先得
，然后由基本不等式得角
取最大值时，角
、角
的值即
可.
【详解】由条件得
，因此
，
所以
，由此可知
，
，
，
从而
，当且仅当
，即
时，
，
的最大值为
，
所以角
的大小为
．
故答案为：
.
6．在锐角
中，角
所对的边分别为
，若
，则
的取值范围
为 ．
【答案】
【分析】应用正弦定理结合同角三角函数关系化简得出
，再结合对勾函数性质得出值域即可求
解.
【详解】依题意，由正弦定理可得
，即
；
所以
，
又因为
为锐角三角形，所以
，即
，
又
，且
，
可得
，
；
；
显然
，由对勾函数性质可知
在
上单调递增，
所以可得
.
故答案为：
7．在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】法一：应用正弦边角关系得
，再由余弦定理、锐角三角形内角性质及二倍角余弦公
式可得
，进而有
，
，即可得
，即可求
范围；法二：应用
正余弦定理有
，结合锐角三角形内角性质得
，后续同法一.
【详解】法一：由正弦定理角化边得
，
由
，
所以
.
由
，
因为
为锐角三角形，所以
，
，
所以
，
所以
，则
，
，
因为
为锐角三角形，
，解得
，
设
，则
，
.
法二：由正弦定理角化边得
.
由余弦定理
，则
.
由正弦定理
，则
.
则
，
由
为锐角三角形，得
，
.
所以
，即
，后续同法一.
故答案为：
8．在
中，
、
、分别是
的三个内角
、
、
所对的边，已知
(1)求证：
、
、满足
；
(2)求角
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角，在根据三角形内角关系化简式子，再结合正弦定理的角化边得结论；
（2）根据余弦定理即与基本不等式可得
的取值范围，集合余弦函数的取值范围，从而可得角
的取
值范围.
【详解】（1）证明：由
可得
，
整理得
，
由正弦定理可得
，
则
，
所以
，
由正弦定理可得
；
（2）由（1）得
，则由余弦定理可得；
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，又
，函数
在
上递减，
所以
，故角
的取值范围是
.
题型五 其他式子的最值（范围）问题
1．（2025·江西鹰潭·二模）在锐角
中，内角
所对的边分别为
，若
，
，则AC 边上的高的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理结合两角差的余弦公式化简，应用锐角三角形得出角的范围，再应用正切的值域求
出高的范围.
【详解】在
中，由正弦定理
，可得
，
由
可得：
，所以
，
所以
，
又因为
，所以
，所以
，
，
又因为三角形
为锐角三角形，所以
，所以
，
在
中，由正弦定理可得：
，即
，故有
，
因为
，所以
，
，所以
，
所以
，又因为
边上的高
，所以
．
故选：B.
2．（24-25 高三上·江苏无锡·月考）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
，
成等差数列，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．4
【答案】B
【分析】根据等差中项，结合边角互化可得
，进而根据和差角公式可得
，由基本不等式即可求解.
【详解】由于
，
，
成等差数列，则
，
由正弦定理可得
,
故
,
，
由于
，因此
，故
，当且仅当
，取等号，
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据等比中项以及正弦定理可得
，进而利用正切和正弦的和差
角公式得
，
，即可结合基本不等式求解.
3．已知
的面积为，且
所对的边记为
，满足
，则
的最大值为
.
【答案】
/
【分析】利用余弦定理结合三角形面积公式计算可得
，利用基本不等式得
，结合弦切
互化计算可得
，即可得解.
【详解】根据余弦定理，
，即
，
则
的面积为
，
所以，
.
又由
，可得
，当且仅当
时等号成立，
所以，
，则
为锐角，
所以
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
4．已知锐角
中，角
的对边分别为
，满足条件
，则
的取
值范围为 ．
【答案】
【分析】将边化为角，结合两角和与差的正弦公式可求得
，利用正弦定理可得
，进而
可化简所求，再结合条件转化为关于角C 的函数，进而求解范围.
【详解】由题可得
，由正弦定理得
，
因为
所以
，
所以
，即
而
，
，
则
或
，即
或
（舍去），故
，
因为
是锐角三角形，所以
，解得
，
所以
的取值范围是
，
由正弦定理可得：
，则
，
所以
，所以
，
因为
，
，所以
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
的取值范围是
．
故答案为：
5．（24-25 高三上·湖北·月考）在锐角三角形
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，且
.
(1)求
的值；
(2)若点
，
分别在边
和
上，且
与
的面积之比为
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得
，结合三角形角的关系可得
；
（2）设
，
，由三角形面积关系可得
，再根据余弦定理及基本不等式可得最值.
【详解】（1）由已知
，即
，
再由正弦定理可得
，即
，
，
又
，则
，
所以
，
又
，即
，
所以
；
（2）由（1）得
，且
，
所以
，则
，
设
，
，
则
，
，
又
，
即
，解得
，
所以在
中，由余弦定理得
，
当且仅当
时，等号成立，
即
的最小值为
.
6．（2025·湖南·二模）已知在
中，a，b，c 分别是角A，B，C 所对的边，且
，
，D 为
外一点.
(1)求角A；
(2)若A，B，C，D 四点共圆，求四边形
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理及诱导公式将条件化为
，由
得
，
根据角的范围确定角A 即可.
（2）由题意
，根据余弦定理及基本不等式得
和
，即可求解四边形
面积
的最大值.
【详解】（1）由
及正弦定理得
，
即
，
又
，故
，
因为
，所以
，所以
，
，
所以
，所以
.
（2）由题意
为圆内接四边形，所以
，
又
，由余弦定理得
，所以
，所以
，
同理，
，所以
，
所以
，
所以四边形
面积为
，
所以四边形
面积最大值为
.
7．（2025·福建泉州·模拟预测）
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
的面积与周长的比值的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先将原等式利用和差倍角的余弦公式以及正弦定理进行化简，得到关于角
的三角函数，
进而可求得角
的值.
（2）首先根据余弦定理求得关于
的等式，然后求三角形
的面积和周长，化简
的表达式，利用
基本不等式和三角形的边长性质求得
的范围，进而可求得
的最大值.
【详解】（1）因为
，所以
.
因为
，所以
.
所以
.
化简得：
根据正弦定理得：
.
因为
，所以
，
所以
.解得
，又
，所以
.
（2）由（1）知
又
，
则
的面积为
，
的周长为
，
所以
.
由余弦定理得：
，化简得
，
所以
.
又
，所以
，
化简得
，所以
，
所以
.
令
，则
，
所以
，
所以当
时，
取最大值为
.
8．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若
，
，求
的面积；
(2)求
的最大值．
【答案】(1)6．
(2)
．
【分析】（1）先利用三角恒等变换化简
，并结合
，得到角A 和角B 的
正弦值、余弦值，再利用正弦定理得到a，b 的值，最后利用三角形面积公式求解；
（2）利用正弦定理和三角恒等变换对
进行变形，再利用基本不等式求得最值．
【详解】（1）因为
，
所以
，
因为
，
所以
，
，
因为
，所以
，所以
．
又
，即
是
的两个根，
所以
，
，或
，
．
若
，
，则
，
，
，
所以
．
由正弦定理得，
，
．
所以
的面积为
．
同理，若
，
，则
的面积为6．
综上，
的面积为6．
（2）由（1）知，
，所以
，
．
因为
，
由正弦定理有
，
当且仅当
时，等号成立．
所以
的最大值为
．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换可得
，再由正弦定理边化角，转化
为
的三角函数求解.
【详解】在
中，由
及正弦定理得
，
则
，整理得
，
由
，得
，则
或
，
即
或
（舍去），因此
，
，则
，
所以
，
所以
的取值范围是
．
故选：B
2．（24-25 高三上·河北张家口·月考）已知
是锐角三角形，角
所对的边分别为
为
的面积，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据三角形的面积公式及余弦定理求出角
，再利用正弦定理化边为角，结合三角形内角和定
理及三角函数的性质即可得解.
【详解】由
，
得
，所以
，
所以
，又
，所以
，
由正弦定理得
，
由
，得
，
所以
，所以
，
所以
.
故选：B.
3．（2025·河南许昌·模拟预测）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理化边为角，通过三角公式推出
，再将
转化，借助基本不
等式求最小值.
【详解】因为
，由正弦定理得
，
所以
.又因为
，
所以
，
所以
，即
.所以
，
，
显然
必为正，否则
和
都为负，就两个钝角，
所以
，
当且仅当
，即
，
取等号，
所以
的最小值是
，
故选：C.
4．在
中， 角A， B，C 所对的边分别为a， b， c，
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合题设，根据正弦定理及同角三角函数的基本关系可得
，进而根据两角差的正切
公式及基本不等式求解即可.
【详解】由
，显然
，则
均为锐角，
根据正弦定理得
，
两边同时除以
，得
，
则
，即
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，
则
时，
取得最大值
，
即
取得最大值
.
故选：A.
5．（23-24 高三上·江苏南京·期中）已知
分别为
内角
的对边.若
，则
的最小值为 .
【答案】
/0.6
【分析】根据余弦定理可得
，即可由不等式求解.
【详解】因为
，所以
，
所以由余弦定理得
，
当且仅当
时等号成立，所以
的最小值为
.
故答案为：
.
6．（2025·辽宁鞍山·一模）在锐角
中，内角
所对的边分别为
，为
的面积，
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得，再利用正弦定理，然后利用三角函数求解.
【详解】由
，则
，故
,
由
是
的内角，则
,
所以
,
由正弦定理，
,
由
是锐角三角形，
所以
且
,
解得
或
(舍去),
令
,设
,
当
时，
单调递增，故
,
而
,故
.
故答案为：
.
7．（24-25 高三上·江苏无锡·月考）在
中，内角
所对的边分别为
（
）.已知
，则
的最大值是 .
【答案】
/
【分析】根据条件，利用正弦定理边转角得到
，
，从而有
，构
造函数
，
，利用导数，求出
的单调区间，即可求解.
【详解】由
，则由正弦定理可得
，
，
所以
或
，而
，且
，即
，
所以
，且
，即
，
，
令
，则
，所以
，
当
时，
，则
在
上递增；
当
时，
，则
在
上递减；
所以
.
故答案为：
.
8．（24-25 高三下·江苏·开学考试）在
中，内角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，已知
，
，则
的内切圆半径r 的最大值为 .
【答案】
【分析】根据题设利用正弦定理、余弦定理得到
及
，再根据
得到
，化简变形并运用基本不等式即可求得其最大值.
【详解】已知
，由正弦定理可得
，
又
，可求得
，
，
利用余弦定理，可得
，
所以
，
又三角形面积
，
又
，所以
，
故
，当且仅当
时等号成立，
所以
的内切圆半径r 的最大值为
故答案为：
9．（2025·山东德州·三模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，．已知
．
(1)求
；
(2)若
，求
的边的最大值．
【答案】(1)
(2)4．
【分析】（1）根据给定条件，利用和角的正弦化简求解.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理及基本不等式求出最大值.
【详解】（1）由
，得
，
即
，又
，则
，
于是
，又
，所以
.
（2）由（1）知
，由余弦定理，得
，
而
，则
，
因此
，解得
，
当且仅当
时取等号，则
，
所以
的边的最大值为4.
10．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·月考）在锐角
中，角A，
，
的对边分别为a，b，c，S
为
的面积，且
.
(1)求
的值；
(2)已知
，求
的面积的最大值.
【答案】(1)2
(2)2
【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理可得
，即可得结果；
（2）根据同角关系求
，利用余弦定理结合面积公式可得
，即可面积最大值.
【详解】（1）因为
，且
，
可得
，
即
，所以
.
（2）因为
，
又因为
，即
，
整理可得
，解得
或
，
又因为
，则
，
，
由余弦定理可得：
，即
，
整理可得
，
又因为
，即
，
当且仅当
时，等号成立，
且此时为
为锐角三角形，符合题意，
所以
的面积的最大值为
.
11．（2025·江西新余·模拟预测）已知
、
、分别为斜
中角
、
、
的对边，
．
(1)求
；
(2)已知
的面积为
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知
，由已知条件及正弦定理化简得出
，再利用正弦定理可求
得
的值；
（2）由三角形的面积公式结合同角三角函数的基本关系可求出
、
的值，利用余弦定理可得出
，然后利用基本不等式可求得
的最小值.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得，
，
即
，
因为
为斜三角形，所以
，故
，
由正弦定理可得
．
（2）由（1）知，
，所以
，
所以
，
即
，
因为
，则
，故
，所以
，
所以
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时，
取最小值
．
12．（23-24 高三上·黑龙江大兴安岭地·月考）已知
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求边长
和角A；
(2)求
的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得到
，从而得到
，由
求出
；
（2）根据余弦定理和基本不等式求出
，结合三角形三边关系得到周长的取值范围.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
，
，
，
，
可得
，
因为
，所以
，
由
得
，
得
，
故
或
，故
或0 (舍去).
（2）因为
，
由余弦定理得
，即
，
所以
，
又
，即
，
解得
，
根据三角形三边关系得到
，
故
，
的周长的取值范围是
.
13．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知
的内角A、
、
的对边分别为
，
，，且
．
(1)求
；
(2)若
，且
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦以及同角的三角函数关系可得；
（2）由正弦定理边化角结合两角和的正弦表示出
，再结合正弦和正切的单调性求解即可；
【详解】（1）由正弦定理可得
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
，
所以
.
（2）由正弦定理可得
，
，
所以
，
因为
在
均为单调递增，
所以
在
为单调递减，
所以当
时，最大值为
；所以当
时，最小值为
；
所以
的取值范围为
.
14．（24-25 高三下·黑龙江·月考）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
.
(1)求角C；
(2)若
，M 为
内一动点，且
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）由
可得
，进而结合三角形的面积公式及题设可得
，可得
，再结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意，
，
由正弦定理得，
，
则
，
则
，
则
，
因为
，所以
，
则
，又
，则
.
（2）由
，可得
，可得
，
即
，则
，
因此
，
，
当且仅当
时等号成立，
因此
的最小值为
.
15．（24-25 高三上·山东德州·月考）从①
；②
；③
这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.在
中，
a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，若 .
(1)求角B 的大小；
(2)若
，求
周长的取值范围；
(3)若
为锐角三角形，
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
.
【分析】（1）①②可利用正弦定理化边为角，结合内角和定理与三角恒等变换可得；③可利用正弦定理
化角为边，再利用余弦定理求角可得；
（2）由余弦定理得
，应用基本不等式得
的最大值，结合两边之和大于第三边可得
，进而得周长的范围；
（3）
，求a 的范围即可，由余弦定理得
，
，结合锐角三角形的
等价条件
，消
得关于
的不等式组求解即可得.
【详解】（1）若选①，由
得
，
由正弦定理得
，由
，
，
则
，所以
，
故
，又B 是三角形的内角，所以
，
所以
，解得
；
若选②，
，
由正弦定理得，
，
所以
，
由
，
，
则
，即
，
又B 是三角形的内角，所以
；
若选③，
由正弦定理得
，即
，
所以
，又B 是三角形的内角，所以
；
（2）由（1）得
，又
，
由余弦定理，
，
则
，
解得
，
又三角形两边之和大于第三边，所以
，
则
.
所以
周长的取值范围是
；
（3）由（1）得
，又
，
则由余弦定理得
，
又
是锐角三角形，
所以
，则
，
代入
，
得
，解得
，
因为
，
所以
.
16．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知
的内角
的对边分别为
，且满足
.
(1)求角
的大小；
(2)若
为锐角三角形且
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件由正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得答案；
（2）由正弦定理得
，
，代入三角形面积公式化简得
，结合角
的范围求出答案.
【详解】（1）由正弦定理得，
，
所以
，
即
，
化简得：
，即
，
又
，所以
.
（2）由正弦定理得：
，
所以
，
，
所以
，
因为
是锐角三角形，所以
，解得
，
所以
，所以
，
所以
.
17．（24-25 高三上·江苏南京·期中）记
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
，
且
.
(1)若
，求
的面积；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用切化弦以及三角恒等变换化简得出
，求出这两个角的值，利用正弦定理求出
的
值，然后利用三角形的面积公式求解即可；
（2）分析可得
，利用正弦定理化简可得
，根据角
的取值范围可求出
的取值
范围，由此可得出
的取值范围.
【详解】（1）因为
，可得
，
所以，
，
因为
、
，且余弦函数
在
上单调递减，则
，
当
时，则
，
由正弦定理可得
，则
，
因此，
的面积为
.
（2）由（1）可得
，则
，
由正弦定理可得
，则
，
因为
，则
，可得
，
所以，
，即
的取值范围是
.
18．（2025·重庆·模拟预测）已知锐角
的内角
的对边分别为
，且
成等差数列.
(1)若
，求
面积的最大值；
(2)若
，求
周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出角B，利用余弦定理结合基本不等式即可求出
，再利用面积公式求解即
可；
（2）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式及半角公式即可化简成关于
的函数，结合条件可求其范
围.
【详解】（1）由
成等差数列知
，故
；
由余弦定理：
，
故
（当且仅当
时等号成立），
故
（当且仅当
时等号成立），
故
面积的最大值是
．
（2）由正弦定理：
，
，
则
；
由
为锐角三角形，
，则
，解得
，则
；
由
在
上单调递增，故
，
故
，
即
周长的取值范围为
．
19．（2025·江苏·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，
．
(1)若
，求
的周长；
(2)若
的内切圆、外接圆半径分别为
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理求出
，即可求解
的周长，
（2）利用余弦定理可得
，即可确定c 的取值范围，进而利用正弦定理和面积公式，表示
，利用基本不等式即可求解范围.
【详解】（1）
，
，由余弦定理得，
，
，解得，
或
（舍去）
，
的周长为
.
（2）由余弦定理得，
，整理得，
，
，
，即
，
由正弦定理得，
，
，
，
，
，
令
，
，
，
函数
在
上单调递增，
，即
的取值范围是
.
20．在
中，内角
所对的边分别为
，且
．
(1)若
，
，求；
(2)若
是锐角三角形
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）由余弦定理，结合
，
得到
，求出答案；
（2）由正弦定理和正弦二倍角公式得到
，结合
求出
，并根据三角形为锐角三角
形得到不等式，求出
，
，由正弦定理和三角恒等变换得到
.
【详解】（1）
，
，
又
，
，
，解得
．
，
．
（2）
，
，
或
，
当
时，
，
解得
，则
，与已知矛盾，
故
，
所以
，
因为
为锐角三角形，
所以
，即
，解得
，
由于
在
上单调递减，故
，
，
，
的取值范围为
．
21．已知在锐角
中，内角
所对的边分别为
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)当
时，求
的取值范围；
(3)当
时，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先切化弦，再结合余弦定理即可求解.
（2）由正弦定理将所求边的式子化为关于A 的三角函数，再根据角的范围求出.
（3）由正弦定理将所求边的式子化为关于A 的三角函数，其中要用到辅助角公式，辅助角是一个特殊角
，再根据角的范围求出.
【详解】（1）由
得
，所以
，
又
为锐角三角形，所以
．
故角
的大小为
.
（2）因为
，
，由正弦定理
，即
.
再由正弦定理得
，
又因为在锐角
中，
，
.
所以
，
.
所以
的取值范围
．
（3）由（2）知
，
，则
不妨令
.
又因为在锐角
中，
，
，
即
.
故
的取值范围为
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】变形得到
，求出
，由正弦定理和三角恒等变换得到
，换元后，
，
，由基本不等式求出最小值.
【详解】
，
故
，
，
，即
，
因为
，所以
，
，
由正弦定理得
因为
，所以
，
，
，
令
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为
.
故选：A
2．已知在
中，点
在BC 上的射影
落在线段BC 上（不含端点），且满足
，则角
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意得
，且角
均为锐角，根据
，代入化简得
，结合正弦定理、余弦定理及基本不等式化简可得
，设
，得
，化简可得
，结合
，代入化简即可求解.
【详解】在
中，因为
在BC 上的射影
落在线段BC 上（不含端点），
所以
，且角
均为锐角，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
化简得
，
由正弦定理得
，
因为
，且
，
所以
，有
，
所以
，即
，
若
，此时
，所以
为等腰直角三角形，故
，
若
，不妨设
，则
，即
，
所以
，即
，
因为
，即
，
因为函数
在区间
上单调递减，
所以
，
即
，化简可得
即
，得
，
所以角
的取值范围是
.
故选：A
3．（2025 高三下·重庆·竞赛）在
中，
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据余弦定理结合基本不等式计算结合换元法计算得出最小值.
【详解】由余弦定理及均值不等式，
，所以
.
于是由正弦定理，原式
.
令
，则
.
当且仅当
，即
时等号成立，
故原式的最小值为.
故答案为：3.
4．（24-25 高三下·河北保定·开学考试）在
中，已知角
的对边分别为
的平分线
交
于点
，
的外接圆的半径分别为
，且
.
(1)证明：
；
(2)求
；
(3)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理表示
，根据
可证明结论.
（2）利用正弦定理可得
，根据二倍角公式结合三角形内角取值范围可得结果.
（3）设
，利用等面积法可得
，结合余弦定理得
，构造函数，根据函数单调
性可求
的取值范围.
【详解】（1）
在
中，由正弦定理得，
，
∴
，同理得，
，
∴
，即
.
（2）在
中，由正弦定理得，
，∴
，
∴
，即
，
由
得，
，
∴
，故
，∴
.
（3）设
，由
，得
，故
.
∵
，
，∴
，故
，
∴
，
令
，则
，
∵
，当且仅当
时等号成立，∴
，故
，
∵
在
上单调递增，当
时，
，当
时，
，
∴
的取值范围是
.
5．（24-25 高三上·安徽·月考）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，．且满足
．
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积
，内切圆的半径为
，求；
(3)若
的平分线交
于
，且
，求
的面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用和角公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得.
（2）由等面积得出
，
，利用余弦定理得出
，三式联立即可求得边.
（3）结合题设，分别在
，
和
中，由正弦定理推出边
，
的关系式
，再利
用基本不等式求得
的最小值，继而即得三角形面积最小值．
【详解】（1）由
，得
，则
，即
，
而
，所以
.
（2）由等面积法得：
，即
，
因此
，
，在
中，由余弦定理得
，
即
，所以
.
（3）
由
平分
，得
，
在
中，设
，则
，
在
中，由正弦定理，得
，则
，
在
中，由正弦定理，得
，则
，
得
，故有
．
在
中，由正弦定理，得
，则
，
得
代入
式，可得
，即
．
由基本不等式，得
，解得
，当且仅当
时取“=”．
于是，
．即
的面积的最小值为
．
【点睛】思路点睛：解题时要注重题设条件的应用，如三角形内切圆半径常与其面积联系解题，内角平分
线常与正余弦定理结合使用，遇到两参数的相关式求最值常与基本不等式挂钩解题．
6．已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
.
(1)求证：
；
(2)若
为锐角三角形，D 为AB 中点，
.
（i）求
的取值范围；
（ii）求CD 的取值范围.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)（i）
（ii）
【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换即可得证；
（2）（i）由三角形
是锐角三角形求得
的范围可得
的范围；（ii）首先得
，
其次根据正弦定理将
表示成
的函数，结合
的范围即可得解.
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，
而
，
，
从而
，
所以
或
（舍去），
所以
；
（2）（i）因为
为锐角三角形，
所以
，解得
，所以
的取值范围为
；
（ii）由已知
，
，
而
，
从而
，
由正弦定理有
，
所以
，
，
所以
，
设
，
所以
，所以
，
由对勾函数性质可知，
在
上递增，所以
，
所以
，所以
的取值范围是
.
