实战演练05导数中构造函数的妙用（4大常考点归纳）（新高考卷）学生版_数学_专项复习_2025年_2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

实战演练 05 导数中构造函数的妙用
①构造函数比较大小
②构造函数解不等式
③构造函数求最值（范围）
④构造函数证明不等式
一、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数
1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用x=ln⁡ex (x∈R),x=eln⁡x (x>0)将要比较的三个数化为结构相
同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.
2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变
量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利
用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(h(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调
性,转化为比较自变量g(x)与h(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。
3.常见的构造函数有
（1）与 和 相关的常见同构模型
① ，构造函数 或 ；
② ，构造函数 或 ；
③ ，构造函数 或 .
二、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为 ；
（2）判断函数 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“ ”脱掉，得到具体的不等式
（组），但要注意函数奇偶性的区别.
三、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形模型1.对于 ，构造
模型2.对于不等式 ，构造函数 .
模型3.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数
模型4.对于不等式 ，构造函数
模型5.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数
模型6.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数
模型7.对于 ，分类讨论：（1）若 ，则构造
（2）若 ，则构造
模型8.对于 ，构造 .
模型9.对于 ，构造 .
模型10.（1）对于 ，即 ，
构造 ．
（2）对于 ，构造 ．
模型11.（1） （2）
①构造函数比较大小
一、单选题
1．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）若 则（ ）
A． B．
C． D．2．（2024·四川·模拟预测）已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设 ， ， ，设a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知 ， ， ，则a，
b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小
关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·安徽芜湖·三模）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·福建南平·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
②构造函数解不等式
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数 的导数为 ，对任意实数 ，都有 ，
且 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数 的定义域为 为 的导函数.若 ，且在 上恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·吉林·二模）已知函数 的定义域为 ，其导函数 满足 ，则不
等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时， ，
则使得 成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·山东聊城·三模）设函数 的定义域为 ，导数为 ，若当 时， ，且
对于任意的实数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）若定义在 上的函数 满足 ，且 ，
则不等式 的解集为
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，当 时，
，且 ，则不等式 的解集为 .
8．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当
时， ，则不等式 的解集为 ．
③构造函数求最值（范围）
一、单选题
1．（23-24高二下·湖北·阶段练习）若存在正实数 满足： ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（23-24高二下·江苏淮安·期末）函数 ， ，若存在正数 ， ，使得
，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．（23-24高二下·四川自贡·期中） ，均有 成立，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知函数 ， ，若 成立，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西商洛·三模）已知 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 恒成立，则正实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
④构造函数证明不等式
一、解答题
1．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时， ，求 的取值范围．2．（2024·广西·三模）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)若对任意 ，求 的取值范围.
3．（2024·河北·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， .
4．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的最小值.
5．（2024·四川绵阳·三模）设 .
(1)当 ，求 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明： .
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，讨论 的极值；
(2)若 是 的两个不同的零点，求证： ．
7．（2024·四川南充·二模）已知函数 有三个极值点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
8．（2024·青海·一模）已知函数 ．
(1)若 ，求 的取值范围；(2)若 有两个零点 ， ，证明： ．