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培优专题 01 解三角形
题型1 中线、角平分线、垂线条件的应用
一、中线问题
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长.
A
B C
D
② 向量法： ,平方即可；
③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“ ”则可以考虑方法②或方法③.
二、角平分线问题
△ABC中，AD平分∠BAC.角平分线定理：
①
证法1（等面积法） ，得
注： 为A到BC的距离， 为D到AB,AC的距离.
证法2（正弦定理）
如图， ， ,而 ，整理得
A
1 2
3 4
B D C
②等面积法
A
B D C
三、垂线问题
①等面积法：
②
③
A
B D C一、解答题
1．（2025·河南郑州·一模）记 的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知 ，
(1)求
(2)设 ，求 边上的高.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理求出 ，再由 ，结合平方关系可求 的值；
（2）结合（1）可得 ，再利用三角形面积相等可求得 边上的高.
【详解】（1）在 中，
， ，
而A为三角形内角，
，
，
整理得 ，得 ，
又 ，且 ，
（2）由正弦定理得 ，
得 ，由（1）得， ， ，
，
设 边上的高为h，则 ，
边上的高为
2．（24-25高三上·湖北武汉·期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的
中点，A，C满足
(1)求B；
(2)若 的面积为 ， ，求中线BD的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理将已知的正弦关系转化为边的关系，再利用余弦定理求出角 。
（2）先由三角形面积公式求出 的值，再结合余弦定理求出 的值，最后利用向量关系求出中线BD
的长。
【详解】（1）因为 ，所以，
又因为
所以， ，得 ，
所以，由余弦定理得 ，
又B为三角形内角，
所以，
（2）因为 的面积为 ， ， ，所以， ，所以 ，又 ，
因为BD为 的中线，所以， ，
所以， ，
所以
3．（24-25高三下·湖南娄底·阶段练习）在 中，点 在线段 上， 平分 ．
(1)尝试利用等面积法或者正弦定理证明角平分线定理，即请证明： ；
(2)若 ， ，则 是多少？
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分别在 和 中，利用正弦定理得出等式，借助于诱导公式化简，将两式作比即
得；
（2）根据（1）推得 ，由向量运算得到 ，再利用向量模的运算律计算即得.
【详解】（1）利用正弦定理证明：设 ，则 ， ，
在 中，由正弦定理， ，
在 中，由正弦定理， ，
因 ，两式相比，可得： ；
（2）由（1）得 ，故 ,于是
,两边平方得： ，
故 .
4．（2025·河北·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，D为 边上一
点.
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ， 是角 的平分线，且 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，可得 ， ，在 中应用正弦定理即可求解；
（2）由余弦定理可得 ，根据 ，结合面积公式即可求解.
【详解】（1）设 ，所以 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，即 ；
（2）由余弦定理得 ，即 ，
由 ，得 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍），
故 .
5．（23-24高三下·福建·开学考试）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)过点A作 的垂线与 的延长线交于点D， ， 的面积为 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题利用正弦定理将条件式角化边，再结合二倍角公式求出 得解；
（2）根据题意得 ，结合 的面积为 ，可求得 ，又由 ，求得
，在 中，由余弦定理求得 ,得解.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ．两边除以 ，
得 ，
由二倍角公式，有 ，
整理为 ，
上式因式分解为 ，
解得 或 （舍去），
又由 ，可得 ；
（2）由 ．有 ，又由 ，可得 ，有 ，可得 ，
又由 的面积为 及 ，有 ，
代入 ，可得 ， ，
又由 ，有 ，代入 ，可得 ，
在 中，由余弦定理，有 ，
有 的周长为 ．
6．（2024·广西·模拟预测） 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 ， 的角平分线交 于点 ，求线段 长度的最大值．
【答案】(1) ．
(2) ．
【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解，
（2）由余弦定理可得 ，即可利用等面积法得 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）由题设及正弦边角关系可得： ，则 ，
而 ，且 ，则 ．（2）因为 ，所以由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，即 （当且仅当 时，等号成立），
因为 ，所以 ，
解得 ，因为 （当且仅当 时，等号成立），
所以 （当且仅当 时，等号成立），所以 长度的最大值为 ．
7．（24-25高三下·山西·开学考试）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，
， ．
(1)求 ；
(2)记 为 的中点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用正余弦定理以及两角和正弦公式计算得出 ，进而可求角 ；
（2）结合正弦定理及余弦定理，再应用锐角三角形求出 ，最后结合正切值域及二次函数值域得
出 的范围.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
由 ，
则 ， ，则 ，
整理得 ，
且 ， ，故 ，
又 ，故 ．
（2）在 中，由余弦定理可得 ，
又 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，
解得 ．所以 ，
所以 ．
故 的取值范围为 ．
题型2 面积、周长、边角的最值与范围问题
一、三角形面积和周长的最值、范围问题
（1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化
周长
（2）面积公式：（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
（3）求周长的模型：
（4）基本不等式
a+b
ab≤( ) 2
2
① ② (当且仅当 时取“=”号)
（5）利用三角恒等变换转化为内角 有关的三角函数。
①和差角公式：
，
asinα+bcosα= √a2 +b2sin(α+ϕ)
辅助角公式：
②
b a b
sinϕ= ，cosϕ= ，tanϕ=
√a2 +b2 √a2 +b2 a
）．
（其中
二、解题思路步骤
①利用基本不等式： ，再利用 及 ，求
出 的取值范围或者利用
②利用三角函数思想： ，结合辅助角公式及三角
函数求最值
一、解答题
1．（2025·江西赣州·一模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求证： ；
(2)已知 ，当角 取最大值时，求 的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式结合正弦定理、余弦定理，即可证明结
论.
（2）根据余弦定理结合基本不等式可得角 的最大值，即可求出三角形面积.
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
由 得， ，
由正弦定理及余弦定理得， ，
∴ .
（2）由余弦定理得， ，
当且仅当 时取等号，此时 取最大值 ， 为等边三角形.
由 得， .
∴ 的面积为 .
2．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）在锐角 中，角A， ， 的对边分别为a，b，
c，S为 的面积，且 .
(1)求 的值；
(2)已知 ，求 的面积的最大值.
【答案】(1)2
(2)2
【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理可得 ，即可得结果；
（2）根据同角关系求 ，利用余弦定理结合面积公式可得 ，即可面积最大值.【详解】（1）因为 ，且 ，
可得 ，
即 ，所以 .
（2）因为 ，
又因为 ，即 ，
整理可得 ，解得 或 ，
又因为 ，则 ， ，
由余弦定理可得： ，即 ，
整理可得 ，
又因为 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
且此时为 为锐角三角形，符合题意，
所以 的面积的最大值为 .
3．（2025高三·全国·专题练习）已知 的内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一，利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简求解；法二，由余弦定理化简条件
式，再利用余弦定理求出 ；
（2）法一，将条件 利用正弦定理化简求得 的外接圆半径 ，结合（1）可求得，再利用余弦定理和基本不等式求得 ，得解；法二，同法一求出外接圆半径 ，由正弦定理
可得 ，化简得关于角 的三角函数求最值.
【详解】（1）解法一，由正弦定理得 ，
又 ，
所以 ，即 .
因为 ，所以 ，
所以 .
解法二，由余弦定理得 ，
整理得 ，
所以 .
（2）解法一，设 的外接圆半径为 ，
由 及正弦定理得 ，
所以 .
由（1）知 ，所以 ，
所以 .
由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号.所以 周长的最大值为 .
解法二，设 的外接圆半径为 ，
由 及正弦定理得 ，
所以 .
由（1）知 ，所以 .
所以
，
其中 为第一象限角，且 ，
所以当 时， 取得最大值 ，
故 周长的最大值为 .
4．（24-25高三下·全国·开学考试）在锐角三角形 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求 的周长l的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由降幂公式结合特殊角的三角函数值可得；
（2）由正弦定理边化角得到周长的表达式，再两角差的正弦展开式和辅助角公式结合正弦函数的取值范
围求解即可；
【详解】（1）因为 ，所以 ，
解得 或 （舍去），又 ，所以 .
（2）由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 的周长 ，
即
，
又 ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 的周长l的取值范围为 .
5．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知 的内角A、 、 的对边分别为 ， ， ，且
．
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦以及同角的三角函数关系可得；（2）由正弦定理边化角结合两角和的正弦表示出 ，再结合正弦和正切的单调性求解即可；
【详解】（1）由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 .
（2）由正弦定理可得 ，
，
所以 ，
因为 在 均为单调递增，
所以 在 为单调递减，
所以当 时，最大值为 ；所以当 时，最小值为 ；
所以 的取值范围为 .
6．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知 内角 的对边分别为 ， ．
(1)证明： ；
(2)求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理及和差角的正弦公式推理得证.（2）由（1）的结论，利用和角的正弦及二倍角公式化简，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】（1）在 中，由 及余弦定理，得 ，
整理得 ，由正弦定理得 ，
则
于是 或 （不成立），所以 .
（2）由（1）知， ， ，
则
，
由 ，得 ， ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
7．（24-25高三上·贵州黔南·期末）在① ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
问题：已知锐角三角形 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，______．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①：利用诱导公式和二倍角的余弦公式可得出关于 的方程，解出 的值，结合角
的取值范围可得出角 的值；选②：利用正弦定理结合两角差的余弦公式化简得出 的值，结合角 的取值范围可得出角 的值；
选③：利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出 ，结合角 的取值范围可得出角 的值；
（2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出 ，求出角 的取值范围，可求得 的取值范围，
再利用三角形的面积公式可求得 面积的取值范围.
【详解】（1）若选择① ．由 ，得 ，
所以 ，所以 ，解得 或 ．
又因为 ，故 ．
若选择② ．
由正弦定理得 ．
又因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，整理可得 ，解得 ．
又因为 ，故 ．
若选择③： ．
由正弦定理得 ．
又因为 ，所以 ，所以 ，即 ．
可得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，故 ．
（2）由（1）可知 ，且 ，由正弦定理及 ，可得 ．
又因为在锐角三角形 中， ，所以 ，
故 ，所以 ．
所以面积 ，所以 ，
所以 面积的取值范围是 ．
8．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）在三角形 中，内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再利用诱导公式即正弦的和角公式求解；
（2）把 转化为 的函数，利用余弦定理及三角函数单调性分析 的范围 ，最后再利用二次函
数的单调性求范围.
【详解】（1）根据正弦定理可知：
，
因为 ，所以 ，所以 .（2）由余弦定理可知： ，因为 ，所以 ， ，
，
因为 ，所以 ， ，
由正弦定理得：
，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 时， 取得最小值 ，
并且 ，
所以 的范围是 .
题型3 解三角形与三角函数交汇
一、降幂公式
二、辅助角公式b a b
sinϕ= ，cosϕ= ，tanϕ=
asinα+bcosα= √a2 +b2sin(α+ϕ)
（其中
√a2 +b2 √a2 +b2 a
）．
三、三角形角的关系
A B C π
+ +
2 2 2 2
（1） 中， , =
（2） ，
，
（3）
一、解答题
1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）设三角形 的内角 的对边分别为 且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 边上的高为 ，求三角形 的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和的关系以及二倍角的余弦公式，并由辅助角计算可得结果；还可以根据
二倍角的正弦公式求出正切值计算；
（2）由三角形面积公式代入计算可得 ，求出周长.
【详解】（1）因为 为三角形 的内角，所以 ，
因为 ，所以 可化为 ，
即 ，即 ，又易知 ，
解得 ，即 .（2）由三角形面积公式得 ，
代入得： ，所以 ，
故 为正三角形， ，周长等于
2．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知向量 ， ，设函数
.
(1)求函数 的单调递增区间及其图象的对称轴方程；
(2)已知 分别为三角形 的内角 对应的三边长， 为锐角， ，且 恰是函数
在 上的最大值，求三角形 的面积.
【答案】(1)单调递增区间为 ， ，对称轴方程为 ，
(2) 或
【分析】（1）先利用向量数量积的运算律和坐标表示及三角函数的二倍角公式和辅助角公式求出 ，
再根据正弦函数的图象和性质求解即可；
（2）先利用正弦函数的性质求出角 ，代入余弦定理求出 ，再根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）
，
由 ， ，得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ， ，令 ， ，解得 ，
所以曲线 的对称轴方程为 ， .
（2）由（1）知 ，
当 时 ，则当 即 时函数 取得最大值，
又 恰是函数 在 上的最大值，且 为锐角，可得 ，
由余弦定理可得 ，解得 或 ，
当 时，三角形 的面积 ，
当 时，三角形 的面积 .
所以三角形 的面积为 或 .
3．（2024·广东佛山·模拟预测）已知 的内角A， ， 所对的边分别为 ， ， ，
的最大值为 .
(1)求角 ；
(2)若点 在 上，满足 ，且 ， ，解这个三角形.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换先化简函数式，再利用三角函数的性质求A；
（2）利用平面向量的基本定理及数量积计算可得AC，余弦定理可得BC，再由勾股定理逆定理可得B、
C.【详解】（1）由
由题意及三角函数的性质可知： ，即 ，
又 ，∴ ；
（2）
如图所示，易得 ，
∴ (负值舍去)，
由余弦定理可得： ， ，
显然： ，由勾股定理逆定理可得 .
综上 .
4．（2024·河北衡水·一模）在 中，内角 所对的边分别是 ，三角形面积为 ，若 为
边上一点，满足 ，且 .
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得 ，进而求解即可；
（2）在 中由正弦定理可得 ，在 中，可得 ，进而得到
，结合三角恒等变化公式化简可得 ，进而结合正弦函数的图
象及性质求解即可.
【详解】（1） ，
，即 ，
由正弦定理得， ，
，
，
， ，
由 ，得 .
（2）由（1）知， ，
因为 ，所以 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，在 中， ，
，
， ,
，
， ， ，
所以 的取值范围为 .
5．（2024·上海奉贤·三模）已知三角形 的三个角对应的边分别为 、 、
(1)求证：存在以 为三边的三角形；
(2)若以 为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形 的最小角．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和三角形任意两边之和大于第三边即可证明；
（2）由题意可得 均为锐角，不妨设 ，则可得 或 ，然后分情况讨论即
可.
【详解】（1）证明：因为 ，所以 ，
因为三角形 的三个角对应的边分别为 、 、 ，
所以 ， ，
设三角形 的外接圆半径为 ，则由正弦定理得，
，
，
所以 ， ， ，
所以存在以 为三边的三角形；
（2）因为以 为三边的三角形为等腰直角三角形，
所以 ，
所以 都为锐角，
不妨设 ，因为 ，
所以 ，或 ，
所以 或 ，
当 时， ，则 ，不合题意，舍去，
当 时， ，则 ，
因为 ，所以 ,
因为 ，所以 ，
所以 ，因为，
所以 ，所以 ，
所以 ,
所以 ,
所以三角形 的最小角为 .
题型4 几何图形中的解三角形一、公式的相关应用
（1）正弦定理的应用
** 错误的表达式 **边化角，角化边
** 错误的表达式 **大边对大角 大角对大边
** 错误的表达式 **合分比：
（2） 内角和定理：
** 错误的表达式 **
** 错误的表达式 ** ；
** 错误的表达式 **在 中，内角 成等差数列 .
二、余弦定理的应用
如图设 ，
在 中，由余弦定理得 ，①
在 中，由余弦定理得 ，②
因为 ，所以
所以①+②式即可
一、解答题
1．（24-25高三上·安徽·期中）如图，在平面四边形 中， 与 的交点为E， 平分 ，
， ．(1)证明： ；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 可得 ，结合余弦定理证明即可.
（2）由 、 及 ， 可证得四边形 是等腰梯形，进而可
得 ，进而可求得 ，在 中，由正弦定理可得 ，再结合 、
可得 即可.
【详解】（1）如图，
由题意知 ，则 ，
由余弦定理得 ，
即 ，整理得 ，
因为 ，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ．
又因为 ， ，所以四边形 是等腰梯形，所以 ．设 ，则 ，解得 ．
．
在 中，由正弦定理可得 ，
又因为 ，所以 ．
2．（24-25高三上·浙江·阶段练习）如图，四边形 中，
．
(1)求 ；
(2) 为边 上一点，且 的面积为 ，求 的外接圆半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意，在 和 中，利用余弦定理，分别求得 的表达式，两式作差求得
，即可求解；
（2）由（1）求得 ，利用余弦定理求得 ，结合题意，求得 ，进而求得 ，再
在 和 中，求得 ，进而得到 ，得到 ，利用正弦定理，即可求解.
【详解】（1）解：因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ，
两式作差得： ，解得 ，
因为 ，所以 ．
（2）解：因为
由（1）知 ，可得 ，且 ，
则 所以 ，
在 中，可得 ，所以 ，
在 中，可得 ，
在 中，可得 ，
可得 ,所以 ，则 ，
所以 ，解得 ，
设 的外接圆半径为 ，
由正弦定理得 ，解得 ，
所以 的外接圆半径为 ．
3．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ， ， ，.
(1)求 ；
(2)求四边形 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得到 ，进而得到 ，再根据条件，利用平方关系和正弦的
和角公式，即可求出结果；
（2）延长 交于 ，设 ， ，在 中，利用正弦定理和余弦定理得到 ，
，进而求得 ， ，再利用三角形面积公式，即可求出结果.
【详解】（1）由 ，又 ，得到 ，
又 ，
又 ， ，且 ，
所以 ， ，
得到 .
（2）延长 交于 ，设 ， ，在 中，由正弦定理得到 ，由（1）知 ， ，
所以 ①，由余弦定理得到 ②，
由①②解得 或 ，
当 时， ，此时 ，
又 ，所以 ， 不合题意，故 ， ，
在 中，由 ， ，得到 ， ，
所以 ，又 ，
故 .
4．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图， 是边长为 的正三角形 所在平面上一点（点 、
、 、 逆时针排列），且满足 ，记 .
(1)若 ，求 的长；(2)用 表示 的长度；
(3)求 的面积 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由余弦定理直接计算即可；
（2）在 中，直接利用正弦定理可得出 关于 的表达式；
（3）利用三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围.
【详解】（1）由 ，且 是边长为 的正三角形，
则 ，且 ，
所以在 中，由余弦定理得 ，
所以 .
（2）由 ，则 ，则 ，
在 中，由正弦定理有 ，
得 ，
（3）由三角形的面积公式得
，
又 ，且 ，则 ，所以 ，
所以 ，则 ，故 的取值范围为 .
5．（24-25高三上·辽宁大连·期中）在平面四边形 中， ，且 .
(1) 中，设角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 .
①当 时，求 的值；
②当 时，求ac的最大值.
(2)若 ，当 变化时，求 长度的最大值.
【答案】(1)①16；②
(2)
【分析】（1）①根据正弦定理结合三角恒等变换与 化简即可；
②作 于 ，根据几何关系可得 ，再根据基本不等式求解即可；
（2）设 ，由余弦定理可得 ，由正弦定理可得 ，再根据余弦
定理可得 ，进而可得 长度的最大值.
【详解】（1）①当 时，由正弦定理 可得 ，故
.
②当 时，因为 ，故 均为锐角，作 于 .
由图可得 ， ，由 可得
，故 ，则.
.
故
，当且仅当 ，
即 时取等号，故 的最大值为
（2）设 ，由余弦定理 ，即 .
由正弦定理 可得 .
则 ，
.
故当 时， 取最大值 ，即 的最大值为 .
题型5 解三角形与三角形的“四心”一、三角形的重心
1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
在平面向量的应用：（1）设点 是△ 所在平面内的一点，则当点 是△ 的重心时，有
或 （其中 为平面内任意一点）；
（2）在向量的坐标表示中，若 、 、 、 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为 、
、 ， ，则有 .
二、三角形的外心
1.定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；
2.外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心
在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，
而一个圆的内接三角形却有无数个．
3.外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
在平面向量的应用：若点 是△ 的外心，则 或
；
三、三角形的内心
1.定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心
2.内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等
②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
3.内切圆
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫
做圆的外切三角形
在平面向量的应用：若点 是△ 的内心，则有
四、三角形的垂心
1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；
在平面向量的应用：若 是△ 的垂心，则 或
一、解答题1．（2025·宁夏银川·一模）在 中，角 的对边分别为 ，若 .
(1)求 ；
(2)若 边上的两条中线 相交于点 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到 ，即可求解；
（2）以 为坐标原点， 所以直线为 轴，建立平面直角坐标系，求出 ，
再利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
又 ，得到 ，所以 ，又 ，所以 ，
（2）如图，以 为坐标原点， 所以直线为 轴，建立平面直角坐标系，
因为 ， ，则 ，
又 是 边上的两条中线，所以 是 的重心，
则 ，所以 ，
则 .2．（2024高三下·山西大同·期中）在 中，角 所对的边分别为 是 内的一点，且
．
(1)若 是 的垂心，证明： ；
(2)若 是 的外心，求 ．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】
（1）由垂心的概念及向量的数量积结合余弦定理化简即可；
（2）根据外心的性质结合数量积计算得出 ，计算即可.
【详解】（1）∵ 是 的垂心，∴ ，
即 ， ，
由余弦定理可得上式等价于 ，
化简得 ；
（2）
如图所示，取AB、AC中点分别为E、F，
∵ 是 的外心，∴ ，
即 ，
故 ,
同理， ，
联立可得∵
3．（2024·全国·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
.
(1)求A；
(2)若O是 的内心， ，且 ，求 面积的最大值.
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）由正弦定理进行边变角，可得到 ，即可求得答案；
（2）由余弦定理可得 ，则 ，在 中，利用余弦定理可得到 ，即可求得最
大面积
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 或
（2）因为 ，且 ，所以由余弦定理得 ，所以A为锐角，由
（1）知 .
因为 是 的内心，
所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，所以 ，当且仅当
时等号成立，
所以 ，
所以 ，
所以 面积的最大值为 .
4．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A的大小；
(2)若 为锐角三角形，点F为 的垂心， ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得 的值，再由角 的范围，可得角 的大小；
（2）设 ，分别在两个三角形中，由正弦定理可得 ， 的表达式，由辅助角公式可得
的取值范围．
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
由正弦定理可得 ，
由余弦定理可得 ， ，
可得 ；
（2）延长 交 于 ，延长 交 于 ，延长 交 于 ， ，根据题意可得 ， ，因为 ，所以 ，
设 ， ，在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，可得 ，
同理在 中，可得 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
5．（2025·广东肇庆·二模）在① ；② 这两个条件中任选一个，补充在下面
的横线上，并解答.记 的内角 所对的边分别是 ，已知__________.
(1)求 .
(2)设 为 的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足 ，求 的面
积.
【答案】(1)(2) .
【分析】小问1：若选条件①，应用正弦定理，对等式左侧采用角化边即可统一元素，结合余弦定理可得
解；若选择条件②，等式右侧据正弦定理边化角，交叉相乘做恒等变换可得解；
小问2：由面积公式，需求两边乘积和夹角，由三角形的内角和定理和内心的性质，可求出夹角，应用余
弦定理求两边的乘积即可.
【详解】（1）选择条件①： .
由正弦定理 得 ，
所以 .
由余弦定理，得 .
因为 ，所以 .
选择条件②：因为 ，所以 ，即 .
由正弦定理得 ，即 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .因为 ，所以 .
（2）连接 ，
因为点 是内心，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
由余弦定理得 ，即 ，解得 ，
所以 .
6．（23-24高三下·福建福州·期末）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
.
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，内角 的角平分线交边 于 ， ，求 的长；
(3)若 ，边 上的中线 ，设点 为 的外接圆圆心，求 的值.
【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再求出 ，即可得解；
（2）根据 ，再结合基本不等式即可得解；
（3）由题意 ，两边平方得，结合余弦定理可求出 ，再根据数量积得几何意义即可得
解.
【详解】（1）在 中，由 及正弦定理，
得 ，
而 ，
则 ，
由 ，因此 ，则 ，由 ，得 ，解得 ，
又 ，所以 .
（2）
由 得， ，而 ，则 ，
又 ，
因为内角 的角平分线交边 于 ，所以 ，
∴ ，
∴ .
（3）
在 中，由余弦定理 ，得 ，
由边 上的中线 ，又因为 ，
两边平方得 ，
则 ，即 ，
解得 ，
令边 的中点分别为 ，由点 为 的外接圆圆心，
得 ， ，，
，
所以 .
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦
定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 、 、 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
7．（24-25高三上·广东·阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为
，且 .D是AB的中点，点E在线段AC上且 ，线段CD与线段BE交于
点M（如下图）
(1)求角A的大小：
(2)若 ，求 的值；
(3)若点G是 的重心，求线段GM的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1） ，结合面积公式和余弦定理，化简得到 ，求出 ，
；
（2）由三点共线得到 ， ，从而得到方程组，求出
，得到答案；
（3）法一：由重心定义得到 ，进而求出 ，根据三角形面积公式得
到 ， 两边平方，结合基本不等式求出 ；
法二：由（2）得 ，故 ，M为CD中点， ，由三角形面积公式得
到 ，在 中，有余弦定理和基本不等式得到 ，故 .
【详解】（1）因为 ，
所以 .
所以 ，
所以 ，故 ，
又 ，所以 ，
所以 ；
（2）由题意 ， ，
由D、M、C三点共线得 ，即 ，故 ，
所以 ，
同理由B、M、E三点共线可得 ，
∴ ，
∴
（3）法一；由重心定义得 ，
∴ ，
∴ ，
∴
，当且仅当 时，等号成立，
∴ ，
当且仅当 时取等号.
∴线段GM的最小值为 ；
法二：由（2）得 ， ，
故 ，故M为CD中点，
又重心G为CD三等分点，故 ，∵ ，
∴在 中， ，
当且仅当 时取等号，故 ，
∴ .
即线段GM的最小值为 .
题型6 解三角形中的新定义问题
1、理解新定义：
首先，需要仔细阅读题目中的新定义，理解其含义和所涉及的数学概念。
将新定义与已知的三角函数或解三角形的方法联系起来，找出其中的关联点。
2、利用三角函数性质：
应用三角函数的定义、诱导公式、同角关系式、和差化积公式等，将问题转化为已知的三角函数问题。
利用三角函数的图像和性质，如周期性、奇偶性、单调性等，来分析和解决问题。
3、应用解三角形的方法：
使用正弦定理、余弦定理等解三角形的基本方法，将三角形的边和角联系起来。
通过作辅助线、构造特殊三角形等方式，将复杂问题转化为简单问题。
4、结合图形分析：
在解题过程中，结合图形进行分析，可以更直观地理解问题。
利用图形的对称性、相似性等性质，简化计算过程。
5、注意特殊值和极端情况：
在解题时，要注意考虑特殊值和极端情况，如角度为0°、90°、180°等。
这些特殊值往往能提供更简单的解题路径或用于验证答案的正确性。
6、综合应用多种方法：
在解题过程中，可能需要综合运用多种方法，如代数法、几何法、三角法等。
灵活转换不同的解题方法，以适应不同的问题情境。
可以使用不同的方法或代入特殊值进行验证，以确保答案的正确性。一、解答题
1．（2024·云南·模拟预测）对平面向量 ， ，定义运算： ，其中 ， 分别表示 ，
的模长， 是 与 的夹角.在 中，已知 ， .
(1)是否存在满足条件的 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由；
(2)若 ， 是线段 上一点，且 ，求 .
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)
【分析】（1）由题意，得 ，再结合基本不等式可判断结果；
（2）解法一：结合（1），利用余弦定理求出 ， ，再借助正弦定理求出 ，
从而解决问题；
解法二：结合（1），利用正弦定理求出 ， ，再结合三角形面积公式求解问题.
【详解】（1） ， .
， ， ，
又 ， ，
.
，
当且仅当 时， 有最小值 .
因此，不存在满足条件的 ，使得 .（2）由（1）知，当 时， ， .
解法一：在 中， ，由余弦定理得， ，
， .
在 中， ， ，
由正弦定理得， ，
， ，
， .
解法二：
在 中， ， ，由正弦定理得， ，
， ， ，
，
又 ， ， .
.
.
2．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图， 的面积为 ，三个内角 所对的边分别为 ，且 .
(1)证明： 是倍角三角形；
(2)若 ，当 取最大值时，求 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明；
（2）由正弦定理结合题中条件得到 ，结合三角形面积公式 化为关于 的表达
式，构造函数，利用导数求得最大值即可.
【详解】（1）因为 ，
又 ,所以 ，
则 ，
又由余弦定理知， ，
故可得 ，
由正弦定理， ,
又 ,
代入上式可得 ,
即 ，
，
则有 ,
故 是倍角三角形.
（2）因为 ，所以 ,故 ，则 ，又 ，
又 ，则 ,
则
,
设 ， ，
则
令 得 或者 （舍），
且当 时， ，
当 时， ，
则 在 上单调递增，
在 上单调递减，
故当 时， 取最大值，此时 也取最大值，
故 为所求.
3．（23-24高三下·湖北·阶段练习）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如
图，光从 点出发，平面内四个点 经过中心投影之后的投影点分别为 .对于四个有序点
，若 ， ，定义比值 叫做这四个有序点的交比，记作 .
(1)当 时，称 为调和点列，若 ，求 的值；
(2)①证明： ；
②已知 ，点 为线段 的中点， ， ，求 ， .
【答案】(1) ；
(2)①证明见解析；② ，
【分析】（1）设 ， ，结合 可整理得到 ，由此可得
的值；
（2）①根据 ， ， ， ，结合三角形面积公式和角之间的等
量关系可整理得到结论；
②根据 可整理得到 ，由 和 可构造方程组
求得结果.
【详解】（1）由 知： 两点分属线段 内外分点，
不妨设 ， ，则 ， ，
由 知： ， ，
，即 .
（2）①在 中，
，
，
则
在 中，
，
，
则 ，
又 ，
，
即 ；② ， ，即 ，
又点 为线段 的中点，即 ，则 ，
又 ，则 ， ，
设 ， ，且 ，
由 可知： ，
即 ，整理可得： ；
在 中，由正弦定理得： ，
在 中，由正弦定理得， ，
且 ，
则 ，即 ，
由 得： 或 （舍），即 ， .
