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专题01 五大类解三角形题型-2024 年高考数学大题秒杀技巧
及专项训练（解析版）
【题型1 三角形周长定值及最值】
【题型2 三角形涉及长度最值问题】
【题型3 三角形涉及中线长问题】
【题型4 三角形涉及角平分线问题】
【题型5 三角形面积最值问题】
三角形周长定值及最值
：已知一角与两边乘积模型
第一步：求两边乘积
第二步：利用余弦定理求出两边之和
：已知一角与三角等量模型
第一步：求三角各自的大小
第二步：利用正弦定理求出三边的长度
最值步骤如下：
第一步：先表示出周长l=a+b+c
第二步：利用正弦定理a=2Rsin A ,b=2RsinB,c=2RsinC 将边化为角
第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值
已知
的内角
的对边分别为
，且
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）若
，求
的周长．
解：（Ⅰ）由已知得
，
，
，
1
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∵
，∴
，
，
，∴
，∴
．
（Ⅱ）第一步：求两边乘积
又
第二步：利用余弦定理求出两边之和
∵
，∴
，∴
，∴
为等边三角形．故三
角形的周长为
．
在
中，角
的对边分别为
，
.
（1）求
；
（2）若
，
，求
的周长.
解：（1）求角
根据
，可得
所以
.又因为
，所以
.
（2）第一步：求三角各自的大小
，
，所以
，
，
第二步：利用正弦定理求出三边的长度
因为
，所以
，
，则
的周长为
.
在
中,角
的对边分别为
.
(1)求
;
(2)若
,且
,求
的周长.
解：⑴因为
，所以
.又
，解得
.又
，
为锐角，所以
.
⑵第一步：求两边乘积
2
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因为
，又
，所以
或者
，
第二步：利用余弦定理求出两边之和
，即
，所以周长为
.
在
中，
，且
（1）求
；
（2）若
，求
的周长.
解：（1）在
中，则
，
，
，
，
，
，
，
由正弦定理得，
，
.
（2）第一步：求两边乘积
由（1）得，
，
，
，
，
，
第二步：利用余弦定理求出两边之和
在
中，由余弦定理得，
，
又
，
，解得
（负值舍去），故
.
1．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
．
(1)证明：
是锐角三角形；
(2)若
，求
的周长．
3
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【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）
，
由正弦定理得
，
整理得
．
由余弦定理得
．
，
．
，
，
，
，
均小于
，
是锐角三角形．
（2）
，
，
又
，
，
在
中，由正弦定理得
，
即
，
，
，
的周长为
．
2．
的内角
的对边分别为
．
(1)求
；
(2)若
，求
的周长最小值．
【答案】(1)
(2)9
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
整理得
，
由余弦定理知
，
且
，所以
．
4
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（2）由（1）可知：
，整理得
，
且
，当且仅当
时，等号成立，
则
，即
，可得
，
所以
的周长最小值.
3．已知函数
的最小正周期为
．
(1)求
的值；
(2)已知
分别为
中角
的对边，且满足
，求
的周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
因为
最小正周期为
，所以
，解得
，
所以
，所以
．
（2）由
得
，
由余弦定理有
，
即
（当且仅当
时取“=”），
故
，即
为等边三角形时，周长有最大值
4．
的内角A，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求
；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
所以由正弦定理可得
.
又
，所以
.
5
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因为
，所以
；
（2）
的面积
，则
.
由余弦定理：
，
得
，
所以
，
故
的周长为
.
5．在锐角
中，
，
，
(1)求角A；
(2)求
的周长l 的范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵
，
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
，所以
.
（2）
，所以
,
所以
，
，
所以
,
因为
是锐角三角形，且
，
所以
，解得
，
所以
，所以
，
6
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所以
.
6．记
的内角，A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知
．
(1)求a；
(2)若
，求
的周长l 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
所以
，
又
，
，所以
，
根据正弦定理可得
，所以
．
（2）解法一：因为
，
，
所以由余弦定理可得
，即
．
因为
，所以
，
所以
，当且仅当
时，取到最值
又
，所以
，即
周长l 的取值范围为
．
解法二：由正弦定理知，
，
所以
，
，
所以
，
因为
，所以
，所以
,
，
所以
,
，所以
,
，
故
的周长的取值范围为
,
．
7．设
的内角
所对边分别为
，若
．
(1)求
的值;
7
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(2)若
且三个内角中最大角是最小角的两倍，当
周长取最小值时，求
的面积．
【答案】(1)2(2)
【详解】（1）因为
，所以
，因为
，
所以
，
所以
，由正弦定理
，得
，即
．
（2）由
可得：
，故
，于是
，
由正弦定理
及余弦定理
可得：
，
解得：
(舍)或者
，故
，
因为
，所以当
时，周长最小，此时
，
所以
，所以
的面积为
．
8．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的周长l 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为
，可得
，
即
，即
，所以
，
又因为
，所以
.
（2）解：由正弦定理
，可得
，
所以三角形的周长
，
因为
，可得
，
8
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所以
，
因为
，可得
，所以
，
所以
，故
的周长的取值范围为
.
三角形涉及长度最值问题
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长
常用处理思路：
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，
通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
在
中，角
所对的边分别为
.若
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，求
的取值范围.
破解：
（1）第一步：因为
，整理得
，
所以
，
第二步：由正弦定理得：
，
因为
，所以
，所以
.
（2）第一步：因为
为锐角三角形，
，所以
，且
，
所以
，
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第二步：解法
，
因为
，所以
，
第三步：所以
，
即
的取值范围是
.
第一步：解法
，
因为
，所以
，得
，
第二步：所以
，
即
的取值范围是
.
在
中，已知
，且
.
(1)试确定
的形状；
(2)求
的值．
破解：（1）第一步：在
中，设其外接圆半径为R，
根据正弦定理得，
，
代入
，得
，所以
①，
10
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第二步：因为
，所以
，
所以
，
由正弦定理，得
，所以
②，
把②代入①得，
，即
，
所以
是直角三角形；
（2）第一步：由（1）知
，即
，所以
，
第二步：又
，所以
，所以
.
已知函数
.在锐角
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且满足
.
(1)求A 的值；
(2)若
，求
的取值范围.
破解：（1）第一步：
.
由
，即
.
第二步：
为锐角三角形，
，
.
.
（2）第一步：由正弦定理，
.
，
.
第二步：
，.
第三步：
是锐角三角形，
11
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，且
.
，
，
，
.
.
.
综上，
的取值范围为
.
在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，为
(1)求角A 的大小；
(2)当
时，求
的取值范围.
破解：（1）第一步：由正弦定理得：
，
所以
，即
，
第二步：因为
，所以
，又
，所以
（2）第一步：
，
，由正弦定理
，
所以
，
第二步：因为
为锐角三角形，所以
，则
，
所以
，所以
已知
为锐角三角形，角
的对边分别为
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的取值范围.
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破解：（1）第一步：在
中，由余弦定理得，
，
所以
，所以
，
第二步：又因为
为锐角三角形，所以
，所以
.
（2）第一步：在
中，由正弦定理得，
，
所以
，
第二步：因为
为锐角三角形，所以
，解得
，
所以
，则
，
所以
的取值范围为
.
1．在锐角三角形
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
．
(1)求角B 的值；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
由正弦定理边化角可得
，
所以
，又
，
所以
，又
为锐角，
则
；
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（2）由正弦定理
，
则
，
所以
，
，
因为在锐角三角形
中
，得
，
所以
，
则
，
所以
的取值范围为
.
2．已知
的内角
的对边分别为
，且满足
．
(1)求角
的大小；
(2)已知
是
的中线，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因
，由正弦定理，
，
由余弦定理，
，又
代入化简得
，因
，则
（2）因
是
的中线，故
,两边平方可得：
，
即
，由（1）知
，则
，
又因
，即
，当且仅当
时等号成立，
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此时
，即
.
故当
时，
的最小值为
.
3．在锐角
中，已知
.
(1)求
；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，
根据正弦定理可得，
则
，展开可得
，
.
（2）由正弦定理
，
则
，其中
，
是锐角三角形，
，
.
，
，
显然
，当
时，
，
.
4．已知在锐角三角形
中，边
，
，对应角
，向量
，
，且
与
垂直，
．
(1)求角
；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
与
垂直，
2cos sin
sin
0
B
C
C
π
1
π
π
0,
,sin
0,
cos
,
0,
,
2
2
2
3
C
C
B
B
B
2 3
4
sin
sin
sin
3
2
a
c
b
A
C
B
2
3
2
12sin
8sin
4 3sin
2sin
4 3sin
2sin
π
3
a
c
A
C
A
C
A
A
4 4sin
3cos
A
A
4 19sin A
3
4
π
sin
,cos
,
0, 2
19
19
ABC
π
π
6
2
A
π
π
6
2
A
π
π
π
7
sin
sin
cos
cos
sin
6
6
6
2 19
π
4
sin
cos
2
19
7
4
2 19
19
π
2
A
3
2
4 19
max
a
c
3
2
14,4 19
a
c
ABC
a
b
c
, ,
A B C
2cos , 3
m
A
sin
,cos2
π
3
n
A
A
m
n
2
c
A
a
b
π
6
1
3,2 3
m
n
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所以
，
即
，
即
，
即
，
即
，又
，所以
，
所以
，即
；
（2）由正弦定理
得
，
根据三角形
是锐角三角形得
，
解得
，则
，所以
，
所以
，则
，
则
的取值范围为
.
5．记△
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
，求
的范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，
，
2cos , 3
sin
,cos2
2cos sin
3cos2
0
π
3
π
3
m n
A
A
A
A
A
A
2
1
3
2cos
sin
cos
3cos2
cos sin
3cos
3cos2
0
2
2
A
A
A
A
A
A
A
A
1
3
sin 2
1+cos2
3cos2
0
2
2
A
A
A
1
3
3
sin 2
cos2
2
2
2
A
A
π
3
sin 2
3
2
A
π
0
2
A
π
π
4π
2
3
3
3
A
π
2π
2
3
3
A
π
6
A
sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
π
π
2sin
2sin
sin
sin
1 cos
3sin
6
6
sin
sin
sin
sin
C
c
A
c
B
C
C
C
C
C
C
a
b
2
2cos
cos
1
cos
1
2
2
3
3
3
3
sin
2sin
cos
sin
tan
2
2
2
2
C
C
C
C
C
C
C
C
ABC
π
π
0
π
6
2
π
0
2
C
C
π
π
3
2
C
π
π
6
2
4
C
3
tan
1
3
2
C
1
1
3
tan 2
C
1
1
3
3
2 3
tan 2
C
a
b
1
3,2 3
ABC
, ,
A B C
, ,
a b c
3 sin
cos
a
B
b
A
b
A
2
a
2
b
c
π
3
A
4,2
3sin sin
sin cos
sin
A
B
B
A
B
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因为
，所以
，所以
，则
，
因为
，所以
，
所以
，所以
.
（2）因为
，则
，
因为
,
所以
.
所以
.
因为
.所以
.所以
，
所以
.
6．已知在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若
外接圆的直径为
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
可得：
，所以
，
所以
，
，
，由正弦定理可得
，
因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
.
（2）由正弦定理可得
，
所以
，
故
，
0,π
B
sin
0
B
3sin
cos
1
A
A
π
1
sin
6
2
A
0,π
A
π
π 5π
,
6
6
6
A
π
π
6
6
A
π
3
A
4 3
sin
sin
sin
3
b
c
a
B
C
A
4 3
2
sin
2sin
3
b
c
B
C
2π
3
B
C
2π
3
1
sin
sin
cos
sin
3
2
2
B
C
C
C
4 3
3
3
π
2
cos
sin
4sin
3
2
2
6
b
c
C
C
C
2π
0, 3
C
π
π π
,
6
6 2
C
π
1
sin
,1
6
2
C
π
2
4sin
4,2
6
b
c
C
ABC
cos
cos
2 3 sin
cos
0
a
B
C
a
A
c
B
A
ABC
2 3
2c b
π
3
A
3,6
π
A
B
C
π
A
B
C
cos
cos
A
B
C
cos
cos
2 3 sin
cos
a
B
C
a
B
C
c
B
A
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
2 3 sin
cos
a
B
C
a
B
C
a
B
C
a
B
C
c
B
A
sin
sin
3 sin
cos
a
B
C
c
B
A
sin
sin
sin
3sin
sin
cos
A
B
C
C
B
A
sin
0,sin
0
C
B
sin
3cos
A
A
tan
3
A
0,π
A
π
3
A
2
2 3
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
2 3sin
,
2 3sin
b
B c
C
2
4 3sin
2 3sin
2 3 2sin
sin
c
b
C
B
C
B
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又
，所以
，
所以
，又
，所以
，
所以
，所以
的取值范围为
.
7．在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
.
(1)求
的值；
(2)若
为
的中点，且
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理及
，
得
，
又
，
所以
，
又
，∴
，∴
，即
，
又
，∴
.
（2）由
为
的中点，得
，而
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
π
A
B
C
2π
2π
,
0,
3
3
B
C C
2π
3
3
2
2 3 2sin
sin
2 3
sin
cos
3
2
2
c
b
C
C
C
C
π
6sin
6
C
2π
0, 3
C
π
π π
,
6
6 2
C
π
2
6sin
3,6
6
c
b
C
2c b
3,6
ABC
A
B
C
a
b
c
cos
cos
0
a
B
b
A
a
c
B
M
AC
4
a
c
BM
π
3
3
cos
cos
0
a
B
b
A
a
c
sin
cos
sin
cos
sin
sin
0
A
B
B
A
A
C
sin
sin
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
2sin
cos
sin
0
A
B
A
0,π
A
sin
0
A
2cos
1
0
B
1
cos
2
B
0,π
B
π
3
B
M
AC
1
1
2
2
BM
BA
BC
4
a
c
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
4
4
2
BM
BA
BC
BA
BC
BA BC
2
2
2
1
1
1
1
cos
4
4
2
4
c
a
ac
B
a
c
ac
2
2
2
1
3
3
4
2
16
a
c
a
c
a
c
4
a
c
a
c
2
a
c
18
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所以
的最小值为
.
8．在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，其中
，
．
(1)若
，求
的面积；
(2)若
为钝角三角形，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
及正弦定理，则
．
当
时，
，
，由余弦定理，
，
从而
，此时
的面积
．
（2）由于
，
，由三角形三边关系可得
，即
，
解得
．
由于C 为
的最大内角，故
，
即
，解得
．
由于
，则
．
三角形涉及中线长问题
①中线长定理：（两次余弦定理推导可得）+（一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值）
如：在Δ ABC 与Δ ABD 同用cosB 求AD
AB 2+AC 2
2
=AD 2+CD 2
②中线长常用方法
cos∠ADB +cos∠ADC =0
③已知AB +AC ，求AD 的范围
BM
3
ABC
sin
2sin
B
A
2
1
c
a
3
a
ABC
ABC
4 5
1
2
5
a
sin
2sin
B
A
2
b
a
3
a
6
b
7
c
2
2
2
3
6
7
1
cos
2 3 6
9
C
4 5
sin
9
C
ABC
1
sin
4 5
2
S
ab
C
2
b
a
2
1
c
a
a
b
c
3
2
1
a
a
1
a
ABC
2
2
2
4
2
1
cos
0
4
a
a
a
C
a
2
4
1
0
a
a
2
5
2
5
a
1
a
1
2
5
a
19
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∵AB +AC 为定值，故满足椭圆的第一定义
∴半短轴¿ AD ＜半长轴
中，
，
，
，则
边上的中线
长_______.
解：法一：两次余弦定理
设
，
，
，
由余弦定理得：
，
所以
，或
（舍去），
在
中，
，
由余弦定理得：
，
所以
.
法二：一次余弦定理+一次中线长定理
设
，
，
，
由余弦定理得：
，
所以
，或
（舍去），
中线长定理
AB 2+AC 2
2
=AD 2+CD 2⇒22+√62
2
=AD 2+22⇒AD =1
在
中，
，
．
边上的中线
，则
_____．
解：中线常用方法 设
，
20
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中，
，
中，
，
⇐重点
，解得：
，
，
中，
,
,
.
中，
，则
边上中线
的长为_____．
解：中线常用方法
由余弦定理可知：
,设
，由余弦定理可知：
而
⇐
重点
即
解得
，故
边上中线
的长为
．
1．已知
的内角
的对边分别为
，且满足
．
(1)求角
的大小；
(2)已知
是
的中线，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因
，由正弦定理，
，
21
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由余弦定理，
，又
代入化简得
，因
，则
（2）因
是
的中线，故
,两边平方可得：
，
即
，由（1）知
，则
，
又因
，即
，当且仅当
时等号成立，
此时
，即
.
故当
时，
的最小值为
.
2．在①
；②
；③
；这三个条
件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S 为
的面积）.
问题：在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且______.
(1)求角B 的大小；
(2)AC 边上的中线
，求
的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
.
【详解】（1）解：若选①：在
中，因为
，
由
，
可得
，
由正弦定理得
，即
，
则
，
又因为
，故
.
若选②：由
，可得
，所以
，
因为
，所以
.
若选③：因为
，
22
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正弦定理得
，
又因为
，所以
，
即
，
因为
，
，所以
，
又因为
，可得
；
综上所述：选择①②③，都有
.
（2）解：由
，可得
，
所以
，可得
，当且仅当
时取等号，
则
，当且仅当
时取等号，
则
的面积的最大值为
.
3．在
中，
(1)若
，求
的面积；
(2)求
边上的中线
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，若
，则
，
又
，所以
，所以
；
（2）因为
，
由正弦定理得
，
所以
，所以
，
又
，所以
，所以
，
由余弦定理得
，
因为
，
23
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则
，
因为
，
所以
，
因为
，所以
，
则
，所以
，
所以
，所以
，
即
边上的中线
的取值范围为
．
4．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若
，求B；
(2)若
，求
边上的中线
的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵
，∴
，
∴
，∴
，即
，
由正弦定理可得
，
∵
，∴
，
又∵
，
∴
，∴
．∴
.
24
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（2）∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
.
5．已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
．
(1)求A；
(2)若
，求
中BC 边中线AD 长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
，即
，
即
，所以
，
又
，所以
，又
，所以
；
（2）由余弦定理得
，
即
，所以
，因为
为
中BC 边的中线，
所以
，
则
，
所以
.
25
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6．在锐角
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、．
①
；②
；③
．
在以上三个条件中选择一个，并作答．
(1)求角
；
(2)已知
的面积为
，
是
边上的中线，求
的最小值．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【详解】（1）解：若选①，因为
，即
，
则
，即
，所以，
，
因为
，故
；
若选②，原式等价于
，即
，
即
，
因为
、
，则
，所以，
，则
，故
；
若选③，原式等价于
，
即
所以，
，即
，即
，
因为
，故
.
（2）解：因为
，所以，
，
因为
为
的中点，
则
，
所以，
，
则
，则
，
26
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当且仅当
时，即当
时，等号成立.
因此，
长的最小值为
.
7．记
的内角
的对边分别为
，面积为，已知
.
(1)求
的值；
(2)若
边上的中线
，求
周长的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵
面积为，
，且
，
得
，
，
由正弦定理得：
，
，
，
，
，
.
（2）
边上中线
，
，
，
得
，
，
，
，
且
，即
，
，当且仅当
时，“=”成立.
又
，由余弦定理得
，
，
，
设
，
27
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，
设
，
，
在
单调递减，
又
，
，
，
在
单调递减，
则
最小值为
，
所以当
时，
的最小值为
，
故
周长最小值为
.
8．已知
中，角
所对的边长分别为
，且
，
为
边上一点，且
.
(1)若
为中线，且
，求
；
(2)若
为
的平分线，且
为锐角三角形，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）如下图所示，
在
中，设
，由余弦定理得
即
，得
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，
则
，所以
（2）设
，则
，如下图所示，
28
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在
和
中，由正弦定理得
，
，得
，
因为
为锐角三角形，所以
均为锐角，
所以
，则
，所以
，
又因为
，
所以
， 所以
的取值范围是
三角形涉及角平分线问题
张角定理
如图，在Δ ABC 中，D 为BC 边上一点，连接AD ,设AD =l ，∠BAD =α ,∠CAD =β
则一定有
sin(α+β)
l
=sinα
b
+sin β
c
证明过程：∵SΔ ABC =SΔ ABD +SΔ ACD ∴
1
2 bc sin(α+β)=1
2 cl sinα+1
2 bl sin β
同时除以
1
2 bcl
得
sin(α+β)
l
=sinα
b
+sin β
c
29
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在
中，角
所对的边分别为
，
，BD ⊥BC 交
于点D，且
，
则
的最小值为________．
解：如图所示
∠ABD =α=300,∠CBD =900
,根据张角定理
sin1200
1
=sin300
a
+sin900
c
故：
1
2a + 1
c =√3
2 ，根据柯西不等式
(2a+c)(
1
2a + 1
c)≥(√1+√1)
2=4
故
2a+c≥8√3
3
，当且仅当c=2a 时等式成立
在
中，角
所对的边分别为
，点D 在BC 边上，
，AD ⊥AC ，
，则
的长为________．
解：
，∠DAC =900
根据张角定理
sin∠BAD
AD
=sin∠BAD
b
+sin900
c
⇒1
3b + 1
3√2
=2√2
9 ⇒b=3√2
故：|CD|=√AD 2+AC 2=3√3
已知在
中，角
所对的边分别为
.
为
上一点且
则
的最小值为__________ .
解：法一：等面积法+基本不等式（张角定理的推导方法）
，
30
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，
，
又
，故
即
，
所以
.又
，
当且仅当
，
时等号成立，故
的最小值为
方法二：张角定理+基本不等式
sin∠ACB
CD
=sin∠ACD
a
+sin∠BCD
b
⇒1
2=
1
2
a +
1
2
b ⇒1
a + 1
b=1
又
，
当且仅当
，
时等号成立，故
的最小值为
在
中，角
所对的边分别为
，
，
的平分线交
于点
，且
，则
的最小值为______．
解：法一：等面积法+基本不等式（张角定理的推导方法）
如图：
因为
可得
即
，所以
所以
当且仅当
时取等号.故答案为18
方法二：张角定理+基本不等式
31
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sin∠ABC
BD
=sin∠ABD
a
+sin∠CBD
c
⇒
√3
2
2 =
√3
2
a +
√3
2
c ⇒1
a + 1
c =1
2
所以
当且仅当
时取等号.故答案为18
1．在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
，且
．
(1)求证：
；
(2)若
的平分线交AC 于D，且
，求线段BD 的长度的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：由余弦定理可得
，
故
，由正弦定理得
．
所以在
中，
或
．
若
，又
，故
，因为
，所以
，故
不满足题意，舍去，所
以
．
（2）在
中，由正弦定理可得
，即
所以
因为
是锐角三角形，且
，
所
得
，
所以
．
所以线段BD 长度的取值范围是
．
32
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2．如图,在
中,
的平分线交
边于点
,点
在
边上,
,
,
.
(1)求
的大小;
(2)若
,求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
是
的角平分线,所以
,
在
中,根据余弦定理得
,
所以
,
则
,
因为
,所以
.
（2）因为
,所以
,
在
中,由正弦定理得
,
在四边形
中,
,
所以
,
则
.
3．已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
．
33
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(1)求
；
(2)若角
的平分线
交
于点
，且
，求
面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知
，得
，
在
中，由正弦定理得
，即
．
再由余弦定理得
．
又
，所以
.
（2）因为
是角
的平分线，则
，
又
，
又
，所以
，得到
，
又因为
，得到
，解得
，即
，
当且仅当
时等号成立，所以
，
即
面积的最小值是
．
4．在
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，若
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
的平分线交
于点
，求线段
长度的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为
，
所以：
，
即
，
由正弦定理得
，即
，
由余弦定理得
，又
，所以
.
（2）解：由余弦定理得
，即
，
所以
，即
，
34
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当且仅当
时，即当
时，等号成立，
因为
，
所以
，解得
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以，线段
长度的最大值为
.
5．已知
中，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)若
的平分线与边
交于点
，求
的值；
(2)若
，点
分别在边
上，
的周长为5，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
.
【详解】（1）
可得
，
解得
，
设
，则
，
由余弦定理得
，
所以
.
因为
为
的平分线，所以
，
又
，则
.
35
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（2）因为
，由（1）得
，
设
，
由余弦定理得
，
所以
，
因为
，
所以
，当
时取等号，
所以
，
所以
，当
时取等号，
所以
的最小值为
.
6．如图，在平面四边形
中，
，
，
的平分线交
于点
，且
．
(1)求
及
；
(2)若
，求
周长的最大值．
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）在
中，由正弦定理得
，
又
，则
，
于是
，
∵
为角平分线，∴
，∴
，∴
，
在
中，根据余弦定理得
，
∴
．
（2）设
，
．在
中，
36
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由余弦定理得
，
即有
，即
，
∴
，当且仅当
时，“＝”成立．
∴
周长的最大值为
．
7．
中，角
的对边分别为
，
的平分
线交
边于
，过
作
，垂足为点
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求
的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，
由正弦定理可得：
，即
，
由余弦定理可得：
，
.
（2）
，
是
的角平分线，
，
，
在
中，
.
8．已知条件：①
；②
；③
.
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在
中，角A，B，C 所对的边分别为
37
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a，b，c，满足：____.
(1)求角C 的大小；
(2)若
，
与
的平分线交于点I，求
周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选择条件①，
，
在
中，由余弦定理得
，
整理得
，则
，
又
，所以
；
选择条件②，
，
于是
，
由正弦定理得
，
因为
，则
，即
，
因为
，因此
，即
，
又
，所以
；
选择条件③，
，则
，
所以
，则
，又
，
即有
，则
，所以
；
（2）由（1）知，
，有
，
而
与
的平分线交于点I，即有
，于是
，
38
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设
，则
，且
，
在
中，由正弦定理得
，
所以
，
，
所以
的周长为
，
由
，得
，
则当
，即
时，
的周长取得最大值
，
所以
周长的最大值为
.
三角形面积最值问题
：面积最值问题
技巧：正规方法：面积公式+基本不等式
①{
S=1
2 ab sinC
a2+b2−c2=2ab cosC
⇒a2+b2=2ab cosC+c2≥2ab ⇒ab ≤
c2
2(1−cosC )
②{
S=1
2 ac sin B
a2+c2−b2=2ac cos B
⇒a2+c2=2ac cos B+b2≥2ac ⇒ac≤
b2
2(1−cos B)
③{
S=1
2 bc sin A
b2+c2−a2=2bc cos A
⇒b2+c2=2bc cos A+a2≥2bc ⇒bc≤
a2
2(1−cos A)
秒杀方法：
在Δ ABC 中，已知B=θ ,AC =x
则：
S Δ ABC max=
(AB +BC )
2max
8
⋅sin B
39
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其中(AB +BC )max=2 R⋅√m2+n2+2mn cosθ m,n 分别是BA 、BC 的系数
2R=
x
sinθ
三角形面积公式
①
SΔABC =1
2 ab sinC ,SΔABC =1
2 ac sin B,SΔABC =1
2 bc sin A
②
SΔ ABC =1
2 r (a+b+c)=1
2 rl
其中r ,l 分别为Δ ABC 内切圆半径及Δ ABC 的周长
推导：将Δ ABC 分为三个分别以Δ ABC 的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积
法即可得到上述公式
③
SΔABC =2R2sin Asin BsinC=abc
4 R （R 为Δ ABC 外接圆的半径）
推导：将a=2 Rsin A 代入
SΔABC =1
2 a2sin BsinC
sin A
可得SΔABC =2 R2sin A sin BsinC
将a=2Rsin A ,b=2RsinB，c=2RsinC 代入SΔABC =2 R2sin A sin BsinC
可得
SΔABC =abc
4 R
④
SΔABC =1
2 a2sin BsinC
sin A
,SΔABC =1
2 b2sin AsinC
sin B
,SΔABC =1
2 c2sin Asin B
sinC
⑤海伦公式SΔ ABC =√p( p−a)( p−b)( p−c)（其中
p=1
2
(a+b+c)
）
推导：根据余弦定理的推论
cosC=a2+b2−c2
2ab
∴SΔABC =1
2 ab sinC=1
2 ab √1−cos2C=1
2 ab√
1−(
a2+b2−c2
2ab )
2
⇒1
4 √(2ab )2−(a2+b2−c2)
2= 1
4 √(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)
令
p=1
2
(a+b+c)
，整理得SΔ ABC =√p( p−a)( p−b)( p−c)
在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
，
，
，则
的面积为（ ）
解：第一步：观察角化边
40
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在
中，
，
由正弦定理，可得
，即
，
又由余弦定理可得
，可得
，
因为
，
，
由余弦定理，可得
，即
，
即
，解得
，
第二步：面积公式
所以三角形的面积为
.
在
，角
，
，
的边分别为
，
，
，且
，
，
，则
的内切圆的半径为（ ）
解：第一步：观察边化角
由
及正弦定理得
，
整理得
．
∵
，
∴
，
∴
，又
，
∴
，故
．∴
，
∴
．由余弦定理得
，
即
，解得
．
第二步：利用三角形面积公式（内切圆公式）
∴
．∵
，∴
．
41
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已知在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，
，
，
的面积等于
，则
外接圆的面积为（）
解：第一步：利用面积公式
SΔ ABC =1
2 bc sin A=abc
4 R ⇒R= a
√3
第二步：求a
在
中，
，
，
，
，解得
，
第三步：求圆的面积
故
，
外接圆的面积为
.
在Δ ABC 中，角A ,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知B=600
,AC =3 ，则Δ ABC 的面积最大值为
_____________
解：则：
S Δ ABC max= (AB +BC )
2max
8
⋅sin B= (AB +BC )
2max
8
⋅√3
2
其中(AB +BC )max=2 R⋅√m2+n2+2mn cosθ m,n 分别是BA 、BC 的系数
2 R=
3
sin600 =2√3
故(AB +BC )max=2√3⋅√12+12+2⋅1⋅1cos600=6
故：
SΔ ABC max=62
8 ⋅√3
2 =9√3
4
中，角
的对边分别为
，且
，
，则
面积的
最大值为（ ）
解：第一步：∵
，
由正弦定理得
，即
；
由余弦定理得
，结合
，得
；又
，
由余弦定理可得
，当且仅当
等号成立，
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第二步：∴
，即
面积的最大值为
．
1．
中角
所对的边分别为
，其面积为，且
.
(1)求
；
(2)已知
，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为三角形的面积为
，
则
，
所以
，又
，则
；
（2）由于
，所以
，
即
，
取等号，
故
，
故
2．如图，在四边形
中，
，
，且
的外接圆半径为4.
(1)若
，
，求
的面积；
(2)若
，求
的最大值.
【答案】(1)4；(2)
.
【详解】（1）因为
，
的外接圆半径为4，所以
，解得
.
43
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在
中，
，则
，解得
.
又
，所以
；
在
中，
，
，
，
所以
.
（2）设
，
.
又
，所以
.
因为
，所以
.
在
中，
，由正弦定理得
，
即
，解得
.
在
中，
，由正弦定理得
，
即
，解得
，
所以
.
又
，所以
，
当且仅当
，即
时，
取得最大值1，
所以
的最大值为
.
3．已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
．
(1)求
；
(2)若角
的平分线
交
于点
，且
，求
面积的取值范围．
44
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【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知
，
得
，
在
中，由正弦定理得
，
即
，
再由余弦定理得
，
又
，所以
；
（2）由
是角
的平分线，
则
，
所以
，
又
，
所以
，即
，
所以
，解得
，即
，
当且仅当
时等号成立，
所以
，
即
面积的取值范围是
.
4．在
中，内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
的周长为6，求
面积S 的最大值．
【答案】(1)
(2)
．
【详解】（1）由余弦定理，得
，即
则
，
45
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所以
又
，所以
．
（2）由题意，
，
根据余弦定理，得
，
则
，
所以
，
当且仅当
时取等号
所以
面积
，
故
面积S 的最大值为
．
5．已知
中内角
，
，
所对边分别为
，
，，
．
(1)求
；
(2)若
边上一点
，满足
且
，求
的面积最大值．
【答案】(1)
(2)
．
【详解】（1）由题意，
，
由正弦定理得
，
因
为三角形内角，
，
则
，即
，
，
，
，
故
，
，
（2）
，
已知
，
，由（1）知，
，
由题意得由
，（如图）
已知
，且由（1）知
，
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两边平方得，
则
，
解得，
.故
.
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以，
的最大值为
．
6．在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，满足
.
(1)求角
；
(2)若点D 在AB 上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
可得：
，
由余弦定理知，
，
又
，因此
.-
（2）∵
，即
，
∴
≥
∴ab≥
，当且仅当b=2a，即a=
，b=
取等号
∴
=
≥
∴△ABC 面积的最小值为
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7．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
，其中，
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，求△ABC 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）方法一：由
，
根据正弦定理边化角得：
，
即
，所以
，
因为
，所以
，又
，所以
，
又
，所以
；
方法二：由
，
根据余弦定理：得
，
即
，
因为
，所以
，
所以
，又
，得
；
（2）由（1）及余弦定理知
，所以
，
因为
，
所以
，化简得
，
因为
，
，所以
，
，
所以
，当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的面积
，
所以
面积的最大值为
.
8．已知
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
.
(1)求角
的大小；
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(2)若
，点
、
在边
上，
，求
面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，由余弦定理，得
，
化简整理得：
，
由余弦定理，得
，
因为
，所以
，即角
的大小为
.
（2）如图：
设
，
在
中，由正弦定理，得
，
由（1）和
可知，
，
，
所以
，在
中，同理可得
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以当
，即
时
面积取得最小值为
.
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