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大题 01 三角函数、三角恒等变换与解三角形
根据近几年的高考情况，三角函数、三角恒变换与解三角形是高考必考点。虽然九省联考中调整了试题顺
序，但今年高考仍有可能在解答中考查这部分内容。在高考中，主要考查正余弦定理解三角形及三角函数
与解三角形的综合问题，转化为三角函数的图象及其性质进行求解。还考察把实际应用问题转化为解三角
形的问题，体现数学与实际问题的结合.
题型一：三角恒等变换与三角函数
（2024·福建福州·统考模拟预测）已知函数 ， 是 的零点．
（1）求 的值；
（2）求函数 的值域．
此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。
1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：
（1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S )；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C )
2α 2α（2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，
2、再通过辅助角公式“化一”，化为
3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.
4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：
一般将 看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零
点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。
1.（2024·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）已知函数 .
（1）求函数 在区间 上的最大值和最小值；
（2）求方程 的根.
2.（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 的最小正周期为T．
若 ，且 的图象关于直线 对称.
（1）求函数 的单调增区间；
（2）求函数 在区间 上的最值.
题型二：正余弦定理解三角形的边与角
（2024·浙江·高三金华第一中学校考开学考试）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
， .
（1）若 ，求 的面积；（2）若 ，求 .
利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：
1、选定理.
（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；
（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；
（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；
（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；
（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；
2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之
间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.
3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），
并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。
1．（2024·山东日照·统考一模）在锐角 中，角A，B，C．所对的边分别为a，b，c．已知
且 ，
（1）求角B及边b的大小；
（2）求 的值．
2．（2024·江苏·高三统考期末）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）若 ， ，求 ；
（2）点D在边 上， ，若 ， ，求a．题型三：利用正弦定理求三角形外接圆
（2024·山西晋城·统考一模）在 中， ， ， ．
（1）求A的大小；
（2）求 外接圆的半径与内切圆的半径．
利用正弦定理： 可求解三角形外接圆的半径。
若要求三角形外接圆半径的范围，一般将 用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围。
1．（2023·全国·模拟预测）锐角 中，角 的对边分别为 ， ，其中
．
（1）求角 ；
（2）过点 作 ，且 四点共圆， ，求 的面积．
2．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知 中B为钝角，且 ．（1）证明： ；
（2）已知点 在边 上，且 ，求 外接圆面积的取值范围．
题型四：解三角形中边长或周长的最值范围
（2024·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）已知在锐角三角形 中，边 ， ， 对应角
，向量 ， ，且 与 垂直， ．
（1）求角 ；
（2）求 的取值范围．
利用正、余弦定理等知识求解三角形边长或周长最值范围问题，一般先运用正、余弦定理进行边角互化，
然后通过三角形中相关角的三角恒等变换，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调
性或基本不等来处理。
1．（2024·广东湛江·统考一模）已知在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
（1）求A；
（2）若 外接圆的直径为 ，求 的取值范围．2．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 周长的最大值．
题型五：解三角形中面积的最值范围
（2024·四川德阳·统考模拟预测）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ，
.
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，求 的面积范围.
1、常用三角形的面积公式：
（1） ；
（2） ；
（3） （ 为三角形内切圆半径）；
（4） ，即海伦公式，其中 为三角形的半周长。
2、求面积的最值范围，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形面积用所设变量表示出来，
再利用正余弦定理列出方程求解。注意函数思想的应用。1．（2024·陕西安康·高三统考开学考试）在 中，角 的对边分别是 ， ， ，且
.
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 面积的最大值.
2．（2024·河北石家庄·高三石家庄市第二十四中学校联考期末）设 的内角 的对边分别为
，且 .
（1）求角 ;
（2）若 ，求 面积的最大值.
题型六：三角形的角平分线、中线、垂线
（2024·广东·高三统考期末）已知 中，角 所对的边分别为 ， ， ， ，且
.
（1）求角 的大小；
（2）若 ，点 在边 上，且 平分 ，求 的长度.
1、解三角形角平分线的应用
如图，在∆ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所对的边分别问a，b，c（1）利用角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD
AB BD
（2）内角平分线定理：AD为∆ABC的内角∠BAC的平分线，则 = .
AC DC
说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，
就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。
1 A 1 A 1
（3）等面积法：因为S +S =S ，所以 c∙ADsin + b∙ADsin = bcsinA，
∆ABD ∆ACD ∆ABC 2 2 2 2 2
A
A 2bccos
所以(b+c)AD=2bc cos ，整理的： 2 （角平分线长公式）
2 AD=
b+c
2、解三角形中线的应用
（1）中线长定理：在∆ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2+AC2=2(BD2+AD2
)
【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中
1
（2）向量法：⃗AD2= (b2+c2+2bccosA)
4
BD
【点睛】适用于已知中线求面积（已知 的值也适用）.
CD
3、解三角形垂线的应用
1 1 1 1 1 1
h :h :h : : : :
（1） h 1 ，h 2 ，h 3分别为ABC边a，b，c上的高，则 1 2 3 a b c sinA sinB sinC
（2）求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
1．（2023·安徽·高三校联考期末）如图,在 中, 的平分线交 边于点 ,点 在 边上,
, , .
（1）求 的大小;（2）若 ,求 的面积.
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
.
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ，求 边上的中线长.
1．（2024·北京海淀·高三101中学校考开学考试）已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求函数 在区间 上的最值．
2．（2024·辽宁大连·高三统考期末）已知函数 ，其中 ，__________.
请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：
① 是 的一个零点；② .
（1）求 的值；（2）当 时，若曲线 与直线 恰有一个公共点，求 的取值范围.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
3．（2024·浙江宁波·高三统考期末）在 中，内角 所对的边分别为 ．已知
．
（1）求A的大小；
（2）若 ，求 的面积．
4．（2024·广东·高三校联考开学考试）在 中，角 的对边分别是 ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ， 是边 的中点，求 的长．
5．（2024·浙江绍兴·高三统考期末）已知锐角 的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且
.
（1）求角A；
（2）若 ，求 的周长的取值范围.
6．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路
之间划分两片三角形区域用来种植花卉（如图中阴影部分所示），已知
， 三点在同直线上， .（1）若 ，求 的长度；
（2）求 面积的最小值.
1．（2023·天津·统考高考真题）在 中，角 所对的边分别是 ．已知
．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
2．（2023·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 ，
为 中点，且 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 ．
3．（2004·全国·高考真题）已知锐角 中， ，
（1）求证： ；
（2）设 ，求AB边上的高.4．（2023·全国·统考高考真题）已知在 中， ．
（1）求 ；
（2）设 ，求 边上的高．
5．（2023·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 面积．
6．（2023·全国·统考高考真题）在 中，已知 ， ， .
（1）求 ；
（2）若D为BC上一点，且 ，求 的面积.
7．（2023·北京·统考高考真题）设函数 ．
（1）若 ，求 的值．
（2）已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选
择一个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
