文档文本内容
第04 讲 解三角形
目录
01 常考题型过关练
题型01 正弦定理解三角形
题型02 余弦定理解三角形
题型03 多边形解三角形（含一个确定三角形）
题型04 多边形解三角形（不含一个确定三角形）
题型05 解三角形的实际应用
题型06 边角互化
题型07 三角函数与解三角形的综合应用
题型08 最值问题（基本不等式法）
题型09 最值问题（三角函数法）
题型10 切弦互化求最值问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 正弦定理解三角形
1．在△
中，已知
，
，当
有两解时，
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由正弦定理可知，
，即
，
若
有两解，则
，且
，所以
，
所以
.
故答案为：
2．在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
，且
，则
.
【答案】2
【详解】在△ABC 中，由正弦定理
，得
，即
，
解得
，又
，则
，所以
，
所以
.
故答案为：2.
3．在
中，内角A，B，C 的对边分别为
，
，则
.
【答案】
【详解】在
中，由
，得
，又
，
则由正弦定理
，可得
，又
，
所以
，所以
为锐角，所以
.
故答案为：
4．在
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】在
中，由正弦定理可得
，
，
因为
，所以
，
，
所以
．
故选：C．
02 余弦定理解三角形
5．在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得
，
又
，所以
.
故选：A
6．已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．不确定
【答案】C
【详解】设三角形为
，且
，
由三角形的几何性质
，可得
，
由三角形是锐角三角形，
，所以只需要
为锐角，
则
，即
，解得
；
，即
，解得
，
综上可得，
，即
的取值范围为
.
故选：C.
7．设
的内角
的对边分别为
．
，
，则
的最大值为（ ）．
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【详解】由余弦定理
，代入
，
得
根据完全平方公式
，则
，将其代入上式可得：
因为基本不等式
（当且仅当
时取等号），所以
代入
设
，则
即
，两边同时乘以3 得到
因为
，所以
即
所以
的最大值为
故选：D
8．在
中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知
，
，
的角平分线交边
于点
D，且
，则
.
【答案】
/
【详解】法1：如图，由角平分线性质定理得
，即
，设
，则
，
由图可知
，所以
，即
，
解得：
，所以
，故
.
解法2：如图，由角平分线性质定理，
，即
，设
，则
，
由Stewart 公式，
，解得：
，所以
，
故
.
故答案为：
.
9．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为
，
，
，则此人（ ）
A．不能作出这样的三角形
B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形
D．能作出一个钝角三角形
【答案】D
【详解】设三条高的长度分别为
，
，
所对的
的三边分别为
，
由三角形的面积公式，可得
，
不妨设
，其中
，则
的最大角为角
，
由余弦定理，可得
，
又因为
，
所以能构成三角形，
因为
为三角形的内角，所以
，所以
为钝角三角形.
故选：D.
03 多边形解三角形（含一个确定三角形)
10．如图，在四边形中
，
．
，
， 则
．
【答案】3
【详解】在
中，
，
，
，
，
，
由正弦定理得
，得到
，所以
.
故答案为：
11．已知如图，在平面四边形ABCD 中，
，
，
，则平面四边形ABCD
的面积为 ．
【答案】
【详解】如图所示，连接
，
在
中，因为
且
，
由余弦定理可得
，所以
，
所以
，
在
中，因为
且
，可得
，
又因为
，所以
，所以
，
所以四边形
的面积为
.
故答案为：
.
12．如图，在平面四边形ABCD 中，
,
,
,
.
(1)求
；
(2)若
，求BC.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，所以
是锐角，则
，
.
在
中，由余弦定理得
，
.
又由正弦定理，可得
，即
，
因为
，所以
，则
，故
.
（2）在
中，由余弦定理得
，
则
，
.
在
中，由余弦定理得
，解得
.
13．（ 2025·河北·一模）如图，在平面四边形
中，
为线段
的中点，
.
(1)若
，求
的面积；
(2)若
，求
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）过点
作
，垂足为
.
由
，得
，
在四边形
中，由
，得
，
所以四边形
是平行四边形，
∴
，
，
所以
的面积为
.
（2）连接
.
在
中，因为
，
所以
,
在
中，由
,得
.
所以
为等边三角形，
在
中，由余弦定理知
14．如图，在平面四边形
中，
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
，求
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在
中，由正弦定理得
，
则
，解得
.
又由题设知
，
所以
；
（2）
，
，
由
，得
，
解得
.
由余弦定理得
，
又
，所以
.
04 多边形解三角形（不含一个确定三角形)
15．如图，在圆的内接四边形
中，
，
的面积为
，
的面积为
，
则四边形
的周长为 ．
【答案】16
【详解】由题意，
在圆的内接四边形
中，
，
的面积为
，
的面积为
，
由几何知识得，
，即
,
由正弦定理得，
，
，
解得：
，
，
由余弦定理得，
，即
，
，即
，
∵
，
，
∴
，
，
由几何知识得，四边形的四边均为正数，
∴
，
，
设四边形
的周长为
，
，
故答案为：16.
16．在平面四边形
中，
，
.
(1)求
长度；
(2)求
.
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）由
，
，
所以
，又
，所以
，所以
为等边三角形，
所以
，即
的长度为.
（2）设
，
在
中，由余弦定理知，
，
即
，所以
，
由
，解得
或
（舍去），
所以
，即
为等腰直角三角形且
，所以
，
在
中，由余弦定理知
，
，所以
，
17．如图，四边形
中，
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
，
，则
，
由余弦定理可得
，
所以
，解得
．
故选：B．
18．已知四边形
中，
，则四边形
的面积
为 .
【答案】
【详解】
由
可得：
，
即
，再代入余弦定理可得：
，解得：
，
所以
，因为
是四边形内角，所以
，
则由
可得：
，
所以四边形面积为：
，
故答案为：
.
19．如图，已知在平面四边形
中，
．
(1)设
，若
，求
；
(2)若
平分
，求
的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：在
中，因为
，
由余弦定理得
，
可得
，
在
中，因为
，可得
，
因为
，所以
．
（2）解：因为
平分
，可得
，
由余弦定理，可得
，解得
，
所以
.
05 解三角形的实际应用
20．解放阁是山东省的“国防教育基地”．如图，为测量解放阁的高度
，某人取了一条水平基线
，
使
在同一条直线上．在
两点用测角仪器测得
的仰角分别是
，并测得
米，则
约为（ ）（参考数据：
）
A．30 米
B．35 米
C．45 米
D．70 米
【答案】B
【详解】由题意可得在
中，
，
在
中，
，则由正弦定理可得
，
即
，解得
千米，故B 正确.
故选：B.
21．三角高程测量法是一种常用的测量方法.如图，
，
，
三点在水平地面上的投影
，
，
满足
，
.
到地面的距离为
，
到地面的距离为
，在
测得
的仰角为
，在
测得
的仰角为
，则
到地面的距离约为（ ）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
如图所示，过点
作
于点
，过点
作
于点
，
则
，
，
.
由题易知
，
，
为等腰直角三角形，
所以
，即
，所以
.
在
中，
，
，
所以
，
所以由正弦定理得
，即
，
解得
，所以
.
在等腰直角
中，
，
所以
.
故选：C.
22．某海域的东西方向上分别有
两个观测点（如图），它们相距
海里.现有一艘轮船在
点
发出求救信号，经探测得知
点位于
点北偏东
，
点北偏西
，这时，位于
点南偏西
且与
点相距
海里的
点有一救援船，其航行速速为
海里/小时.
(1)求
点到
点的距离
；
(2)若命令
处的救援船立即前往
点营救，求该救援船到达
点需要的时间.
【答案】(1)
(2)2 小时
【详解】（1）由题意知
海里，
，
，
在
中，由正弦定理得
，
，
（海里）.
（2）在
中，
，
（海里），由余弦定理得
，
（海里），则需要的时间
（小时）．
答：救援船到达
点需要2 小时．
23．为丰富学生课余活动，体育组陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在
处，让甲同学站在
处北偏
东
方向，距离
处
km 的
处，并让站在
处北偏西75°的方向，距离
处 2 km 的
处的乙同
学以
km/h 的速度去追甲同学．此时，甲同学正以10 km/h 的速度从
处向北偏东30°方向奔跑，问乙
同学沿什么方向能最快追上甲同学？
【答案】沿北偏东60°方向能最快追上.
【详解】如图，设乙同学需要用时
在
处追上甲同学，则
，
，
在△ABC 中，
，
，
，
由余弦定理，得
，
，由正弦定理可得
，
，则
与正北方向成90°角．
在
中，
,由正弦定理，
得
，
,即乙同学沿北偏东60°方向能最快追上甲同学．
24．某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图
所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形
区域中，将三角形
区域设立成花卉观赏区，三角形
区域设立成烧烤区，边
修建观赏步道，边
修建隔离防护栏，其中
米，
米，
．
(1)若
米，求角
的余弦值；
(2)如果烧烤区是一个占地面积为9600 平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1
米）？
(3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形
区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉
观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
【答案】(1)
(2)
米
(3)
米，
米，
【详解】（1）由余弦定理得，
．
（2）
，解得
，
又
为钝角，所以
，
由余弦定理得，
米．
（3）
，当且仅当
时等号成立，
此时，
，
设
，
在
中，由正弦定理得，
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，
此时
，
，
所以应设计
米，
米，
．
06 边角互化
25．在
中，内角
的对边分别为
，已知
，且
，若
，
则
的面积为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【详解】由
及正弦定理，
可得
，
因
，所以
，
又
，则有
，
若
，则有
，则
，
所以
.
选选：B.
26．已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，可得
，
所以
，
所以
，
所以
，因为
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
，所以
.
故选：B.
27．（ 2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
，
，则
.
【答案】
或2
【详解】由余弦定理有
，所以
，
解得
或2.
故答案为：
或2.
28．
的内角
，
，
所对的边分别是
，
，，已知
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
的内角
，
，
所对的边分别是
，
，，已知
，
则
，整理得
．
由余弦定理得
，当且仅当
时取等号，
所以
，又
，故
，即
的取值范围是
.
故选：A
29．在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
.
(1)求
；
(2)若
，且
，求
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
且
，
则
，可得
，
又因为
，则
，可得
，
且
，所以
.
（2）因为
，
，
由正弦定理
，可得
，
，
则
，即
，
由余弦定理
，
即
，解得
，
所以
.
07 三角函数与解三角形的综合应用
30．已知函数
，
.
(1)求函数
的最小正周期与单调增区间；
(2)设
中，角
，
，
的对边长分别为
，
，，若
，
，
的面积为
，
求
的值.
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）由题意得
，
由正弦函数最小正周期公式得最小正周期
；
由
，解得
，
得函数的增区间为
.
（2）由
得，
，则
，
因为
，所以
，
可得
，故
，
由三角形面积公式得
，解得
，记为①式，
由余弦定理得
，记为②式，
联立①②解得
或
，故
.
31．已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期和单调递增区间；
(2)在
中，内角
所对的边分别为
，且
，求
外接圆的面积．
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）由题意得，
，
∴函数
的最小正周期
，
由
得
，
∴
的单调递增区间为
．
（2）由
得
，故
，
∵
，∴
，
∴
，解得
.
设
外接圆的半径为，由正弦定理得
，故
，
所以
外接圆的面积为
．
32．已知函数
.
(1)若
，求函数在区间
上的最大值和最小值；
(2)若
，且在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
，
，
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当
时,
,
当
时,
,则
,
故
,
因此
（2）当
时,
,
故
,即
,
由于
,故
,
所以
,即
,
由余弦定理可得
,解得
(负值舍去),
故
33．已知函数
.
(1)求函数
的最小正周期和单调递减区间；
(2)在
中，角
的对边分别为
，若
.
①求
的值；
②求
.
【答案】(1)
，
(2)①
；②2
【详解】（1）
.
最小正周期为
，
，
，
所求函数的单调递减区间为
.
（2）①由（1）知
，
又
，
又
.
，
.
②由（1）得
，
.
34．已知向量
，
，函数
．
(1)求函数
在
上的最值，并求此时
的值；
(2)将函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），再将所得图象向左平移
个单位
长度并向下平移
个单位长度，得到函数
的图象．若在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，
，
，
，求
的面积．
【答案】(1)最大值为
，此时
；最小值为
，此时
；
(2)
.
【详解】（1）解：因为
，
当
时，
，
所以当
，即
时，
取最小值，为
；
当
，即
时，
取最大值，为
；
所以
在
上的最大值为
，此时
；最小值为
，此时
；
（2）解：将函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），
得
，
再将
的图象向左平移
个单位长度并向下平移
个单位长度，
得
，
所以
，
又因为
，所以
，
又因为
，所以
，所以
，
又因为
，
，
由余弦定义可得：
，
所以
，
解得
，
所以
.
08 最值问题（基本不等式法）
35．在
中，内角
，
，
所对应的边分别为
，
，．若
且
，则
的面
积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】在
中，
又∵
，∴
故
，
∵
,∴
,
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的面积的最大值为
．
故选：B.
36．
中，点
在边BC 上，
，
，
，则
面积的最小值是
.
【答案】
【详解】
，
，
，
，
，
整理得
，
所以
，解得
，当且仅当
时等号成立，
所以
．
故
面积的最小值为
，
故答案为：
37．在
中，
，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件①：
；条件②：
．
(1)若
，求
的面积；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选条件①：由正弦定理，得
．
因为
，所以
，
所以
，得
．
因为
，所以
．
在
中，当
时，
由余弦定理
，
得
，即
，所以
，
所以
．
选条件②：因为
，整理得
．
由余弦定理，得
．
因为
，所以
．
在
中，当
时，
由余弦定理
，
得
，即
，所以
，
所以
．
（2）解法一：由题设及（1）可知
．
由余弦定理，得
，
化简得
．又
，
所以
，
解得
，
当且仅当
时等号成立，
由三角形的三边关系可知
，
所以
，即
的取值范围为
．
解法二：由题设及（1）可知
．
由正弦定理，得
，
所以
，
得
，
因为
，则
，
所以
，
故
，
所以
，即
的取值范围为
．
38．在
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，
，
．
(1)求角A 和边a；
(2)若点
是边
上的中点，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
和正弦定理可得，
，
化简得
，
因
，则
，则
，即
，
因
，故
，
又由
且
，
可得
．
（2）因为点
是边
上的中点，所以
，
平方得
，
又由余弦定理
得
，
则
，即
，当且仅当
时等号成立，
所以
.
39．记
的内角
所对的边分别为
，若
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的周长；
(3)求
边上的中线
长度的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：因为
，由正弦定理得
，
又由余弦定理，可得
，
因为
，所以
.
（2）解：因为
，由正弦定理得
，
因为
，所以
，所以
，
又因为
，所以
，则
，
由
，可得
，所以
，
所以
的周长为
.
（3）解：因为
，由余弦定理得
，即
，
又因为
，当且仅当
时等号成立，所以
，所以
，
因为
为
边上的中线，可得
，
所以
，
所以
，则
，
所以
边上的中线
长度的最小值为
.
09 最值问题（三角函数法）
40．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
，
的平分线交
边于D，
，则
的最小值为（ ）．
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【详解】由余弦定理得
，则
，
由
，则
，
因为
的平分线交
边于D，
所以
，则
，
所以
，则
，
，
所以
，
，
则
，当且仅当
，即
时等号成立，
即
的最小值为
.
故选：D.
41．在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，
，则
的取
值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意
，
，
可得
，
由于
，
可得
，
由题意利用正弦定理可得
，
可得
，
，
可得
，
由于
，可得
，可得
，
可得
，
所以
的取值范围为
．
故答案为：
．
42．已知
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求B 的大小；
(2)若点M 在线段
上，
，
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理，得
，
则
，
整理得
，
而
，则
，两边平方得
，
又
，所以
，
，于是
，解得
，所以
．
（2）由（1）知
，由
，则
，
由
，
，则
，
则
，即
，
因此
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
．
43．在
中，内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
．
(2)若
，求
的值．
(3)求
的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）
，
，
，
，
整理得
．
，
，
，
，
或
，
或
（舍去）．
，得证；
（2）
，
，
又
，
．
又
，
，
即
,
，
，
，
，
，
；
（3）
，
．
又
，
，
，
，
，
当且仅当
时，等号成立，解得
，满足条件，
故
的最小值为
．
44．在锐角
中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求B 的值；
(2)若b=2，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，由正弦定理得
，
即
，由余弦定理得
，
因为
，所以
．
（2）在锐角
中，
，记
的面积为．
由正弦定理得
，即
．
所以
．
因为在锐角
中，
，所以
，
，
解得
，则
，所以
，
所以
，所以面积的
．
45．在△
中，内角
的对边分别
为，已知
．
(1)求
；
(2)若△
为锐角三角形，记其面积为，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
的取值范围为
．
【详解】（1）由已知得
，
，
，
，
由正弦定理，得
，
由余弦定理，得
，
又
，
．
（2）法一：由（1）及已知，得
，
，
，
令
，则
．
△
为锐角三角形，
，解得
，
在
上单调递增，
，
，
，即
．
在
上单调递减，在
上单调递增，
，即
，
，
的取值范围为
．
解法二：由（1）及已知，得
，
，
，
，
△
为锐角三角形，
，解得
，
，
即
，
，
，
的取值范围为
．
10 切弦互化求最值问题
46．在
中，内角
、
、
所对的边分别为
、
、，若
，则
的最大值为
.
【答案】
/
【详解】因为
，由正弦定理得
，
即
，
即
，
两边同时除以
，得
，
即
，
令
，则
，
故当
时，即当
时，
取最大值为
.
故答案为：
.
47．记锐角
内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)证明：
；
(2)求
的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)1.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理，得
，
则
，
而
，则
，于是
，
整理得
，因此
，
所以
.
（2）在锐角
中，由（1）知，
，则
，
而
，则
，当且仅当
时取等号，
因此
，
，所以
的最大值为1.
48．已知
分别为
的内角
的对边，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得
，
即
，
，
则
.
因为
，所以
.
，
则
．
（2）由（1）可知，
，即
，
由
可得
，
即
，所以
为锐角三角形.
由均值不等式可知
，即
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
故
的最小值为
．
1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比
“赵爽弦图”，用3 个全等的小三角形拼成了如图所示的等边
，若
，
．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
知
，
所以
为正三角形，
∵
，
设
，则
由正弦定理：
，即
，则
在
中，
即
，则
，即
．
故选：A.
2．（ 2025·浙江绍兴·二模）
在等腰直角三角形ABC 中，
．P 为其内部一点，满足
，
，则
的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由已知，设
，则
，
，
，
，
在
中，由正弦定理得
，
在
中，由正弦定理得
，
又
，
所以
，
即
，
即
，
所以
.
故选：A.
3．
（多选）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在
中，
，BC 边上的高等于
，以
的各边为直径向
外分别作三个半圆，记三个半
圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则（ ）
A．
B．
面积的最大值为
C．当
时，
D．d 的取值范围是
【答案】ABD
【详解】设A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
由已知
，
，得
，
又由余弦定理可知
，
即
，故A 正确；
的面积为
，
又
，即
，当且仅当
时取等，
故
的面积
，故B 正确；
设
边上的中点分别为
，在
上取一点M，在
上取一点
，
由两点间线段最短可得
，
当且仅当
四点共线时取等，所以
，
当
时，
，
，得
，
故
为以B 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴
，故C 错误；
由A 知
，
，
则
（当且仅当
时等号成立），
又因
，则
，
则
，故D 正确.
故选：ABD
4．已知锐角
的内角
的对边分别为
，若
，则
的取值范围为 .
【答案】
【详解】在锐角
中，由
，有
，
法一：有余弦定理知，
，所以
，
所以
，
由正弦定理得
，
又
，所以
，所以
，
所以
的取值范围为
.
法二：由正弦定理知，
，
又
，从而
，故
，所以
的取值范围为
.
故答案为：
.
5．如图，已知某三角形场地
是直角三角形，且
，
，
，现要在此场
地中修建一正三角形形状（如图
）的人工湖，该正三角形的顶点位于场地的边界线上，则
的面积最小值为
.
【答案】
/
【详解】设
，则
，
由正弦定理得
，且
，
由
知：
，则
，
则
的面积最小值为
.
故答案为：
6．已知
为等腰三角形，点D 为腰AC 上靠近顶点A 的三等分点，BD 长为2，则该三角形面积的最
大值为 ．
【答案】
/
/
【详解】设
，则
，
在
中利用余弦定理得，
，
在
中利用余弦定理得，
，
因
，
则
，
则
，
因等腰
底边
上的高为
，
则
，
故当
，即
，
时，
取最大值
.
故答案为：
7．（ 2025·广东惠州·模拟预测）
在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
恰好满足下面四个条件中的三个：①
，②
，③
，④
(1)问
满足的是哪三个条件?请列举出来，并说明理由；
(2)求.
【答案】(1)①③④，理由见解析
(2)2
【详解】（1）
满足的条件是①③④；
若
，
，则
，
若
，
，则
，
由
，所以条件①和②不可能同时满足，
故③和④都满足，由
，所以
，
所以B 为锐角，应有
，从而条件②不能满足，
故
满足的条件是①③④.
（2）法一：由（1）可得
，
，
，
由余弦定理
，
所以
，化简得
解得：
或
（舍去），故
.
法二：因为
，所以
，
又
，故
.
由正弦定理
，得
，
因为B 为锐角，得：
，故
.
由勾股定理，得
，
因为
，故
.
8．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
为BC 上一点，AD 为
的平分线，求AD.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意
，
则由正弦定理得
，
即
，
即
，
化简得
，
因为
，所以
，
∴
，由于
，
则
；
（2）根据题意，
的面积为
即
，
则
，
又根据余弦定理，
，则
，
所以
，即
，
又由
的面积
，
所以
.
1．（2023·北京·高考真题）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
所以由正弦定理得
，即
，
则
，故
，
又
，所以
.
故选：B.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）在
中，
，
的角平分线交BC 于
D，则
．
【答案】
【详解】
如图所示：记
，
方法一：由余弦定理可得，
，
因为
，解得：
，
由
可得，
，
解得：
．
故答案为：
．
方法二：由余弦定理可得，
，因为
，解得：
，
由正弦定理可得，
，解得：
，
，
因为
，所以
，
，
又
，所以
，即
．
故答案为：
．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义
结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
3．（2024·天津·高考真题）在
中，角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设
，
，则根据余弦定理得
，
即
，解得
（负舍）；
则
.
（2）法一：因为
为三角形内角，所以
，
再根据正弦定理得
，即
，解得
，
法二：由余弦定理得
，
因为
，则
（3）法一：因为
，且
，所以
，
由（2）法一知
，
因为
，则
，所以
，
则
，
.
法二：
，
则
，
因为
为三角形内角，所以
，
所以
4．（2025·北京·高考真题）在
中，
．
(1)求c 的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求BC 边上的高．
条件①：
；条件②：
；条件③：
的面积为
．
【答案】(1)6
(2)答案见解析
【详解】（1）因为
，所以
，
由正弦定理有
，解得
；
（2）如图所示，若
存在，则设其
边上的高为
，
若选①，
，因为
，所以
，因为
，这表明此时三角形
有两个钝角，
而这是不可能的，所以此时三角形
不存在，故
边上的高也不存在；
若选②，
，由
有
，由正弦定理得
,所以
，
所以由余弦定理得
,
此时三角形
是存在的，且唯一确定，
所以
,即
，
所以
边上的高
；
若选③，
的面积是
，则
，
解得
，由余弦定理可得
可以唯一确定，
进一步由余弦定理可得
也可以唯一确定，即
可以唯一确定，
这表明此时三角形
是存在的，且
边上的高满足：
，即
.
5．（2024·北京·高考真题）在
中，内角
的对边分别为
，
为钝角，
，
．
(1)求
；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
的面积．
条件①：
；条件②：
；条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】(1)
；
(2)选择①无解；选择②和③△ABC 面积均为
.
【详解】（1）由题意得
，因为
为钝角，
则
，则
，则
，解得
，
因为
为钝角，则
.
（2）选择①
，则
，因为
，则
为锐角，则
，
此时
，不合题意，舍弃；
选择②
，因为
为三角形内角，则
，
则代入
得
，解得
，
,
则
.
选择③
，则有
，解得
，
则由正弦定理得
，即
，解得
，
因为
为三角形内角，则
，
则
，
则
6．（2023·天津·高考真题）在
中，角
所对的边分别是
．已知
．
(1)求
的值；
(2)求的值；
(3)求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由正弦定理可得，
，即
，解得：
；
（2）由余弦定理可得，
，即
，
解得：
或
（舍去）．
（3）由正弦定理可得，
，即
，解得：
，而
，
所以
都为锐角，因此
，
，
．
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）
，
，即
，
又
，
，
，
，
即
，所以
，
.
（2）由（1）知，
，
由
，
由正弦定理，
，可得
，
，
.
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积为
，
为
中点，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【详解】（1）方法1：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，
，由余弦定理得
，
即
，解得
，则
，
，
所以
.
方法2：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
，有
，则
，
，过
作
于
，于是
，
，
所以
.
（2）方法1：在
与
中，由余弦定理得
，
整理得
，而
，则
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
.
方法2：在
中，因为
为
中点，则
，又
，
于是
，即
，解得
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
.
