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专题04 解三角形常考题型全归纳
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题型01 正余弦定理解三角形......................................................................................................................................1
题型02 面积、周长、边的最值与范围问题.............................................................................................................8
题型03 有关中线、角平分线、垂线问题...............................................................................................................15
题型04 解三角形结合三角函数................................................................................................................................24
题型05 几何图形中解三角形....................................................................................................................................33
题型01 正余弦定理解三角形
【解题规律·提分快招】
一、正、余弦定理和面积公式
1、正余弦定理：在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
.
常见变形
(1)
，
，
；
(2)
，
，
；
；
；
.
2、面积公式：
（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
二、公式的相关应用
1
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（1）正弦定理的应用
** 错误的表达式 **边化角，角化边
** 错误的表达式 **大边对大角 大角对大边
** 错误的表达式 **合分比：
（2）
内角和定理：
** 错误的表达式 **
** 错误的表达式 **
；
** 错误的表达式 **在
中，内角
成等差数列
.
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25 高三下·云南昭通·开学考试）在
中，角
的对边分别为边
，若
.
(1)求角
；
(2)若
，求
的面积.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用辅助角公式求出
.
（2）利用正弦定理边化角，利用二倍角公式求出
，进而利用正弦定理求出
，再求出三角形面积.
【详解】（1）由
得
，则
，
由
，得
，则
或
所以
或
.
（2）由
，得
，
，
在
中，由
及正弦定理，得
，
2
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而
，则
，于是
，
又
，则
，解得
，即
，则
，
由
，得
，
所以
的面积
.
2．（2025·山东日照·一模）在
中，角
的对边分别为
，且
．
(1)求角
；
(2)若
为边
上一点，且
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
，利用正弦定理和倍角公式化简，结合同角三角函数的商数关系或辅
助角公式，求得
或
，可求角
；
（2）由已知可得
为等边三角形，则
，
中由余弦定理求得
的值．
【详解】（1）依题意，
，由正弦定理可得
，
因为
，所以
，所以
，
法一：即
，
因为
，所以
，
所以
，所以：
，
所以
，即
．
法二：即
，
所以
，即
，
3
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因为
，所以
，
所以
，即
．
（2）因为
，又因为
，
所以
为等边三角形，
则
，
由余弦定理得
，
所以
，解得
或
（舍去），故
．
3．（24-25 高三下·江苏宿迁·开学考试）记
的角
的对边分别为
，已知
.
(1)求A；
(2)若点D 是BC 边上一点， 且
， 求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
，结合两角和差公式运算求解即可；
（2）设
，利用正弦定理可得
，结合题中关系列式求解即可.
【详解】（1）因为
，
则
，
可得
，
且
，则
，可得
，即
，
又因为
，所以
.
（2）因为
，由（1）可知：
，
设
，则
.
4
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在Rt
中，可得
，即
，
在
中，由正弦定理得
，
可得
，
又因为
，即
，
可得
，解得
，
所以
的值为
.
4．（24-25 高三下·福建泉州·阶段练习）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，且
．
(1)求
的值；
(2)若
，
，求
的面积．
【答案】(1)3
(2)6
【分析】（1）由正弦定理，及
，得
，转化为
，得
.
（2）由
及（1）得
，从而可得
，求出a，计算三角形面积即可.
【详解】（1）由
，得
，
因为
，所以
,
则有：
移项可得：
因为
，
所以
.
（2）因为
，所以
，
由（1）知
，且
，
5
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则：
，即
，
整理得
，即
，
解得
或
因为
，
，则角
是锐角．
由
知，
，C 为锐角，则
，
所以
，则
，那么
，
根据
以及
，可得：
由正弦定理
以及已知
可得：
，
的面积
.
5．（2025·山西·一模）在
中，
，
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
，
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算，利用向量的模长公式即可求解，
（2）根据正弦定理可得①式和②式，即可作商求解..
【详解】（1）∵
，∴
，
∴
，
即
，∴
．
又
，∴
，∴
．
（2）在
中，
①，
6
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在
中，
②，
÷
①②得
又
，
，∴
，
所以
6．（2025·陕西榆林·二模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，.已知
.
(1)求角
的大小；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法1，将已知等式中的角利用正弦定理和余弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求
出角
；解法2，利用三角函数恒等变换公式化简可求出角
；
（2）由（1）得
，
，则
，化简后利用正切函数的性质可求得结果.
【详解】（1）解法1：在
中，由
及正弦定理得，
，
再由余弦定理，得
，则
，
又因为
，所以
，
因为
，所以
.
解法2：因为
，
，
所以
，
所以
，
7
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所以
，
因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
.
（2）因为
，所以
，
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
.
题型02 面积、周长、边的最值与范围问题
【解题规律·提分快招】
一、三角形面积和周长的最值、范围问题
（1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化
周长
（2）面积公式：
（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
（3）求周长的模型：
（4）基本不等式
①
②
ab≤( a+b
2
)2
(当且仅当
时取“=”号)
（5）利用三角恒等变换转化为内角
有关的三角函数。
①和差角公式：
，
②辅助角公式：asinα+bcosα=√a2+b2sin(α+ϕ)
8
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（其中
sinϕ=
b
√a2+b2 ，cosϕ=
a
√a2+b2 ，tanϕ=b
a ）．
二、解题思路步骤
①利用基本不等式：
，再利用
及
，求出
的取值范围或者利用
②利用三角函数思想：
，结合辅助角公式及三角函
数求最值
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）在锐角
中，角A，
，
的对边分别为a，b，
c，S 为
的面积，且
.
(1)求
的值；
(2)已知
，求
的面积的最大值.
【答案】(1)2
(2)2
【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理可得
，即可得结果；
（2）根据同角关系求
，利用余弦定理结合面积公式可得
，即可面积最大值.
【详解】（1）因为
，且
，
可得
，
即
，所以
.
（2）因为
，
又因为
，即
，
整理可得
，解得
或
，
又因为
，则
，
，
由余弦定理可得：
，即
，
整理可得
，
又因为
，即
，
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当且仅当
时，等号成立，
且此时为
为锐角三角形，符合题意，
所以
的面积的最大值为
.
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一，利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简求解；法二，由余弦定理化简条件
式，再利用余弦定理求出
；
（2）法一，将条件
利用正弦定理化简求得
的外接圆半径
，结合（1）可求得
，再利用余弦定理和基本不等式求得
，得解；法二，同法一求出外接圆半径
，由正弦定理
可得
，化简得关于角
的三角函数求最值.
【详解】（1）解法一，由正弦定理得
，
又
，
所以
，即
.
因为
，所以
，
所以
.
解法二，由余弦定理得
，
整理得
，
所以
.
（2）解法一，设
的外接圆半径为
，
由
及正弦定理得
，
所以
.
由（1）知
，所以
，
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所以
.
由余弦定理得
，即
，
所以
，
所以
，当且仅当
时取等号.
所以
周长的最大值为
.
解法二，设
的外接圆半径为
，
由
及正弦定理得
，
所以
.
由（1）知
，所以
.
所以
，
其中
为第一象限角，且
，
所以当
时，
取得最大值
，
故
周长的最大值为
.
3．（24-25 高三下·全国·开学考试）在锐角三角形
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求
的周长l 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由降幂公式结合特殊角的三角函数值可得；
（2）由正弦定理边化角得到周长的表达式，再两角差的正弦展开式和辅助角公式结合正弦函数的取值范
围求解即可；
【详解】（1）因为
，所以
，
解得
或
（舍去），
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又
，所以
.
（2）由正弦定理得
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
的周长
，
即
，
又
，所以
，解得
，所以
，
所以
，
所以
，即
的周长l 的取值范围为
.
4．（24-25 高三上·四川宜宾·阶段练习）在锐角
中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c，且满足
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积定义可得
，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换可得
，结合角C 的范围即可得
以及面积的取值范
围.
【详解】（1）因为
，则
，
整理可得
，
利用正弦定理可得
，
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又因为
，则
，可得
，即
，
且
，所以
.
（2）由正弦定理
，
可得
，
由题意可知：
，解得
，
则
，可得
，即
，
又因为
面积
，
所以
面积的取值范围为
.
5．（24-25 高三上·安徽合肥·阶段练习）
的内角
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)若
，
，求
的面积；
(2)若角
为钝角，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得
，利用余弦定理可得
，即可得面积；
（2）利用正弦定理以及三角恒等变换可得
，结合角B 的范围运算求解.
【详解】（1）因为
，由余弦定理可得
，
由正弦定理得
，
又因为
，
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则有
，
因
，
，则
，
且
，故
．
由余弦定理，
，代入得，
，
因
，则有
，即得
，
故
的面积
．
（2）由正弦定理，
可得
，且
，
代入化简得：
．
因
为钝角，故由
，可得
，
则
，
，即
，
故
的取值范围是
6．（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）在三角形
中，内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，且
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再利用诱导公式即正弦的和角公式求解；
（2）把
转化为
的函数，利用余弦定理及三角函数单调性分析
的范围 ，最后再利用二次函
数的单调性求范围.
【详解】（1）根据正弦定理可知：
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，
因为
，所以
，所以
.
（2）由余弦定理可知：
，因为
，所以
，
，
，
因为
，所以
，
，
由正弦定理得：
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
时，
取得最小值
，
并且
，
所以
的范围是
.
题型03 有关中线、角平分线、垂线问题
【解题规律·提分快招】
一、中线问题
如图，△ABC 中，AD 为BC 的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD 长.
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D
A
B
C
② 向量法：
,平方即可；
③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
注：若或将条件“AD 为BC 的中线”换为“
”则可以考虑方法②或方法③.
二、角平分线问题
ABC
△
中，AD 平分∠BAC.
①
角平分线定理：
证法1（等面积法）
，得
注：
为A 到BC 的距离，
为D 到AB,AC 的距离.
证法2（正弦定理）
如图，
，
,而
，整理得
2
1
4
3
D
A
B
C
②等面积法
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D
A
B
C
三、垂线问题
①等面积法：
②
③
D
C
B
A
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·广东惠州·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，
，，且
，
.
(1)若
边上的高
，求证：
为等边三角形；
(2)已知直线
为
的平分线，且与
交于点
，若
，求
的周长.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）利用余弦定理并结合三角形面积公式计算可得
，可得结论；
（2）根据角平分线以及角度大小利用等面积法解方程可得
，可得其周长.
【详解】（1）证明：在
中，
，
，
由余弦定理得
，即
①.
又
，
即
，故
②.
由①②得
，即
，
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故
.
所以
为等边三角形.
（2）在
中，由
，
得
，
又直线
为
的平分线，
则
，
所以
，即
③，
又由余弦定理可得
，即
.④，
由③④可知
，
解得
或
（舍），
所以
的周长为
.
2．（2024·吉林长春·一模）在
中，内角A，B，C 的对边分别是
的面积记为，已知
.
(1)求
；
(2)若BC 边上的中线长为1，AD 为角
的平分线，求CD 的长.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据三角形面积公式、正弦边角关系化简题设条件可得
，即可求角的大小；
（2）
是
的中线，利用向量数量积的运算律及已知可得
，应用等面积法求得
，再
应用余弦定理求CD 的长.
【详解】（1）由题设
，
而
，所以
，
，
所以
.
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（2）如下示意图，
是
的中线，则
，
所以
，
由
，则
，
又
，则
，
即
，则
，
所以
.
3．（24-25 高三上·浙江·期中）在
中，角
的对边分别为
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，角
的平分线交
于点
，求线段
的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得
，由辅助角公式可得
，结合三
角函数的性质即可求解
（2）根据余弦定理可得
，利用角平分线定理，结合向量的线性运算以及模长公式求解.
【详解】（1）由
，
由正弦定理可得
,
又
，所以
，
所以
，可得
，
又
，所以
，所以
，
19
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可得
，
（2）在
中，
，
由余弦定理得
，
解得
（舍），或
，
由
，得
，
即
，
故线段BD 的长为
.
4．（23-24 高三下·福建·开学考试）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)过点A 作
的垂线与
的延长线交于点D，
，
的面积为
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题利用正弦定理将条件式角化边，再结合二倍角公式求出
得解；
（2）根据题意得
，结合
的面积为
，可求得
，又由
，求得
，在
中，由余弦定理求得
,得解.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
．两边除以
，
得
，
由二倍角公式，有
，
整理为
，
上式因式分解为
，
解得
或
（舍去），
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又由
，可得
；
（2）由
．有
，
又由
，可得
，有
，可得
，
又由
的面积为
及
，有
，
代入
，可得
，
，
又由
，有
，代入
，可得
，
在
中，由余弦定理，有
，
有
的周长为
．
5．（23-24 高三下·浙江金华·开学考试）已知半圆O 的直径
，点C 为圆弧上一点(异于点A，B)，过
点C 作
的垂线，垂足为D.
(1)若
，求
的面积；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接
，利用余弦的定义求解即可；
（2）设
，在
中利用三角函数的定义及三角恒等变换求解即可.
【详解】（1）如图，连接
，
在
中，
，
，
，则
，
21
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在
中，
，
所以
.
（2）设
，易知
，
在
中，
①，
因为
，所以
，则
，
代入①式可得
的取值范围为
.
6．（24-25 高三上·江苏盐城·期中）在
中，
，
，
，点D 在边
上，
为
的平分线.
(1)求
的长；
(2)若点P 为线段
上一点，且
为等腰三角形，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
，结合面积公式即可得出答案；
（2）由余弦定理和角平分线定理可得
，即可求出
，
为等边三角形，再
由余弦定理和同角三角函数的基本关系即可得答案.
【详解】（1）因为
为
的平分线，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，即
，
可得：
.
（2）由余弦定理可得：
，
所以
，所以
，
22
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由角平分线定理可得：
，又因为
，
所以
，又因为
，
，
所以
，所以
，
又因为
为等腰三角形，
，所以
为等边三角形，
所以
，则
为
的中点，在
中，
由余弦定理可得
，所以
，
所以，在
中，
由余弦定理可得
，
因为
，所以
，
所以
.
7．（2025 高三·全国·专题练习）在
中，角
的对边分别为
，
．
(1)求
；
(2)若
为
的中点，且
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）利用两角差的余弦公式化简已知等式，再利用正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、
两角和的正弦公式求
，最后根据三角形内角的范围求角
（2）利用余弦定理及
，
之间的关系将
用
表示出来，再利用正弦定理将
化边
为角，最后结合角
的范围及三角函数的图象与性质求
的取值范围
23
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【详解】（1）由
可得
，即
，
由正弦定理可得
，
又
，
，
又
，
，又
，
．
（2）在
与
中，分别利用余弦定理可得，
，
，
知
，故
，
．
由正弦定理可得
，
故
，
，
．
由
可得
，
，故
，
的取值范围为
，
故
的取值范围为
．
题型04 解三角形结合三角函数
【解题规律·提分快招】
一、两角和与差的正余弦与正切
①
； ②
；
24
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③
；
二、二倍角公式
①
； ②
；
③
；
三、降幂公式
四、辅助角公式
asinα+bcosα=√a2+b2sin(α+ϕ)（其中
sinϕ=
b
√a2+b2 ，cosϕ=
a
√a2+b2 ，tanϕ=b
a ）．
五、三角形角的关系
（1）
中，
,
A
2 + B
2 + C
2 =
π
2
（2）
，
（3）
，
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·广西柳州·一模）记
内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)求
；
(2)若
，
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用辅助角公式计算得出
，再结合角的范围即可求出角；
（2）已知结合正弦定理化简计算得出
，再应用两角和正弦公式计算
，最后正弦定理
计算边长即可得出周长.
【详解】（1）由
得，
，即
，
25
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由于
，
；
（2）由题设条件和正弦定理
，
又
，
，则
，进而
，得到
，
于是
，
，
由正弦定理得
，
解得
，
，
故
的周长为
.
2．（2024·山东泰安·二模）已知函数
，
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用特殊角的三角函数值求角；
（2）根据两角和的正弦公式和正弦定理可得
，再结合余弦定理求解.
【详解】（1）在
中，由
，得
，则
，
由
，得
，则
，
所以
.
（2）在
中，由
，
得
，即
，
26
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则
，由正弦定理得
，
由余弦定理得
，
因此
，而
，所以
.
3．（2024·安徽淮南·一模）记
的内角
的对边分别为
，已知
，
．
(1)求
；
(2)若
为
边上任意一点，作
于
，设
，试用
表示
，并求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理可求
角大小，再由
，可得角
；
（2）在
中，由正弦定理求
，在直角
中求
，再利用三角恒等变换求
的最值.
【详解】（1）由
得
，
，
又
，且
；
（2）由（1）知
，
，则
为直角三角形，
在
中，由正弦定理知
，即
，
在
中，
，
所以
由
，当
，即
时，
取得最大值为
.
27
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4．（2025·新疆·模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
在
上的零点从小到大依次为
，设数列
的前
项和为
，求
的值；
(2)在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为
，
，，若
，
，
边上的中线
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简计算可得
.法一：利用换元法（令
），
结合零点的定义和正弦曲线的对称性求出
和
即可；法二：作出
的图象，利用正弦曲线的
对称性直接求解即可.
（2）由
求得
，结合
和正、余弦定理计算即可求解.
【详解】（1）
.
方法一：令
，
在
上有4 个零点.依次为
，
，
，
.
又
.
.
，
，
，
，同理得
，
.
28
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方法二：作出函数
的图象，
其对称轴为
，
，
由图可知
，
，
.
（2）依题意
，即
，
，
.
，
.
即
，
.
在
中，
，
，由正弦定理得
.
5．（2024·山西吕梁·二模）已知
，其图象相邻对称轴间的距离为
，若将其图象向左
平移
个单位得到函数
的图象.
(1)求函数
的解析式；
(2)在钝角
中，内角
的对边分别是
，若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
的图象相邻对称轴间的距离得到周期求出
，再根据图像平移得到
，求
得结果；
（2）由
得出
三角的关系，利用正弦定理及角度关系化简
，再利用导数
29
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求函数单调区间得出结果.
【详解】（1）已知
的图象相邻对称轴间的距离为
，则
.
由周期公式得，
，
所以
，
（2）由题意得，
，
，
所以
.
所以
或
（舍），所以
.
因为在钝角
中，所以
，
所以
，则
令
，
，
当
时，
；当
时，
；
可得
在
单调递减，在
单调递增.
所以当
，即
时，
有最小值
；
，所以
故
.
6．（24-25 高三上·江苏扬州·期中）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，
.
(1)判断
的形状；
30
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(2)已知
，
，
，点
、
是边
上的两个动点（
、
不重合，且点
靠近
，点
靠
近
）.记
，
.
①当
时，求线段
长的最小值；
②是否存在常数
和
，对于所有满足题意的
、
，都有
成立？若存在，
求出
和
的值；若不存在，请说明理由.
参考公式：
，
.
【答案】(1)直角三角形或等腰三角形
(2)①
；②成立，
，
【分析】(1)利用三角形的内角和定理和诱导公式将
化为
，再利用两角和差公式和二倍角公
式进行化简可得
，进而可得结果；
(2)①设
，
，
方法一：在
中利用正弦定理求出
,
，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解；
方法二：在
中，利用正弦定理求出
,
，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解；
方法三：在
中，利用正弦定理求出
,
，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解；
②假设存在常数
和
，利用三角恒等变形得到恒等式，将其转化为
进行求解.
【详解】（1）在
中，因为
，且
，
所以
，
即
，
，
所以
或者
.
当
时，所以
，
为直角三角形；
当
时，所以
，
为等腰三角形.
综上所述，
为直角三角形或等腰三角形.
（2）①因为
，所以
，又
，
，所以
，
.
如图，设
，
，
31
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方法一：在
中，由正弦定理，得
，
所以
.
在
中，由正弦定理，得
，
所以
.
因为
，所以
，
故当
，即
时，
.
方法二：在
中，由正弦定理，得
，所以
.
在
中，由正弦定理，得
，
所以
32
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.
因为
，所以
，
故当
，即
时，
.
方法三：在
中，由正弦定理，得
，
所以
.
在
中，由正弦定理，得
，
所以
.
所以
，
因为
，所以
，
故当
，即
时，
.
②假设存在常数
，
，对于所有满足题意的
，
，
都有
成立，
33
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则存在常数
，
，对于所有满足题意的
，
，利用参考公式，有
.
由题意，
是定值，所以
，
是定值，
对于所有满足题意的
，
成立，故有
，
因为
，从而
，
即
，
，所以
.
故
，
.
题型05 几何图形中解三角形
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在
中，
，D 是斜边
上的一点，
，
.
(1)若
，求
和
；
(2)若
，证明：
.
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理及几何关系得出
，进而得出
是等边三角形及边长，进而
可求解.
（2）在
与
中，利用余弦定理列出方程组，化简即可证明.
【详解】（1）由
，
，可得
.
因为
，所以在
中，由正弦定理可得
，即
34
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，
则
或60°，又因为
，故
.
因此
，又因为
，所以
是等边三角形，
所以
，
又在
中，
，
，故
，
所以
.
（2）证明：令
，
，
，.
因为
，则
.
在
与
中，由余弦定理可得
消去
，得
，整理得
，
所以
，即
.
2．（2024·河南·三模）已知
是
内一点，
.
(1)若
，求
；
(2)若
，求
.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）在等腰
中可得
，进而得
，在
中运用正弦定理可求得
的值.
（2）求出
的值，设
，则
，在
、
中，由正弦定理可得
、
，结合
求解即可.
【详解】（1）如图所示，
35
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在
中，
，所以
.
所以
.
在
中，由正弦定理得
，即
，解得
.
（2）如图所示，
当
时，
.
设
，则
.
在
中，由正弦定理得
.
在
中，由正弦定理得
.
因为
，所以
，即
，
整理得
，即
，解得
，即
.
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，四边形
中，已知
，
．
(1)若
的面积为
，求
的周长；
36
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(2)若
，
，
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在
中利用余弦定理求出
，再由面积公式求出
，从而求出
，即可得解；
（2）设
，表示
，再分别在
、
利用正弦定理得到
，
再由三角恒等变换公式计算可得.
【详解】（1）在
中，
，
因为
，所以
，
由
，得
，
∴
，即
，
∴
，即
的周长为
；
（2）设
，则
，
又
，所以
，
，
在
中，由
，得
，
在
中，由
，得
，
∴
，即
，
即
，
，
即
，即
，
∴
，
∵
，∴
，
∴
，解得
，即
的值为
.
4．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，
，
，
.
37
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(1)求
；
(2)求四边形
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得到
，进而得到
，再根据条件，利用平方关系和正弦的
和角公式，即可求出结果；
（2）延长
交于
，设
，
，在
中，利用正弦定理和余弦定理得到
，
，进而求得
，
，再利用三角形面积公式，即可求出结果.
【详解】（1）由
，又
，得到
，
又
，
又
，
，且
，
所以
，
，
得到
.
（2）延长
交于
，设
，
，
在
中，由正弦定理得到
，由（1）知
，
，
所以
①，由余弦定理得到
②，
由①②解得
或
，
38
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当
时，
，此时
，
又
，所以
，
不合题意，故
，
，
在
中，由
，
，得到
，
，
所以
，又
，
故
.
5．（2024·黑龙江佳木斯·三模）
中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求∠A；
(2)若
，满足
，
，四边形
是凸四边形，求四边形
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及题意结合两角和的正弦公式得到
即可得角A.
（2）法一：设
，
边长为
，在
中根据余弦定理建立
与
的关系，进而求得面
积
，再结合换元法和三角函数值的有界性即可求解；法二：将
设为变量，用于表示面积得
，结合三角恒等变换公式
将面积公式化为一角一函数，再利用三角函数的有界性即可求解.
【详解】（1）由正弦定理和
得：
，
39
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即
，
又
，故
，
所以
，即
，又
，
所以
.
（2）法一：若
，
则由（1）可知
为正三角形，设其边长为
，
则有
，即
，
且由正三角形面积公式得
，
对于
，设
，则由余弦定理有
，
故
，
所以四边形
的面积为
，
令
（
），则
，
故
，
再令
，
则
，
40
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又
，所以
，
所以
，
所以当
时，四边形
的面积取得最大值为：
.
法二：若
，则由（1）可知
为正三角形，
设
，由题意
，
由余弦定理
，
所以
，
又
，所以
，
所以
，
所以当
时，四边形
的面积取得最大值为：
.
一、解答题
1．（2024·广东珠海·一模）在
中，角
，
，
的对边分别为
，b，其中
，
，且
．
(1)求
的值；
(2)若
的外接圆半径为5，求
面积的最大值．
41
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【答案】(1)
(2)32
【分析】（1）由已知结合正弦定理可得
，根据
可变形为
，由
，即可求解；
（2）由正弦定理可得
，根据余弦定理结合基本不等式可得
，根据面积公式即可求解面积的最
大值.
【详解】（1）由题意得，
，
由正弦定理可知，
，
在
中，因为
，
，
所以
，
即
，
因为
，所以
，
所以
，又
，
所以
；
（2）由正弦定理
，
因为
，
，所以
，
，
由
，得
，
由基本不等式可知，
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
，
所以
面积的最大值为
.
2．（24-25 高三上·湖北荆州·阶段练习）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
．
42
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(1)求
的值；
(2)若
的面积为
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
，代入已知等式，利用正弦定理和余弦定理角化边，
可求
的值；
（2）已知条件结合三角形面积公式化简求出
，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式得
，由
，得
，可求
周长的取值范围．
【详解】（1）∵
，
由正弦定理可得：
，
由余弦定理知：
，
，
可得
，
则有
，由
，解得
.
（2）
中由余弦定理知
，又在
中有
，
∴
，化简得
，
∵
，∴
.
又
，由正弦定理得：
，
，
，
因在
中，
，
，
，
所以
，当
时，等号成立，
∴
周长
的取值范围是
．
3．（24-25 高三下·湖北·开学考试）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，
，D 为BC 边上的点．
43
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(1)若
，求角A 的平分线AD 的长；
(2)求BC 边上中线AD 长的最小值．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）应用余弦定理可得
，再由
及已知列方程求
；
（2）根据线段的关系及向量加减、数乘的几何意义有
，整理并应用基本不等式求
最小值.
【详解】（1）因为
，
，
，
所以
，所以
，
由
，且
是角A 的平分线，
所以
，所以
.
（2）因为D 是BC 的中点，所以
，
两式平方，并代换得
，当且仅当
时取等号，
所以AD 长的最小值为
.
4．（2024·北京大兴·三模）如图，平面四边形
中，对角线
与
相交于点
，
，
，
，
.
(1)求
的面积；
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(2)求
的值及
的长度.
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）根据勾股定理可得
，结合
再根据面积公式求解即可；
（2）根据等腰三角形性质可得
，再用同角三角函数的关系与二倍角公式可得
，然后根据
，利用两角和的正弦公式求解，由正弦定理求
解
即可.
【详解】（1）∵
，
，
，
，
;
（2）
，
，
，则
.
，
，
，
，
又
，在
中，
，
由正弦定理可知，
，
.
5．（23-24 高三上·河北邢台·期中）在锐角三角形
中，内角
的对边分别为
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
面积的取值范围．
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【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）对等式两边同时乘以
可得
，正弦定理结合两角和的正弦公式化
简即可得出答案；
（2）由正弦定理求出
，表示出
面积结合三角函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）由已知条件得
，
由正弦定理得
，
即
．
因为在
中，
，
所以
．
又
是锐角，所以
．
（2）由正弦定理得
，
则
，
所以
．
由
，得
，
所以
，所以
，
所以
．
所以
面积的取值范围为
．
6．（2024·广东韶关·模拟预测）在
中，
，
，点
为
内一点.
46
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(1)若
（图1），求
的面积；
(2)若
（图2），求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在
中，由余弦定理得
，从而可得
，利用面积公式
即可求解；
（2）设
，
，由正弦定理可得
，在
中，由余弦定理可得
，利用
即可求解．
【详解】（1）在
中，
，
，
由余弦定理得
，
又
，
，
故
．
（2）设
，因为
，则
，则
，
在
中，由正弦定理可得
，即
，故
，
在
中，
，
由余弦定理可得
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，
其中
，
，
，
因为
，则
，
即当
时，
．
7．（2024·四川成都·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，且
，
边
上有一动点
.
(1)当
为边
中点时，若
，求的长度；
(2)当
为
的平分线时，若
，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出
，再由向量的运算得出的长度；
（2）由余弦定理结合基本不等式得出
，再由
得出
，最
后由对勾函数的单调性得出
的最大值.
【详解】（1）解：因为
，
所以
，即
.
由正弦定理，得
.
因为
，所以
.
因为
，所以
.
又因为
，所以
，所以
.
48
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因为
为边
中点，所以
，则
.
又
，
所以
，即
，即
，
所以
.
（2）在
中，由余弦定理，得
.
又
，所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
，所以
.
因为
平分
，
所以
，
所以
，
所以
.
令
，则
.
因为
在
上单调递增，
所以当
即
时，
取得最大值为
，
所以
的最大值为
.
49
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8．（24-25 高三下·湖北·开学考试）设
.
(1)求
的单调递增区间；
(2)在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，求
周长的取值
范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简可得
，令
，即可得单
调递增区间；
（2）利用
和角的范围求得角
，结合正弦定理和
化简整理得
，再根据锐角三角形得到
，代入求得
的取值范围，即为
周长的取值范围.
【详解】（1）
，
由
，
得
，
的单调增区间为
，
（2）因为
，
50
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可得
，
由题意知A 为锐角，则
，
由正弦定理可得
，
则
，
，
所以
，
因为
，解得
，
则
，所以
，则
，
所以
，
即
周长的取值范围为
.
9．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在锐角
中，设边
所对的角分别为
，且
．
(1)求角
的取值范围；
(2)若
，求
中
边上的高的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据正余弦定理及三角恒等变换结合条件可得
，然后根据三角形为锐角三角形进而
即得；
（2）根据三角形面积公式及正弦定理可得
，然后根据三角恒等变换及正切函数的
性质结合条件即可求解.
【详解】（1）因为
，
51
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所以
，
所以
，
，又
，
所以
，整理可得
，
所以
或
(舍去)，
所以
，又
为锐角三角形，
所以
，
所以
；
（2）由题可知
，即
，
又
，
所以
，
所以
，
由
，可得
，
所以
，
所以
，
即
中
边上的高的取值范围是
.
10．（24-25 高三上·福建福州·开学考试）已知
的三个内角
的对边分别为
，
．
(1)求a；
(2)若
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
52
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【分析】（1）由正弦定理得
，结合三角形内角和的性质，
即可求解；
（2）由（1）得到
，作
为边
上的高，设
，根据题意，求得
，得
到
的面积为
，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
，
又因为
，可得
，所以
，
因为
，可得
，所以
.
（2）由（1）知
，即
，
如图所示，
为边
上的高，不妨设
为锐角，
设
，
当
为锐角时，则
，故
，
当
为钝角时，则
，故
，
因为
，所以
，整理得
，
所以
的面积为
，
因为
，可得
，
当
时，
取得最大值，最大值为，且
，
所以
的面积的取值范围为
.
11．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在锐角
中，
，
，分别为内角
，
，
的
对边，
.
(1)求
；
(2)若
，
为
中点，
，求
；
(3)若
，求
内切圆半径的取值范围.
【答案】(1)
(2)
53
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(3)
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求
，进而得到角
.
（2）利用向量表示
，借助向量的数量积求边
.
（3）利用
与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.
【详解】（1）因为
，
根据正弦定理，得
，
所以
，
因为
，所以
，所以
.
（2）因为
为
中点，所以
，
所以
，
所以
，解得
或
（舍去），
故
.
（3）由正弦定理：
，
所以
，
，
因为
，所以
，
所以
，
54
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，
设
内切圆半径为，
则
.
因为
为锐角三角形，所以
，
，
所以
，
所以
，即
，
即
内切圆半径的取值范围是：
.
12．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在
时间
(单位：)时相对于平衡位置
的高度
(单位：
)由关系式
确定，
其中
．小球从最高点出发，经过
后，第一次到达最低点，经过的路程为
．
(1)求函数
的解析式；
(2)在锐角
中，角
的对边分别为
，若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）求出
的最小正周期为
，得到
，结合
时，小球位于最高点，得到方程，求
出
，又
，得到解析式；
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（2）由
得到
，根据三角形为锐角三角形得到
，
，由正
弦定理，化简得到
，换元后，由对勾函数单调性求出取值范围，得到答案.
【详解】（1）设
的最小正周期为
，由题意，
，
，
又
，
，
当
时，小球位于最高点，则
，
，
又由题意
，解得
，
；
（2）由题意，
，故
，
即
，
为锐角三角形，
故
或
，
当
时，解得
，
当
时，解得
，舍去，
故
，则
，
又
，
，
解得
，
，
，
又
，
令
，则
，
根据对勾函数的性质，函数
在
上单调递增，
56
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所以
，
所以则
的取值范围为
．
57
